Matriser og matriseregning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Matriser og matriseregning"

Transkript

1 og matriseregning Halvor Aarnes, UiO, 2014 Matriser Innhold Matriser... 1 Determinant... 6 Ligningsystemer... 8 Matriseaddisjon og matrisesubtraksjon Matrisemultiplisering Egenverdier og egenvektorer Basis Prinsipalkomponenter og matriseregning Klassifikasjon og diskriminantanalyse Hadamard-produkt Cholesky dekomponering Kronecker-produkt Matriser En matrise er en firkantet tabell med tall ordnet i rader og kolonner. En mxn matrise har m rader og n kolonner. Matriser med bare en kolonne eller en rad kalles en vektor En radvektor (radmatrise) er en 1xn matrise og en kolonnevektor (kolonnematrise) er en nx1 matrise. En kolonnevektor K er en n x 1 matrise med bare en kolonne. Eller kolonnevektoren: 1 En radvektor R er en 1 xn matrise med bare en rad:

2 Eller radvektor,,, En 1x1 matrise er bare et tall, en skalar. I Albrecht Düreres Melencolia I er det et magisk kvadrat, med innslag av alkymistenes mystikk. Tallet 34 går igjen i flere av summeringene. 2

3 Fra Donald Duck nr. 10/ Alle hjørnene summeres til 34 - De fire tallene i midten summeres til 34-3 og 2 i første rad som vender mot 15 og 14 i fjerde rad summeres til 34-5 og 9 i første kolonne som vender mot 8 og 12 i fjerde kolonne summeres til 34 - De fire kvadratene i hvert hjørne adderes til 34 - Summeres kolonnene blir dette = 34 - Summen av diagonalene blir 34 En m x n matrise A har m rader og n kolonner: Hvis det er like mange rader som kolonner (m=n) så har vi en nxn kvadratmatrise. En n x n kvadratmatrise B har n rader og n kolonner 3

4 Vi kan transposere matrisen A vi startet med ved å bytte rader og kolonner og får den tranposerte matrisen A T : Transposering av en radvektor gir en kolonnevektor, og transposering av en kolonnevektor gir en radvektor. Hvis vi multipliserer en radvektor med den transposerte kolonnevektoren får vi et skalart kvadratprodukt: En matrise kalles symmetrisk hvis den er lik den transposerte matrisen: En kvadratmatrise n x n kalles en diagonalmatrise hvis alle komponentene er lik 0 bortsett fra hoveddiagonalen: En diagonalmatrise D: En diagonalmatrise hvor alle tallene på hoveddiagonalen er lik 1 og resten lik 0 (a ij = 1 når i = j og a ij =0 når i j) kalles en identitetsmatrise (enhetsmatrise) av orden n (I n ) 4

5 En matrise n xn A multiplisert med identitetsmatrisen gir den opprinnelige matrisen: Hvis A er en nxn kvadratmatrise så kalles A inverterbar eller ikkesingulær hvis det finnes en invers matrise A -1 slik at A matrisemultiplisert med A -1 er lik identitetsmatrisen. Hvis A er en invertibel 2x2 matrise dvs. det(a) 0 så vil Hvis A = (a ij ) er en n x n kvadratmatrise så er trace A lik summen av diagonalelementene: Nullmatrisen 0 har alle tall lik 0: Matrisen A multiplisert med nullmatrisen gir en nullmatrise. 5

6 I en transponert (transposert) matrise A T bytter rader og kolonner plass, men hoveddiagonalen blir lik den opprinnelige matrisen A: Transponerer en matrise med tallene 1:9 : Den transponerte metrisen A T : A Vi kan utføre matrisealgebra. A og B er to mxn matriser, og summen av dem A + B = B + A (kommutativ lov) blir lik summen av enkeltelementene. Tilsvarende for matrisesubtraksjon,men da A - B. En matrise kan bli multiplisert med en skalar k ved at alle elementene i matrisen blir multiplisert med k: Determinant Determinanten til en matrise er lik en skalar. Har vi en nxn kvadratmatrise A kan vi finne determinanten til matrisen deta. For en 2x2 matrise A blir determinanten A lik en skalar 6

