Introduksjon (2) til R Matriser og matriseregning

Transkript

1 Introduksjon (2) til R Matriser og matriseregning Før vi ser nærmere på matriser skal vi laste ned data fra Statistikkbanken Statistisk sentralbyrå (SSB): Gå til Statistisk sentralbyrå Velg Statistikkbanken Velg + Befolkning og deretter + Fødte og døde, og så til Fødte >>. Velg tabell Levendefødte, etter mors alder. Kryss av for fylkesvis Hele landet. Sett hake for alle aldre og alle årstall. Deretter Vis tabell>> Kryss av for lagre som Excel. Rediger excel-filen fjern unødvendig tekst og alle headinger. Deretter lag en tekstfil (tab delimited) *.txt. Denne filen lagrer du i arbeidsdirektoriet for R (hjemmeområdet ditt). Deretter kan du lese den inn med read.table MB <- as.matrix(read.table("aldermorbarnv2.txt", header = FALSE)) head(mb) V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 [1,] [2,] [3,] Lager nye variabeloverskrifter, og definerer alder (age) og årstall (y). Bruk årstall avhengig av hva du laster ned fra SSB age <- 15:49 y <- 1972:2016 Setter navn på kolonner og rader: colnames(mb) <- y rownames(mb) <- age head(mb)

2 Bruker image() og konturplot contour (), filled.contour() image(age, y, MB, col = terrain.colors(12), ylab="årstall", xlab="mors alder ved første fødsel (år)") contour(age, y, MB, add = TRUE, labcex = 1) filled.contour(age, y, MB, ylab = "Årstall", xlab = "Mors alder ved første barn (år)") Fram til begynnelsen av 2000-tallet har mors alder økt ved førstegangsfødsel. Aldersstrukturen på populasjonen i Norge Gå til Statistisk sentralbyrå 2

3 Velg Statistikkbanken Velg Folketall og deretter Folkemengde og befolkningsendringer. Finn tabell Folkemengde, etter kjønn og ettårig alder. Velg Alder 1-årig. Hak av for alle aldre. Velg Kvinner og deretter alle årstall. Vis tabell og lagre den i Excel. Rediger Excel-filen ved å fjerne headinger på kolonner og rader som tidligere. Lagre den som tekstfil og les den inn i R: FK <- as.matrix(read.table("folkemettaarigkvinnerv2.txt", header = FALSE)) alder <- 0 : 105 årstall < : 2017 colnames(fk) <- årstall rownames(fk) <- alder image(alder, årstall, FK, col = terrain.colors(12), ylab = "Årstall", xlab = "Alder (år)", main = "Antall kvinner i Norge") contour(alder, årstall, FK, add = TRUE, labcex = 1) filled.contour(alder, årstall, FK, ylab = "Årstall", xlab = "Alder(år)", main = "Antall kvinner i Norge") 3

4 Årsklassen 105 år betyr 105 år og eldre. Legg merke til færre fødsler under andre verdenskrigog på 1980-tallet, samt stadig økende levealder. Tilsvarende kan gjøres for Menn, hvor man får omtrent samme resultat, men hvor man kan se at nå har det for første gang blitt flere menn enn kvinner i Norge, vesentlig grunnet immigrasjon. Lag et plot med årstall på x-aksen og summen av kolonnene på y-aksen. Denne figuren viser antall kvinner i Norge plot(1846 : 2017, colsums(fk), type = "l", lwd = 4, col = 2, xlab = "Årstall", ylab = "Antall kvinner i Norge") Antall gutter og jenter født i Norge Gitt til slutteksamen H2016 Gå til Statistisk sentralbyrå Velg Statistikkbanken, Befolkning, Fødte og døde, Fødte og 4

5 tabell 04231: Levendefødte, etter kjønn Sett hake for hele landet, Gutt og jenter, samt Vis tabell >>, samt Lagre som Excel, og deretter lagre filen på arbeidsdirektoriet. Rediger filen slik at du ender med en txt-fil som ser slik ut (bruke transpose) Årstall Gutter Jenter b <- read.table("filnavn.txt", header = TRUE) b[1:6,] Årstall Gutter Jenter Deretter lager du et plot: plot(b$årstall, b$gutter, ylim = c(20000, 35000), pch = 17, col = 4, xlab = "Årstall", ylab = "Antall levendefødte per år") points(b$årstall, b$jenter, pch = 16, col = 2) legend("topleft", c("gutter", "Jenter"), pch = c(17,16), lwd = 2, col = c(4,2)) Trekker linjer ved å bruke en glattingsfunksjon: lines(smooth.spline(b$årstall, b$gutter),lty = 1, col = 4,lwd = 2) lines(smooth.spline(b$årstall, b$jenter),lty = 1, col = 2,lwd = 2) 5

