Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler. 2 2x

Transkript

1 UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i emne MT11 Brukerkurs i maemaikk Mandag 15. desember 8, kl BOKMÅL Tillae hjelpemidler: Lærebok og kalkulaor i samsvar med fakulee sine regler Oppgave 1 En funksjon f er definer ved: f ( ) e ; 1 <. a) Finn f ( ). vgjør hvor funksjonen er sreng sigende og hvor funksjonen er sreng avagende. f ( ) e e (1 ) e f ( ) (1 ) e 1 Foregnsskjema: X 1 f ( ) (1 ) e f ( ) Funksjonen synker Funksjonen siger ց ր Sreng voksende < < 1 Sreng avagende: 1< < 1 < Funksjonen synker ց b) Besem funksjonens evenuelle lokale og globale maksimums- og minimumspunk. -1 : kunne være global maksimumspunk, men funksjon er ikke definer i -1. : Global minimumspunk 1 : Lokal maksimumspunk : Lokal minimumspunk Oppgave Gi punkene i koordinasyseme: ( 1,, 1) B ( a, 3, 4) og C (, 1,1) a) Besem B C uryk ved a. Besem a slik a vinkelen er 6 o B C [ a + 1,3, 3] [1, 1, ] 1( a + 1) 3 a. rk 1/6

2 B C o a 1 cos cos 6 B C ( a + 1) ( a 1) 36 ( a ) + + Bemerk ( a ) > ( a ) ( a ) ( a 1) 36 ( ) + + ( a + 1) + 18 a a a a ( 4 + 4) a a a a Siden a > dermed a 11 B C B C a b) En vekor er gi ved: n [1,1, ]. Besem a slik a n sår normal på vekoren B. (de vil si n B Vis a n sår normal på vekoren C (de vil si n C ). Se opp ligningen il e plan som går gjennom punkene, B og C. B C [ a + 1,3, 3] [1,1, ] 1( a + 1) + 3 a + 4 a 4 n B [1,1, ] [1, 1,] OK! ) Plane gjennom, B og C: ( + 1) + ( y ) ( z 1) + y + 1 Oppgave 3 Besem grenseverdiene: a) cos( ) lim sin(3 ) b) 3 lim e cos( ) 1cos( ) sin( ) 1 lim lim sin(3 ) 3cos(3 ) lim lim rk /6

3 c) Finn Taylor-polynome F ( ) av andre grad il funksjonen f ( ) ln( 1) om. f () F ( ) f () + f ()( ) + ( )! f ( ) ln( 1) f () 1 f ( ) 1 f () 1 1 f ( ) ( 1) f () 1 1( ) 1 ( ) + 1( ) F! d) Funksjonen: g ( ) 1 cos 5sin kan skrives på formen g ( ) C cos ( ) Besem C og.. a cosω + bsinω C cos ω( ) der C a + b og an( ω ) ( ) f 1cos 5sin C cos ( ) b a C ( 1) + ( 5) an( ) (an ( ) + π ) 1,768 Oppgave 4 π e Løs inegraler: a) d b) cos( ) 3 + e d 1 1 e a) Subsiusjon: u 3+ e, d du du : u e 3 + e b) Her benyer vi delvis inegrasjon ganger: 1 d du ln 3 + e + C u d + + C cos( ) d sin( ) 4sin( ) d der sin( ) cos( ) 4sin( ) Dermed π cos( ) d sin( ) 4 cos( ) 4sin( ) ( π 8) + π c) Gi funksjonen P( ) 1 (,85). Besem når P 5. ln(,5) 5 1 (,85) (,85),5 4, 65 ln(,85) Lag en eksoppgave som passer for dee regneurykke. Du kan angi numeriske opplysninger i eksen selv. En verdi synker med 15% pr. idsenhe. Funksjonsurykke P( ) 1 (,85) beskriver hvor mange prosen er igjen eer (idsenhe). Hvor lenge ar de før verdien er halver (5% er igjen) rk 3/6

