Forelesning 9.februar 24 Delkapilene 4.4-4.6 fra læreboken, 4.3 er il selvsudium. Repeisjon om sampling og aliasing Diskre-il-koninuerlig omforming Inerpolasjon med pulser Oversamling bedrer inerpolasjon Ideell båndbegrense inerpolasjon Nyquis-Shannons samplingseorem E koninuerlig-id signal x() med høyese frekvens f max kan rekonsrueres eksak fra sample versjon x[n] = x(n ), hvis samplingsraen f s = / ilfredssiller f s > 2 f max. Undersampling, med f s < 2 f max, fører il aliasing og folding. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2 Aliasing: Når for lav samplingsrae gjør a de samplede, idsdiskree signale x[n] = x(n ) inneholder frekvenser som ikke finnes i de koninuerlige signale x(). Vi sampler signale med f s, og får x() = cos(ω + φ) x[n] = x(n ) = cos(ω n + φ), Aliasfrekvensene Alle de diskree frekvensene ˆω =ω + 2πl l =, ±, ±2,... ˆω = ω + 2πl l =, ±, ±2,... er aliasfrekvenser il ˆω = ω. Ved omforming ilbake il e koninuerlig signal velges den aliasfrekvensen som ligger nærmes, de prinsipale alias. ω = ˆω/ Hvis f s < 2f max vil denne ω være lavere enn den opprinnelige frekvensen i x(). INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4
Diskre-il-koninuerlig omforming En ideell D-il-K omformer inerpolerer en koninuerlig funksjon fra idsdiskree sampler x[n]. En reell implemenasjon av en D-il-K omformer kaller vi en digial-il-analog (D-il-A eller D/A) omformer. Gi en diskre-id sinusoid der f s > 2f. y[n] = A cos(2π f n + φ), For den normalisere frekvensen ˆω gjelder alså ingen aliasing. ˆω = ω = 2π f < π, Diskre-il-koninuerlig omforming Hvis urykke il de diskree signale y[n] = A cos(2π f n + φ), er kjen, vil subsiusjonen n = f s, reprodusere de originale signale y re () = A cos(2π f + φ) såfrem de er sample i henhold il samplingseoreme. For andre (ukjene) sekvenser kreves bruk av inerpolasjon; vi må fylle hullene mellom samplingspunkene. helnorsk denne gangen INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Inerpolasjon med pulser En generell klasse med D-il-K omformere kan beskrives av y re () = y[n]p( n ) p() kalles den karakerisiske pulsformen il omformeren. Signale y re () besår il enhver id av en sum av diskree verdier mulipliser med pulsen. y re () =... + y[ 2]p( + 2 ) + y[ ]p( + ) + y[]p() + y[]p( ) + y[2]p( + 2 ) +... Valge av pulsform er fri, men influerer kvalieen på inerpolasjonen. Endelig pulsvarighe For pulser med endelig pulsvarighe T p p() kreves a T p. kun for T p 2 < T p 2 For slike ilfeller vil y re () = y[n]p( n ), reduseres il endelig sum. Grensene er gi ved for alle. T p 2 < n T p 2 T p 2 n < + T p 2 n Z INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8
Zero-order hold inerpolasjon En enkel form for inerpolasjon, der T p =. Zero-order hold inerpolasjon II.9.8.7.6.5.4 2 p() = < 2 ellers Firkanpuls il zero order hold inerpolering, samplingsperiode puls p() samplingpunker i id Gi T p =, er n begrense av 2 n < + 2 som bare holder for e helall; y re () for en gi er alså bare avhengig av en sekvensverdi y[n]. De rekonsruere signale y re () får da konsan y[n], med sener i = n..3.2. Hullene mellom samplene er nå fyll, signale s() er koninuerlig i id. 8 6 4 2 2 4 6 8 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Zero-order hold inerpolasjon, illusrasjon f = 77 Hz f s = 5 Hz = = 2 ms Sampling og rekonsruksjon av sinusoid, ved zero order hold inerpolasjon Lineær inerpolasjon Vi inerpolerer lineær ved bruk av en puls besående av e førseordens polynom, som rekanpulsen T p() = s ellers.8.6 Lineaer inerpolasjon, samplingsperiode.4.2.9 puls p() samplingpunker i id.2.4.6 koninuerlig signal.8 rekonsruer signal sample signal 4 2 2 4 6 8 id (s) x 3.8.7.6.5.4.3.2. Zero-order hold inerpolasjon er ingen ideell D-il-K omforming. 8 6 4 2 2 4 6 8 INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2
