,QQOHGQLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ
|
|
- Torbjørn Bjerke
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 3-1/ )DJ 67( 6W\LQJ DY RPIDW \ / VQLQJVIRVODJ WLO YLQJ,QQOHGQLQJ Der det er angitt referanser, er det underforstått at dette er til sider, figurer, ligninger, tabeller etc., i læreboken, dersom andre referanser ikke er gitt eksplisitt. SSJDYH. Se udelt notat (Kaplan, 1976). Det er to fremgangsmåter for å vise dette meget viktige resultatet. Den første går ut på å dekomponere vektoren i systemet som roterer, slik at (se Figur 1.8 i notatet) % [L + \M + ]N derivasjon relativt det inertielle systemet, gir %, [%L + \%M + N +[L % +\M % +]N % Nå gjenstår det bare å innse at enhetsvektorene L,M,N kun kan ha en endring som følge av rotasjonen g, som er vinkelrett både på enhetsvektoren og rotasjonsvektoren, altså f.eks. L % g ¼ L. Dette innser en lett dersom rotasjonen foregår om en av aksene L, M eller N. Litt verre blir det dersom rotasjonsvektoren ikke er vinkelrett på aksene, men også i dette tilfellet vil en kunne innse at påstanden stemmer, se eventuelt nedenfor. Dermed får en %, G + g ¼ GW % der subskript % indikerer derivasjon relativt det roterende systemet. En må passe på at samme koordinatsystem benyttes ved addisjon av vektorer G på komponentform. Slik beregningene er utført over, vil en altså komme frem til % derivert relativt,, men dersom vektorene, g, og er GW % dekomponert i %, vil den deriverte være uttrykt i %. Denne vektoren kan imidlertid roteres til et hvilket som helst system, og får da komponenter med andre verdier. Den andre fremgangsmåte for å vise dette resultatet er ved å betrakte grenseverdien for endringen i en konstant vektor pga. rotasjon g når AW, dvs.
2 G Â +AÃ? lim GW AW AW lim AW A AW Har videre A ASÂ sin dã, se Figur 1.9 i notatet. Enhetsvektoren er parallell med A,ogd er vinkelen mellom og g.vedå sette A Â sin dã AW AS AW og beregne grenseverdien når AW, finner en G limâ sin dã AS gâ sin dã g ¼ GW AW AW Dersom ikke er konstant må den deriverte av i %, dvs. bidraget som ikke skyldes rotasjonen, adderes til uttrykket ovenfor, dvs. G GW, % % +g ¼ Denne fremgangsmåten egner seg kanskje best for å utlede den deriverte av konstante enhetsvektorer pga. rotasjon, som over.. La g Ä,g \,Å 7, L Ä[ L,\ L,] LÅ L ¼ Âg ¼ L Ã [ L \ L ¼ ] L g \ ¼ [ L \ L ] L Â\ L + ] L Ã? \ L g \ [ L? ] L [ L g \ Â] L + [ L Ã? ] L \ L? [ L \ L Â[ L + \ L Ã? [ L ] L? \ L g \ ] L Summasjon over L gir nå (4..7).. Se Avsnitt Med hovedtreghetsakser mener man et sett av akser i et ortogonalt referansesystem, som er orientert slik i et stivt legeme at dersom en beregner krysstreghetsmomentene, ]\,, [] og, \[ i dette systemet, så vil disse være lik null, dvs. at treghetsmatrisen er diagonal (kun, [[,, \\ og, ]] er ulik null). Origo i aksesystemet er i massesenteret til legemet. Fra ethvert aksesystem med origo i legemets massesenter kan en ved rotasjon av systemet komme frem til en orientering som medførere at aksene blir hovedtreghetsakser. Ved å benytte hovedtreghetsakser oppnår en at bevegelsesligningene forenkles, siden kryssleddene faller bort.
