Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT. Løsningsforslag til eksamen i STE6122 Styring av romfartøy Fredag

Transkript

1 Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Løsningsforslag til eksamen i STE6122 Styring av romfartøy Fredag

2 (%) ) : Med Keplarske baner mener man baner til legemer som beveger seg i et sentralt kraftfelt (gravitasjonsfelt) som skyldes den gjensidige tiltrekningen mellom to punktmasser. Dette er en idealisert modell av planetbevegelser som resulterere i baner som tar form av kjeglesnitt. Basert på Tycho Brahe s observasjoner formulerte hans assistent Johannes Keplar et sett med empiriske lover for slike idealiserte baner. ) : Med utgangspunkt i figuren over og Newton s lover kan en sette opp sammenhengene , Dette gir Da 2 1 får vi ) : Definisjonen av massesenteret er gitt som et punkt slik at avstanden fra dette senteret M og til den Q partiklene tilfredsstiller M M. I dette tilfellet får en (se figuren fra forrige spørsmål) M1 D 1 E 2 (merk at vektorene har forskjellig retning fra massesenteret). Videre har vi D F 1 og E 2 F,der F er avstanden fra origo til massesenteret. Dette gir nå F F 2, slik at F Vi vet at , og dette gir F Følgelig har vi F og dermed må F være konstant, bevegelsen er uakselerert og dermed med konstant retning og hastighet. ) : Med et inertielt referansesystem mener man et system som er i ro eller i rettlinjet bevegelse med konstant hastighet, dvs. et uakselerert system. En annen formulering er at dette er referansesystemer hvor Newton s lover gjelder. Selv om jorden beveger seg rundt solen, og hele solsystemet i verdensrommet, vil bidragene til satellittens bevegelsesligninger som skyldes disse bevegelsene, bli så små relativt de krefter som påvirker satelliten pga. bevgelsen rundt jorden og bruk av trustere, at denne trygt kan benyttes som et inertielt referansesystem )

3 : Utfra definisjonen av massesenteret for to legemer, finner vi D 1 E 2 som gir E D 1 / 2 og D E D 1 1 / 2 D 2 1 / 2. Dette gir nå etter derivasjon D 2 1, E Vi ser at dersom 1 2 vil E, dvs. at satellitten med liten masse ikke vil medvirke til en akselerasjon av planeten med stor masse 2. (%) ) : Spinnet defineres utfra (se figuren over) dvs. at spinnet er definert som momentetn av bevegelsesmengden om et punkt. ) : Vi vet at der er kraften på legemet. I en Keplarsk bane virker sentralkraften langs radiusvektoren. Følgelig har vi og må være konstant. Frafigurenoverserviat sin sin90 R cos. Nå har en at absoluttverdien av tangentialhastigheten er 7 cos. Denne kan også skrives som 7 /, slik at 2 ) :

4 Fra figuren over har vi at arealet av trekanten mellom og er gitt som /2. Ved å dividere begge sider med og la 0, finner vi konstant. Endringen av arealet som radiusvektoren sveiper over er altså konstant. ) : Vi vet at radisuvektoren sveiper over like arealer for like tidsperioder, dvs. 1 2 konstant Integrasjon gir 1. I løpet av omløpstiden vil radiusvektoren ha sveipet overe hele ellipsen 2 som har areal, slik at ) : Sann og eksentrisk anomalitet er tegnet inn i figuren over. Fra formelsamlingen finner vi at tiden fra passering av perigeum er gitt som S sin /2. Vimåaltsåberegne, og dette gjøres ved å sette inn i formlene for cos og cos cos cos sin , sin 1 cos 1 cos Så 0.59 rad. Får dermed S sin / (%) ) : Med Hohmann-overføringer mener man en type baneoverføringer som er optimale mhp. drivstoffforbruk. Opprinnelig ble betegnelsen benyttet om en optimal overføring mellom to sirkulære baner i samme plan. En Hohmann-overføring er optimal så lenge forholdet mellom de to radiene er mindre enn ) :

5 For å endre radien benyttes en elliptisk overføringsbane som vist i figuren over. Hastigheten i den opprinnelige banen er 1 / 1. Vi kjenner nå avstanden til apogeum 2 og perigeum 1 av overføringsbanen, og kan dermed beregne hastigheten for denne banen i perigeum utfra ligningen for totalenergien 2 /2 / /2 som Dette gir S 1 S For å finne 2 må vi kjenne hastigheten i apogeum av overføringsbanen og hastigheten i den endelige banen. Ved samme fremgangsmåte som over finner vi Dette gir nå D D ) : Beregner m/s. Dette gir utfra rakettligningen " 9/ŸJ, VS S L I L e 52.6 kg. ) : Newton s 2.lov kan skrives på formen / for et endelig inkrement i hastighet, og rakettligningen kan for små tilnærmes med I L 1 / VS. Dette gir L I VS SURS VS L G SURS VS og endelig SURS G VS ) : En feilorientering av trusteren vil gi et hastighetstap og følgelig et tap av drivstoff. Dessuten vil det bli introdusert krefter som gir en uønsket nutasjonsbevegelse. (%) ) : Rotasjonsmatrisen fra det banefaste systemet er gitt som

