Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..7 (..7) Kurven r( t) (, t, t), t ligger i - plnet. Dette gir lterntiv b eller f. Setter inn t som gir punktet (, ) som bre er med i lterntiv f. Vi ser også t kurven er en prbel, noe som stemmer med lterntiv f, mens lterntiv b er en rett linje som ikke psser. Svr: Kurven i nr. 7 svret til lterntiv f. Oppgve 5.. 8 (..8) Kurven r( t) (cos t,,sin t), t er prmeterfrmstillingen v en hlvsirkel i - plnet. Eneste lterntiv er h. Svr: Kurven i nr. 8 svret til lterntiv h. Oppgve 5.. (..) Vi skl beregne kurveintegrlet ( ) ds lngs kurven gitt ved prmeterfrmstillingen r( t) ( t, t, t), t. Vi bestemmer først koordintene til punktene på kurven,, som funksjoner v prmeteren t. r prmeterfrmstillingen hr vi t ( t) t, ( t) t, ( t) t. Deretter finner vi integrnden som funksjon v t lngs kurven,. Innsetting v t uttrkkene for de tre koordintene/vriblene i funksjonen gir t t t ( t) t t. b Linjeintegrl gjøres om til prmeterform ved f (,, ) ds f ( r( t)) r ( t) dt. Vi trenger hstigheten lngs kurven r ( t) ( t, t, t ) (,, ), hvor det er derivert komponentvis. Lengden v frtsvektoren, frten, blir fr Ptgors setning Innstt i linjeintegrlet får vi: ( ) ds (t t ) dt [ t t t ] ( ). r ( t ) ( ). Kommentr: Mengden v mulige prmeterfrmstillinger til en gitt kurve er ubegrenset. At det er slik er intuitivt klrt siden kurven er veien mellom to punkter og en prmeterfrmstilling er en bestemt måte å kjøre lngs veien fr det ene punktet til det ndre. Siden smme vei kn kjøres på utllige forskjellige måter, fort, lngsomt, rgge smt med og uten puser for å nevne noen vrinter, innser vi t smme vei kn prmetriseres på mnge måter. elles for disse er t de gir smme svr og derfor gjelder det å velge en så enkel prmeterfrmstilling som mulig for å få enkle beregninger.
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5.. (..) Vi skl beregne kurveintegrlet ( ) ds lngs en rett linje fr (,,) til (,,). Vi må finne en prmeterfrmstilling v linjestkket,. Vi generliserer til et linjestkke fr punkt til punkt b, som er to vilkårlige punkter i rommet. Den enkleste prmeterfrmstillingen v linjestkket er r( t) t( b ), t. Bevis: r() og r() ( b ) b så kurven strter og slutter i riktig punkt. Videre er kurven en rett linje siden t( b ) er prllell med vektoren ( b ) for lle t verdier. Siden linjen er entdig bestemt når to punkter er gitt på linjen, så følger t prmeterfrmstillingen gir linjestkket mellom og b. Vektoren fører til en forskvning v den rette linjen prllell med vektoren ( b ). Siden linjestkket strter i (,,) og slutter i (,,) må (,,) og b (,,). Prmeterfrmstillingen v linjestkket i oppgven blir: r( t) t( b ) (,,) t{(,,) (,,)} ( t, t, t), t. Dette gir koordintfunksjonene t, t, t. Integrnden lngs kurven blir ( t) ( t) ( t) 6 6t. rtsvektoren blir: r ( t) ( t, t, t) (,, ) r ( t ) (,, ) ( ) ( ) ( ) 4. Innstt i integrlet gir dette ( ) ds (6 6 t) 4 dt 4[6t t ] 4. Oppgve 5..7 (..9) Vi skl beregne kurveintegrlet v f (, ) lngs kurven. Istedenfor :, å innføre t som prmeter, beholder vi som vribel. Dette gir en lterntiv frmgngsmåte som bentter buedifferensilet: ds ( d) ( d ). Med blir d d d og ds ( d) ( d) d. Lngs kurven blir funksjonen Innstt får vi grenser: f (, ) ds ds d. Vi innfører u, u 5. Kurveintegrlet blir: 5 5 du 5 ds u [ u ] (5 ) (5 5 ). f f. (, ) (, ) u d. Ne du Kommentr: Denne lterntive måten, som gir løsningen direkte uten å gå vi en
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). prmeterfrmstilling, er ingen n metode. Egentlig er det en prmeterfrmstilling med prmeteren t. Metoden/Prmetervlget kn brukes når lle de ndre vriblene er uttrkt ved kun en romkoordint (, eller ) lngs kurven. Oppgve 5..5 (..5). Mssen er m (,, ) ds, hvor (,, ) er mssetettheten per lengde med enhet kg/m, lngs kurven. Kurven er gitt på prmeterform som r( t) ( t, t,4 t ), t. Vi b bruker prmeterversjonen v kurveintegrlet m (,, ) ds ( r( t)) r ( t) dt. Vi hr t ( r( t)) ( ( t), ( t), ( t)) t lngs kurven. Leddvis derivsjon gir frtsvektoren r ( t) ( t, t,4 t ) (,, t ) og lengden v vektoren, dvs. frten er r ( t) (,, t) ( ) ( ) ( t) t. Innstt blir mssen v vieren m t t dt. Igjen må vi skifte vribel i integrlet: du t grenser: t u, t u. Mssen blir du t m t u [ u ] ( ) 4. u t dt. Ne Oppgve 5.. (..) g g g ( e ln( ) ( e ln( ) ( e ln( ),,,,,, g e, hvor vi hr brukt kjerneregelen med u, og t ln u. u u u Oppgve 5..b (..b) Vi beregner rbeidet på et mssepunkt utført v krftfeltet (,,), når prtikkelen tvinges til å følge kurven gitt ved prmetrieringen i lterntiv b: 4 r( t) ( t, t, t ), t. Arbeidsintegrlet er W dr ( r( t)) r ( t) dt. Prmeterfrmstillingen gir t kurven gir 4 ( r( t)) (t t, t,). stigheten er b 4 t, t, t. Innstt i vektorfeltet finner vi feltet lngs 4 r ( t) ( t, t, t ) (, t,4 t ). Sklrproduktet 4 5 ( r( t)) r ( t) (t t, t,) (, t,4 t ) t t 6t 4t. Arbeidet blir 5 6 4 6 4 W t t 6t 4 t dt [ t t t t ].
