Aviser som utgangspunkt for samtaler i matematikktimen bortkastet tid eller?

Klasseromsforskning Aviser som utgangspunkt for samtaler i matematikktimen bortkastet tid eller? av ole kristian bergem og kirsti klette Tema for denne artikkelen er å drøfte didaktiske utfordringer knyttet til det å bruke oppgaver fra dagliglivet som utgangspunkt for å lære matematikk. De empiriske eksemplene som gjengis, er hentet fra PISA+ (Klette m.fl. 2008). PISA+ er en klasseromsstudie som omfatter fagene matematikk, naturfag og lesing. I studien fulgte man seks 9. klasser i østlandsområdet gjennom perioder på ca. tre uker. Alle timer i de tre fagene ble videofilmet, og lærere og elever ble intervjuet i etterkant av timene. Eksemplene nedenfor er tatt fra en undervisningssekvens ved en av skolene i prosjektet. Sekvensen bestod av to påfølgende matematikktimer. samtaler som læringsverktøy i matematikk Videoanalysene av matematikktimene i PISA+ viser at det generelt ble brukt lite tid på å arbeide med matematikkoppgaver fra dagliglivet (ofte kalt realistiske oppgaver). Det typiske mønsteret i matematikktimene var at elevene arbeidet individuelt med tradisjonelle oppgaver fra læreboka. Sekvensen nedenfor skiller seg klart ut fra dette. Således er den ikke typisk for forskningsmaterialet som helhet. Motivet for å velge ut disse to matematikktimene er at de illustrerer visse typer didaktiske utfordringer knyttet til det å bruke samtaler som undervisningsverktøy i matematikkundervisningen. Ved å presentere eksempler fra de to timene, ønsker vi å belyse læringsmuligheter og potensielle «fallgruver» knyttet til bruk av samtaler som læringsverktøy i matematikk. Læreren for den aktuelle klassen var en kompetent og dyktig matematikklærer med genuin interesse for fagets didaktiske utfordringer. Hun 4 200 8 bedre skole 11

Klasseromsforskning ledet klassen gjennom en undervisningssekvens som inkluderte bruk av ulike matematikkfaglige samtaler (både helklassesamtaler og samtaler i par eller grupper). Det er en arbeidsform som sterkt anbefales både i den internasjonale fagdidaktiske litteraturen (se for eksempel Sfard 2000; 2001, Sfard & Kieran 2001; Cobb mfl. 1997; 2000) og i våre læreplaner (KUF 96, K 06). Læreren brukte stoff hentet fra dagsaviser som utgangspunkt for de matematikkfaglige samtalene i klasserommet. I den første timen fikk elevene beskjed om å jobbe parvis. Oppgave 1 gikk ut på å finne to eksempler fra avisa som viste anvendelse av matematiske begreper. Oppgave 2 besto av flere deloppgaver, og disse oppgavene var klart strukturert i forkant. Læreren hadde her kopiert opp utdrag fra avisartikler som kunne knyttes til forståelse av sentrale matematiske begreper, og elevene ble så bedt om å kommentere disse avisutklippene. I den påfølgende matematikktimen, dagen etterpå, ledet læreren en klassediskusjon hvor elevenes ulike løsningsforslag ble drøftet. To av elevene i klassen, her kalt Tom og Frank, ble videofilmet i den første timen. Dialogen dem imellom vil bli brukt som utgangspunkt for vår drøfting. time 1 finne eksempler Etter at Tom og Frank hadde brukt relativt god tid på å lese oppgaveteksten og diskutere hvem som skulle gå og hente avisa, fikk de til slutt tak i en avis. De bestemte seg for å bruke et sektordiagram knyttet til en politisk gallup som eksempel, men hadde store problemer med å forstå den informasjonen som lå i diagrammet. Som en følge av dette greide de heller ikke å anvende relevante matematiske begreper i diskusjonen seg imellom. Etter at læreren hadde trådt støttende til og bedt dem om å skrive ned hvordan diagrammet ble brukt i avisa, lyktes de imidlertid i å formulere et meningsfullt svar: Tom: Vi skriver at Dagbladet viser størrelsen på de politiske partiene ved hjelp av et sirkeldiagram. De valgte seg så ut en 1. divisjons fotballtabell som neste eksempel. (22 minutter av timen hadde nå gått.) Tom foreslo at de skulle skrive at tabellen viser hvor mange poeng lagene i 1. divisjon har og målforskjellen til lagene. Det ble så gjort. Elevene var da ferdig med oppgave 1, den mest åpne. Lærerens innspill gjorde at elevene lyktes med å formulere et relevant svar på sitt første valgte eksempel. Det siste eksempelet, fotballtabellen, genererte derimot ikke noen dialog elevene imellom som kan knyttes til utvikling av matematisk begrepsforståelse. Så gikk guttene over til å se på de oppgavene som læreren hadde formulert. Den første var slik: Per (med røyk i munnen): At røyking er farlig er bare tull. Bestefaren min røykte to pakker sigaretter om dagen. Han var aldri syk og ble 87 år. 12 bedre skole 4 200 8

