Eksamen R2, Hausten 2009

Transkript

1 Eksamen R, Hausen 009 Del Tid: imar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med cenimeermål og vinkelmålar er illane. Oppgåve a) Deriver funksjonen f x x sinx Vi bruker produkregelen for derivasjon sin cos sin cos f x x x x x f x x x x x uv uv uv b) Forklar kva de vil yde a ein vinkel er mål i radianar. Kva for ein samanheng er de mellom radianar og grader? b Radianmåle v er forholde mellom bogelengda b og radien r, dvs. v. r Ein vinkel på 360 har ei bogelengd på r. I radianar svarar dee il r v. r Ein vinkel på 80 har bogelengd på r r. I radianar svarar dee il v. r Samanhengen mellom radianar og grader kan skrivas som 80 v v 80

2 c) Løys differensiallikninga y y 3x når y 0 3 x x x e y e y e 3x x x e y e 3x x x 3 e y dx e x dx 3 e 3x 3e x x x e y e 3x e 3 dx x x x e y e 3x e dx x x x e y C x x e 3x 3e C y e e e 3x 3 x y C e 3x 3 x y C e x x x y0 3 gir Ce 3 3 C 3 C 5 Dermed er 3x 3 5 y x e f x x x x d) Vi har polynomfunksjonen 3 f x er deleleg med x og fakoriser fx. Dersom x skal vere ein fakor i fx, må ) Vis a 3 f 0 f 0

3 3 3 x x x : x x x x x x 0 Dermed er x 3 x x x x x x x ) Vis a x x 3 x x x kan skrivas x x x x x x x 3 x x x x x x x x A B C 3 x x x x x x 3 x x A x x B x x C x x 3 x x x x x x x x x x x x x x A x B x x C x x 3 x x x x x x x x A B C x C 3B x B C A 3 x x x x x x De yder a A B C C 3B B C A C 3B A B 3B A 3 B B 3B 3 B B B C 3BC C B 3 3 A 3

4 De gir x x 3 x x x x x x x x 3 x x x x x x 3) Besem inegrale x x dx 3 x x x x x dx dx dx dx 3 x x x x x x ln x ln x ln x C x ln C x e) I ei rekkje er a x, a x og a3 x 8. Besem x slik a rekkja blir geomerisk. a a3 Rekkja er geomerisk dersom a a a x a3 x 8 a x a x x x 8 x x x x x x x 8 x x x x x x 8 x 8 x Rekkja blir dermed a, a og a Dee er ei geomerisk rekkje med k.

5 f) Summen av dei n førse ledda i ei generell geomerisk rekkje er a S n n k k Prov denne formelen ved induksjon. Dei n førse ledda i ei generell geomerisk rekkje er gi ved Vi skal alså vise a a a k a k a k n a k n k a a k a k a k n Seg, Induksjonsgrunnlage Vi skal vise a formelen gjeld for n. Prov Vensre side a a k Høgre side k a Formelen gjeld for n.

6 Seg, Induksjonssege Vi går u ifrå a formelen gjeld for n. Vi har då a S a a k a k a k Vi skal vise a formelen gjeld for Vi skal alså vise a a k n S a a k a k a k k a k k Prov S S a a a k a k a k a k a k ak k a k ak k k a k ak ak k a k ak k a k ak k a k k k a k k Vi har dermed vis a formelen gjeld for n. Eer induksjonsprinsippe gjeld formelen då for alle verdiar av n.

7 Oppgåve Gi punka A,,, B3,, 3 og C, 7, 5. a) Finn AB AC AB 3,, 3,, AC, 7, 5,6, AB AC,,,6, b) Finn AB AC 6 6,, 6 8, 6, Punka A, B og C ligg i plane. c) Finn likninga for plane. Undersøk om punke D,, 3 ligg i plane. Vekoren 8, 6, vil vere ein normalvekor il plane. Vi har då x y z x 8 6y 6 z 0 8x 6y z 3 0 Ei likning for plane er 8x 6y z 3 0 For å undersøkje om punke D,, 3 ligg i plane, se vi koordinaane il D inn i likninga for plane Punke D ligg ikkje i plane.