7 Determinanten til matrisen M: det Det vil si lik produktet av diagonalen øverst venstre - nederst høyre minus produktet diagonalen øversthøyre nederst venstre. Determinanten til matrisen E: For en 3x3 matrise M blir determinanten detm = M : Vi kan også regne med determinanter. De kan adderes, bli multiplisert med en skalar. Hvis vi har to n xn matriser A og B så vil: 7

8 En kvadratisk n x n matrise er singulær hvis determinanten til matrisen er lik 0: ilsvarende, for en kvadratmatrise hvor determinanten er forskjellig fra 0, så er matrisen ikke-singulær. For to n xn matriser A og B hvor så er B en invers matrise til A, og A er en invers matrise til B. Det er bare mulig å invertere en matrise hvis determinanten til matrisen er forskjellig fra null. Hvis vi har en inverterbar matrise A: så vil den inverse matrisen A -1 være lik: 1 Hvis den transponerte n x n matrisen A T er lik den inverse matrisen A -1, (A T =A -1 )så kalles matrisen ortogonal. En matrise kalles ortogonal hvis produktet av matrisen med dens transposerte matrise er lik identitetsmatrisen (I). Ligningsystemer Vi kan løse lineære ligninger analytisk, dvs. vi trenger ikke bruke rekkereduksjon, og Gauss-Jordan eliminasjon. Generelt kan matriser benyttes til å løse m lineære ligninger med n ukjente: 8

9 Som betyr at: Koeffisientmatrisen A er en m x n matrise, x er en n x1 matrise (kolonnevektor) og b er en m x1 matrise. -1 I matriseform blir løsningen x = A b A er koeffisientmatrisen. Hvis b er lik en nullvektor kalles ligningssystemet homogent. Vi bruke matriseregning for å løse de to ligningene: Vi løser dette numerisk solve(a,b), Ax=b x=-1.733, y= Vi kan undersøke determinanten til A. For ligningssystemer av typen Ax = b hvor A er en n x n matrise så vil det(a) 0 tilsier en løsning og hvis det(a)=0 vil det si ingen eller mange løsninger. I eksemplet ovenfor blir determinanten =10, dvs. bare en løsning. For homogene ligninger hvor Ax=0 så vil det alltid være en løsning hvor x=0. Hvis det(a)=0 er det uendelig mange løsninger. Vi skal løse følgende ligningssystem

10 A er inverterbar, determinanten forskjellig fra 0. Vi løser numerisk og finner: x = 124, y = 75, z = 31 Med matrisealgebra har vi: Hvis A er en kvadratisk n xn matrise og determinanten til A er forskjellig fra null så får vi en entydig løsning av Ax = B lik x = A -1 B. Hvis deta = 0 og B 0 så har Ax = B ingen eller uendelig mange løsninger. Vi kan også løse et ligningssystem med komplekse tall: De numeriske løsningene (x,y) i kompleksplanet er lik ( i, i) En nxn matrise M er invertibel hvis det eksisterer en invers matrise M -1 og matrisemultiplisering (%*%) av disse blir lik identitetsmatrisen: Hvis det finnes en invertibel matrise C slik at sammenhengen med to nxn matriser K og L er slik at: så er matrisene K og L formlike. Det betyr også at matrisene K og L har like egenverdier. 10

11 For eksempel diagonalmatrisen D til K har egenverdiene langs diagonalen, og K sies å være diagonaliserbar hvis diagonalmatrisen D er formlik med K. Hvis en slik nxn matrise er diagonaliserbar har den n egenvektorer som er lineært uavhengige. Vi kan finne determinanten, egenverdier, egenvektorer og den transposerte matrisen. Matriseaddisjon og matrisesubtraksjon Matriseaddisjon av to matriser A og B er bare mulig hvis de har samme orden mxn, de må være addisjonskonforme. Matriseaddiasjon av 3x3 matriser: C+D= D+C CD Matrisesubtraksjon er en summering, men hvor den andre matrisen er multiplisert med skalaren -1. Matrisene må ha samme dimensjon mxn, dvs. være subtraksjonskonforme CD Matrisemultiplisering Matrisemultiplisering av to matriser, pxq matrise A og mxn matrise B er bare mulig hvis de er konforme for multiplisering, det vil si at det må være samme antall kolonner i den ene matrisen som rader i den andre. 11