Følgende dialog utspilte seg: Tom: Det er bare noe han sier. Det er ikke sikkert det er sånn. Frank: Ja, han sier det bare. Men det kan være sant, det er noen som røyker som ikke (avbrytes av Tom). Tom: Ja, men det er ikke sånn. Røyking er ikke bra uansett. Frank: Ingen som røyker er sunne, hvis de røyker mye. Tom: Vi skriver det. (Begge begynner å skrive ned svaret. Etter noen sekunder leser Tom høyt det han har skrevet ned). Noen røyker uten å få kreft, men de andre får kreft. Frank: Vi skriver at de fleste dør av kreft. Det som kjennetegner denne dialogen, er at verken Tom eller Frank makter å knytte sin argumentasjon til matematiske begreper. Ingen statistiske referanser gjøres, selv om oppgaven åpenbart inviterer til at elevene skal dra veksler på sin forforståelse av statistiske sammenhenger og begreper. Ved at argumentasjonen kun er normativ, får dialogen dermed svært liten matematisk verdi. Det kan synes som om den nødvendige matematiske kompetansen ikke er til stede i denne gruppa, i hvert fall blir den ikke anvendt eller satt i spill. Dette illustrerer også noe av faren ved å benytte små grupper i denne typen arbeid. I en større gruppe vil muligheten for at noen kan komme opp med matematisk relevante argumenter være bedre. Neste oppgave Frank og Tom jobbet med, var denne: Stor overskrift i avisa: «Dobbelt så mange tilfeller av tuberkulose.» I underteksten står det at seks personer fikk tuberkulose i år, mot kun tre forrige år. Tom og Frank diskuterte hva slags kommentarer de her skulle gi, men fant ikke fram til noen fornuftig strategi. Læreren passerte, og Tom spurte henne om hjelp. Dialogen gikk slik: Lærer: Hvis du kjøpte avisa en dag, og dette var overskriften: «Dobbelt så mange tilfeller av tuberkulose». Hva ville du tro? Tom: At mange dør, at mange ville få det. Men så er det bare seks stykker, er det det du mener? Frank (svært ivrig): Det er bare seks personer, men en stor overskrift. Skulle tro det var minst hundre! (Læreren smiler bekreftende og går videre.) Gjennom støtten fra læreren har de to guttenes interesse for oppgaven økt, og de synes nå å forstå noe av hensikten med den. Ved å gi positiv respons på elevenes uttalelser har læreren også signalisert at hun forventer at elevene evner å forholde seg kritisk til bruken av matematiske begreper i mediene. Hun har ikke forlangt at de skal kunne redegjøre for dette ved hjelp av matematiske begreper; dialogen over har en relativt løs forbindelse til matematikk. Vi ser likevel at elevenes replikker er langt mer matematisk relevante enn det som kom fram i deres diskusjon av røykeoppgaven, da de var overlatt til seg selv. Elevene arbeidet også med to andre eksempler, og det samme mønsteret gjentok seg. Uten støtte fra læreren lyktes elevene i svært liten grad i å relatere sine innspill til matematikk. Argumentene som guttene benyttet, var i hovedsak knyttet til en hverdagslig samtaleform og hadde liten matematikkfaglig relevans. Det kan derfor virke som om denne typen oppgaver har svært uklar matematisk verdi for elevene, særlig dersom de overlates til seg selv. Elevene synes å trenge støtte fra læreren for å kunne lykkes i å relatere slike oppgaver til matematikk. I en stor klasse vil det imidlertid være vanskelig for læreren å finne tid til alle enkeltgruppene. Alternativt kunne man derfor tenke seg en strammere struktur rundt oppgavene, for eksempel ved at det ble gitt klart uttrykk for hvilke matematiske begreper elevene skulle relatere drøftingen av de ulike oppgavene til. Dette kan gjøres muntlig eller i form av sentrale stikkord som følger oppgavene. Slik vil elevene kunne bli ledet mot en mer matematisk relevant drøfting av stoffet. time 2 helklassediskusjon I den påfølgende matematikktimen neste dag ledet læreren en helklassediskusjon med utgangspunkt i elevenes svar på oppgavene. Alle satt i en sirkel, og samtalen foregikk i en 4 200 8 bedre skole 13