6 Konklusjon av resultatene fra egenaktivitetene? Du kan som alternativ presentere dataene med variabel Kjønn med kategoriene Gutter og Jenter Årstall Antall Kjønn Gutter Gutter Gutter plot(b$årstall, b$antall, col=c(4,2)[b$kjønn], ylim=c(20000, 35000), xlab = "Årstall", pch = c(17, 16)[b$Kjønn], ylab = "Antall levendefødte per år") Vi skal undersøke om Fishers prinsipp for kjønnsratio 1: 1 (50:50) gjelder for mennesker. Lager en ny kolonne som inneholder Ratio mellom gutter og jenter, og lag et plot av resultatet: b$ratio <- b$gutter/b$jenter plot(b$årstall, b$ratio, lwd= 3, type="b", xlab = "Årstall", ylab = "Kjønnsratio gutter/jenter") abline (h = mean(b$ratio), lwd = 2, col = 2) Alternativt plot hvis du har lest inn Er det avvik fra 50:50 forhold? Nei. Ifølge Fishers prinsipp resulterer slik mennesket resproduserer seg i et 50:50 forhold. g.m <- as.integer (mean (b$gutter)); g.m j.m <- as.integer (mean (b$jenter)); j.m binom.test(c(g.m, j.m), p = 0.5) #alternativt chisq.test(c(g.m, j.m),p=c(1/2,1/2)) Exact binomial test data: c(g.m, j.m) 6

7 number of successes = 29401, number of trials = 57241, p-value = 6.996e-11 alternative hypothesis: true probability of success is not equal to percent confidence interval: sample estimates: probability of success Chi-squared test for given probabilities data: c(g.m, j.m) X-squared = , df = 1, p-value = 6.821e-11 Tidsserieobjekt Vi kan lage et tidsserieobjekt av datasettet: b.ts <- ts(b[,-1],start = c(1972,1), frequency = 1) plot(b.ts, main= "", xlab = "Årstall", lwd=3) Matriser Lag en magisk matrise jfr. Albrecht Düreres Melencolia I med et magisk kvadrat, med innslag av alkymistenes mystikk. 7

8 Det finnes ikke noe magisk i kvadratet, men har den interessante egenskapen at tallet 34 går igjen i flere av summeringene. - Alle hjørnene summeres til 34 - De fire tallene i midten summeres til 34-3 og 2 i første rad som vender mot 15 og 14 i fjerde rad summeres til 34-5 og 9 i første kolonne som vender mot 8 og 12 i fjerde kolonne summeres til 34 - De fire kvadratene i hvert hjørne adderes til 34 - Summeres kolonnene blir dette = 34 - Summen av diagonalene blir v <- c(16, 5, 9, 4, 3, 10, 6, 15, 2, 11, 7, 14, 13, 8, 12, 1) magic <- matrix(v, nrow = 4) magic [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] Summer kolonner og rader i matrisen: colsums(magic) [1] rowsums(magic) [1] Diagonalen til matrisen: diag(magic) [1] Summer diagonalen: sum(diag(magic)) [1] 34 Transposering av en matrise forandrer rader til kolonner og kolonner til rader: Transposer matrisen: 8

9 t(magic) [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] Løse ligninger via matriseregning Vi skal løse følgende ligningssystem x 4y + 6z = 10 x 2y + z = 5 2x 5y + 4z = 3 Med matrisealgebra har vi: Ax = B A <- matrix(c(1, 1, 2, -4, -2, -5, 6, 1, 4), nrow = 3);A [1,] [2,] [3,] A er inverterbar, determinanten (deta) er forskjellig fra null det(a) [1] -1 B <- matrix(c(10, 5, -3), nrow = 3); B [,1] [1,] 10 [2,] 5 [3,] -3 Løser ligningsystemet solve(a, B) [,1] [1,] 124 [2,] 75 [3,] 31 Det vil si: x = 124, y = 75, z = 31 Hvis A er en kvadratisk n x n matrise og determinanten til A er forskjellig fra null så får vi en entydig løsning av Ax = B lik x=a -1 B. Hvis deta = 0 og B 0 så har Ax = B ingen eller uendelig mange løsninger. 9