12 Det vil si at vi får et matriseprodukt AB bare hvis q=m. Det er ikke nødvendigvis slik at AB=BA, og som nevnt må matrisene være multipliseringskonforme Multipliseringen AB skjer slik: Skal man matrisemultiplisere B%*%A er dette umulig, de er ikke multipliseringskonforme. Hvis vi har tre konformbare matriser A, B og C, så gjelder rotasjonsregelen for tracer: Selv om matriseproduktene blir forskjellige så blir summen av diagonalene, tracen, den samme Matrisemultiplisering ABC blir: Matrisemulitiplisering BCA blir: Matrisemulitiplisering CAB blir:

13 Men tracene blir like 48 Egenverdier og egenvektorer Hvis vi har en kvadratmatrise M så vil matrisen ganger egenvektorene (ν) være lik egenverdiene (skalarverdier λ ) ganger egenvektorene: Egenverdien med størst absoluttverdi kommer først. Egenvektorer og egenverdier benyttes i stabilitetsanalyse av differensialligninger via Jacobi-matrise med partiellderiverte, i prinsipalkomponentanalyse ved multivariabel statisikk, eller i generelle likevektsstudier. I dette eksemplet blir egenverdiene og egenvektorene komplekse tall Basis Alle vektorer x i det tredimensjonale vektorrommet R 3 kan skrives i form av tre lineært uavhengige enhetsvektorer som basis, en standardbasis: Vektorene u 1, u 2,,u k fra et undermengde av M vil danne en basis for M hvis alle vektorene x i M kan skrives som: Hvis man tar to basiser S = {s 1,s 2,,s n } og T = {t 1,t 2, t n } for R n, så kan vektorene i basis S skrives i form av vektorene med basis T hvor koeffisientene a nn danner en transformasjonsmatrise. 13

14 hvor transformasjonsmatrisen er: Man kan ha lineære transformasjoner fra et vektorrom til et annet, for eksempel fra R 3 til R 2, ved hjelp av en transformasjonsmatrise. For eksempel rotasjon av 2-D koordinatsystem rundt origo, så vil punktet P (a,b) får nye koordinater (x,y) i det nye koordinatsystemet, hvor (a,b) dreies vinkelen θ mot klokka. Se på en figur og finn at : eller: hvor transformasjonsmatrisen er: Eller omvendt: Vi har en matrise M med egenvektor ν og egenverdi λ: 0 0 hvor I 2 er enhetsmatrisen, og Iν=ν 14

15 Vi setter Vi skal finne egenvektoren med de ukjente α og β: Dette tilsvarer ligningene i følgende homogene ligningssystem, hvor α og β er ukjente: 0 0 Vi ønsker ikke-trivielle løsninger og derfor må følgende determinant være lik null. 0 Fra den karakteristiske ligningen bestemmes egenverdiene λ og deretter kan egenvektorene bestemmes. Prinsipalkomponenter og matriseregning Multivariable må reduseres i antall dimensjoner, hvor korrelerte variable erstattes med færre ukorrelerte variable. PCA (prinsipalkomponentanalyse), CA (korrespondensanalyse), DA (diskriminantanalyse) og NMDS (ikke-metrisk multidimensjonal skalering) er beregnet for data uten forklaringsvariable. CCA (kanonisk korrespondanseanalyse og RDA (redundensianalyse) er beregnet for både respons- og forklaringsvariable. Multivariable data kan reduseres i antall dimensjoner, hvor korrelerte variable erstattes med færre ukorrelerte variable. Prinsipalkomponent 1 (PC1) er en vektor gjennom datasettet og som forklarer det meste av den multivariable variasjonen. Prinsipalkomponent 2 (PC2) står ortogonalt på PC1, er ikke korrelert med denne og forklarer nest mest av variasjonen. 15