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Kommentr: Et mssepunkt som er påvirket v krefter følger Newtons ndre lov m, hvor krften er resultntkrften på mssepunktet. Kreftene bestemmer mssepunktets bevegelse. Kurven bestemmes fr Newtons ndre lov, og d er det litt merkelig t mssepunktet bre følger en eller nnen forutbestemt bne. Dette er mulig for i tillegg til krftfeltet som vi bruker til å beregne utført rbeid, virker det føringskrefter. Disse kreftene, smmen med den oppgitte krften, tvinger mssepunktet til å følge den forutbestemte bnen. Vi kn derfor ikke beregne totlrbeidet på mssepunktet, og dermed endringen i kinetisk energi, siden føringskreftene er ukjente. Vi beregner kun den delen v totlrbeidet som det gitte vektorfeltet utfører. Oppgve 5.. (..6) b Arbeidet W dr ( r( t)) r ( t) dt. Prmeterfrmstillingen v kurven er r( t) (sin t,cos t, t), t. Vektorfeltet er 6 ( r( t)) (6,, ) ( t,cos t,sin t ). stigheten er r ( t) (sin t,cos t, t) (cos t, sin t, ). Sklrproduktet gir 6 6 6 (6,, ) som lngs kurven blir ( r( t)) r ( t) ( t,cos t,sin t) (cos t, sin t, ) t cos t sin t cos t sint. Arbeidsintegrlet reduseres til W t cost sin t cos t sin t dt. Integrnden består v tre ledd. Det første løses ved delvis integrsjon, det ndre ved substitusjonen u cos t og det siste løses direkte. Vi kn også observere t vi integrerer over en hel periode for sinus og cosinus. Dette gjør t det siste leddet gir. Det midterste leddet gir også siden en odde funksjon. Dermed er W t cos t dt [ tsin t ] sin t dt. sin tcos t er Oppgve 5.. (..7) Beregn linjeintegrlet d ( ) d lngs kurven gitt som fr (,) til (,4). Vi velger som prmeter, dvs. t. r punktenes førstekoordint ser vi t integrsjonen d blir fr til. Differensilet i vribelen blir d d d. Innstt i linjeintegrlet for vribelen og differensilet d får vi 4 4 d ( ) d { ( ) } d d [ ]. 6 69 4 4 d 4
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..5 (..9) T ds d r d d. Vektorfeltet Kurven er gitt ved funksjonsuttrkket (, ) gir slippe å regne med kvdrtrot bruker vi som vribel. Dette gir hr t verdiene strter med og slutter med. Integrlet blir,. fr punktet (4,) til punktet (, ). or å d ( ) d d. Vi 6 9 6 T ds ( d d) {( ) } d [ ] 64. Oppgve 5.. (..6) Sirkulsjon og fluks til vektorfeltet (, ) (, ) beregnes enklest ved bruk v Greens setninger, men her skl linjeintegrlene beregnes direkte. Kurven er en hlvsirkel med rdius som på prmeterform blir r( t) ( cos t, sin t), t og linjestkket s( t) ( t,), t. Vi ser t kurvens omløpsretning er mot klokk, ltså positiv. Vi trenger linjeintegrlene på prmeterform. Sirkulsjonen er b b dt. luksen er dt. Derivsjon v kurvene gir r ( t) ( sin t, cos t), t smt s ( t) (,), t. Beregning v integrlene krever t kurven deles i to deler. Vektorfeltets komponenter er cos t og vektorfeltet t og og. Lngs hlvsirkelen blir disse sin t. Lngs linjestkket blir komponentene til. Innstt gir dette ( cos )( sin ) ( sin )( cos ) t t t t dt t dt [ cos t sin t ] [ t ] og ( cos )( cos ) ( sin )( sin ) t t t t dt t dt ( sin t) cos t ( cos t) sin t dt [sin t sin t cos t cos t ] ( ). 4 5
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..6 (..) Vi skl beregne fluksen til vektorfeltet hjørner (,), (,), (,). (, ( )) ut v treknten med ( ) ( ) n ds d d d d, hvor kurven,, er rnd til treknten. Vi deler kurven opp i tre deler. Linjestkket,, lngs ksen fr (,) til (,). er er d. Innstt n ds ( ) d d [ ]. Linjestkket fr (,) til (,) er d d med fr til. Innstt nds ( )( d) ( ( ) ) d ( ) d d [ ]. Linjestkket fr (,) til (,) er d d med fr til. Innstt n ds ( ) ( ( ) ) d ( ) d 4 d [ ] ( ). Kurven er så n ds n ds n ds n ds. Oppgve 5..49 (..9) Beregn strømningen fr vektorfeltet (,, ) (,, ) lngs kurven gitt ved prmetriseringen r( t) (cos t,,sin t), t. Merk t kurven ikke er lukket siden r() (,,) (,,) r ( ). ølgelig kn ikke Stokes setning brukes til å beregne sirkulsjonen, d denne krever lukket kurve. Vi hr b dt. er er vektorfeltets komponenter lngs kurven cost sin t, og cost. De deriverte finnes fr r ( t) ( sin t,,cos t), t. Innstt i integrlet blir dette (cos sin )( sin ) (cos )(cos ) cos sin sin cos t t t t t dt t t t t dt sin t dt [ cos t t ]. 4 6
