1 Frelesnng 9 Kapttel.6-3.1 g Appendx A, Bævre g Vsle (007: Nærngsstruktur, nternasjnal handel g vekst Egenskaper ved betngete etterspørselsfunksjner Hmgentet Kstnadsfunksjnen er hmgen av grad 1 faktrprsene, da må den derverte være hmgen av grad 0 (Euler s setnng. Euler: F( tk,tl tf( K,L Derverng på begge sder mhp K gr F( tk,tl ( tk F( tk,tl F( K,L t t ( tk K ( tk K FtK,tL FK,L ( tk K De førstederverte er hmgene av grad 0 faktrene Starter med den derverte: C( w,q, w t-dblng av faktrprsene gr ngen endrng faktretterspørselen (husk prduksjnen er gtt C( tw,tq, C( w,q, ( tw w Men da v har Cw,q, ( Cw,q, Lw,q,, Kw,q, w q så må gså de betngete faktretterspørselsfunksjner, Lw,q,,Kw,q,, være hmgene av grad null faktrprsene. Dette så v drekte ved å se på betngelsen avledet fra førsterdensbetngelsene kstnadsmnmerngsprblemet w FL ( L,K, faktrprsfrhldet lk MSB q F ( L,K K En prprsjnal endrng faktrprser vl kke påvrke de ptmale løsnnger fr faktretterspørsel.
Fr å få fram penget med at det bare er relatve prser sm betyr ne fr etterspørselen kan v multplsere prsene etterspørselsfunksjnen fr arbedskraft med t = w/q w w L( w,q, L (, 1, L (, q q Samme fr betnget faktretterspørselsfunksjn fr kaptal Vrknng på etterspørsel av en endrng faktrprs C( w,q, L( w,q, 0 w w Dette følger av at kstnadsfunksjnen er knkav faktrprsene, synkende margnalkstnad en prs, g avhenger av at det er substtusjnsmulgheter mellm faktrene. Når lønna går pp vl prdusenten substtuere seg brt fra arbedskraft g bruke mer kaptal fr å prdusere samme mengde. Uten substtusjnsmulgheter, fr eksempel ved en lmtasjnslv Mn[ L, K] så blr endrng faktretterspørsel lk null. Tegnng nn her Vrknnger av etterspørsel etter L av en endrng prsen q C( w,q, C( w,q, L( w,q, wq q w q Men hvrdan er det med frtegnet her? Kan bestemme frtegnet ved å dervere mhp t på begge sder av lknngen Ctw,tq, Cw,q, (hmgentet av grad 0 w,q ( tw w Dette gr: C( tw,tq, ( tw C( tw,tq, ( tq tw t tw tq t Ctw,tq, Ctw,tq, w q ( tw ( tw ( tq C( w,q, C( w,q, ( 1 w( 1 q 0 w wq
3 Lknngen etter lkhetstegn nr følger av hmgentet av grad (-1 av de andrederverte, sste lkhet følger av at høyresden utgangspunktet ver kke er avhengg av t. Fra sste lknng ver får v: C( w,q, C( w,q, w 0 wq w q Altså har v Lw,q, 0 q Uten substtusjnsmulgheter får v denne lk null. Oppsummerng av resultater: Ved substtusjnsmulgheter g ndre løsnnger på kstmn-prblemet har v Lw,q, ( Kw,q, 0, 0 w q Lw,q, ( Kw,q, 0, 0 q w Kstnadsfunksjnen ved knstant skalautbytte Fra kst-mn prblemet har v 1-rdensbetngelsene w F( K,L L q F ( K,L K F(. er hmgen av grad 1 K g L. Da har v at de derverte er hmgene av grad 0 K, L. Dette vl s at prprsjnale endrnger K g L kke endrer grenseprduktvtetene. Elmnerng av Lagrangeparameteren gr ss systemet w F L( K,L q F ( K,L K F( K,L Den første lknngen utrykker at faktrprsfrhldet er lk den margnale substtusjnsbrøk, MSB. Denne er hmgen av grad 0 faktrene. Tegnng nn her, skst g skvant, fg 4.