8 d) Besem ei parameerframsilling for ei linje l som går gjennom punke D, og som sår vinkelre på plane. Finn skjeringspunke S mellom l og. Vi har normalvekoren 8, 6, il plane. Punke D har koordinaane,, 3. Ei parameerframsilling for l er då gi ved x8 l : y 6 z 3 For å finne skjeringspunke mellom plane og linja l finn vi den verdien som er slik a punke ligg i plane. Vi se punke 8, 6, 3 inn i likninga for plane Skjeringspunke x y z Skjeringspunke har koordinaane,,

9 Del Tid: 3 imar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er illane, med unnaak av Inerne og andre verkøy som ille kommunikasjon. Oppgåve 3 Vi har ein revinkla rekan med kaear a og b og hypoenus c. Høgda ned på hypoenusen kallar vi h. Sjå figuren il høgre. a) Forklar a ab c h Dersom vi lar b vere grunnlinja i rekanen og a høgda, har vi Areal rekan ab Dersom vi lar c vere grunnlinja i rekanen og h høgda, har vi Areal rekan ch Då må ab c h. Bruk Pyhagoras sening og vis a a b h Vi har a ab c h ab c h Dee gir

10 a ab a b h a b a b h a b b a b a b h a b b a h Vi vil no sudere eraedere OABC. Hjørne O er plasser i origo, Aa, 0, 0 på x - aksen, B0, b, 0 på y - aksen og C0, 0, c på z - aksen. Sjå figuren nedanfor. b) Finn AB AC uryk ved a, b og c. AB [ a, b, 0], AC [ a, 0, c] Vi bruker wxmaxima og finn vekorproduke ABAC [ bc, ac, ab] Finn areale av rekanen ABC. Vi bruker wxmaxima og finn areale

11 Ei arealsening som er kalla opp eer Pyhagoras, seier a F F F F ABC OAC OBC OAB Her yder F areale av rekanen ABC. Tilsvarande gjeld for ledda på høgre side. ABC c) Konroller a arealseninga er re. OA a, 0, 0 a OC 0, 0, c c OB 0, b, 0 b ac ac F AOC a c ev. F AOC OA OC bc bc F BOC b c ev. F BOC OB OC ab ab F OAB a b ev. F 0AB OA OB F F F F ABC OAC OBC OAB bc ac ab ac bc ab ac bc ab ac bc ab Seninga er re. abc d) Avsanden frå O il ABC kallar vi h. Forklar a vi kan skrive F ABC h Volume V av eraedere OABC kan skrivas som G h a b a b V c c. 3 6 F ABC h Volume av dee eraedere er også gi ved. 3 Dermed er abc F ABC h 6 3 3abc F ABC h 6 abc F ABC h

12 e) Bruk c) og d) il å vise a a b c h ac a b c bc a b c ac bc ab abc h ac bc ab a b c h ab ab c a b c h a b c b a c h Oppgåve Du skal svare på anen alernaiv I eller alernaiv II. Dei o alernaiva el like mye ved vurderinga. (Dersom svare di inneheld delar av begge alernaiva, vil berre de du har skrive på alernaiv I, bli vurder.) Alernaiv I Vi vil sudere ein periodisk funksjon f gi på forma cos f x a cx d når x 0, Her er a, c, d og konsanar De blir oppgi a grafen av f har oppunk i, 6, og a de nærmase bonpunke er 3, a) Forklar a grafen av f må ha oppunk også i 5, 6. Skriv koordinaane il ei oppunk og o bonpunk il. Besem funksjonsurykke il f. Dee er ein periodisk funksjon. Vi ser a x i oppunke og a x 3 i de nærmase bonpunke. De yder a perioden er 3 Nese oppunk vil dermed komme for x 5, y - koordinaen blir lik i alle oppunka. De nærmase oppunke il høgre for bonpunke 3, blir dermed 5, 6. Ei anna oppunk vil vere 9, 6. To andre bonpunk vil vere 7, og,..

13 Vi bruker sinusregresjon i GeoGebra, og finn ei funksjonsurykk for f Vi får funksjonsurykke 3,5sin x,5 g x Grafen av cos x er forskyvd i forhold il sinx, og vi kan skrive,5 3,5cos x f x b) Kor minkar funksjonen raskas? Funksjonen minkar raskas i vendepunka,.5, 6,.5 og 0,.5. Desse punka er skjeringspunka mellom grafen av f og jamvekslinja der grafen av f minkar. (Vi finn desse punka ved å velje Skjering mellom o objek i GeoGebra. Sjå koordinasyseme ovanfor.)