10 Matriser En kolonnevektor K er en nx1 matrise med bare en kolonne. k 1 k 2 K = [ ] k n En radvektor R er en 1xn matrise med bare en rad: R = [r 1 r 2 r n] En mxn matrise A har m rader og n kolonner: a 11 a 12 a 1n a A = [ 21 a 22 a 2n ] a m1 a m2 a mn En nxn kvadratmatrise B har n rader og n kolonner a 11 a 12 a 1n a B = [ 21 a 22 a 2n ] a n1 a n2 a nn En nxn diagonalmatrise D har 0 i alle ledd bortsett fra hoveddiagonalen: a a D = [ 22 0 ] 0 0 a nn En diagonalmatrise hvor alle tallene på hoveddiagonalen er lik 1 og resten lik 0 (a ij = 1 når i = j og a ij = 0 når i j)kalles en identitetsmatrise (enhetsmatrise) av orden n (I n ) I n = [ ] 1 En matrise n x n A multiplisert (%*%) med identitetsmatrisen gir den opprinnelige matrisen: A I n = A 10

11 Lager en matrise med 3 rader, samt en 3x3 diagonalmatrise. Matrise multiplisert %*% diagonalmatrise gir den opprinnelige matrisen: A <- matrix(c(1, 1, 2, -4, -2, -5, 6, 1, 4), nrow = 3); A [1,] [2,] [3,] I3 <- diag(1, nrow = 3); I3 [1,] [2,] [3,] A %*% I3 [1,] [2,] [3,] Nullmatrisen 0 har alle tall lik 0: = [ ] 0 Matrisen A multiplisert med nullmatrisen gir en nullmatrise. I en transponert (transposert) matrise A T bytter rader og kolonner plass, men hoveddiagonalen blir lik den opprinnelige matrisen A: a 11 a 21 a m1 A T a = [ 12 a 22 a 2n ] a 1n a 2n a mn Transponerer en matrise med tallene 1:9 med t(): X <- matrix(1:9, nrow = 3); X [1,] [2,] [3,] t(x) [1,] [2,]

12 [3,] Hvis vi i stedet er en 2x3 matrise så vil den transponerte matrisen bli en 3x2 matrise: X2 <- matrix(c(1, 4, 2, 5, 3, 6), nrow = 2); X2 [1,] [2,] Transponert matrise X^T t(x2) [,1] [,2] [1,] 1 4 [2,] 2 5 [3,] 3 6 Hvis den kvadratiske transponerte nxn matrisen A T er lik den opprinnelige matrisen A har vi en symmetrisk matrise. Vi kan utføre matrisealgebra. A og B er to mxn matriser, og summen av dem A + B = B + A (kommutativ lov) blir lik summen av enkeltelementene. Tilsvarende for matrisesubtraksjon,men da A - B. a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a A + B = [ 21 a 22 a 2n b ] + [ 21 b 22 b 2n ] = a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a = [ 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n ] a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn+bmn X2 <- matrix(c(1, 4, 2, 5, 3, 6), nrow=2); X2 [1,] [2,] X3 <- matrix(1:6, nrow=2); X3 [1,] [2,] X2 + X3 [1,] [2,]

13 En matrise kan bli multiplisert med en skalar k ved at alle elementene i matrisen blir multiplisert med k: k <- 2 k * X2 [1,] [2,] Har vi en nxn kvadratmatrise A kan vi finne determinanten til matrisen deta. For en 2x2 matrise blir determinanten: A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A = deta = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 Det vil si lik produktet av diagonalen øverst venstre - nederst høyre minus produktet diagonalen øversthøyre nederst venstre. For en 3x3 matrise M blir determinanten detm= M : a 11 a 12 a 13 M = [ a 21 a 22 a 23 ] a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 detm = a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 23 a a 31 a 32 a 32 a a 12 a 21 a a 31 a + a 13 a 21 a a 31 a M <- matrix(c(1, 2, -2, 3, 6, 0, 0, 4, 2), nrow = 3);M [1,] [2,] [3,] Determinanten til matrisen M: det(m) [1] -24 Vi kan også regne med determinanter. De kan adderes, bli multiplisert med en skalar. Hvis vi har to nxn matriser A og B så vil: det(ab) = (deta)(detb) deta = deta T 13

14 En kvadratisk nxn matrise er singulær hvis determinanten til matrisen er lik 0: M2 <- matrix(c(2, 2, -1, 3, 6, 0, 0, 4, 2), nrow=3);m [1,] [2,] [3,] det(m2) [1] 0 Tilsvarende, for en kvadratmatrise hvor determinanten er forskjellig fra 0, så er matrisen ikke-singulær. For to nxn matriser A og B hvor AB = BA = I n så er B en invers matrise til A, og A er en invers matrise til B. Det er bare mulig å invertere en matrise hvis determinanten til matrisen er forskjellig fra null. Hvis vi har en inverterbar matrise A: så vil den inverse matrisen A -1 være lik: A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A 1 = 1 deta [ a 22 a 12 a 21 a 11 ] Hvis den transponerte nxn matrisen A T er lik den inverse matrisen A -1, (A T =A -1 )så kalles matrisen ortogonal. Vi kan løse lineære ligninger analytisk, dvs. vi trenger ikke bruke rekkereduksjon, og Gauss-Jordan eliminasjon: Identitetsmatrisen I n har 1-tall i diagonalen og 0 for resten I4 <- diag(1, nrow=4); I4 [,4] [1,] [2,] [3,] [4,]