4 En skln er en kurve faktrrmmet hvr MSB er knstant. V ser at ved en prprsjnal endrng faktrene vl MSB være knstant, altså er en faktrstråle fra rg en skln. Men denne sklnen er substtumalen, eller ekspansjnsveen fr knstante faktrprser fr en prduktfunksjn sm er hmgen av grad 1. (legg nn tegnngen La endres, hvlket frhld skal v ha mellm faktrene? J, fr å mnmere kstnadene ved prduksjnsøknngen så må faktrene endres prprsjnalt da MTSB vl være knstant henhld tl betngelsen venfr. Ved en prprsjnal endrng av faktrene ser v av de pprnnelge førsterdensbetngelser at Lagrangeparameteren kke vl endre seg da grenseprduktvtetene er hmgene av grad 0 faktrene g faktrene endres prprsjnalt. Men Lagrangeparameteren vl endre seg ved faktrprsendrng. V kan derfr betrakte denne sm en funksjn kun av faktrprsene. Da v ser på kst-mn vl faktrene alltd endres prprsjnalt w q ( w,q F F L K V setter nn fr faktrprsene kstnadsutlegget C wlqk FLFK ( FLFK L K L K Den sste sammenhengen får v frd prduktfunksjnen er hmgen av grad 1 (passuslknngen. V kan da skrve C( w,q, ( w,q c( w,q Kstnadsfunksjnen utledet fra en prduktfunksjn sm er hmgen av grad 1 kan dekmpneres multplkatvt et ledd sm er en funksjn av faktrprsene g prduktmengden. Gjennmsnttskstnaden blr en funksjn bare av faktrprsene Cw,q, C ( w,q c( w,q Gjennmsnttskstnaden er lk grensekstnaden Cw,q, ( w,q C Bruk av Shephard s lemma tl å fnne de betngete faktretterspørselsfunksjner når prduktfunksjnen har knstant skalautbytte
5 Cw,q, w L( w,q, ( w,q ( w,q w w q Cw,q, w Kw,q, = ( w,q kw,q k q q q Oppsummerng av resultater F( tk,tl tf( K,L C( w,q, c( w,q L( w,q, ( w,q, K( w,q, k( w,q K w L q Bedrftens prduksjn Maks p C( w,q, p c( w,q ( p c( w,q Hvs p > c(w,q får v ngen entydg løsnng fr, hvs p < c(w,q legges bedrften ned. Må ha p = c(w,q et marked, g kvantum bestemt va andre mekansmer, prftten blr null. Dualtet Kstnadsfunksjnen gjør ss stand tl å fnne prduktfunksjnen, kstnadsfunksjnen nnehlder all teknsk nfrmasjn m prduktfunksjnen nnenfr substtusjnsmrådet, dvs mrådet med kke-negatve grenseprduktvteter. 3. Lkevekt en lten åpen øknm Lkevektsbetngelser p = c(w,q (får kke endelg prduksjn ved p>c, får null prduksjn ved p<c Lkevekt et land med t nærnger, prduktmarkedene p c ( w,q p 1 1 c ( w,q Faktrmarkedene L L L 1 K K K 1 Prblemstllng: fnne de endgene varable sm funksjner av de eksgene. Innsettng av de betngete etterspørselsfunksjner
6 L ( w,q, L ( w,q, L 1 K ( w,q, K ( w,q, K 1 Utnyttng av knstant skalautbytte, bruk av Shephard s lemma c ( w,q c ( w,q L 1w 1 w c ( w,q c ( w,q K 1q 1 q Systemet består av 4 lknnger 4 endgene varable w,q, 1, g 4 eksgene varable p 1,p,L,K p c ( w,q p 1 1 c ( w,q c ( w,q c ( w,q L 1w 1 w c c( w,q c ( w,q K 1q 1 q De t første lknngene nnehlder t endgene varable g t eksgene, kan løse delmdellen g få de endgene sm funksjner av de eksgene p c ( w,q, p c ( w,q 1 1 w w( p,p, qq( p,p 1 1 Går vdere med den rekursve strukturen g setter nn fr faktrprsene de t sste lknnger c ( w,q c ( w,q c ( w( p,p,q( p,p c ( w( p,p,q( p,p L 1w 1 w 1w 1 1 1 w 1 1 c ( w,q c ( w,q c ( w( p,p,q( p,p c ( w( p,p,q( p,p K 1q 1 q 1q 1 1 1 q 1 1 Dette er t lknnger med t endgene varable 1 g g 4 eksgene varable p 1,p, K, L ( p,p,l,k 1 1 1 ( p,p,l,k 1 V kan nå prnsppet fnne vrknngene på w,q, 1, av endrnger prduktprsene g faktrmengdene.