Klasseromsforskning fortrolig og inkluderende atmosfære hvor samtlige elever deltok. Læreren aksepterte alle svar, men ga særlig positiv respons på matematisk relevante innspill. Hun benyttet dessuten gjennomgående teknikken med selv å gjenta gode elevsvar (omtalt som «revoicing» i den engelske litteraturen), hvor for eksempel matematiske begreper ble benyttet. På en elegant måte benyttet hun elevenes egne formuleringer og innspill til å sørge for at diskusjonen hele tiden hadde et matematisk relevant innhold. Dermed ble samtalen løftet opp fra hverdagsnivået. Nedenfor følger en analyse av et par konkrete situasjoner som illustrerer hvordan hun lyktes med dette. eksempel 1 I den første oppgaven, hvor elevene selv skulle finne matematisk relevant stoff i avisa, viste det seg at flere hadde valgt relativt lite interessante eksempler, som sidetall og lignende. Læreren lot dette passere, uten kritiske kommentarer. Noen elever fortalte imidlertid om funn av ulike typer diagram, og læreren responderte da med anerkjennende bemerkninger, samtidig som hun ba disse elevene om å forklare hva denne type diagram var, og hvordan de var brukt i avisa. På denne måten sørget læreren for at diskusjonen ble knyttet opp mot relevante matematiske begreper. I tillegg ble elevene gjennom dette ledet til å forstå at matematisk kunnskap er relevant for å kunne tolke informasjonen vi får gjennom media. Kanskje aller viktigst elevene fikk selv mulighet til å formulere sin forståelse av matematiske begreper. Innenfor sosiokulturell læringsteori defineres ofte læring som det å utvide sitt faglige samtalerepertoar (Van Oers 2001). Den typen muntlig aktivitet som læreren i denne timen la opp til, og hennes aktive strukturering av den, er en arbeidsform som nettopp vil kunne utvikle elevenes matematikkfaglige samtalerepertoar ved at de selv blir «tvunget» til å formulere sin oppfatning av matematiske nøkkelbegreper. eksempel 2 Klassen diskuterte så oppgaven om røyking/kreft. Flere elever kom med normative utsagn à la Frank og Tom, kjennetegnet ved liten matematisk relevans. Læreren spurte da elevene om det var akseptabelt å vurdere røyking ut fra opplysningene i denne oppgaven. En elev sa da at det ikke ble eksakt når bare én person brukes som grunnlag. En annen elev fulgte umiddelbart opp dette og sa at man må bruke mange flere personer for å kunne si noe om hvor farlig røyking er. Læreren ga straks en svært positiv kommentar til det siste elevinnspillet og konkluderte med å si at det ikke er mulig å basere generelle konklusjoner på et så lite utvalg. Selv om det i liten grad ble anvendt statistiske begreper i diskusjonen av denne oppgaven, ser vi at læreren, ved å stille ledende spørsmål og gi positive kommentarer til adekvate innspill, fikk styrt samtalen inn i en matematisk retning. Elevene fikk slik mulighet til å delta i en relevant matematisk diskusjon med utgangspunkt i den gitte, hverdagsforankrede oppgaven. oppsummering I disse empiriske eksemplene ser vi at elevene, overlatt til seg selv, hadde store problemer med å knytte sin argumentasjon til matematiske begreper. Å sette elever til å samarbeide i grupper, med utgangspunkt i matematikkoppgaver hentet fra dagliglivet, fører altså ikke nødvendigvis til at matematisk forståelse stimuleres og utvikles. Det er svært viktig at man har støttestrukturer som gjør at elevene ledes inn i en retning som gjør at dialogen dem imellom blir matematisk meningsfull. Først da vil denne typen aktivitet kunne bidra positivt til utviklingen av elevenes begrepsforståelse. I helklassediskusjonen har læreren større kontroll. I de sekvensene vi har presentert herfra, har vi sett at læreren kontinuerlig sørget for at matematiske begreper ble introdusert og gjort relevante, samtidig som hun sørget for at elevene fikk ytre seg. Gjennom analyser av samtlige matematikktimer i PISA+-prosjektet kom det fram at det synes å være lite variasjon i arbeidsmåtene i matematikk. Svært mye tid brukes til felles 14 bedre skole 4 200 8

