~/sa23/eori/bonus8.ex TN STAT 23 V28 Inrodukson il bonus og overskudd Bankinnskudd Ana a vi ønsker å see e viss beløp y i banken ved id = for å ha y n ved id = n. Med en reneinensie δ må vi see inn y = yne δ n ved id =. Vår bankinnskudd vil med denne reneinensieen uvikle seg eer dy d = δ y, og blir som funkson av iden y = y e δ = y ne δ n e δ = y ne δ (n ) La oss nå ana a vi får en høyere reneinensie δ, δ > δ, enn de som vi forusae da vi beregne y. Med den nye reneinensieen vil innesående uvikle seg eer dy = δy d, og vi vil ha y = y e δ og dermed y y = y (e δ e δ ) > En annen måe er se den nye siuasonen på er å enke oss a vi syrer uviklingen på konoen ved å appe den for e beløp c d i idsinervalle (, +d) på en slik måe a konoen uvikler seg som y selv om reneinensieen er δ. Sammenlikner vi så de o likningene ser vi a dy d dy d = δ y c = δ y, c = (δ δ ) y Hva vi gør med overskudde kan være så ymse. Vi kan spise de opp (fr. olkningene i oppgavene 3.4 og 3.6), eller vi kan see de il forrenning på en annen kono som også har reneinensie δ. esående akkumuler på denne konoen ved id blir S = e δ( τ) c τ dτ = e δ( τ) (δ δ ) y e δ τ dτ = y (e δ e δ ) = y y Vi har splie formuen opp i o deler: de vi rodde den skulle bli da vi regne med vår grunnlag opprinnelige grunnlag δ, y, pluss de overskyende som vi hele iden har sa på en egen kono S. Vi ser a y = y + S. Denne fremgangsmåen er basis for begrepene overskudd og bonus i Livsforsikring. Vi må da a hensyn il mulighe for dødsfall. 1
Ren opplevelsesforsikring med engangspremie Vi anar a de egnes en n-års ren opplevelsesforsikring med engangspremie for (x). Thiele: δ d U V+d(1 µ x+ d) som gir dierensialikning med grenseingelser: d d = (δ + µ x+) V = S n E x V n = S. De ekniske grunnlage (δ, µ ) velges på den sikre side. De beyr a mes rolig vil erfaringsgrunnlage (δ, µ) være gunsigere for selskape. Vi ser a dersom δ > δ og µ x > µ, vil løsningen V av den ilsvarende Thiele-likningen dv = (δ + µ d x+ )V vokse hurigere enn V dersom de har samme sarverdi for =. Siden vi ikke renger å ha sørre reserve enn de som beregnes fra de ekniske grunnlage, beyr de a vi kan appe e viss overskudd c d i idsromme (, + d) og fremdeles få reserven i middel il å vokse som. Dee overskudde kalles sikkerhesbidrage. Dersom vi bruker erfaringsparamerene (δ, µ) og ar vekk overskudde, kan vi see opp, siden vi med c syrer de hele slik a reserven il ehver idspunk blir. U +d(1 µ x+ d) δ d c d apping av overskudde Dee gir dierensiallikningen: d d = (δ + µ x+ ) c Sammenlikne med likningen baser på de ekniske grunnlage gir dee: c = (δ δ + µ x+ µ x+) som viser a når δ > δ og µ x+ > µ x+, er c > slik a i samsvar med inuisonen er de overskudd. Dee gir penger ved idspunke. Vi kan så akkumulere/diskonere dem il de akuelle idspunke med erfaringsgrunnlage (δ, µ) slik a midlere akkumuler overskudd for hele porefølen ved vil være: S() = e δ( τ) τp x c τ dτ 2
Dødsrisikoforsikring Vi ser så på en dødsrisikoforsikring for (x) med ubealing av S ved død innen n år. Premie beales med konsan inensie π. Thiele: som gir dierensiallikningen U δ d Sµ x+ d π d +d(1 µ x+ d) d d = (δ + µ x+) + π Sµ x+ V = V n =. Regning med erfaringsgrunnlage (δ, µ) og sikkerhesbidrag c gir ilsvarende d d = (δ + µ x+ ) + π Sµ x+ c V = V n = og sammenlikning av disse gir c = (δ δ ) + (µ x+ µ x+)( S) som krever a dødsinensieen µ x+ i de ekniske grunnlage er sørre enn i erfaringsgrunnlage µ x+, på grunn av a V < S for en dødsrisikoforsikring, Dee er den mosae av relasonen mellom de o dødsinensieene il siuasonen for opplevelsesforsikringen i forrige avsni. Samenlikning disse eksemplene og Norberg 8.3.B. Vi har o ilsander levende() og død(1). V 1 =, µ 1 =, µ 1 = µ x+ V =, µ 1 =, µ 1 = µ x+ Opplevelsesforsikringen Her er b 1 = b 1 = som gir R 1 = b 1 + V 1 V = V R 1 = 3
slik a c () = (δ δ ) + R1(µ 1 µ 1 ) (8.9) = (δ δ + µ 1 µ 1) V c 1 () = Dødsrisikoforsikringen Her er b 1 = S mens b 1 = som gir slik a her er R 1 = b 1 + V 1 V = S V R 1 = c () = (δ δ ) V + (µ µ ) (S V ()) c 1 () = Vi har alså i begge eksemplene idenikasonen c = c () og vi har S() = = e δ( τ) p (, τ) c (τ) dτ e δ( τ) p x (, τ) c (τ) dτ (8.1) Generel går hel analog: V () δ V d U ( + d)(1 µ. d) k k µ k d b d b < beyr premie b k µ k d k som gir Thieles dierensiallikning for de ekniske grunnlage: d d = (δ + µ ) (b k + Vk )µ k b k 4
For erfaringsgrunnlage blir de hel analog når vi ar med sikkerhesbidrage fra ilsand : d d = (δ + µ ) (b k + Vk )µ k b c k Sammenlikning av disse gir c = (δ δ ) + (b k + Vk V )(µ k µ k ) k = (δ δ ) + k R k(µ k µ k ) som er likning (8.9). Med vår heurisiske måe skriver vi sraks opp urykk for porefølens midlere akkumulere overskudd ved id dvs likning (8.1) og de ilsvarende på dierensiell form. S = e δ( τ) c (τ) p, (τ) dτ ds = S δ d + c () d p, () Leddene i de sise urykke genkenner vi som rene på de midlere akkumulere overskudd i (, + d) og midlere ny bidrag il overskudd fra de samme idsinervalle. Dividender og bonus På grunn av a premier beregnes med eknisk grunnlag, vil vi med sor sannsynlighe ha overskudd. I følge loven ilhører dee kunden og skal ilbakebeales i sin helhe. Dee beløpe, som skal ilbakebeales, kalles dividende. De sår ikke i konraken. De avhenger hel hva erfarings grunnlage blir. De kan ikke besemmes ved id =. De er sor grad av vilkårlighe angående behandling av dividenden, dvs når den skal godskrives kunden. Den skal hele iden akkumuleres eer erfaringsgrunnlages rene. Dersom den er godskreve kunden, er den ikke ilgengelig for selskape i fall de skulle bli dårlig forrening en gang i fremiden. De o enklese skemaene for føring av dividende er conribuion scheme dvs. sikkerhesbidrage godskrives som dividende sraks de kommer inn, og erminal dividend dvs. al kredieres kunden førs ved konrakens opphør. Bonus er de akuelle ubealingene av dividenden. Her er de da også mange muligheer med yerpunkene cash bonus dvs. alloker dividende beales u sraks og erminal bonus en vener il konrakens opphør. 5