Lineær inerpolasjon Lineær inerpolasjon Eersom T p = 2 n + Hvis k kan n a o verdier, slik a y re () for en gi avhenger av puls- og sampleverdier for o verdier av n. Hvis = k har vi k n k + k n k + De rekonsruere signale y re () for en gi avhenger av puls- og sampleverdier for re verdier av n. k Z Inerpolasjonsligningen y re () = y[n]p( n ) innsa = k gir y re (k ) = k+ n=k y[n]p(k n ) = y[k ]p(k (k ) )+ y[k]p(k k )+ y[k + ]p(k (k + ) ) = y[k ]p( ) + y[k]p()+ y[k + ]p( ) = y[k] I samplingspunkene har alså de rekonsruere signale y re () eksak verdi: y re (n ) = y[n] = y(n ) for n Z INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4 Lineær inerpolasjon, illusrasjon Inerpolasjon med kubisk spline f = 77 Hz, f s = 5 Hz = = 2 ms En kubisk spline p() er sa sammen av idssegmener av redje-ordens polynomer. For vår formål seer vi T p = 4, slik a.8.6.4 Sampling og rekonsruksjon av sinusoid ved lineaer inerpolasjon p() = for < 2 og > 2 og krever i illegg a p() = for = ±, ±2.2.2.4.6 koninuerlig signal rekonsruer signal.8 sample signal 4 2 2 4 6 8 id (s) x 3 spline n [origin unknown] : a hin wood or meal srip used in building consrucion 2: a key ha is fixed o one of wo conneced mechanical pars and fis ino a keyway in he oher; also : a keyway for such a key 3: (mah) s- curve, a coninuous curve consruced so as o pass hrough a given se of poins and have coninuous firs and second derivaives. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6
Eersom T p = 4 2 n + 2 Inerpolasjon med kubisk spline Kubisk spline, samplingsperiode.5 Hvis k kan n a 4 verdier, slik a y re () for en gi er en sum av 4 pulser. Hvis = k har vi k 2 n k + 2 k 2 n k + 2 Indeksen n kan a 5 verdier, men p(), kubisk spline p(), annen kubisk inerpolasjon samplingpunker i id.5 8 6 4 2 2 4 6 8 p(k n ) = for n = {k 2, k, k+, k+2} De rekonsruere signale y re () for en gi avhenger av puls- og sampleverdi for kun en n. y re (k ) = y[n]p(k k ) = y[n] k Z INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 f = 77 Hz, f s = 5 Hz = = 2 ms.8.6.4.2.2 Sampling og rekonsruksjon av sinusoid ved inerpolasjon med kubisk spline koninuerlig signal rekonsruer signal sample signal Oversampling som inerpolasjonshjelp I illegg il valge av pulsform p() har både samplingsraen f s og variasjonen i de originale signale y() noe å si for kvalieen på rekonsruksjonen..4.6.8 4 2 2 4 6 8 id (s) x 3 Ved å øke samplingsraen vil signale forandre seg mindre på en periode, slik a approksimasjonene er bedre. Konklusjon Valge av puls p() har mye å si for kvalieen på rekonsruksjonen. En gla og langvarig puls gir e signal y re () nærmes originalen y(). INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2
Inerpolasjon med oversampling.5.5 f = 77 Hz, f s = 9 Hz Sampling og rekonsruksjon av sinusoid ved zero order hold inerpolasjon y() y re () y[n] 4 2 2 4 6 8 Sampling og rekonsruksjon av sinusoid ved lineaer inerpolasjon x 3.5.5 y() y re () y[n] 4 2 2 4 6 8 Sampling og rekonsruksjon av sinusoid ved inerpolasjon med kubisk spline x 3.5.5 y() y re () y[n] 4 2 2 id (s) 4 6 8 x 3 Ideell båndbegrense inerpolasjon Pulsen ilhørende ideell D-il-K omforming er gi ved en såkal sinc-funksjon. ( ) π sin π p() = =.8.6.4.2.2 Sinc puls, samplingsperiode puls p() samplingpunker i id.4 2 5 5 5 5 2 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 22 Sinc-pulsen Pulsen er uendelig lang, definer for < < De beyr a alle sampler y[n] brukes for å rekonsruere signale ved en gi id. Vi ser a p() = for = k, k Z Bruk av p() gir båndbegrense inerpolasjon, som allid vil rekonsruere en sinusoid eksak (gi a f s 2f ). Oppsummering Måle med kapiel 4 er å presenere og bekrefe nyen av Nyquis-Shannons samplingseorem, som er mege senral innen digial signalbehandling. Vi repeerer: E koninuerlig-id signal x() med høyese frekvens f max kan rekonsrueres eksak fra sample versjon x[n] = x(n ), hvis samplingsraen f s = / ilfredssiller f s > 2 f max. Regelen gjelder for alle signaler med en høyese frekvens f max. En sum av sinusoider x() = x k () = A k cos(2πf k + φ k ) k= k= er e slik signal, der vi gjerne anar a f f N f max INSTITUTT FOR INFORMATIKK 23 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 24
Rekonsruksjon av en sum av sinusoider Sampling av en sum av sinusoider De kan genereres uendelig mange signaler på formen x(), både periodiske og ikke-periodiske. Sampling med raen f s = / gir der og x[n] = x(n ) = x k (n) = x k [n] k= k= x k [n] = A k cos( ˆω k n + φ k ) ˆω k = 2πf k f s Rekonsruksjon med pulsforming gir x re () = x[n]p( n ), der p() for ideell D-il-K er sinc-funksjonen. Innsa for x[n] ( N ) x re () = x k [n] p( n ) = k= ( ) x k [n]p( n ) k= Vi anar f s > 2f k for alle k [, N], slik a den ideelle D-il-K omformeren eksak rekonsruerer alle komponenene. x re () = x k () = x() k= INSTITUTT FOR INFORMATIKK 25 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 26