LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy. Kontinuasjonseksamen

Transkript

1 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 4 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Kontinuasjonseksamen Tid: Onsdag , kl: 09:00-12:00 Fagansvarlig: Per J. Nicklasson, tlf / Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Oppgaven inneholder 4 sider og 4 oppgaver. Relativ vekt av deloppgaver er oppgitt i prosent.

2 Oppgave 1 (5%10%5%5%5%30%) a) Hva mener man med uttrykket Keplerske baner? Med Keplerske baner mener man baner til legemer som beveger seg i et sentralt kraftfelt (gravitasjonsfelt) som skyldes den gjensidige tiltrekningen mellom to punktmasser. Dette er en idealisert modell av planetbevegelser som resulterere i baner som tar form av kjeglesnitt. Basert på Tycho Brahes observasjoner formulerte hans assistent Johannes Kepler et sett med empiriske lover for slike idealiserte baner. b) Vis at den dynamiske ligningen for avstanden r mellom to legemer med masse m 1 og m 2 som er i relativ bevegelse i et kraftfelt beskrevet av Newtons gravitasjonslov, kan skrives som r Gm 1 m 2 r 0 r 3 Med utgangspunkt i figuren over og Newtons lover kan en sette opp sammenhengene F 1 m 1 r 1 Gm 1 m r 2 r 1 2 r 2 r 1, F 3 2 m 2 r 2 Gm 1 m r 1 r 2 2 F r 1 r Dette gir r 2 r 1 Gm 1 m 2 r 2 r 1 r 2 r 1 3 Da r r 2 r 1 får vi r Gm 1 m 2 r 0 r 3 c) Vis at massesenteret til systemet fra forrige spørsmål er i ro eller i rettlinjet uakselerert bevegelse. Definisjonen av massesenteret er gitt som et punkt slik at avstanden fra dette senteret r j og til den n n partiklene tilfredsstiller r j m j 0. I dette tilfellet få r en (se figuren fra forrige spørsmål) j1 r a m 1 r b m 2 0 (merk at vektorene har forskjellig retning fra massesenteret). Videre har vi r a r c r 1 og r b r 2 r c,derr c er avstanden fra origo til massesenteret. Dette gir nå r c r 1 m 1 r 2 r c m 2 0, slik at r c m 1 m 2 r 1 m 1 r 2 m 2. Vi vet at F 1 m 1 r 1 Gm 1 m r 2 r 1 2 r 2 r 1, F 3 2 m 2 r 2 Gm 1 m r 1 r 2 2 F r 1 r og dette gir r cm 1 m 2 F 1 F 1 0. Følgelig har vi r c 0 og dermed må ṙ c være konstant, bevegelsen er uakselerert og dermed med konstant retning og hastighet.

3 d) Hva mener man med et inertielt referansesystem? Forklar hvorfor jorden kan benyttes som et tilnærmet inertielt referansesystem for beskrivelse av satellittbevegelser. Med et inertielt referansesystem mener man et system som er i ro eller i rettlinjet bevegelse med konstant hastighet, dvs. et uakselerert system. En annen formulering er at dette er referansesystemer hvor Newtons lover gjelder. Selv om jorden beveger seg rundt solen, og hele solsystemet i et ekspanderende verdensrom, vil bidragene til satellittens bevegelsesligninger som skyldes disse bevegelsene, bli så små relativt de krefter som på virker satellitten pga. bevegelsen rundt jorden og bruk av trustere, at denne trygt kan benyttes som et inertielt referansesystem. e) Anta at en satellitt med masse m 1 går i bane rundt en planet med masse m 2. Vis matematisk at satellitten under gitte forutsetninger ikke påvirker planetens bevegelse. Utfra definisjonen av massesenteret for to legemer, finner vi r a m 1 r b m 2 0 som gir r b r a m 1 /m 2 og r r a r b r a 1 m 1 /m 2 r a m 2 m 1 /m 2. Dette gir nå etter derivasjon r a r m 2 m 1 m, r b r m 1 2 m 1 m 2 Vi ser at dersom m 1 m 2 vil r b 0, dvs. at satellitten med liten masse ikke vil medvirke til en akselerasjon av planeten med stor masse m 2. Oppgave 2 (5%10%10%5%5%35%) a) Forklar hva man mener med Hohmann overføringer. Med Hohmann-overføringer mener man en type baneoverføringer som er optimale mhp. drivstoffforbruk. Opprinnelig ble betegnelsen benyttet om en optimal overføring mellom to sirkulære baner i samme plan. En Hohmann-overføring er optimal så lenge forholdet mellom de to radiene er mindre enn b) Anta at en ønsker å øke radien til en sirkulær satellittbane fra r 1 til r 2. Vis at den totale hastighetsendringen som må utføres er gitt av hvor ΔV 1 ΔV 2 ΔV ΔV 1 ΔV 2 r 1 r 2 1 2r 2 r 1 r 2 1 2r 1 r 1 r 2 For å endre radien benyttes en elliptisk overføringsbane som vist i figuren over. Hastigheten i den opprinnelige banen er v 1 /r 1. Vi kjenner nå avstanden til apogeum r 2 og perigeum r 1 av