14 c) Finn nullpunka il funksjonen ved rekning. 0 f x,5 3,5cos x 0,5 cos x 3,5,57x,57,37 n,57x,57,37 n,57x 3,9 n,57x 0,80 n x,5 n x 0,5 n De er løysingar for n 0,, og 3. Nullpunka blir,5, 0, 3,9, 0, 6,5, 0, 7,9, 0, 0,5, 0,,9, 0 d) Teikn grafen av f. Finn de samla areale av flaesykke som er avgrensa av grafen av f og linja y 5, og som ligg på oversida av linja. Areale avgrensa av grafen av f og linja y 5, og som ligg på oversida av linja blir de same areale som er avgrensa av grafen av f og x - aksen, og som ligg under x - aksen. Vi finn areale mellom dei o førse nullpunka og mulipliserer dee med 3. Areale mellom dei o førse nullpunka finn vi ved å inegrere f mellom,5 og 3,9.

15 Vi bruker wxmaxima og får 3,9,5 A 3 f x dx ,95 Alernaiv II Vi har funksjonen, 0, 9 f x x D f a) Besem volume av de omdreiingslekamen vi får dersom vi dreier grafen av f 360 om x - aksen. Vi bruker formelen for omdreiingslekam x x x V A x dx f x dx f x dx x x x x 8 V x dx x dx 0 0 0

16 Ei linje l er gi ved likninga y k, der k er ein konsan k 0, 3. b) Forklar a volume av den omdreiingslekamen vi får når vi dreier grafen av f 360 om linja l, er gi ved 9 V k x k dx 0 Dersom vi dreier fx om linja l, kan radien r i omdreiingslekamen urykkas ved Areale av ei sniflae er då gi ved r f x k x k. c) Finn Vk. Vi finn volume av omdreiingslekamen ved å finne inegrale mellom 0 og 9. 9 V k x k dx 0 9 x k x k dx x k x k x k 36k r f x k. d) Besem kva for ein verdi for k som gir de minse volume. 8 Vi eiknar grafen av urykke 9k 36k og finn bonpunke. De minse volume får vi for k. Volume er då V ,

17 Oppgåve 5 Ein ball med masse m kg blir slepp frå ei høgd h 30 m. Vi går u ifrå a lufmosanden er proporsjonal med faren v. Frå idlegare forsøk vei vi a den maksimale faren denne ballen kan oppnå når han fell, er 0 m/s. Vi lar yngdeakselerasjonen vere 0 m/s. I denne oppgåva vil vi rekne uan nemning. v v 0 der v v er faren eer sekund. a) Forklar a v0 0 og løys differensiallikninga. Faren er 0 før vi slepper ballen, alså ved 0. v v0 ve v e 0e e v 0e e v 0 e d e v 0e C v 0 C e Vi finn konsanen C ved å bruke a v Ce C 0 0 Løysinga blir v0 0 e

18 . Eer sekund har ballen falle srekninga s gi ved s v b) Finn ei urykk for s. s v s v d s 0 0e d 0 0 s e C s 0 60e C c) Kor lang id ar de før ballen reffer bakken? Kva er faren då? Vi må førs finne konsanen C. Vi bruker a s0 0 s 0 0 ( /0) 00 60e C 0 C 60 Ballen blir slepp frå ei høgd 30 meer over bakken. Vi se s 30 og får likninga Vi løyser denne likninga grafisk i GeoGebra e

19 Ballen reffer bakken eer,73 sekund. Faren er då v 0 0e,73 v,73 0 0e 9,8 I saden for å sleppe ballen kasar vi han verikal nedover med sarfaren v. 0 d) Kva må v vere for a ballen skal bruke sekund før han reffer bakken? 0 Vi har frå a) a v 0 C e og finn ei urykk for s Vi har a s0 0 og finn konsanen C s v s v d s 0 C e d s 0 Ce C Ce C C C s 0 Ce C Ballen skal bruke sekund før han reffer bakken

20 s 30 0 Ce C 30 C 3,8 Faren blir då v 0 C e v 0 3,8e

21 Og sarfaren v 0 blir 0 v 0 0 3,8e 8,