teoretisk gjennomgang på tavla og til individuell oppgaveløsning. Mange elever uttrykte at de derfor syntes at matematikk var kjedelig og demotiverende. Det er all grunn til å gi honnør til lærere som benytter alternative undervisningsmåter i matematikk, for eksempel ved å introdusere oppgaver av den typen som her er blitt omtalt. Det vil kunne bidra til å gjøre matematikkfaget mer meningsfylt og relevant for mange elever. Likevel er det grunn til å drøfte hvordan slike realistiske oppgavekontekster kan presenteres for elevene for at matematisk læring skal finne sted. Gjennom utvalgte eksempler har vi forsøkt å vise at elevene, dersom de overlates til seg selv, lett vil falle inn i hverdagssamtaler med liten matematikkfaglig relevans. Med støtte fra læreren, eller ved å gi elevene stikkord som gjør at de forstår hvordan den realistiske oppgaven kan knyttes opp mot matematiske begreper, vil det matematiske utbyttet av slike oppgaver kunne økes betydelig. (Artikkelen er skrevet på bakgrunn av en mer omfattende engelsk versjon som har følgende referanse: Bergem, O. K. & Klette, K. (2008). Talking about mathematical tasks; how can it foster student learning? I Y. Shimizu, B. Kaur, G. Sethole, & D. Clarke (Eds.), Mathematical Tasks in Classrooms around the World. Rotterdam: Sense Publishers. (In press). «Å kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk. referanser Cobb, P., A. Boufi, K. McClain, & J. Whitenack (1997). Reflective Discourse and Collective Reflection. Journal for Research in Mathematics Education, Vol 28(3), pp. 258-277. Cobb, P., E. Yackel, & K. McClain (Eds.) (2000). Symbolizing and communicating in mathematics classrooms: Perspectives on discourse, tools, and instructional design. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Klette, K., S. Lie, M. Ødegaard, Ø. Anmarkrud, N. Arnesen, O.K. Bergem, & A. Roe (2008). PISA+: Lærings- og undervisningsstrategier i skolen. Oslo: Forskningsrådet. KUF (1996). Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen. Oslo: Nasjonalt læremiddelsenter. K (2005). Kunnskapsløftet. Læreplan for grunnskolen. Oslo: Kunnskaps- og forskningsdepartementet. Det inneber òg å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte problem og løysingsstrategiar med andre». Læreplanen i matematikk, K06 Sfard, A. (2000). On Reform Movement and the Limits of Mathematical Discourse. Mathematical Thinking and Learning, Vol. 2(3), pp. 157-189. Sfard, A. (2001). There Is More to Discourse Than Meets the Ears: Looking at Thinking as Communicating To Learn More about Mathematical Learning. Educational Studies in Mathematics, Vol 46(1), pp. 13-57. Sfard, A., & C. Kieran (2001). Cognition as Communication: Rethinking Learning-by- Talking Through Multi-Faceted Analysis of Students Mathematical Interactions. Mind, Culture and Activity, Vol. 8(1), pp. 42-76. Van Oers, B. (2001). Educational Forms of Initiation in Mathematical Culture. Educational Studies in Mathematics, Vol 46 (1-3), pp. 59-85. ole kristian bergem er cand.scient. med hovedfag i realfagsdidaktikk. Han har flere års erfaring som lærer i ungdomsskolen. Fra 2002 har han vært tilsatt som forsker ved Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling (ILS), Universitetet i Oslo. Han har nylig levert sin PhD-avhandling med tittelen: Individuelle versus kollektive arbeidsformer. En drøfting av aktuelle utfordringer i matematikkundervisningen i grunnskolen. kirsti klette er professor i pedagogikk ved Pedagogisk forskningsinstitutt, Universitetet i Oslo. I de senere årene har Klette blant annet ledet det nordiske komparative forsk ningsprosjektet «Restructuring in Education: Reform Policy and Teacher Professionalism in Different Nordic Contexts». I 2000 2003 var hun koordinator i forsk ningsprogrammet Evaluering av Reform 97, temaområdet Læreplanverket fag og praktisk pedagogisk virksomhet. Kirsti Klette har publisert en rekke bøker og artikler fra sine forskningsfelt. 4 200 8 bedre skole 15