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..6 (..6) Vi skl vgjøre om vektorfeltet (,, ) ( e cos, e sin, ) er konservtivt ved å forsøke å konstruere en potensilfunksjon til feltet. Konstruksjonen gir likningene ) e cos ) e sin. ) Integrsjon v ) gir e cos d e cos A(, ). Innstt i ) får vi ( e cos A) A A Potensilfunksjonen hr formen e cos B( ). Innstt i ) får vi e sin e sin A(, ) B( ). ( e cos B) ( ) ( ) B B d. Vi hr funnet lle potensilfunksjoner til vektorfeltet som Siden vektorfeltet hr en potensilfunksjon er det konservtivt. (,, ) cos e. Oppgve 5..8 (..8) Vektorlikningen for potensilfunksjonen er tre sklrlikninger,,. Vektorfeltet er. På komponentform blir vektorlikningen (,, ),,. Innstt for feltkomponentene i likningene for potensilfunksjonen finner vi følgende differensillikninger for potensilfunksjonen ), ), ). Differensillikninger løses ved integrsjon, og siden disse likningene er definisjonen v den ntideriverte finner vi uttrkket for potensilfunksjonen ved direkte integrsjon. Potensilfunksjonen vhenger v flere vrible og vi må derfor psse på ntll vrible i konstntene etter integrsjonen. Vi integrer i en vribel om gngen og de øvrige vriblene er d konstnte. Den første differensillikningen gir ) ( ) (, ) d A. er er og konstnte under integrsjonen i og kn dermed inngå i konstnten A. ), ), ) i setter uttrkket for potensilfunksjonen inn i den ndre differensillikningen. Vi får {( ) A(, )} A A ) (, ) (, ). Siden integrsjonskonstnten tilltes å vhenge v så kn krvet oppflles. Vi integrer og finner A (, ) A (, ) d B ( ). Vi hr integrert i som derfor ikke lenger er konstnt. Den eneste vribelen som vi ikke hr integrert i er og denne er fortstt å betrkte 7
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). som konstnt. Derfor vhenger integrsjonskonstnten B v lene. Vi oppgrderer uttrkket for potensilfunksjonen ved å sette inn for A. Vi hr t potensilfunksjonen må være på formen B(). Innsetting i den tredje og siste differensillikningen gir { B( )} ) B ( ) B ( ) B( ), dvs. konstnt son ikke inneholder, eller. Vi hr funnet lle løsningene som tilfredsstiller sstemet v de tre differensillikningene og det er potensilfunksjonene (,, ). Vi ser t potensilfunksjonene til et gitt vektorfelt skiller seg på en konstnt, så den vrible delen er den smme for lle potensilfunksjonene til vektorfeltet. Siden vi kun skl finne en potensilfunksjon kn vi sette konstnten til null,. Vi hr vist t vektorfeltet er et grdientfelt, dvs. og dermed t vektorfeltet er konservtivt. Som en kontroll på beregningene kn vi beregne grdienten til potensilfunksjonen: ( ) ( ) ( ) (,, ) (,, ) (,, ), som viser t våre beregninger stemmer. Vi hr også funnet er generell prosedre for konstruksjon v potensilfunksjoner: ) inn komponentene til vektorfeltet og still opp differensillikningene for potensilfunksjonen:,,. ) Se gjennom likningene og integrer den som er enklest. Alle vriblene unnttt den det integreres i kn inngå i integrsjonskonstnten. ) Sett inn i neste differensillikning og løs krvet på integrsjonskonstnten. Integrer og bestem denne. Oppgrder så uttrkket for potensilfunksjonen ved å sette inn for integrsjonskonstnten. 4) ortsett prosedren til det er stt inn i lle differensillikningene. Antll vrible i integrsjonskonstnten minker med en for hver integrsjon. 5) To muligheter finnes: ) Alle differensillikningene oppflles smtidig og vi finner en potensilfunksjon. Vektorfeltet er konservtivt. b) Integrsjonskonstnten må på ett trinn inneholde minst en vribel som ikke kn inngå, ltså motsigelse. Potensilfunksjonen finnes ikke og vektorfeltet er ikke konservtiv. Oppgve 5.. (..) Vi skl konstruere potensilfunksjonen til vektorfeltet ( sin, sin, cos ) sin, sin, cos, og følger prosedren ovenfor. Vi hr funnet vektorfeltets komponenter og stiller opp differensillikningene: ) ) sin, ) sin, ) cos. ) Vi ser t integrsjonen v den første likningen er enkel siden høre side er konstnt: 8