4 overføringsbanen, og kan dermed beregne hastigheten for denne banen i perigeum utfra ligningen for totalenergien v 2 /2 /r /2a som Dette gir v p ΔV 1 v p v 1 2 r1 2 r 1 r 2 2r 2 r 1 r 1 r 2 r1 2r 2 r 1 r 1 r 2 r 1 2r 2 r 1 r 2 1 For å finne ΔV 2 må vi kjenne hastigheten i apogeum av overføringsbanen og hastigheten i den endelige banen. Ved samme fremgangsmåte som over finner vi Dette gir nå v a v 2 2 r2 r 2 ΔV 2 v 2 v a 2 r 1 r 2 r 2 1 2r 1 r 2 r 1 r 2 2r 1 r 1 r 2 c) Anta at for baneendringen i forrige spørsmål skal initiell radius r km økes med 200 km. Beregn massen av den nødvendige drivstoffmengden som skal til for å utføre endringen når den initielle massen til satellitten er 1 tonn og trusterne som benyttes har I sp 200 s. Jordradien er R e km, g 9.81 m/s 2 og km 3 /s 2. Beregner ΔV ΔV 1 ΔV m/s. Dette gir utfra rakettligningen m p m i m f m i 1 e ΔV/gIsp 52.6 kg. d) Anta at det på en satellitt i lav jordbane virker en atmosfærisk motstand (drag) F d [N]. Vis med utgangspunkt i Newtons andre lov og rakettligningen at drivstoffmassen Δm prop [kg] som må til for å kompensere for denne drag-kraften i en gitt tidsperiode Δt [s]ergittsom Δm prop F dδt gi sp Newtons 2.lov kan skrives på formen F mδv/δt for et endelig inkrement i hastighet, og rakettligningen kan for små ΔV tilnærmes med m f m i 1 ΔV/gI sp. Dette gir m i m f gi sp Δm prop gi sp m i ΔV F d Δt Δm prop gi sp og endelig Δm prop F dδt gi sp e) Forklar hvilke følger en feilorientering av trusterne på en satellitt vil gi ved banekorreksjoner. En feilorientering av trusteren vil gi et hastighetstap og følgelig et tap av drivstoff. Dessuten vil det bli introdusert krefter som gir en uønsket nutasjonsbevegelse, og dermed uønsket endring av orienteringen. Oppgave 3 (5%5%5%15%) a) Anta at en satellitt har en orientering som kan beskrives med en rotasjonsmatrise ( direction cosine matrix ) A S. Satellitten skal dreies til en ønsket orientering beskrevet av rotasjonsmatrisen A T. Vis at forskjellen mellom gitt orientering og ønsket orientering kan beskrives med en avviksmatrise A E A S A T T.

5 Satellittens orientering er gitt relativt en referanseramme. Anta at en vektor kan beskrives som a a 1,a 2, a 3 T i denne referanserammem. Vektoren kan beskrives i satellittens nåværende koordinatsystem som a S A S a, og i systemet med ønsket orientering som a T A T a. Matrisen som beskriver avviket i orientering, fås ved å se på sammenhengen mellom de to ulike beskrivelsene, dvs. sammenhengen mellom a S og a T. Dette gir a S A S a A S A T 1 a T A S A T T a T A E a T. b) Hvilke verdier vil elementene i matrisen A E ha når satellittens orientering er sammenfallende med den ønskede orienteringen? Når satellitten oppnår ønsket orientering, vil de to beskrivelsene av orientering sammenfalle, dvs. a S a T.Vifåra S A E a T, og det følger at en må kreve A E I, dvs. rotasjonsmatrisen må være lik identitetsmatrisen. c) Definer ligninger for regulatorer (dvs. sett opp ligninger for T x, T y, T z, slik at vinklene, og kan styres, og satellitten får ønsket orientering. Benytt elementene a ije fra A E i regulatorene. Begrunn valget av elementer fra A E i de ulike ligningene, evt. ved bruk av figurer. Vi vet at en må kreve A E I, så elementene utenom diagonalen må tvinges mot null, og elementene på diagonalen må være lik 1 ere. For å forstå valget av elementer a ije fra A E i regulatorligningene, kan en se på sammenhengen mellom elementene og vinklene mellom koordinataksene for satellittens nåværende orientering, og koordinataksene for satellittens ønskede orientering, se figuren under. Vi vet at A E er en rotasjonsmatrise, som beskriver sammenhengen mellom de to orienteringene. En slik matrise inneholder retningskosinuser mellom aksene til de to systemene. Disse fremkommer ved å beregne skalarproduktet mellom de ulike aksene, f.eks. vet en at a 12E X S Y T.Nåra 12E 0, vil altså X S være vinkelrett på Y T. Dette kan oppnås ved en dreining om Z S. Tilsvarende får en a 13E X S Z T (a 13E 0 kan oppnås ved dreining om Y S ), og a 23E Y S Z T (a 23E 0 kan oppnås ved dreining om X S ). I tillegg ønsker en at regulatoren for et andreordens udempet system som dette skal ha derivatvirkning, slik at det oppnås tilstrekkelig stabilitetsmargin. Dette oppnår en ved å ta med de legemefaste vinkelhastighetene p,q,ogr, i regulatorligningene. Husk at ønsket vinkelhastighet er identisk lik null ved regulering. Dette gir nå regulatorligningene T cx K x a 23E K xd p T cy K y a 13E K yd q T cz K z a 12E K zd r Oppgave 4 (5%5%5%5%20%) Forklar kort følgende begreper. Benytt gjerne skisser dersom du synes det er nødvendig: a) Klassiske baneparametre De 6 klassiske baneparametre benyttes for å beskrive en Keplersk bane til et legme om et annet legeme: a- største hovedakse for banen

