EKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy

Transkript

1 + *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy

2 Tid: Fredag , kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 4 sider (derav 1 side med formler) og 5 oppgaver. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf Oppgavenes vekt er angitt i prosent av total poengsum.

3 Side 2 av 4 D) Gjengi Keplar s tre empiriske lover for planetbevegelser. E) Skriv opp den generelle sammenhengen mellom U og 2 for legemer i Keplarske baner. Forklar hva de ulike parametrene i ligningen er (gjerne med en skisse). F) Utled et matematisk uttrykk for unnslippelseshastigheten som er nødvendig for å forlate en parabolsk bane. Hvilken sammenheng er det mellom denne hastigheten og hastigheten i en sirkulær bane? G) Anta at en satellitt befinner seg i en bane av Molniya-typen, med apogeumshøyde km og perigeumshøyde 500 km. Operasjonsområdet er o35 ( fra apogeum. Beregn operasjonstiden. D) Tegn en skisse av de koordinatsystemer som benyttes, og definer de klassiske baneparametre for et legeme i bane rundt jorden. E) Anta at høyden av perigeum til banen for en satellitt ønskes endret. Forklar hvordan dette kan gjøres, og utled et uttrykk for den nødvendige hastighetsendringen. F) Anta at en skal overføre en satellitt fra én elliptisk bane til en annen elliptisk bane. De to banene har ingen felles punkter, men ligger i samme plan. Tegn en skisse og forklar hvordan dette gjøres. G) Utled de dynamiske bevegelseligninger som gjelder for et stivt legeme som roterer fritt uten ytre påvirkninger relativt et inertielt referansesystem. D) Anta at det benyttes Eulervinkler for å beskrive orienteringen av et romfartøy relativt et banefast referansesystem. Sett opp matriseligningen (med alle elementer i matrisene) for rotasjonsmatrisen som transformerer vektorer fra det legemefaste koordinatsystemet til det banefaste referansesystemet når rotasjonsrekkefølgen (relativt det banefaste systemet) E v 2 v C benyttes. Du behøver ikke regne ut komponentene i den resulterende matrisen. E) Sett opp matriseligningen (med alle elementer i matrisene, du behøver ikke regne ut det endelige resultatet) for transformasjonen mellom deriverte av Eulervinkler (2,C,E ) og legemefaste rotasjonshastigheter (S,T,U for rotasjonsrekkefølgen E v 2 v C. Er sammenhengen mellom (S, T, U og (2, C, E ) alltid entydig? Forklar. F) Forklar hva som menes med retningscosinusmatrisen. Illustrer med en skisse. G) Forklar hva man mener med begrepet NYDWHUQLRQHU. Hvilke fordeler har bruk av kvaternioner fremfor andre parametre for beskrivelse av orienteringen til et stivt legeme?

4 Side 3 av 4 D) Forklar hva man mener med hovedtreghetsakser for et stivt legeme. Hvilke fordeler gir bruk av hovedakser ved analyse av bevegelsen til et slikt legeme? E) Anta at et koordinatsystem er festet til et legeme med en vilkårlig orientering relativt hovedtreghetsaksene. En ønsker å reorientere koordinataksene slik at de nye aksene sammenfaller med hovedtreghetsaksene. Treghetsmatrisen for legemet er opprinnelig beregnet til å være, 16 "5 0 " Beregn rotasjonmatrisen som roterer en vektor fra det originale koordinatsystemet til det nye systemet. Angi hvilke vinkler og akser det originale systemet må roteres om for å falle sammen med hovedtreghetsaksene. Nms 2 2SSJDYH ( %) Bevegelsesligningene for en gravitasjonsstabilisert satellitt i sirkulær bane rundt jorden er gitt på generell form som: 7 G[ 7 F[, [ C 4F 0 2 Ÿ, \ ", ] C F 0 Ÿ, \ ", ] ", [ E K Z[ " F 0 K Z] " E K Z\0 " CF 0 K Z\0 7 G\ 7 F\, \ 2 3F 0 2 Ÿ, [ ", ] 2 K Z\ 7 G] 7 F], ] E F 0 Ÿ, ], [ ", \ C F 0 2 Ÿ, \ ", [ K Z] F 0 K Z[ C K Z\0 " EF 0 K Z\0 D) Er dette en eksakt matematisk modell av satellittens dynamikk? Forklar. E) Hva betyr de ulike symbolene som er benyttet i modellen? F) Hvordan vil tidsforløpene for CŸW, 2ŸW og EŸW se ut dersom det bare benyttes gravitasjonsbasert stabilisering? Forslå løsninger på eventuelle problemer. G) Angi et regulatorstruktur for aktiv styring av Eulervinklene.

5 Side 4 av 4 Formelsamling og parametre

6 Totalenergi for enhetsmasse: ŸY 2 /2 Ÿ6/U " Ÿ6/2D Rakettligningen: " 9/ŸJ, VS P I P L e Ellipsen: $ =DE, H ŸU D " U S /ŸU D U S, D ŸU D U S /2, E D 1 " H 2 Inverst kvadratisk kraftfelt: ) *P 1 P 2 /U 3 U Keplar s tidsligning: ŸW " W S Ÿ2=/7 ŸW " W S Q 0 E " Hsin E Keplar s tredje lov: 7 2= D 3 /6 2=/Q Sann og eksentrisk anomali: cosÿe H cosÿ2 / 1 HcosŸ2,sinŸE sinÿ2 1 " H 2 / 1 HcosŸ2 Differansen av to vinkler: sinÿ) " * sin ) cos* " cos)sin * Tilnærming: e [ X 1 [ for små [ Vektoridentitet: $ Ÿ% $ Ÿ$ $ % " Ÿ$ % $ Laplace-transformasjonen: L \ŸW <ŸV L \ŸW V<ŸV " \Ÿ0 L ¹ŸW V 2 <ŸV " V\Ÿ0 " \Ÿ0 L "1 1/V Q W Q"1 /ŸQ " 1!, (Q 1,2,3,... L "1 1/ŸV " D Q W Q"1 H DW /ŸQ " 1!, (Q 1,2, 3,... L "1 1/ŸV 2 F 2 Ÿ1/F sinÿfw L "1 1/ŸŸV " D 2 F 2 Ÿ1/F H DW sinÿfw L "1 V/ŸV 2 F 2 cosÿfw L "1 1/ŸV 3 VF 2 Ÿ1/F 2 1 " cosÿfw L "1 1/ŸV 4 V 2 F 2 Ÿ1/F 3 FW " sinÿfw Gravitasjonskonstanten: * "11 m 3 /kg-s 2 Jordas masse: 0 Jordas gravitasjonskonstant: 6 * km 3 /s 3 Midlere jordradius: 6378 km