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). sin d sin A(, ). ) Innstt i den ndre likningen får vi sin sin A(, ) B( ). Oppgrdert blir ( sin A(, )) A(, ) A(, ) funksjonen sin B( ). 4) Innstt i den siste differensillikningen får vi ( sin B( )) cos B ( ) cos B ( ) B( ). Oppgrderingen gir sin. 5) Vi hr oppflt lle tre differensillikningene, siden det ikke ble noen motsigelser med integrsjonskonstntene. Dermed hr vi funnet en potensilfunksjon sin, til vektorfeltet, hr stt konstnten til null. Dette viser t vektorfeltet er konservtivt. Oppgve 5..6 (..6) (,,) 4 Integrlet d d d skl beregnes. Siden vi kun kjenner strtpunkt og (,,) sluttpunkt så må integrlet være uvhengig v veien. Uttrkket dr klles en ekskt differensilform og er det smme som å konstruere potensilfunksjonen til vektorfeltet. Vi må først bestemme komponentene til vektorfeltet. Integrlet er v tpen Direkte leddvis smmenlikning gir,, 4. Krvene på potensilfunksjonen er differensillikningene gir 4 r r d d d.. Integrsjon, oppgrdering og innsetting i d d d A(, ). Innsetting: ( A(, )) A(, ) A(, ) d B( ). Oppgrdering: B. Innsetting: () ( B ( )) 4 4 ( ) ( ) 4tn B B d. Oppgrdering (,, ) 4tn. Vi hr vist t vektorfeltet er konservtivt i og med eksistensen v potensilfunksjonen. Dette viser t det er riktig å sløfe veien mellom strtpunkt og sluttpunkt siden resulttet v integrsjonen er veiuvhengig for konservtive (,,) 4 vektorfelt. Verdien v integrlet er d d d (,,) (,, ) (,,) 4tn () 4tn (). 9
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..6 (..6) d Vi skl vise t integrlet B A d d er uvhengig v veien mellom A og B. Dette er definisjonen v t vektorfeltet er konservtivt. Vi splitter opp telleren i brøken og skriver integrnden på formen d d d. Vektorfeltets komponenter er fktorene forn respektive differensiler som gir krvene. Integrsjon v den første differensillikningen med uttrkket i roten som kjerne gir: du d u du u A(, ) u A(, ). Innsetting i den ndre differensillikningen gir ( A(, )) A(, ) A(, ) A(, ) B( ). Oppgrdering gir B(). ( B( )) Innsetting i det tredje og siste krvet gir B ( ) B ( ) B( ). Oppgrdering er lle potensilfunksjonene til vektorfeltet. Vi hr funnet potensilfunksjonene til vektorfeltet, som dermed er konservtivt, og integrlet er uvhengig v veien.
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..8 (..8) Vektorfeltets komponenter er gitt direkte og vi får differensillikningene løser den første og finner e ln d e ln A(, ). Innstt i neste: e ln e sin. Vi cos ( e ln A(, )) e A(, ) e A(, ) sin sin A(, ) sin d sin B( ). Oppgrdering e ln sin B( ). Innstt i siste: ( e ln sin B( )) cos B ( ) cos B ( ) B( ). Vektorfeltet er konservtivt og hr potensilfunksjonene e ln sin. Oppgve 5.4.6 (.4.6) Greens sirkulsjonssetning Greens sirkulsjonssetning T ds da. nds da. er er rnd til området og dermed en lukket kurve. Kurven er positivt orientert, dvs. omløpsretningen er mot urviseren, lterntivt er området,, til venstre under omløpet. Vektorfeltet er ( 4, ). Områdets rnd er og området er kvdrtet. Beregning ved kurveintegrl krever t rnd deles opp i fire forskjellige deler med ett integrl for hver del. Vi bruker Greens setninger og gjør kurveintegrlene om til dobbelintegrler. Sirkulsjonstettheten er sirkulsjonen lngs kurven ( ) ( 4 ) 4. Dette gir T ds da da da ( ), siden området er et kvdrt med side. lukstettheten er ( 4 ) ( ) ( ). er er ikke integrnden konstnt, så vi må beregne dobbelintegrlet. nds da
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). d d [ ] d d [ ] ( ). Oppgve 5.4.7 (.4.7) Området er sirkulsjonstetthet ( ) ( ) og vektorfeltet er ( ) ( ) (, ). Vi finner ( ) og flukstettheten ( ). Greens setninger gir sirkulsjonen ( ) [ ] T ds da da d d d d [ ] 9 og fluksen [ ] d d [ ] 9. n ds da d d Oppgve 5.4.7 (.4.) er er kurven og dermed området gitt i polre koordinter. Vi stiller opp integrlet i krtesiske koordinter først og skifter eventuelt til polre koordinter til slutt. Vektorfeltet e gir flukstettheten (, tn ) ( ) ( e tn ). Greens flukssetning gir nds da da. I polre koordinter er området r ( cos ). Videre er r sin. luksen ut v området blir da ( cos ) ( cos ) r sin rdr d [ r sin ] d { ( cos )} sin d 4 4 [( cos ) ]. Vi hr brukt substitusjonen u ( cos ) og t vi integrerer over en hel periode for uttrkket.