3 4?. Beregner egenverdiene og egenvektorene til matrisen Ä,Å :? 6, 4 Egenverdier:, [[ 4,, \\ ,, ]] 5? 1 5.Transformasjonsmatrise med tilsvarende egenvektorer: Â 1? 1 5 Ã/Â 1 1? 5 Ã Â Ã/Â Ã Ä$Å 1/Â 1 1? 5 Ã 1/Â Ã 1. Sjekker at Ä$Å 7 Ä,ÅÄ$Å er lik matrisen med hovedtreghetsmomenter på diagonalen tilsvarende egenverdiene: 1 1? 1 5 1? ? ?? 6 4 Â 1? 1 5 Ã/Â 1 1? 5 Ã Â Ã/Â Ã 1/Â 1 1? 5 Ã 1/Â Ã ? 1 5. Se s. 94 ligning (4.4.11)-(4.4.1). Anta at spinnet, rotasjonenergien og treghetsmomentene for et roterende legeme er gitt. Ellipsoiden som følger av ligningen for rotasjonsenergi representerer alle mulige vinkelhastigheter som gir en bestemt verdi av rotasjonsenergien. Tilsvarende gir ellipsoiden som følger av uttrykket for spinnet alle mulige vinkelhastigheter som gir en bestemt verdi av spinnet. Det er åpenbart at de to ligningene må tilfredstilles samtidig, hvilket betyr at skjæringskurven mellom ellipsoidene (polhode) definerer alle mulige vinkelhastigheter for en gitt energi og et gitt spinn, se Figur Dersom en i tillegg definerer treghetselliopsoiden, vil tre ellipsoider definere alle mulige verdier av treghetsmomenter om rotasjonaksen og vinkelhastigheter for legemet.. Har
4 , [ [ K, \ g \,g, ] g \, \, K %, K % % + g ¼ K ] Får nå [ \ ], [ g% [, \ g% \ +, ] g% ] g \ ¼, [, \ g \, ], [ g% [ + g \ Â, ]?, \ Ã, \ g% \ + Â, [?, ] Ã, ] g% ] + g \ Â, \?, [ Ã. Se Avsnitt Treghetsmomentene må tilfredstille et innbyrdes størrelsesforhold for at rotasjonsbevegelsen skal være stabil om en akse. Spesielt er det i Avsnitt 4.5. vist at dersom rotasjonen om en akse skal være stabil, må denne aksen ha det største eller det minste treghetsmomentet. I Avsnitt er det så vist at dersom det foregår dissipasjon av energi, må rotasjonen være om den aksen som har størst treghetsmoment for at bevegelsen skal være stabil. Dersom rotasjonen ikke foregår om den aksen som har størst treghetsmoment, vil rotasjonaksen for legemet endre seg, slik at rotasjonen til slutt foregår om aksen med størst treghetsmoment. Dette er av stor betydning f.eks. for spinnstabiliserte satellitter, der slik rotasjonsustabilitet har ført til bortfall av kommunikasjon med bakken, med tap av satellitten som følge.. Se Avsnitt og Figur Nutasjon er en rotasjonbevegelse der rotasjonsaksen ikke er sammenfallende med en hovedakse. Merk at hovedaksene til legemet er definert av massedistribusjonen, og har følgelig en konstant orientering i legemet. Orienteringen av aksene til det legemefaste koordinatsystemet kan velges fritt. Nutasjonsvinkelen er definert som vinkelen mellom den fysiske (geometriske) %?aksen i det legemefaste koordinatsystemet og spinnaksen K.Både %?aksen og rotasjonsaksen g roterer om K som har konstant orientering i rommet. Ved dissipasjon av energi vil nutasjonsvinkelen endre seg, slik at rotasjonen til slutt foregår om den aksen som har størst treghetsmoment. Det finnes to andre typer rotasjonbevegelse. Ren rotasjon defineres som