16 Prinsipalkomponentanalyse er å se på variasjon i variablene i et datasett X={x 1, x 2, x 3,, x n } sett i relasjon til et sett nye variable som vi lager Y={y 1, y 2, y 3,, y n }, kalt prinsipalkomponenter. Mens X er korrelert, så er Y er ukorrelert. Hver av y-verdiene er en lineær kombinasjon av x- variablene, med tilhørende koffisienter a. De første prinsipalkomponentene skal kunne forklare mest mulig av variasjonen i datasettet. Første prinsipalkompoent (y 1 )er en lineær kombinasjon av X, og som forklarer det meste av variasjonen. Den andre prinsipalkomponent (y 2 ) står normalt på den første (ortogonalt koordinatsystem) og hindrer derved at de blir korrelert. Vi har her n prinsipalkomponenter. Den andre prinsipalkomponenten skal forsøke å forklare mest mulig av den gjenværende variasjonen i datasettet, som blir igjen etter den første prinsipalkomponenten er funnet I matriseform blir løsningen hvor A er matrisen med koeffisienter. Koeffisientene må være slik at de gir maksimal varianse for y 1. Vi kan la,,,, Forutsetning for første prinsipalkomponent er at: 1 T hvor A 1 er den transformerte koeffisientmatrisen. For den andre prinsipalkompoenten y2 har vi:,,,, 16

17 Vi må sikre oss at første og andre prinsipalkomponent ikke blir korrelert og dette gjør vi ved: 1 0 Vi skal altså finne koeffisienter A 1 slik at variansen for første prinsipalkomponenten y 1 blir maksimal, samtidig som vi har T begrensningen A 1 A 1 =1 Lagranges multiplikatormetode kan hjelpe oss i å løse dette problemet, oppkalt etter den berømte franske matematikeren Joseph- Louis Lagrange ( ). Generelt er problemet å finne ekstremalverdiene for en funksjon f(x,y,z), eller i vårt tilfelle f(x,y,a). Hvis z kan uttrykkes som en funksjon av x og y, z=h(x,y) så består problemet i å finne maksimum av en ny funksjon F(x,y)=f(x,y,h(x,y). Imidlertid er det ikke sikkert at z kan uttrykkes som funksjon av x og y. Maksimumspunktet ligger på en kurve C som kan tenkes angitt som skjæring mellom to flater g 1 (x,y,z)=0 og g 2 (x,y,z)=0. Hvis vi lar t være en parameter som beveger seg langs kurven C hvor vi skal finne maksimum blir problemet nå forenklet til F(t)=f(x,y,z), og maksimumspunktet må finnes der hvor den førstederiverte er lik 0. F (t)=0. Vi har nå tre skalarligninger som må løses hvor konstantene λ1 og λ2 kalles Lagrange multiplikatorer. Uttryket som vektorfelt (partiellderiverte),, Det viser seg at løsningen av A 1 er egenvektoren til kovariansematrisen for prøven, tilsvarende den største egenverdien. Egenvektorene til en kovariansematrise er lik prinsipalkomponentene til fordelingen. Man finner deretter de andre prinsipalkomponentene y i med tilhørende egenvektorer A. i Kovariansematrisen,K, til prøven X er en matrise med variansene plassert i diagonalen. Matrisen som blir symmetrisk omkring diagonalen kalles også varianse-kovariansematrise. Kovariansene (cov()) mellom 17

18 hvert par med variable står utenfor diagonalen. Her er et eksempel med fire variable (x 1,x 2,x 3,x 4 ): x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 var(x 1 ) cov(x 1,x 2 ) cov(x 1,x 3 ) cov(x 1,x 4 ) x 2 cov(x,x ) 2 1 var(x 2 ) cov(x 2,x 3 ) cov(x 2,x 4 ) x 3 cov(x 3,x 1 ) cov(x 3,x 2 ) var(x 3 ) cov(x 3,x 4 ) x 4 cov(x 4,x 1 ) cov(x 4,x 2 ) cov(x 4,x 3 ) var(x 4 ) Generelt hvis X og Y er tilfeldige variable så vil variansen til summen være lik: 2, Kovariansen er e t forventet (E) produk t:,, Nå r x og y er ikke-korrelert e r E(xy)=E( x)e(y) og kovariansen blir lik 0. Produktet av kovariansematrisen, K, og den inverse kovariansematrise (K -1 ) blir lik identitetsmatrisen I, en matrise med bare 1 på diagonalen og 0 for resten Generelt har vi for en kvadratmatrise A en invers matrise (A -1 ) slik at Hvor I er en identitetsmatrisen. Hvis alle variablene i en kovariansematrise er i form av enhetsvarianse så blir kovariansematrisen lik korrelasjonsmatrisen. I en korrelasjonsmatrise har man korrelasjonskoeffisientene (r) i stedet for kovarians e, og tallene i diagonalen blir lik 1. Generelt er korrelasjonskoeffisienten r er lik: 18