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5.4.6 (.4.) Vi skl beregne relet v en ellipse ved å bruke t ( ) da d d. Prmeterfrmstillingen for ellipsen er oppgitt som r( t) ( cos t, bsin t) r ( t) ( sin t, bcos t ). Innstt i relformelen får vi b (Ellipse) d d cos t ( bcos t) bsin t ( bcos t) dt dt b. Oppgve 5.5. (.5.) Vi trenger en prmeterfrmstilling v flten gitt på eksplisitt form som vgrenset v kjeglen prmeterfrmstillingen. Vi kn bruke og som prmetre. Dette gir r(, ) (,, ), og vi lr prmeterområdet, som her blir det smme som projeksjonen v flten i plnet, være. Arelet v en flte på prmeterform er ( ) d r u r v da uv. Vi beregner tngentvektorene til flten r og (,, ) (,, ) Normlvektoren til flten er r. (,, ) (,, ) i j k r r (,, ) (,, ) i j k (,,). Lengden v krssproduktet er relet v prllellogrmmet som spennes ut v vektorene. Dette gir flterelet når fltestkket er så lite t utsnittet kn regnes som plnt. Vi finner r r (,,) 4 4. Vi hr t flterelet er d da. Siden ( ) 4( ) inngår i uttrkket velger vi å utføre sluttberegningen i polre koordinter d disse forenkler rotuttrkk. Vi trenger å bestemme prmeterområdet. Prboloiden og kjegleflten i slinderkoordinter er r og r. Dette gir ved innsetting likningen for skjæringskurven i polre koordinter r r r r r r. Siden vi tolker r som vstnd kn ikke denne r være negtiv. Prmeterområder er. Arelet blir ( ) 4 4( ) da 4r rdrd [ (4r ) ] d (5 )[ ] (5 5 ), hvor vi hr benttet substitusjonen 6 u 4r.
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5.5.4 (.5.9) Arelet v en flte gitt på implisitt form (,, ), er ( ) d da, hvor er projeksjonen v flten i plnet. Tilsvrende formler gjelder for projeksjon i de ndre koordintplnene. lten er på implisitt form gitt ved. Dette gir (,, ) (,, ) (,,) (,,) (,,) og. Beskrivelsen v området i plnet, som er projeksjonen v flten, gir. Arelet er ( ) da d d [ ] d d [ ( ) ] 6 6, hvor vi hr brukt substitusjonsmetoden med u. Oppgve 5.6.7 (.6.7) lteintegrlet er på prmeterform g(,, ) d g( r( u, v) r u r v da uv. Vi skl integrere funksjonen g(,, ) 5 4 over flten eksplisitt gitt som med. Vi må finne en prmeterfrmstilling v flten og velger og som prmetre. Dette gir r(, ) (,, ( )). Vi beregner tngentvektorene til flten r og (,, ( )) (,, ) Normlvektoren til flten er r. (,, ( )) (,, ) i j k r r (,, ) (,, ) i j k (,,). Vi finner r r (,,) 4( ). Vi trenger funksjonen lngs flten g(,, ) 5 4 5 4( ( )) 4( ). Integrlet blir 5 4 d 4( ) 4( ) da (4( ) ) da. Som før ser vi t det lønner seg å skifte til polre koordinter. Med r cos blir integrnden 4 (4( ) ) ( r cos ) (4r ) (4 r r )cos. Integrsjonsområdet, som både er prmeterområde og fltens projeksjon i plnet, bestemmes fr r r r. I polre koordinter er området. 4
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). lteintegrlet blir d da 5 4 (4( ) ) 4 4 6 4 6 4 4 (4 r r )cos rdrd [ r r ]cos d ( ) ( cos d 4 [ sin ]. Oppgve 5.6. (.6.) lteintegrlet v en funksjon er g(,, ) d. lten er den del v plnet som ligger i. oktnt. På implisitt form blir det (,, ) som gir (,, ) (,,) og (,,). Videre er. Vi trenger projeksjonen v flten i plnet. Vi setter. Avgrensingen lngs ksen finner vi ved å sette. Området er. Vi trenger å bestemme funksjonen på flten g(,, ) g(,, ). lteintegrlet blir g(,, ) d ( ) d d [ ] d 6 ( ) ( ) ( ) d d [ ]. Oppgve 5.6.8 (.6.4) luksen gjennom en flte på prmeterform er gitt ved n d ( r( u, v)) ( r r ) da, hvor fortegnet er pluss hvis normlvektoren og u v uv krssproduktet hr smme retning, ellers minus. Vektorfeltet er (,, ) (4,4,). lten er den del v prboloiden eksplisitt form og prmeterformen kn velges som normlvektoren til flten: som er under plnet r og (,, ) (,, ). Igjen er flten på r(, ) (,, ). Vi beregner r. (,, ) (,, ) i j k r r (,, ) (,, ) i j k (,,). Vektorfeltet lngs flten blir (4,4,) siden vribelen ikke inngår. Sklrproduktet blir ( r(, )) ( r r ) (4,4,) (,,) ( 4( )). Vi bestemmer 5