en rotasjonbevegelse der en hovedakse, rotasjonaksen og den fysiske aksen i det legemefaste koordinatsystemet har sammen orientering, mens koning er en rotasjonsbevegelse der den fysiske aksen ikke er sammenfallende med en hovedakse. Koning skyldes altså en feilorientering av det valgte legemefaste koordinatsystemet.. Se Avsnitt 4.7. og Figur Det benyttes et inertielt referansesystem med origo i jordas massesenter. Et annet koordinatsystem følger satellitten i banen rundt jorda, har origo i satellittens massesenter og 5 -aksen pekende mot jordas massesenter, mens ; 5 -aksen peker langs banehastighetsvektoren. Et tredje koordinatsystem er fast i satellitten med origo i massesenteret. De to siste koordinatsystemne har samme origo men ikke nødvendigvis samme orientering. Orienteringen av det legemefaste systemet relativt det banefaste systemet beskrives med Eulervinkler, rotasjonsmatriser eller kvaternioner. Det banefaste systemet endrer orientering som følge av rotasjonen rundt jorda, mens det legemefaste systemet endrer orientering som følge av krefter (forstyrrelser, pådrag) som virker på satellitten.. Rotasjonene S, d,ogf er om rotasjonsaksene <, ; og. Må beregne rotasjonsmatrisen Ä$ Sdf Å gitt av
5 cosf sin f 1 coss? sin S? sin f cosf cosd sin d 1 1? sin d cosd sin S coss cosfcoss + sin fsin d sin S sin fcosd? cosfsin S + sin fsin d coss? sin fcoss + cosfsin d sin S cosfcosd sin fsin S + cosfsin d coss cosdsin S? sin d cosdcoss. Se s. 13. S cosfcoss + sin fsin d sin S sin fcosd? cosfsin S + sin fsin d coss T? sin fcoss + cosfsin d sin S cosfcosd sin fsin S + cosfsin d coss cosdsin S? sin d cosdcoss S% cosf sin f 1 d% cosf sin f +? sin f cosf cosd sin d +? sin f cosf 1? sin d cosd 1 f% S T Âsin fcosdãs% + ÂcosfÃd% ÂcosfcosdÃS%? Âsin fãd% cosf sin fcosd? sin f cosfcosd d% S%?Âsin dãs% + f%? sin d 1 f%. En kinematisk singularitet er en kombinasjon av vinkler som medfører at transformasjonen mellom deriverte av Eulervinkler og legemefaste vinkelhastigheter ikke har noen invers. d% S% f% cosf? sin f sin f cos d Âsin fã sin d cos d cos f cos d Âcosfà sin d cos d 1 S T Transformasjonen har en singularitet for d 9 R 18 R. En kan altså ikke beregne de deriverte av Eulervinklene utfra vinkelhastigheten S, T,
6 for denne orienteringen. Ved regulering av satellitter er det ikke holdbart at noen av de variable en benytter i regulatoren, i dette tilfellet vinkelhastighetene, plutselig går mot uendelig og dermed medfører numeriske problemer. Slike singulariteter vanskeliggjør også beregning av vinkler utfra vinkelhastigheter.. En kan unngå problemer med singulariteter i hastighetstransformasjonene ved å benytte en 4 parameterbeskrivelse som f.eks. kvaternioner, eller ved å benytte to sett av Eulervinkler med singulariteter for to forskjellige vinkler, og så bytte mellom beskrivelsene når en vinkel nærmer seg en singularitet. En kan også klare seg med en rotasjonsbeskrivelse som gir en singularitet, dersom