KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy

Transkript

1 + *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 4 KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy

2 Tid: Tirsdag , kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 4 sider (derav 1 side med formler) og 5 oppgaver. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf Oppgavenes vekt er angitt i prosent av total poengsum.

3 Side 2 av 4 D) Forklar hva som menes med begrepet NYDWHUQLRQHU. Hvilke fordeler har bruken av kvaternioner fremfor andre metoder som brukes til samme formål? E) Anta at en vilkårlig rotasjonsmatrise [$ ) ] er gitt. Matrisen har egenvektoren H (egenverdi 5 1). Angi elementene i kvaternionvektoren T som funksjoner av elementene i H og vinkelen ). F) Forklar hvordan vinkelen ) kan beregnes fra elementene i [$ ) ]. G) Anta at et legeme utsettes for to etterfølgende rotasjoner relativt et referansesystem. Kvaternionvektorene for de to rotasjonene er henholdsvis T og TU. Forklar hvordan kvaternionvektoren TUU for den totale rotasjonen kan beregnes. D) Anta at et legeme settes i en ren rotasjonsbevegelse. Etter at bevegelsen er satt i gang, virker det ingen eksterne momenter på legemet. Forklar hvordan og hvorfor orienteringen av legemet vil endre seg dersom det internt i legemet dissiperes energi. E) Forklar hva som menes med nutasjonsbevegelse for et roterende legeme. Tegn en skisse av et sylindrisk legeme som spinner med nutasjon, og angi nutasjonsvinkelen. F) Anta at orienteringen til en satellitt skal stabiliseres vha. spinn om én akse. Hvilke begrensninger vil et passivt system for nutasjonsdempning ha? Foreslå et alternativt system som ikke har disse begrensningene. G) Utled de dynamiske bevegelsesligninger som gjelder for et stivt legeme som roterer fritt uten ytre påvirkninger relativt et inertielt referansesystem. En satellitt beveger seg i en bane rundt et sentralt legeme. Et banefast referansesystem er definert med enhetsvektorene N "U/ U, M ŸY U / Y U, L M N,derU er vektoren fra det sentrale legemet til satellitten, og Y er satellittens banehastighet. Banereferansesystemet roterer pga. banebevegelsen relativt et (inertielt) referansesystem i det sentrale legemet. I det følgende benyttes Y Y ogu U. D) Utled vinkelhastighetene F L, F M,ogF N om enhetsvektorene L, M,ogN, uttrykt vha. enhetsvektorene og deres tidsderiverte. E) Det kan vises at F L 1 U Y U Y ŸY U for en generell bane. Vis at F L q 0. F) Det kan også vises at for generelle baner får en F M "1/ŸU 2 Y U Y ŸU Y U " ŸU 2 Y,ogF N 1/Ÿ U Y U 2 U U ŸY U U.Visatforen sirkulær bane blir F M F 0 Y/U, og at for en Keplarsk bane blir dessuten F N 0. G) Hva blir elementene i vinkelhastighetsvektoren Z 5, av det banefaste referansesystemet relativt det inertielle systemet, dersom banen er sirkulær?