15 En nxn matrise M er invertibel hvis det eksisterer en invers matrise M -1 og matrisemultiplisering (%*%) av disse blir lik identitetsmatrisen: M M 1 = I n M <- matrix(c(1, 1, 2, 4, 6, 4, 0, 1, 2), nrow=3); M [1,] [2,] [3,] Minv <- solve(m); Minv [1,] [2,] [3,] M%*%Minv [1,] [2,] [3,] Hvis det finnes en invertibel matrise C slik at sammenhengen med to n x n matriser K og L er slik at: K = C 1 LC så er matrisene K og L formlike. Det betyr også at matrisene K og L har like egenverdier. For eksempel diagonalmatrisen D til K har egenverdiene langs diagonalen, og K sies å være diagonaliserbar hvis diagonalmatrisen D er formlik med K. Hvis en slik nxn matrise er diagonaliserbar har den n egenvektorer som er lineært uavhengige. Vi kan finne determinanten, egenverdier, egenvektorer og den transposerte matrisen. Hvis vi har en kvadratmatrise M så vil matrisen ganger egenvektorene (ν) være lik egenverdiene (skalarverdier λ ) ganger egenvektorene: M ν = λ ν Egenverdien med størst absoluttverdi kommer først. Egenvektorer og egenverdier benyttes i stabilitetsanalyse av differensialligninger via Jacobi-matrise med partiellderiverte, i prinsipalkomponentanalyse ved multivariabel statisikk, eller i generelle likevektsstudier. I dette eksemplet blir egenverdiene og egenvektorene komplekse tall 15

16 Egenverdier og egenvektorer M <- matrix(c(1, 2, -2, 3, 6, 0, 0, 4, 2), nrow = 3);M [1,] [2,] [3,] eigen(m) $values [1] $vectors [1,] [2,] [3,] Hvis vi har en 2 x 2 matrise så vil determinanten være. Mer komplisert utregning for større tall av n: M = [ a b c d ] det(m) = a b = ad bc c d det(m) #determinant [1] -24 t(m)# transposert matrise, bytter rader og kolonner [1,] [2,] [3,] M <- matrix(c(1, 1, 2, 4, 6, 4, 0, 1, 2), nrow = 3); M [1,] [2,] [3,] colsums(m) #kolonnesum [1] rowsums(m) #radsum [1] diag(m) #diagonal [1] sum(diag(m))#sum diagonal [1] 9 rowmeans(m) #gjennomsnitt av rader [1] colmeans(m) #gjennomsnitt av kolonner [1]

17 Datarammer, as.data.frame(),data.frame() er en type matriser som kan inneholde forskjellige datatyper, men lister, list(), kan i tillegg inneholde alt mulig rart. Bruker vi oppsummering summary() kommer svaret som en liste.man kan plukke ut deler av en matrise med subset() expand.grid() kan brukes til å lage alle mulige faktorkombinasjoner, for eksempel kombinasjon av faktorene a, b og c: b <- expand.grid(list(a = seq(0, 4, 2), b = c(1, 2), c = seq(0, 1))); b a b c Skal man gjenta prosesser er det flere muligheter replicate() apply() eller løkker for(i in 1:n){FUN} hvor FUN er funksjonen som du velger å bruke apply() kan brukes på rader (MARGIN = 1) eller kolonner (MARGIN = 2) i matriser. lapply() utfører apply() på hvert element i en liste eller dataramme, og returnerer svaret som en liste. En lignende utgave er sapply(). Her et eksempel med å regne ut gjennomsnitt av 10 normalfordelte tall og gjenta dette 1000 ganger: hist(sapply(1:1000, function(x)mean(rnorm(10))), col="lightgreen", breaks=20, xlab="", main="") Man kan også gjøre det på denne måten: 17

18 hist(replicate(1000, mean(rnorm(10))), col="lightblue", breaks=20, xlab="", main="") Du kan også løse et system med ligninger hvor komplekse tall inngår (4 i)x + 2y = 3 i 2x + (4 3i)y = 2 + i A <- matrix(c(4-1*1i, 2+0*1i, 2+0*1i, 4-3*1i), nrow=2); A [,1] [,2] [1,] 4-1i 2+0i [2,] 2+0i 4-3i B <- c(3-1*1i, 2+1*1i); B [1] 3-1i 2+1i solve(a, B) [1] i i Løsningene (x, y) i kompleksplanet blir ( i, i) 18