KONTINUASJONSEKSAMEN Tirsdag STE 6159 Styring av romfartøy Løsningsforslag

Transkript

1 + *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT KONTINUASJONSEKSAMEN Tirsdag STE 6159 Styring av romfartøy Løsningsforslag

2

3 2SSJDYH (%) D) Kvaternioner benyttes for å beskrive orienteringen av koordinatsystem relativt et annet. Metoden benytter 4 parametre og defineres som en vektor på følgende måte: T T 4 LT 1 MT 2 NT 3,derL 2 M 2 N 2 "1, og LM "ML N, MN "NM L, NL "LN M. Bruk av kvaternioner er mindre regnekrevende enn andre metoder, fordi det er færre ledd som skal regnes ut, og dessuten inngår det kun algebraiske funksjoner i de enkelte leddene. De kinematiske differensialligningene er dessuten fri for singulariteter når denne metoden benyttes for beskrivelse av orientering. E) T 1 H 1 sinÿ)/2, T 2 H 2 sinÿ)/2, T 3 H 3 sinÿ)/2, T 4 cosÿ)/2 F) Vet at WU $ ) 1 2cosŸ), såcosÿ) ŸWU $ ) " 1 /2 UU U G) Den resulterende kvaternionvektoren blir T TT, der kvaternionmultiplikasjon benyttes. Merk forøvrig at rekkefølgen ved multiplikasjon er motsatt i forhold til ved bruk av rotasjonsmatriser (rekkefølgen er viktig!). 2SSJDYH (%) D) Siden det er intern dissipasjon av energi, vil rotasjonsenergien avta. Rotasjonsenergien er minst når legemet spinner om aksen med størst treghetsmoment. Dersom legemet initielt roterer om en annen akse enn den aksen som har størst treghetsmoment, vil orienteringen endre seg slik at rotasjonen til slutt blir om aksen med størst treghetsmoment. Siden det ikke virker eksterne momenter på legemet, vil spinnvektoren ha konstant størrelse og retning, og orienteringen må følgelig endre seg. E) For et legeme som er symmetrisk (, [, \, sier vi at legemet nuterer når spinnvektoren ikke sammenfaller med symmetriaksen. Se figuren under, der 2 angir nutasjonsvinkelen. F) Det er kun mulig å oppnå demping av nutasjon vha. et passivt system dersom spinnaksen er sammenfallende med aksen med størst treghetsmoment. Dersom det benyttes et aktivt system, f.eks. et hjul med en spenningsstyrt likestrømsmotor, vil det ikke lenger være begrensninger på valg av spinnakse. G) Antar at de legemefaste aksene sammenfaller med hovedtreghetsaksene, og utleder ligningene for rotasjon i det legemefaste koordinatsystemet:

4 K, [ F [, \ F \,F, ] F ] F [ F \ F ],7 7 [ 7 \,7 K, K % F K 7 ], [ F [, \ F \, ] F ] F [ F \ F ], [ F [, \ F \, ] F ], [ F [ F \ F ] Ÿ, ] ", \, \ F \ F ] F [ Ÿ, [ ", ], ] F ] F [ F \ Ÿ, \ ", [ F [ "F \ F ] Ÿ, ] ", \ /, [ F \ "F ] F [ Ÿ, [ ", ] /, \ F ] "F [ F \ Ÿ, \ ", [ /, ] 2SSJDYH (%) D) Se figuren under. En positiv rotasjon - om M gir en endring GL aksene, finnes følgende sammenheng F L GM GN N " M, F M " GL N GN L, F N GL M " GM GL G- L G- "NF M, slik at F M " GL N. Ved bruk av samme fremgangsmåte om de andre 1 E) Det kan vises at F L Y ŸY U for en generell bane. Vektoren ŸY U er vinkelrett på både Y og U. Dermed blir Y ŸY U q. U Y U F) For en sirkulær bane er Y vinkelrett på U, dvs.u Y og ved innsetting får vi da F M 1 U 2 YU U2 Y Y Y U F. I en Keplersk bane er det ingen akselerasjoner ut av planet, dvs. U ligger i samme plan som U, og følgelig må U U ha en komponent vinkelrett på planet. Videre vil ŸY U være vinkelrett på både U og Y, som ligger i samme plan, og følgelig vinkelrett på planet. Vektoren U ŸY U ligger dermed i planet, og U U U ŸY U q. G) Komponentene i vinkelhastighetsvektoren blir Z 5, F 7.

5 2SSJDYH (%) D) 7 % % ] "% \ "% ] % [ % \ "% [ [ \ ] % ] \ " % \ ] "% ] [ % [ ] % \ [ " % [ \ E) Nei, det er generelt ikke mulig å oppnå stabilisering om alle 3 akser. Dette ser vi matematisk ved at matrisen foran over er singulær, slik at det ikke er mulig å regne ut en entydig for et gitt ønsket moment 7. Rent fysisk forstår vi at dette kan være tilfelle fordi 7 er resultatet av et kryssprodukt, slik at T alltid er vinkelrett på % og. Det vil følgelig ikke være mulig å generere et moment i retning av %. Vektoren kan vi (med unntak av metninger) manipulere fritt, mens % er fast for en gitt plassering i banen. F) Dersom vi antar at at er vinkelrett på %,fårvi% 7 F % Ÿ % Ÿ% % " Ÿ% % % 2,så Ÿ% 7 F /% 2 G) Ved utregning finner vi 7 % %sin ).5% / Ÿ "6 Nm. Det magnetiske systemet kan ikke motvirke forstyrrelsen. 2SSJDYH (%) D) Differensialligningene blir nå 7 G[ 7 F[ NC 7 G\ 7 F\ N2 7 G] 7 F] NE dvs. 3 dekoblede andreordens differensialigninger. Det er ikke mulig å få til gravitasjonsbasert stabilisering, siden denne i utgangspunktet baserer seg på at det er signifikant forskjell i treghetsmomentene. E) Den mest naturlige fremgangsmåten er å benytte tre dekoblede PID-regulatorer, slik at f.eks. W G 7 F[. S[ ŸE G " E. G[ ŸE G " E. L[ ; ŸE G " E Tilsvarende for de to andre vinklene. Merk at det ikke holder med PD-regulator dersom en ønsker null stasjonært avvik når det virker forstyrrelser på satellitten.

6 F) Modellen kan ikke brukes fordi den er basert på en linearisering av den fulle ulineære modellen om et arbeidspunkt, og kun gyldig for små avvik, dvs. små og saktevarierende vinkler. Den vil derfor ikke gi en god nok beskrivelse av det virkelige systemet når det blir snakk om store og hurtige endringer. G) Dette kan gjøres ved å la rotasjonen foregå om Euler-aksen. Det beregnes en avviksmatrise $ ( for forskjellen mellom nåværende og ønsket orientering, og parametre fra denne benyttes i de tre regulatorene, slik at rotasjonen ikke foregår om de tre aksene som definerer Euler-vinklene, menom Euler-aksen. Regulatoren blir nå eksempelvis (kan evt. ta med I-ledd også): 7 F[ ". S[ ŸD 32( " D 23(. G[ S