4 Oppgave 5 En pasien får ilfør e legemiddel ved inravenøs innsprøyning med en konsan hasighesrae. Vi anar a legemiddele bryes ned med en spesifikk rae proporsjonal med des konsenrasjon i blode. Konsenrasjonen av legemiddele i blode, ( ) ilfredssiller da differensialligningen: 1 d a b d Der a og b er konaner. Vi anar () i milligram pr. lier (mg/l) og iden i imer. i) Løs differensialligningen og finn ( ) uryk ved a og b. ii) Besem lim ( ) uryk ved a og b. + iii) na a a og b,1 og a konsenrasjonen er lik 1 mg/ml da målingene begyne( ). Tegn grafen il konsenrasjonen av legemiddele i blode. i) 1 d a b d ( a b) b( a ) d d b d B a( )( b) ( ) + a( B ) d 1 + Ce d a a a b( )( ) ( ) ( a a d b b ) b(1 + Ce ) b b(1 + Ce ) a a ii) lim ( ) lim + + (1 a b + Ce ) b iii) ( ),1(1 + Ce ) 1+ Ce Gi () 1 () 1 C, C og dermed: ( ) 1,98e rk 4/6

5 De som glemmer å omgjøre enheen får : () 1 () 1 C C og de får ( ) e ( ) Oppgave 6 Ved en kjernesoff prøvesprening under havbunnen i Sillehave siger emperauren på havbunnen. Sjøvanne over anas å holde en konsan emperaur på o. La T() være emperauren (mål i grader) på havbunnen ved iden (mål i imer). Målinger viser a eer prøvesprengingen som vi anar innreffer vi iden, er emperaurendringen på bunnen proporsjonal med emperaurdifferansen mellom havbunnen og sjøvanne over. a) Hvilken av følgende differensialligninger kan oppfylle emperauren T? dt dt i) k( T ) ii) kt d d Løs den akuelle differensialligningen når man ve emperauren ved iden er 5 o. dt i) k( T ) d dy a Type II: a y + b y( ) Ce d dt kt k b a d k k k T ( ) Ce Ce + k Gi y() 5 y() C + 5 C 5 k T ( ) 5e + b) Hvor lenge id ar de før emperauren på havbunnen er 1 o når målingen viser T o eer 3 imer? rk 5/6

6 k T ( ) 5e +. k3 1 ln(, 4) 5e + k ln ln e 3 + ln ln 5 5, 69 5,3 imer, ln(.4) 5 ln(.4) Eer ca. 5 imer og 16 min. Oppgave 7 Gi funksjonen: f y y y (, ) a) Besem parielle derivere av 1. og. orden ( f, f y, f, f yy og f y ) b) Funksjonen har e sasjonær punk. Besem dee punke og avgjør om de er lokal minimum, lokal maksimum eller ingen av delene. c) Finn likningen for angenplane i punke der (, y, z ) (,1, f (,1)). a) f f y f 1 f y 4 f f b) Lokalisering: f f y 4 y y yy y y Karakerisering: f f ( f ) ( 1) ( ) > og f 1 < (1, ) er e lokal c) yy y maksimumspunk Ligningen il Tangenplan: z z f ( ) + f y ( y y ) P P ( ) ( ) ( ) z f,1 4 z y 1 z 1 6y + 1 rk 6/6

7 Oppgave 8 E bilde med ramme skal oal dekke 1m. Bilde med rammen skal være rekangulær. Bredden på rammen er 8cm på høyre og vensre side. Bredden på rammen er 18cm i overkan og underkan. reale av bilde innenfor rammen skal gjøres sørs mulig. Besem de sørse areale av bilde innenfor rammen. 18 cm 8cm oal y 1 1 bilde y ( 16)( y 36) ( 16)( 36) 1 16 bilde ( 16)( 36) ' bilde og y 1 15 De sørse areale blir da 15 bilde y ( 16)(15 36) cm,58m 3 3 lernaiv: Ellers man kunne god a: 1 oal ( a + 16) ( b + 36) 1 b 36 a + 16 bilde y a b 1 1a bilde y a 36 36a a + 16 a ( a + 16) 1a 16 36( a + 16) 36 bilde ( a + 16) ( a + 16) ( a + 16) a ( 16) ( 16) ogb bilde a b cm,58 m 3 rk 7/6

8 Lykke il! mir M. Hashemi Gunnar Fløysad ina Berg rk 8/6