19 , hvor cov(x,y) er kovariansen mellom variablene x og y, s 2 x og s 2 y er variansen til henholdsvis variablene x og y. Hvis vi har 3 variable x 1 (3,5,6), x 2 (1,3,2), x 3 (2,1,1)hver med 3 observasjoner ordnet i kolonner i en matrise A: Kovarianse til matrise A ovenfor: Variansene står i diagonalen: Vi kan finne egenverdiene og egenvektoren til kovariansematrisen: De tre egenverdier til cov(a) e e e-17 Og de tilsvarende tre egenvektorer: [1] [2] [3] Vi kan sammenligne egenvektorene til kovariansematrisen med prinsipalkomponentene (PC) til matrise A og ser at de blir like: PC1 PC2 PC

20 Første prinsipalkomponent (PC1) viser retningen (vektoren) gjennom datasettet som forklarer det meste av variasjonen, prinsipalkomponent PC2 som står normalt på første prinsipalkomponent forklarer nest mest av variasjonen. Vi kan transformere datamatrisen, bytte rader og kolonner: Vi kan lage den inverse matrisen (A -1 ), numerisk løsning i R: e e e Vi har at den inverse av inversmatrisen gir den opprinnelige matrisen (A -1 ) -1 =A Vi kan matrisemultiplisere A -1 A som skal gi identitetsmatrisen I. Vi kan finne determinanten til A ( A ): 12 Trace er summen av diagonalelementene i en matrise e.g. for identitetsmatrisen I 3 blir dette lik 3. Vi finner trace til kovariansematrisen for datasettet cova (se over) som er lik summen av prinsipalkomponentene som også er lik summen av variansene var(x1)+var(x2)+var(x3)= Vi har generelt for egenverdier og egenvektorer: Hvis man har en kvadratmatrise A så har vi følgende sammenheng: hvor nu(v) er egenvektoren, og lambda (λ) er en skalar kalt egenverdi v er en egenvektor med egenverdi λ. 20

21 Egenverdiene til kovariansematrisen, K, til datasettet blir {λ1,λ 2,λ 3,,λ n }. Vi har også A it A i = 1, hvor A i er egenvektoren til kovariansematrisen. V i i ariansen til prinsipalkomponent y er lik egenverdien λ. Den totale variasjonen for prinsipalkomponentene blir lik summen av egenverdiene, og dette blir også lik den totale variansen i datasettet. Summen av prinsipalkompoentene kan angis som trace til kovariansematrisen K Prinsipalkomponent yi forklarer andelen P i av den totale variasjonen i datasettet ved: Klassifikasjon og diskriminantanalyse Generelt kan matriser benyttes til å løse m lineære ligninger med n ukjent. I faktoranalyse er det ikke vanlige kategoriske faktorvariable vi snakker om, men underliggende observasjoner som kan være vanskelig å måle. De bestemmes ved å se på korrelasjon mellom variablene. Det er mulig å utføre maksimum likelihood faktoranalyse på datamatrisen eller kovariansematrisen. Medlemskap i klasser basert på målte egenskaper. Kan brukes til alle mulige former for gruppering av objekter og til mønstergjenkjenning. Klyngemetoder lager grupper basert på kvantitative egenskaper, mål på ulikhet og likhet, og k objekter kan gi 2 k -1 grupper, øker eksponensielt med k. I hierarkisk klyngeanalyse samles klyngene fra den minste til den største klyngen (agglomerativ). Ved divisiv klyngeanalysene samles klyngene fra den største til den minste. 21