en bare passer på at legemet aldri kommer i en orientering tilsvarende en singularitet.dette kan imidlertid være vanskelig for raketter, fly (spesielt jagerfly), satellitter og undervannsbåter.. Se ligning (4.8.) i Avsnitt 4.8., samt ligning (4..8). Ta utgangspunkt i spinnsatsen som vist i (4.8.1). Del opp momentvektoren i to komponenter som representerer henholdsvis forstyrrende momenter og pådrag fra regulatorer. Del også opp spinnvektoren i to deler, som representerer spinnet til det stive legemet og spinnet til eventuelle reaksjonshjul. Merk at en ofte velger å ta med dette bidraget fra reaksjonshjul som en del av spinnet, istdenfor å ta med momentet som genereres av hjulene i pådragsvektoren. Momentet som følge av gravitasjonkreftene er gitt i ligning (4.8.8). Dette er en del av forstyrrelsene som det er naturlig å ta med ved utledning av bevegelsesligningene. Sammenhengen mellom spinnvektoren, vinkelhastighetene og treghetsmomentene er gitt i ligning (4..8). Merk at det er vinkelhastighetene relativt det inertielle systemet som må benyttes (husk at spinnsatsen er utledet av Newtons. lov, som forutsetter at referansesystemet er inertielt). Spinnet til eventuelle reaksjonshjul er lik produktet av treghetsmomentet til hjulet og rotasjonshastigheten. En velger å utvikle bevegelsesligningene i det legemefaste systemet, fordi det i dette systemet er lettest å beskrive kreftene som virker på satellitten. Da må en passe på at kryssleddet i (4.8.1) tas med, og at korrekte vinkelhastigheter benyttes.. Se ligning (4.8.1) -(4.8.13) i Avsnitt I ligning (4.8.1) er den lineariserte versjonen av rotasjonsmatrisen benyttet, og lineariseringen er basert på at Eulervinklene er små, slik at cosj u 1, sinj u J. En antar også at andreordens ledd er tilnærmet lik null, f.eks. sinjsin K u JK u. Den ulineære versjonen av rotasjonsmatrisen er gitt av (4.7.3), dersom en velger rotasjonsrekkefølgen f S d. Matrisen for andre kombinasjoner finnes i Appendiks A. Merk forøvrig at den lineariserte versjonen av rotasjonsmatrisen er den samme uansett valg av rotasjonrekkefølge, dvs. Ä$ JKL Å 1 f?s?f 1 d S?d 1 Vinkelhastigheten til banereferansesystemet (relativt det inertielle systemet) må først roteres til det legemfaste systemet:
7 g 5,%[ g 5,%\ g 5,%] cosscosf cosssin f? sin S? cosdsin f + sin d sin S cosf cosdcosf + sin d sin S sin f sin d coss sin d sin f + cosdsin S cosf? sin d cosf + cosdsin S sin f cosdcoss?g?âsin fcossãg?âcosfcosd + sin fsin d sin SÃg?Â? cosfsin d + cosdsin S sin fãg Må dessuten ta med bidraget fra rotasjon av det legemefaste systemet relativt banereferansesystemet: S g 5,%[ g \ T + g 5,%\ g 5,%] Følgende sammenheng gjelder også: S T d%? f% sin S S% cosd + f% cosssin d f% cosscosd? S% sin d Får nå d%? f% sin S?Âsin fcossãg g \ S% cosd + f% cosssin d f% cosscosd? S% sin d +?Âcosfcosd + sin fsin d sin SÃg?Â? cosfsin d + cosdsin S sin fãg d%? f% sin S? Âsin fcossãg S% cosd + f% cosssin d? g cosfcosd? g sin fsin d sin S f% cosscosd? Âsin dãs% + g cosfsin d? g cosdsin S sin f
8 . Se ligning (4.8.14) i Avsnitt Først må momentkomponentene som følge av gravitasjonskreftene lineariseres. Resultatet er gitt i ligning (4.8.9). Deretter må de kinematiske differensialligningene lineariseres, se ligning (4.8.1). Merk at produkter av små størrelser antas å være tilnærmet lik null, f.eks. f% sin S u f% S u. Innsetting i (4.8.) med bruk av (4..8) og de kinematisk differensialligningene gir nå (4.8.14).. Orienteringen kan styres ved å manipulere pådragene i vektoren 7 F (dvs. ved å aktivere raketter, magnetspoler, etc. ). En annen mulighet er å endre vinkelhastigheten til reaksjonshjulene, dvs. ved å endre K Z. Dette medfører at moment genereres fra momenthjulene på satellitten. Pådragene beregnes av en eller annen regulator på basis av målte eller estimerte vinkler og vinkelhastigheter. Ved regulatorutvikling er det vanlig å anta at vinkelutslagene er ganske små, slik at bevegelsesligningene kan antas å være lineære. nder denne forutsetningen kan en dekoblet PD-regulator benyttes til stabilisering (dvs. at referansen for vinkelhastighetene er lik null), slik at 7 F[. [ Âd FRP? dã +. [G d% 7 F\. \ ÂS FRP? SÃ +. \G S% 7 F]. ] Âf FRP? fã +. ]G f% Pådraget 7 representerer her en momentvektor som må oversettes til fysiske pådrag for ulike thrustere. Dersom en benytter reaksjonhjul må pådraget f.eks. oversettes til en endring i rotasjonshastigheter for hjulene. Det kan også hende at en kraften/momentet fra thrusterne ikke er parallelle med de tre aksene, og da må en vha. en algortime bestemme hvilke fysiske pådrag en gitt momentvektor skal gi for de ulike thrusterne. Dette kalles pådragsallokasjon. Det kan f.eks. være mange mulige kombinasjoner av fysiske pådrag som gir den samme momentvektoren, og en må da avgjøre hvilke pådrag en skal benytte ut fra et eller annet kriterium, f.eks. energioptimalisering. En kan også benytte andre regulatorer (LQ dvs. optimale multivariable regulatorer). Det er også mulig å utvikle regulatorer basert på de ulineære bevegelsesligningene og ulineær reguleringsteori (linearisering ved tilbakekobling, passivitetstoeri, rekursiv Lyapunov analyse, fuzzy regulering, osv.). Disse regulatorene er forholdsvis lite utprøvd i praksis for satellitter, selv om styring av satellitter er et benchmark problem for utvikling av nye reguleringsteori. De fleste anvente reguleringsstrategier er basert på kjente prinsipper som har vært utprøvd over lang tid, og det er svært vanskelig å få innført nye reguleringstrategier. Dette gjelder forøvrig også i flyindustrien. Det tar lang tid å få godkjent nye reguleringstrategier og det er dyrt. Derfor baserer en seg ofte på bruk av kjente prinsipper, slik at en ikke risikerer tap av kostbart utstyr pga. ukjente fenomener som ikke er forutsatt (jfr. tap av de første gravitasjonsstabiliserte satellitter pga. forhold en ikke hadde forutsett).
KONTINUASJONSEKSAMEN Tirsdag 07.05.2002 STE 6159 Styring av romfartøy Løsningsforslag
+ *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT KONTINUASJONSEKSAMEN Tirsdag 7.5.22 STE 6159 Styring av romfartøy Løsningsforslag 2SSJDYH (%) D) Kvaternioner benyttes
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 4 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Tirsdag 18.01.2005,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Torsdag 14.1.24,
DetaljerEKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122
Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 5 EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122 Tid: Fredag 16.02.2001, kl: 09:00-14:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator,
DetaljerLØSNING TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNING TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Onsdag 17.01.2007, kl: 09:00-12:00
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy
+ *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 4 KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy Tid: Tirsdag 07.05.2002, kl: 09:00-12:00 Tillatte
Detaljer,QQOHGQLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ
3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ,QQOHGQLQJ Der det er angitt referanser, er det underforstått at dette er til sider, figurer, ligninger, tabeller etc., i læreboken, dersom andre
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Fredag 21.10.2005, kl: 09:00-12:00
DetaljerKORT INTRODUKSJON TIL TENSORER
KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Fredag 15.12.2006, kl: 09:00-12:00
DetaljerEmne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser
Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes
DetaljerAvdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT. Løsningsforslag til eksamen i STE6122 Styring av romfartøy Fredag 16.02.2001
Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Løsningsforslag til eksamen i STE6122 Styring av romfartøy Fredag 16.02.2001 (%) ) : Med Keplarske baner mener man baner til legemer som beveger seg i et
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy. Kontinuasjonseksamen
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 4 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Kontinuasjonseksamen Tid:
DetaljerFYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014
FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
DetaljerEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy
+ *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy Tid: Fredag 08.02.2002, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154
side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2010
Side av Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek våren Oppgave (Denne oppgaven teller dobbelt) Ole og Mari vil prøve om lengdekontraksjon virkelig finner sted. Mari setter seg i sitt romskip og kjører forbi Ole,
DetaljerForelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling
Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: Tirsdag, 3. juni 2014 Tid for eksamen: kl. 9:00 13:00 Oppgavesettet omfatter 6 oppgaver på 4 sider
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerFORSØK MED ROTERENDE SYSTEMER
FORSØK MED ROTERENDE SYSTEMER Laboratorieøvelsen består av 3 forsøk. Forsøk 1: Bestemmelse av treghetsmomentet til roterende punktmasser Hensikt Hensikt med dette forsøket er å bestemme treghetsmomentet
DetaljerCorioliskraften. Forsøk på å forstå et eksotisk fenomen Arnt Inge Vistnes, 27. mars 2006
1 Corioliskraften Forsøk på å forstå et eksotisk fenomen Arnt Inge Vistnes, 27. mars 2006 Fiktive krefter I FYS-MEK/F1110 lærer vi om hvorfor det kan være praktisk å innføre fiktive krefter i visse sammenhenger.
DetaljerStivt legemers dynamikk
Stivt legemers dnamikk 3.04.04 FYS-MEK 0 3.04.04 kraftmoment: O r F O rf sin F F R r F T F sin r sin O kraftarm N for rotasjoner: O, for et stivt legeme med treghetsmoment translasjon og rotasjon: F et
DetaljerNORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER
NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER SIE 3080 STOKASTISKE OG ADAPTIVE SYSTEMER Oddvar Hallingstad 0. februar 00 Vi skal her utlede noen nyttige formler for arbeidet med kovariansmatriser
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerSykloide (et punkt på felgen ved rulling)
Kap. 9+10 Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ Spinn (dreieimpuls):
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110/Fys-mef1110 høsten 2007
Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek0/Fys-mef0 høsten 007 Side av 9 Oppgave a) En kule ruller med konstant hastighet bortover et horisontalt bord Gjør rede for og tegn inn kreftene som virker på kulen Det
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerFYSMEK1110 Eksamensverksted 31. Mai 2017 (basert på eksamen 2004, 2013, 2014, 2015,)
YSMEK1110 Eksamensverksted 31. Mai 2017 (basert på eksamen 2004, 2013, 2014, 2015,) Oppgave 1 (2014), 10 poeng To koordinatsystemer og er orientert slik at tilsvarende akser peker i samme retning. System