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). integrsjonsområdet som vgrenses v skjæringskurven til flten og plnt: er en sirkel. Vi innfører polre koordinter: er ut v flten er r. Integrnden i polre koordinter er som r r. Integrsjonsområdet ( 4( )) ( 4 r ). luksen 4 ( 4( )) da ( 4 r ) rdrd [ r r ] d ( )[ ]. Siden prboloiden hr den hule siden opp vil utdrettet normlvektor peke nedover og dermed h negtiv komponent. I vår prmeterfrmstilling er komponenten til krssprodukter lik og dermed positiv. Vi må bruke negtivt, dvs. nederste, fortegn. luksen ut v flt er. Oppgve 5.6.7 (.6.) luksen ut v en flte er n d. Ut v flten forstås som retningen til enhetsnormlen n. Enhetsnormlen definerer fltens overside og underside og klles derfor en orientering v flten. lten er den prbolske slinderen 4 vgrenset v plnene,,. Vi skl finne fltens projeksjon i plnet. Vi hr llerede vgrensingen i koordinten og trenger vgrensingen i koordinten. I plnet er som gir 4. Områder er. Vi hr t nd da da. Vektorfeltet er (,, ) (,, ) som på flten blir (,,4 ) ((4 ),, (4 )). lten er på implisitt form (,, ) 4. Dette gir (,, ) (,,), med. Innstt blir fluksen ((4 ),, (4 )) n d d d (,,) dd [ ] d 6 48 d [ ] ( ). Det gjenstår å fstsette fortegnet. Grdienten til hr positiv - komponent. Utd, som er retningen til enhetsnormlen til flten, er bort fr plnet og d må komponenten være positiv. ølgelig hr og n smme retning og gjeldende fortegn er +. Dermed er fluksen ut v flt. 6
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5.6.4 (.6.8) lten er klotten over til kuleflten 5. Vi skl beregne utdrettet fluks gjennom klotten til vektorfeltet (,, ) (,,). luksen gjennom en flte er n d. lten på implisitt form er (,, ) 5. Dette gir grdienten (,, ) (,, ) og. Integrsjonsområdet bestemmes fr skjæringen mellom kuleflten og plnet, som gir 5 6. Projeksjonen v klotten i plnet er en disk med sentrum i origo og rdius 4. Vi beregner (,,). Vi beskriver projeksjonen i polre koordinter siden (,, ) området er en disk og integrnden inneholder Vi venter med fortegnet og får r. Projeksjonen er 4 4 4 4 r 4. n d ( r ) r dr d [ r r ] d 7[ ] 44. Siden (,, ) hr positiv komponent på klotten så er grdienten rettet ut v kul, som er ønsket retning. ortegner er + og dermed er fluksen ut v klotten 44. Oppgve 5.7. (.7.) Stokes setning for sirkulsjonen til et vektorfelt lngs en positivt orientert kurve i rommet dr n d tillter sirkulsjonen beregnet både som kurveintegrl og flteintegrl. Siden derivsjon vnligvis forenkler uttrkk så kn flteintegrlet være å foretrekke. Et nnet moment som gjør t flteintegrlet kn foretrekkes, er t kurven kn bestå v flere deler. Dette nødvendiggjør beregningen v ett kurveintegrl for hver del. Kurven er skjæringen mellom koordintplnene og plnet. Dette blir en treknt i rommet og den består v tre seprte linjestkker. Vi må beregne ett kurveintegrl for hver del og vi foretrekker flteintegrlet. Vi beregner curlen til vektorfeltet i j k (,, ) i j k (,, ). Vi kn beskrive den eksplisitt gitte flten både implisitt og på prmeterform, beregningsrbeidet blir omtrent det smme. Implisitt form gir funksjonen (,, ). Grdienten er og. Vi projiserer flten ned i ( ) ( ) ( ) (,, ) (,, ) (,,) plnet og bestemmer integrsjonsområdet. Skjæringen mellom plnet og plnet er. Skjæringen med ksen,, og linjen 7
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). er. Integrsjonsområdet blir vektorfeltet på flten hvor.. Vi trenger curlen til (,, ) (,, ) (,, ). Integrnden blir (,, ) 4. Sirkulsjonen er (,,) n d 4 d d [4 ] d 4 ( ) ( ) d 4 4 ( ) d 7 7 9 7 5 [ ] ( 6 6 6) 6 d. ortegnet bestemmes fr t omløpet lngs kurven skl være mot utviseren sett ovenfr. Dette innebærer ved hørehåndsregelen t normlvektoren til flten skl peke oppover, dvs. h positiv komponent. Vi hr t og dermed er fortegnet +, dvs. øverste fortegn. Sirkulsjonen i positiv retning er 5 6. Oppgve 5.7.7 (.7.7) Vi skl beregne n d til vektorfeltet 4 (,,( )sin e ) på flten 4 9 6 6. Siden vektorfeltet er meget komplisert så blir ikke curlen enkel. Dette gjør t flteintegrlet blir krevende, og oppgven viser t det ikke er mulig å gi noen generell strtegi for bruk v kurveintegrl eller flteintegrl. Oppgven viser et tilfelle hvor kurveintegrlet er enklere enn flteintegrlet. Dette skldes t komponenten til vektorfeltet ikke kommer med i kurveintegrlet, siden kurven er i plnet. Stokes setning gir n d dr d d, siden d. Vi bruker kurveintegrlet med oppgitt prmeterfrmstilling r( t) (cos t, sin t,), t. Vi ser nærmere på prmeterfrmstillingen. lten er 4 9 6 6. Vi ser ved innsetting t prmeterfrmstillingen oppfller krvet siden cos t sin t. Den deriverte v prmeterfrmstillingen er r ( t) ( sin t,cos t,). Vi bestemmer vektorfeltets komponenter lngs kurven sin t og (cos t) 9cos t. Videre er d ( t) dt sin t dt og d ( t) dt cos t dt. Innstt får vi n d sin ( sin ) 9 cos cos 6sin 8cos dt t t t t dt t t dt. Vi beregner 8