22 I ikke-hierarkisk klyngeanalyse er antall klynger k bestemt på forhånd og oppgaven er på best mulig måte å fordele prøven i k klynger. k- means clustering er den mest vanlige metoden for ikke-hierarkisk klyngeanalyse. Den er datamaskineffektiv siden den ikke er avhengig av en start med store datamatriser. Skal organisere n datapunkter i k forhåndsbestemte klynger, k<n. Start med å bestemme antall k. Fordel data tilfeldig i k klynger. Beregn sentroid (gjennomsnitt, senter) i hver klynge. La hvert datapunkt høre med til klyngen hvor sentroiden er nærmest, basert på en avstandsmatrise. Hvis det trengs reorganisering lag nye klynger, beregn sentroidkoordinatene for klynger som mister eller mottar datapunkter. Gjenta til det ikke trengs flere omorganiseringer Man må ha et mål på avstand, similaritet (likhet) eller dissimilaritet (forskjell). For dissimilaritet av kontinuerlige data kan Euklidsk avstand benyttes., Euklidsk avstand er følgsom for utliggere og ekstremverdier. Andre avstandmål er Manhattan avstand og max komponentavstand En lineær klassifiksjon kan kodes som 0/1, suksess/feil, ja/nei osv. Lineær diskriminantanalyse ble utviklet av R.A.Fisher i studiet av multivariate normalfordelte data, datasettet iris, brukt sammen med varianse-kovariansematrisen. I pakken MASS som lda(). Vi har g kjente klasser, W er innen klassen kovariansematrise og B er mellom klasser kovariansematrise (Se Venables & Ripley 2003). Multivariable må reduseres i antall dimensjoner, hvor korrelerte variable erstattes med færre ukorrelerte variable. PCA (prinsipalkomponentanalyse), CA (korrespondensanalyse), DA (diskriminantanalyse) og NMDS (ikke-metrisk multidimensjonal skalering) er beregnet for data uten forklaringsvariable. CCA (kanonisk korrespondanseanalyse og RDA (redundensianalyse) er beregnet for både respons- og forklaringsvariable. 22

23 Hadamard-produkt Matriser Vi kan finne Hadamardproduktet for to addisjonskonforme matriser hvor tilsvarende elementer i matrisen multipliseres med hverandre. Hadamardproduktet er kommutativt, assosiativt og distributivt Brukes blant annet til lossy bildekompresjon i jpeg. Vi lar matrise A være: Matrise B: B<-matrix(c(2,2,1,1),nrow=2);B [,1] [,2] [1,] 2 1 [2,] 2 1 Legg merke til at her brukes ikke matrisemultipliseringstegnet A*B [,1] [,2] [1,] 2 3 [2,] 4 4 Man kan finne Euklidsk Norm til en matrise, det er en skalar A og brukes til å finne graden av forskjell to mxn matriser med samme orden

24 Cholesky dekomponering Matriser Cholesky dekomponering (Cholesky faktorisering, André-Louis Cholesky) kan utføres på en positivt definert matrise, Hermit matrise (Charles Hermite), og som alltid har relle egenverdier større enn 0 Hvis A er en Hermit positiv definert matrise A være lik produktet av den øvre triangulære faktor R og dens transponerte konjugat: R har reelle og positive diagonalelementer, og R* er dens konkjugerte transponerte Cholesky dekomponering kan brukes til å løse ligninger av typen Ax=b hvor A er en symmetrisk matrise Den øvre triangulære faktoren til Cholesky dekomponeringen er slik at multipliseres den med den transponerte matrisen får man tilbake den opprinnelige matrisen. Kan ikke brukes på matriser med komplekse tall. Kronecker-produkt Et Kronecker-produkt av to matriser X og Y gir en blokkmatrise som har dimensjonen dim(x)*dim(y). Kronecker-produktet angis med et gangetegn omgitt av en sirkel, kalles også direkte produkt hvor hvert element i den første matrisen blir skalarmultiplisert med elementene i den andre matrisen. For eksempel en mxn 2x2 matrise Som eksempel har vi matrise X: Førs multiplisert med en skalar Y lik 2: Vi har en matrise Y 24

25 Kroneckermultiplisering Kroneckermultiplisering med en diagonalmatrise D:

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 11.02.2016 Sjuende utkast Flere lineære likninger som samtidig skal oppfylles kalles lineære likningssystem. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 04.02.2016 Sjuende utkast Lineære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter bare de

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =

Detaljer

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =. MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon:

EKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon: EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet

Detaljer

Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder

Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Ruben Spaans May 21, 2009 1 Oppslagsverk Adjungert Ball, la (X, d) være et metrisk rom og la ɛ > 0. Da er for x 0 X: 1. B(x 0 ; ɛ) = {x x X d(x,

Detaljer

Numerisk lineær algebra

Numerisk lineær algebra Numerisk lineær algebra Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 29. Oktober 2007 Problem og framgangsmåte Vi vil løse A x = b, b, x R N,

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Lineære ligningssystem og matriser

Lineære ligningssystem og matriser Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer