HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle uttrykker det v meer er rmelg å forutsette om sasylghetsfordelgee for som gjere avheger av ukjete (populasjos-) størrelser,,,, X, X, som v øsker å s oe om basert på data Eksempel Ud-modelle: X, X,, X er uavhegge og detsk fordelte med E( X) og var( X ) Regeeksempel (gtt på forelesge): X = x, x, dametere meter over bakke for et ret tlfeldg tre r trukket fra e skog EX ( ), som represeterer gjeomsttsdametere hele skoge, atas ukjet og skal estmeres basert på 3 uavhegge ervasjoer, x 68, x 8 og x 3 44 Estmatet x 647 er e ervasjo av e stokastsk varabel, ˆ X, som kalles estmator De erverte verde av dkeres av og tl ved dekse ( ˆ X x 647 ) E estmator er e erverbar stokastsk varabel (også kalt «ervator») At de er erverbar betyr at de kke avheger av oe ukjete størrelser (ukjete parametre) slk at v ka rege ut e verd (ervasjo) av de ut fra data F eks X er erverbar mes de stadardserte Z X er kke erverbar Selv om v kke ka ervere Z, har Z e sasylghets-fordelg (tlærmet N(0,)) ˆ Alteratve estmatorer for beteges ofte med akseter ˆ,,,, ˆ, osv Defsjo Hvs (teta) er e parameter og ˆ e estmator, ses ˆ å være forvetgsrett hvs E ( ˆ ) Feks,v har vst før at ud-modelle gjelder: E( X ), var( X ) ˆ ˆ ˆ * ˆ Dermed er X forvetgsrett, var( ), og er tlærmet ormalfordelt for "stor" ( 0) pga setralgreseteoremet Varase tl e forvetgsrett estmator er et uttrykk for estmatores pressjo dvs desto mdre varas, desto større pressjo For to alteratve forvetgsrette estmatorer, velg de som har mst varas
Estmerg av populasjosvarase, Valg estmator for ˆ S ( X X ) ud-modelle er utvalgsvarase var( X ) som ka vses (bevst boka uder regel 63) er forvetgsrett, dvs ˆ E ( ) I eksemplet er 3, og estmatet for blr ˆ ( X X) (68 647) (8 647) (44 647) 369335 Valg estmator for populasjos-stadardavvket var( X ) er, rett og slett, ˆ S ( X X ) I eksemplet blr estmatet:, (utvalgs-stadardavvket) ˆ 369 335 98 ˆ Merk at estmatore ˆ for populasjos-stadardavvket kke er forvetgsrett! Bevs: (v ser bort fra mulghete at var( ˆ ) 0 som X er e kostat) Sde E( ˆ ), har v 0 var( ˆ ) E ˆ E( ˆ ) E( ˆ ) E( ˆ ) E( ˆ ) Bevs slutt Så, ˆ er forvetgsskjev de har e tedes tl å uderestmere ltt, me prakss, hvs kke er svært lte, reges dee skjevhete for eglsjerbar Når øker, vl skjevhete gå mot 0 (ka vses) Begrepet stadardfel ( stadard error (SE) på egelsk) La (teta) være e ukjet parameter og ˆ e estmator ( ˆ er e erverbar stokastsk varabel også kalt e ervator ( statstc på egelsk))
3 Estmergsfel ˆ ˆ Kvadrert estmergsfel (stokastsk varabel) (stokastsk varabel) Forvetet kvadrert estmergsfel ( ˆ ) E (tall) Defsjo Stadardfel for ˆ E ( ˆ ) ( ˆ SE ) def def ˆ ˆ ˆ ˆ (Fra før: stadardavvket tl var( ) E( E ( )) ) Koklusjo: Hvs ˆ er forvetgsrett ( E( ˆ ) ), er stadardfele tl ˆ det samme som stadardavvket tl ˆ (dvs SE( ˆ ) var( ˆ ) SD ( ˆ )) Eksempel (Oppsummerg) La x, x,, x være uavhegge ervasjoer av X med populasjosfordelg f( x ), E X X ( ) og var( ) Statstsk modell X, X,, X er uavhegge og detsk fordelte (ud) med felles fordelg lk de for X ( f( x )), for,,, x X E( X) og var( X ), og Da er ˆ X og ˆ S ( X ) X ˆ begge forvetgsrette estmatorer Stadardfele tl er SE( ˆ ) var( ˆ ) var( X ), som valgvs er ˆ ukjet og estmeres ved SE( ˆ ) Dette gjespeles, feks, «descrptves output») Excel:
4 «Descrptves output (Excel)» for regeesksemplet DATA (x) 68 Mea 6466667 <- ˆ x X 8 Stadard Error 09554 <- (estmert) 44 Meda 68 Mode #N/A Stadard Devato 9805 <- SE( ˆ ) ˆ S Sample Varace 3693333 <- ˆ S Kurtoss #DIV/0! Ikke pesum Skewess -075704 Ikke pesum Rage 38 <- max x m x Mmum 44 Maxmum 8 Sum 94 Cout 3 (Merk at dette tlfellet blr «stadard error» = «stadard devato» delt på rote av =3)) Oppsummerg av oe valg estmatorer for tre dskrete modeller kapttel 5 (Eksempler gtt avstt 6 og oppgaver) Bomsk modell X ~ b(, p ) der p P( S ) atas ukjet og er atall bomske forsøk E( X ) p og var( X ) p( p ) pˆ X (relatv frekves av S-er forsøk) er forvetgsrett for p ( ( ˆ) X E p E E( X ) p p) med varas p( p) p( p) var( pˆ ) og stadardavvk (= stadard fel), ˆ X var var var( ) p ( ) ( p p X p p ) ( )
5 Posso prosess X ~ pos( t ) (X er atall hedelser løpet av t tdseheter), der (forvetet ssdesrate pr tdsehet) atas ukjet (Modelle E( X ) var( X ) t ) ˆ X t (ervert sdesrate pr tdsehet) er forvetgsrett for ( ( ˆ ) X E E E( X ) t ) t t t med varas ˆ X var( ) var var( ) X t, og stadardavvk t t t t (= stadardfel ), t t Hypergeometrsk modell X ~ hypergeom( N, M, ), der X er atall eheter med et kjeeteg A et ret tlfeldg utvalg på eheter trukket fra e populasjo beståede av alt N eheter hvorav M (ukjet) eheter har kjeeteget A Relatv adel av A-er populasjoe (som valgvs øskes å aslås) er p M N M M M N (Modelle E( X ) og var( X ) N N N N pesum)) (kke vst, me oppgtt pˆ X M (relatv frekves av A-er utvalget) er forvetgsrett for p N ( ( ˆ X M M E p) E E( X ) p ) N N med varas, ˆ X N p var( ) var var( ) ( ) ( p ) N p X p p N N og stadardavvk (=stadardfel) p( p) N N Merk at hvs v øsker å estmere M, vl Mˆ blr stadardfele for ˆM? Np ˆ være forvetgsrett (hvorfor?) Hva