6 2CE Det ble imidlertid spurt etter den inverse av denne matrisen (rotasjon fra legemefast til banefast system), og denne er gitt som 2CE "1 2CE 7 ) : sin cos cos coscos sin cos sin cos 0 sin coscos 0 sin 0 sin 1 cos sin 0 sine cosc cose cosc 0 sin sinc cosc cos sinc cosc 1 Singulær for 90 R. 180 R, 0,1,2, ) : Gitt en rotasjonsmatrise tar vi utgangspunkt i den egenvektoren 1, 2, 3 7 til matrisen som har egenverdi 1. Denne normaliseres slik at den får lengde 1. Det skal roteres en vinkel om denne egenvektoren. cos tr 1 2 Vi får følgende 4 parametre (kvaternioner eller symmetriske Euler-parametre) definert utfra egenvektoren og rotasjonsvinkelen: 1 1 sin/2 2 2 sin/2 3 3 sin/2 4 cos/2 Ved bruk av kvaternioner som definert ovenfor for beskrivelse av orientering vil det kun inngå multiplikasjon og addisjon/subtraksjon når transformasjoner skal beregnes. En slipper således unna regnekrevende trigonometriske funksjoner ved bruk av diss parametrene. (%) ) :

7 [ [ \ \, [ \, [ \,, % ] ] ] ] [ \ ] [ [ \ \ ] ] [ \ ] [ [ \ \ ] ] [ [ \ ] ] \ \ \ ] [ [ ] ] ] [ \ \ [ [ [ \ ] ] \ / [ \ \ ] [ [ ] / \ ] ] [ \ \ [ / ] ) : Fremgangsmåten er at vi først finner egenvektorene til treghetsmatrisen, og så setter disse (normaliserte vektorene) sammen til en rotasjonsmatrise. Det forutsettes at fremgangsmåten for å beregne egenverdier og egenvektorer er kjent. Dette gir Vi kjenner dette igjen som en rotasjon om -aksen. Vinkelen finnes som tan "1 sin /cos 0.55 rad 31.7 R ( %) ) : Modellen er gyldig under forutsetning av at Eulervinklene er små, og at pådraget som genereres fra regulatorene ikke er så stort at metning oppstår. ) : I dette tilfellet har vi F\ Z\ 0, og det eneste som kan eksitere dynamikken om % aksen er initialbetingelser og forstyrrelser. Laplace-transformasjon av ligningen gir G\ 2 \ \ 0 \ [ ] G\ 2 \ [ ] \ 0 2 \ [ ] \ 0 2 \ [ ] Siden det ikke er dempning i systemet, kan vi høyst oppnå marginal stabilitet uten å introdusere passiv eller aktiv dempning. Kravet for at polene til systemet ligger på den imaginære aksen er at løsningen av 2 \ [ ] 0, dvs. at [ ]. ) : Et sprang i forstyrrelsen gir G\ G\0 / og L "1 G\0 / \ [ ] / \ G\ [ ] 1 cos 0 3 [ ] / \

8 Tidsresponsen er altså oscillatorisk for et sprang i forstyrrelsen. ) : Benytter en PID-regulator for å dempe ut forstyrrelsene, slik at W Z\ S G,.Fårnå 0 (tar ikke med initialbetingelser og antar at alle referanser er lik null) G\ 2 \ [ ] S G, 1 G\ 2 \ G [ ] S, 1 V G\ 3 \ G [ ] S, Stasjonært avvik ved sprang i G\ blir nå VV lim G\0 Vv0 3 \ G [ ] S, 0 ) : Har følgende sammenheng: F [ \ ] [ \ ] 0 ] \ ] 0 [ \ [ 0 [ \ ] Matrisen er singulær, og vi kan følgelig ikke regne ut strømmene for enhver vektor F.Dersom vi antar at alltid er vinkelrett på, kan vi imidlertid skrive F 2 dva. at vi kan beregne (og dermed strømmene) utfra: 2 Dersom ikke er vinkelrett på, må det benyttes en annen aktuator enn magnetspole i en av aksene. To magnetspoler og ett reaksjonshjul er en mulig løsning. [ \ ]