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerEmne 6. Lineære transformasjoner. Del 1
Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter
DetaljerKrefter, Newtons lover, dreiemoment
Krefter, Newtons lover, dreiemoment Tor Nordam 13. september 2007 Krefter er vektorer En ting som beveger seg har en hastighet. Hastighet er en vektor, som vi vanligvis skriver v. Hastighetsvektoren har
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerDel 1. Skisse av reguleringsteknisk system
Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Øving 1, løsningsforslag v2 Revidert sist Fredrik Dessen 2017-09-07 Del 1. Skisse av reguleringsteknisk system Den såkalte cruisekontrollen
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerStivt legemers dynamikk
Stivt legemers dynamikk.4.4 FYS-MEK.4.4 Forelesning Tempoet i forelesningene er: Presentasjonene er klare og bra strukturert. Jeg ønsker mer bruk av tavlen og mindre bruk av powerpoint. 6 35 5 5 3 4 3
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerGENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 0 Eksamensdag: 3 juni 205 Tid for eksamen: 4:30 8:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg: Formelark Tillatte
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerArbeidsoppgaver i vektorregning
Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE Njål Gulbrandsen / Ole Meyer /
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: 21.2.2017 Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige
DetaljerElektrisk potensial/potensiell energi
Elektrisk potensial/potensiell energi. Figuren viser et uniformt elektrisk felt E heltrukne linjer. Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke? A. B. C. 3 D. 4 E. Det endrer seg langs alle
Detaljer7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet
7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 0 Eksamensdag: juni 208 Tid for eksamen: 09:00 3:00 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark Tillatte
DetaljerKap Rotasjon av stive legemer
Kap. 9+10 Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ Rulling Spinn
DetaljerFiktive krefter. Gravitasjon og planetenes bevegelser
iktive krefter Gravitasjon og planetenes bevegelser 30.04.014 YS-MEK 1110 30.04.014 1 Sentrifugalkraft inertialsystem S f G N friksjon mellom passasjer og sete sentripetalkraft passasjer beveger seg i
DetaljerProsjektoppgave i FYS-MEK 1110
Prosjektoppgave i FYS-MEK 1110 03.05.2005 Kari Alterskjær Gruppe 1 Prosjektoppgave i FYS-MEK 1110 våren 2005 Hensikten med prosjektoppgaven er å studere Jordas bevegelse rundt sola og beregne bevegelsen
Detaljera. Hva er de inverse transformasjonene avfølgende tre transformasjoner T, R og S: θ θ sin( ) cos( ) Fasit: 1 s x cos( θ) sin( θ) 0 0 y y z
Kommentar: Svar kort og konsist. Husk at eksamen har tre oppgaver. Poengene for hver (del-) oppgave bør gi en indikasjon på hvor me tid som bør benttes per oppgave. Oppgave 1: Forskjellige emner (40 poeng)
DetaljerTFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Test 5.
TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Test 5. Oppgave 1 CO 2 -molekylet er linert, O = C = O, med CO bindingslengde (ca) 1.16 A. (1 A = 10 10 m.) Praktisk talt hele massen til hvert atom er samlet
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001
side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 Eksamen i : Fys-1001 Mekanikk Eksamensdato : 06.12.2012 Tid : 09.00-13.00 Sted : Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK1110 Eksamensdag: Onsdag 6. juni 2012 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Detaljerr+r TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag
TFY4104 Fysikk Eksamenstrening: Løsningsforslag 1) I oljebransjen tilsvarer 1 fat ca 0.159 m 3. I går var prisen for WTI Crude Oil 97.44 US dollar pr fat. Hva er dette i norske kroner pr liter, når 1 NOK
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
Detaljer( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
DetaljerBrukerkurs i Gauss feilforplantning
Brukerkurs i Gauss feilforplantning Knut S. Gjerden 9. august 2011 evt. gaussisk feilforplantning eller bruk av Gauss lov for feilforplantning. Samt litt generelt om fysikkting.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: Onsdag, 5. juni 2013 Tid for eksamen: kl. 9:00 13:00 Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: formelark
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerFiktive krefter. Gravitasjon og ekvivalensprinsippet
iktive krefter Gravitasjon og ekvivalensprinsippet 09.05.016 YS-MEK 1110 09.05.016 1 Sentrifugalkraft inertialsystem S f G N friksjon mellom passasjer og sete sentripetalkraft passasjer beveger seg i en
DetaljerForelesning 14 Systemer av dierensiallikninger
Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2009
Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek våren 9 Side av 8 Oppgave a) Du skyver en kloss med konstant hastighet bortover et horisontalt bord. Identifiser kreftene på klossen og tegn et frilegemediagram for klossen.