6 e-eksentrisiteten i-inklinasjonen -rektasensjonen til oppstigende knute -perigeets lengde M nt t 0 -midlere anomalitet (n er midlere bevegelse) b) Eulervinkler Eulervinkler benyttes for å beskrive orienteringen av et legeme med et fast assosiert aksekors, relativt et referansesystem. Det benyttes 3 vinkler, og prinsippet er at en kan komme frem til den endelige orienteringen for legemet fra referansesystemets orientering, ved at aksene opprinnelig er sammenfallende, og at en deretter dreier om tre akser. F.eks. kan rotasjonsfølgen være om x-aksen, om rotert y-akse, og om z-aksen. Vinklene, og vil da beskrive legemets orientering. c) Spinnstabilisering Metoden benyttes for stabilisering av orienteringen til et romfartøy. Fartøyet settes i rotasjon, og denne rotasjonen vil motvirke enhvert forstyrrende moment på fartøyet (jfr. forsøk på å endre orienteringen til et sykkelhjul som roterer hurtig). Begrepet kan også benyttes på en litt bredere måte om de tilfeller der et romfartøy inneholder roterende deler (hjul osv.). Når disse har opplagring som er fastlåst til fartøyet, vil virkningen være den samme som om fartøyet ble satt i spinn. d) Spinndumping Dersom vi benytter spinnbaserte enheter for stabilisering/styring av orientering, vil vi før eller siden komme i en sitasjon der enheten har oppnådd sin maksimale hastighet, f.eks. pga. konstante forstyrrelser som medfører at et konstant moment hele tiden må motvirke en konstant forstyrrelse. Vi får som kjent kun et moment fra en spinnbasert enhet når den endrer hastighet. Vi må da få ned hastigheten på enheten uten at satelliten endrer orientering. Det kan vi oppnå ved å benytte andre pådragsorganer (f.eks. trustere eller magnetspoler) for å gi et moment motsatt av det som oppstår når vi reduserer hastigheten på enheten. Formelsamling og parametre

7 Totalenergi for enhetsmasse: v 2 /2 /r /2a, E /2a Rakettligningen: m f m i e ΔV/gIsp Ellipsen: A ab, e r a r p /r a r p, a r a r p /2, b a 1 e 2 Inverst kvadratisk kraftfelt: F Gm 1 m 2 /r 3 r Keplers tidsligning: t t p 2/T t t p n M e sin Keplers tredje lov: T 2 a 3 / 2/n Sann og eksentrisk anomali: cos e cos/1 e cos,sin sin 1 e 2 /1 e cos Differansen av to vinkler: sin sin cos cossin Tilnærming: e x 1 x for små x Midlere nutasjonsvinkel: av 4T d / 2 z I z I z /I x 1 Vektoridentitet: A B A A AB A BA Laplace-transformasjonen: Lyt Ys Lẏt sys y0 Lÿt s 2 Ys sy0 ẏ0 L 1 1/s n t n 1 /n 1!, (n 1,2,3,... L 1 1/s a n t n 1 e at /n 1!, (n 1,2,3,... L 1 1/s 2 2 1/ sint L 1 1/s a 2 2 1/e at sint L 1 s/s 2 2 cost L 1 1/s 3 s 2 1/ 2 1 cost L 1 1/s 4 s 2 2 1/ 3 t sint Gravitasjonskonstanten: G m 3 /kg-s 2 Jordas masse: M kg Jordas gravitasjonskonstant: GM km 3 /s 3 Midlere jordradius: R e km