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). integrlene hver for seg: 6sin tdt 6 ( cos t) dt [ t sin t ] 6 og 8cos tdt 8 ( sin t) cos t dt 8[sin t sin t ]. lteintegrlet er n d 6. Oppgve 5.7.4 (.7.4) lten er på prmeterform gitt som r( r, ) ( r cos, r sin,9 r ), r,. Vi skl beregne sirkulsjonen til vektorfeltet (,, ) lngs den positivt orienterte rnd til flten. Stokes setning gir t dette er det smme som fluksen til curlen til vektorfeltet ut v flten. Vi beregner dr n d. Vi trenger curlen til vektorfeltet på flten. ørst beregnes curlen i rommet: i j k i j k (,, ). Siden curlen er konstnt gjelder uttrkket også på flten. Vi trenger en normlvektor til flten fr prmeterfrmstillingen. Denne gir r r r r r og r r ( cos, sin,9 ) (cos,sin, ) r ( r cos, r sin,9 r ) ( r sin, r cos,). Krssproduktet blir r r (cos,sin, r) ( r sin, r cos, ) cos sin r r i j k rsin rcos sin r cos r cos sin i j k r r r r cos r sin r sin r cos Sklrproduktet i integrnden blir (,, ) (r cos, r sin, r) r cos 4r sin r. Sirkulsjonen blir ( cos, sin, ) n d r cos 4r sin r d dr r[ ] dr [ r ] 8, hvor vi hr integrert i vinkelen først siden vi integrer over hele perioder og dermed får fr begge leddene med cosinus og sinus.. 9
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5.7. (.7.) Vektorfeltet (,, ) er lik punktets stedvektor og dermed et rdilfelt. Det er geometrisk klrt v når vektorene stråler ut fr origo så kn det ikke være noen sirkulsjon eller rotsjon. Vi vet t vektorfeltets curl er. Beregning: i j k i j k (,,). Oppgve 5.7.6 (.7.6) Vi skl beregne curlen til vektorfeltet (,, ). Innsetting: i j k i j k ( ) ( ) ( ) (,, ( ) ( )) (,, (,,). Vektorfeltet er virvelfritt, dvs. hr curl lik. vis vektorfeltet er konservtivt så skl rbeidsintegrlet lngs enhver lukket kurve være. Vi beregner rbeidet lngs en lukket kurve i plnet. Arbeidsintegrlet er W d r d d, siden d i plnet. Vi prmetriserer sirkelen r t t t t. Vi bestemmer først med ( ) (cos,sin ), vektorfeltets komponenter lngs sirkelen med den vlgte prmeterfrmstillingen: cost sin t og cos t. Videre er d ( t) dt sin t dt sint cos t sin t cos t sin t og d ( t) dt cos t dt. Innstt blir vektorfeltets rbeid på en runde lngs sirkelen W d d sin t( sin t) cos t(cos t) dt dt. Vi kn konkludere t vektorfeltet ikke er konservtivt selv om curlen er. Definisjonsmengden til vektorfeltet er hele rommet utenom ksen. Denne mengden er ikke enkeltsmmenhengende og dette viser t forutsetningen om enkeltsmmenhengende område er vgjørende for om vektorfeltet er konservtivt eller ikke. Vi hr t er nødvendig for t vektorfeltet skl være konservtivt. Altså kn vi si t medfører t vektorfeltet ikke er konservtivt. vis vi i tillegg til vet t området er enkeltsmmenhengende så vet vi t vektorfeltet er konservtivt på området. Oppgven viser t lene ikke er nok til å sikre konservtivt vektorfelt, mens og enkeltsmmenhengende område er tilstrekkelig til å sikre konservtivt felt og d krever vi mer enn nødvendig. Det finnes vektorfelt som er konservtive uten t området er enkeltsmmenhengende. Det er v interesse å studere et
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). kriterium som er både nødvendig og tilstrekkelig for t et vektorfelt skl være konservtivt. Kriteriet er t feltet er et grdientfelt. Vi skl forsøke å konstruere en potensilfunksjon til vektorfeltet i oppgven. Siden feltet ikke er konservtivt vet vi t potensilfunksjonen ikke eksisterer og vi må få en motsigelse i konstruksjonen. Krven som skl oppflles er: tn ( ) finner vi. Integrsjon v det ndre krvet gir d. Vi hr t d, som gir potensilfunksjonen på formen d d A A. Innstt i det første krvet tn ( ) (, ) tn ( ) (, ) (tn ( ) A(, )) ( ) A A A ( ) A(, ) B( ). Oppgrderingen v potensilfunksjonen blir i det tredje krvet og finner t (, ) (, ) (, ) tn ( ) ( ) (tn ( ) B( )) ( ) ( ) B. Vi setter inn Z B B. Vi hr funnet potensilfunksjonen tn ( ) tilsneltende uten motsigelser. Vi observerer t potensilfunksjonen ikke er gldig hvis og dermed hr vi ikke en potensilfunksjon for hele området. Dette ler seg imidlertid reprere ved å observere t rsin r cos tn. Vi ser t potensilfunksjonen i slinderkoordinter