DetaljerKinematikk i to og tre dimensjoner
Kinematikk i to og tre dimensjoner 2.2.217 Innleveringsfrist oblig 1: Mandag, 6.eb. kl.14 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Piazza
DetaljerKeplers lover. Statikk og likevekt
Keplers lover Statikk og likevekt 30.04.018 FYS-MEK 1110 30.04.018 1 Ekvivalensprinsippet gravitasjonskraft: gravitasjonell masse m m F G G r m G 1 F g G FG R Gm J J Newtons andre lov: inertialmasse m
Detaljer1 Mandag 22. februar 2010
1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
DetaljerKap Rotasjon av stive legemer
Kap. 9+10 Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rask rekap) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rask rekap) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment
DetaljerEKSAMEN. Informasjon om eksamen. Emnekode og -navn: ITD37018 Anvendt Robotteknikk. Dato og tid: , 3 timer. Faglærer: Haris Jasarevic
Informasjon om eksamen EKSAMEN Emnekode og -navn: ITD37018 Anvendt Robotteknikk Dato og tid: 10.12.18, 3 timer Faglærer: Haris Jasarevic Hjelpemidler: Ingen hjelpemidler tillatt Om oppgaven: Alle oppgavene
DetaljerFlervalgsoppgaver. Gruppeøving 8 Elektrisitet og magnetisme. 1. SI-enheten til magnetisk flukstetthet er tesla, som er ekvivalent med A. E.
Flervalgsoppgaver 1. SI-enheten til magnetisk flukstetthet er tesla, som er ekvivalent med A. N s C m B. N C s m C. N m s 2 D. C A s E. Wb m 2 Løsning: F = q v B gir [B] = N Cm/s = N s C m. 2. Et elektron
DetaljerOppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5
Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerKap Rotasjon av stive legemer
Kap. 9+10 Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rask rekap) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rask rekap) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment
DetaljerEksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):
DetaljerBestemmelse av skjærmodulen til stål
Bestemmelse av skjærmodulen til stål Rune Strandberg Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 9. oktober 2007 Sammendrag Skjærmodulen til stål har blitt bestemt ved en statisk og en dynamisk
DetaljerMAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 14 juni 2019 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark
DetaljerFasit MAT102 juni 2016
Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet
DetaljerRepetisjon
Repetisjon 1.5.13 FYS-MEK 111 1.5.13 1 Lorentz transformasjon x ( x t) y z y z t t 1 1 x transformasjon tilbake: omven fortegn for og bytte S og S x ( x t) y z y z t t x små hastighet : 1 og x t t x t
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9
Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 1
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig. januar 8 Her er løsningsforslag for Oblig som dreide seg om å friske opp en del grunnleggende matematikk. I tillegg finner dere til slutt et løsningsforslag
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven
DetaljerLøsningsforslag Fys-mek1110 V2012
Løsningsforslag Fys-mek1110 V01 Side 1 av 11 Oppgave 1 a) Et hjul ruller uten å skli bortover en flat, horisontal vei. Hjulet holder konstant hastighet. Tegn et frilegemediagram for hjulet. b) En lastebil
Detaljerx 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
DetaljerLøsningsskisse EKSAMEN i FYSIKK, 30. mai 2006
Løsningsskisse EKSAMEN i FYSIKK, 30. mai 2006 Oppgave 1. Flervalgsspørsmål Fasit 1. C 2. D 3. D 4. B 5. C 6. E 7. E 8. B 9. E 10. D 11. B 12. D Løsningsforslag Oppgave 2 a) Reversibel prosess: En prosess
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerF B L/2. d A. mg Mg F A. TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 6. Oppgave 1
TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2016. Løsningsforslag til øving 6. Oppgave 1 L/2 d A F A B F B L mg Stupebrettet er i ro, dvs vi har statisk likevekt. Det betyr at summen av alle krefter
Detaljer