4 Side 3 av 4 Det skal designes et aktivt dempesystem for en satellitt med et gravitasjonsbasert stabiliseringssystem for orientering. Feltvektoren til jordas magnetfelt benevnes % % [ % \ % ] 7 og den magnetiske dipolvektoren som settes opp vha. spoler i satellitten benevnes 0 0 [ 0 \ 0 ] 7. D) Utled et uttrykk på komponentform for det mekaniske momentet som oppstår pga. interaksjonen mellom jordas magnetfelt og magnetfeltet som settes opp i satellitten. E) Er det generelt mulig å oppnå stabilisering om alle 3 akser ved å benytte magnetisk dempning? Forklar. F) Forklar hvordan en kan finne komponentene i vektoren 0 dersom momentet 7 F som må påtrykkes satellitten er kjent. Du kan anta at for dette tilfellet er 0 vinkelrett på %. G) Styrken av jordas magnetfelt % er omtrent /5 3 Wb/m 2,der5er avstanden fra jordsenteret. La oss anta at det er en gjennomsnittlig vinkel på ) 30 R mellom den magnetiske dipolen 0 satt opp av spolene i satellitten, og retningen til %. Antavidereat0 100 Am 2, og at satellitten utsettes for en forstyrrelse med absoluttverdi 7 G "6 Nm, i en geostasjonær bane med høyde km. Avgjør vha. beregninger om det vil være mulig å benytte det magnetiske systemet til å stabilisere satellitten. 2SSJDYH ( %) De lineariserte bevegelsesligningene for en gravitasjonsstabilisert satellitt i sirkulær bane rundt jorden, er gitt på generell form som: 7 G[ 7 F[, [ C 4F 0 2 Ÿ, \ ", ] C F 0 Ÿ, \ ", ] ", [ E K Z[ " F 0 K Z] " E K Z\0 " CF 0 K Z\0 7 G\ 7 F\, \ 2 3F 0 2 Ÿ, [ ", ] 2 K Z\ 7 G] 7 F], ] E F 0 Ÿ, ], [ ", \ C F 0 2 Ÿ, \ ", [ K Z] F 0 K Z[ C K Z\0 " EF 0 K Z\0 D) Anta at en gitt type satellitter ikke har mulighet for stabilisering vha. noen form for spinnbaserte pådragsorganer, at treghetsmatrisen er gitt som [,]k[], og at det er snakk om saktevarierende endringer i Euler-vinklene. Sett opp differensialligningene som beskriver satellittens rotasjon. Er det mulig å få til gravitasjonsbasert stabilisering i dette tilfellet? Forklar. E) Anta at den generelle modellen tilnærmes med et sett med tre dekoblede andreordens differensialligninger. Foreslå en enkel regulatorstruktur for stabilisering av orienteringen. F) Anta at det er nødvendig at satellitten kan utføre store og hurtige endringer av orientering med svært store krav til nøyaktighet. Kan den generelle modellen over fortsatt benyttes ved utvikling av styrealgoritmer? Grunngi svaret. G) I enkelte tilfeller er det aktuelt å minimalisere vinkeldreiningene som en satellitt må utføre for å komme fra en orientering til en annen ønsket orientering. Forklar hvordan dette kan gjøres.

5 Side 4 av 4 Formelsamling og parametre

6 Totalenergi for enhetsmasse: ŸY 2 /2 Ÿ6/U " Ÿ6/2D Rakettligningen: " 9/ŸJ, VS P I P L e Ellipsen: $ =DE, H ŸU D " U S /ŸU D U S, D ŸU D U S /2, E D 1 " H 2 Inverst kvadratisk kraftfelt: ) *P 1 P 2 /U 3 U Keplar s tidsligning: ŸW " W S Ÿ2=/7 ŸW " W S Q 0 E " Hsin E Keplar s tredje lov: 7 2= D 3 /6 2=/Q Sann og eksentrisk anomali: cosÿe H cosÿ2 / 1 HcosŸ2,sinŸE sinÿ2 1 " H 2 / 1 HcosŸ2 Differansen av to vinkler: sinÿ) " * sin ) cos* " cos)sin * Tilnærming: e [ X 1 [ for små [ Vektoridentitet: $ Ÿ% $ Ÿ$ $ % " Ÿ$ % $ Laplace-transformasjonen: L \ŸW <ŸV L \ŸW V<ŸV " \Ÿ0 L ¹ŸW V 2 <ŸV " V\Ÿ0 " \Ÿ0 L "1 1/V Q W Q"1 /ŸQ " 1!, (Q 1,2,3,... L "1 1/ŸV " D Q W Q"1 H DW /ŸQ " 1!, (Q 1,2, 3,... L "1 1/ŸV 2 F 2 Ÿ1/F sinÿfw L "1 1/ŸŸV " D 2 F 2 Ÿ1/F H DW sinÿfw L "1 V/ŸV 2 F 2 cosÿfw L "1 1/ŸV 3 VF 2 Ÿ1/F 2 1 " cosÿfw L "1 1/ŸV 4 V 2 F 2 Ÿ1/F 3 FW " sinÿfw Gravitasjonskonstanten: * "11 m 3 /kg-s 2 Jordas masse: 0 Jordas gravitasjonskonstant: 6 * km 3 /s 3 Midlere jordradius: 6378 km