blir tn (tn ). Vi kn vise t denne er gldig over hele området. Vi ser t vinkeldelen v potensilfunksjonen teller omløp rundt ksen. Problemet er t vi får mnge forskjellige verdier for smme punkt, lt vhengig v ntll omløp rundt ksen. Dette forklrer verdien til rbeidsintegrlet. Det vr ett omløp rundt ksen så verdien må bli i stedet for som et konservtivt felt ville gitt. Eneste måren å rdde opp i dette på er å fjerne et hlvpln som inneholder ksen, f. eks. høre hlvdelen v plnet. D er verdiene entdige, og feltet er konservtivt siden vi hr en potensilfunksjon. Dette stemmer overens med t rommet med høre delen v plnet fjernet er enkeltsmmenhengende og feltet må d vøre konservtivt siden curlen er. Oppgve 5.8.5 (.8.5) Vi skl beregne fluksen ut v kuben D til vektorfeltet (,, ). Divergenssetningen gir D n d D dv. Vi bruker volumintegrlet siden overflten til kuben består v 6 sideflter, som hver gir ett flteintegrl. Vi trenger kun å beregne ett trippelintegrl, mot seks flteintegrler. Generelt er overflten til et legeme lltid lukket, så divergenssetningen kn brukes. Vi beregner først divergensen til vektorfeltet, som
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). er flukstettheten i rommet, luksen ut v kubens overflte er ( ) ( ) ( ). ( ) 6 D D D dv dv dv v D. Siden divergensen er konstnt og volumet v kuben er kjent, så trenger vi ikke beregne trippelintegrlet og beskrivelsen v området er strengt ttt overflødig. Oppgve 5.8.7 (.8.7) Området eller legemet er vgrenset v plnet,, nedenfr, slinderen siden og prboloiden 4 fr ovenfr. Igjen består overflten til legemet v flere deler og her må tre flteintegrl beregnes for å bestemme fluksen gjennom legemets overflte. Siden vi slipper unn med kun ett trippelintegrl bruker vi divergenssetningen til å gjøre flteintegrlene om til et volumintegrl. Vi skl beregne divergensen til vektorfeltet (,, ) som gir ( ) ( ) ( ) D dv. Vi beregner og dv. Siden legemet er inni en slinder beskriver vi legemet i slinderkoordinter. Toppflten er bunnflten er og sideflten gir D r 4 r. Legemet er r, r D r. Integrnden blir r cos som gir fluksen dv D r r 4 ( r cos ) r d dr d [( r cos r) ] dr d ( r cos r ) dr d 5 4 5 4 5 5 [ r cos r ] d cos 4 d [ sin 4 ] 8. Negtiv fluks ut v legemet betr t fluksen er inn i legemet. Oppgve 5.8. (.8.) Legemet vgrenset v koordintplnene, plnet og slinderflten 4 er en kvrtslinder. Legemet hr fem forskjellige flter som gir fem flteintegrler for fluksen ut v legemet. Det er enklere å bruke trippelintegrlet over legemet. Vi hr Divergensen til vektorfeltet (6,, 4 ) er D dv.
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). (6 ) ( ) (4 ) ( ) () () (6 ). Siden legemet er en slinder beskriver vi det i slinderkoordinter. Vi hr den vertikle vgrensingen og. ørste oktnt gir første kvdrnt i plnet siden lle koordintene må være positive. Vinkelen fr den positive ksen til den positive ksen er. Likningen r 4 r. Legemet er D r. Integrnden i slinderkoordinter er (6 ) (6rcos r sin ). luksen ut v flten blir (6 ) dv (6 cos sin ) [6 cos sin ) ] r r r d dr d r r r dr d 6 6r cos r sin r dr d 6 [r cos r sin r ] d D 6 6 cos sin d 6[6sin cos ] 8 8 8 8 8 6(6sin cos ) 6(6sin cos ) 6(6 ) 6. Oppgve 5.8.5 (.8.5) Området er et tkt skll mellom kulefltene og. luksen ut v området kn beregnes ved to flteintegrler, ett for hver kuleflte. På den innerste kuleflten er utdrettet enhetsnorml rettet inn mot origo, mens på den tterste kuleflten er utdrettet enhetsnorml rettet fr origo. vis vi bruker divergensen så slipper vi med ett trippelintegrl. Vi beregner divergensen til vektorfeltet (5 ) ( e sin ) (5 e cos ) (5, e sin, 5 e cos ) og får (5 ) ( sin ) (5 sin ) 5( ) e e. Området er vgrenset v to kuleflter og integrnden er 5( ) 5 i kulekoordinter. Begge deler ntder t vi kn vente forenkling v beregningene hvis vi bruker kulekoordinter istedenfor krtesiske koordinter. Kulefltene gir og. Siden hele kulefltene er med må vi h med hele vinkelområdet. Vi beskriver området i kulekoordinter D. luksen ut v området er 5( ) 5 ( ) D D D dv dv dv. Vi bruker
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). kulekoordinter og husker t volumelementene er dv sin dv. Innstt gir dette fluksen 4 5 sin dv 5 sin d d d D 5 5 5 5 5 [ sin ] d d (( ) ) sin d d (4 ) [ cos ] d (4 )( cos cos)[ ] (4 ). 4