FYS3 Forelesningsnotat uke 39 H.Balk Repetisjon...3 Etabler reglene for å tegne bode plot....7 Normalisering og eksempel på Bodeplot for sammensatt reell funksjon...9 Resonans og komplekskonjugerte -punkter, dempings faktor og resonansfrekvens...4 Båndbredde Q-verdi...37 ange Poler og -punkt...39
Repetisjon Fra Hs til Bodeplot - AC respons et ht rt Transientrespons område for transienter Fortsatt Stasjonært område Hs Hjω ω jω ω σ jω σ θω ω Bodeplot for enkel krets Forrige uke så vi på Transientanalyse ac analyse og bodeplot. Vi brukte en RC krets som eksempel
V inn s R V ut s bryter Eksitasjon Overføringsfunksjon h,h Respons Vut Vinn H s Rcs Den hadde overføringsfunksjon db log RC Vi fant lengden til H utrykt i db RC lille Som vi løste for de tre bokken Bruse RC mellomst RC store dbω og plottet asymptotisk -3dB.ω ω= /RC ω logω 4
Faseforskyvning H j jrc jrc jrc Skiller Imaginær del og real del ved å jrc RC RC utvide med kompleks konjugert Re H RC for å få j bort fra nevner Im H RC RC im a tan re RC Rc a tan Rc a tan RC / RC trekker ut fortegn definerer / RC a tan a tan 5
. a tan. a tan a tan 45 9 Ser på tre bokken Bruse for fase θω -π/.ω ω ω Virkelig tilnærmet forløp forløp logω Figur Plot av fasen til H for ω =/RC erk at En pol / -punkt gir et skift på 9 grader. gir 8 osv. Overgangen dekker dekader og skifter med 45 grader per dekade 6
Etabler reglene for å tegne bode plot. Bodeplot for en enkel funksjon med en reell pol i venstre halvplan Venstre halvplan vh jω Høyre halvplan hh Stabilt plan ustabilt plan Figur. pol i venstre halvplan a σ s-plan H Anta system funksjon s s a Denne formen er egnet til oppslag i Laplace biblioteket H s / s a / a a / a / a s Utvid med /a for å finne en form som egner seg til bruk i bodeplot. Vi liker at konstantleddet er. da ser vi knekkpunktet direkte ut fra faktoren til s dba=log/a =-loga= -log =-. Amplitude for konstantleddet /a som ble trukket ut: Ser at dette gir en negativ konstant La a=
a tan a tan / a / a s / a s s a im re Fase for konstantleddet Reelt, ingen endring grader uavhengig av a Trenger ikke regne det ut. Amplitude for det siste leddet Leddet har en pol =-a vil gi en linje med negativ stigning på db per dekade polen ligger forskjøvet bort fra origo horisontal linje for små verdier av ω. Knekker og synker etter a Trenger ikke finne og teste for ω<<a ω=a ω>>a. a a a a tan. a tan a tan 45 9 Vet at det blir slik Fase for siste ledd En pol gir en linje med negativ stigning på -45dB per dek. Siden polen har a som verdi vil denne linja starte å synke ved ω=.a og flate ut ved ω=a. Trenger regne på dette heller. Vet at det blir slik 8
Tegne bodeplottet direkte Kan tegne bodeplottet direkte som viser hvordan en krets med denne overføringsfunksjonen vil virke ωdb a = db.. ω -log -db/dek θωdb.. ω -45 o /dek -9 o Dempeledd LP-filter Ser at den tilhørende kretsen må være et lavpassfilter kombinert med et demepeldd. Overbeviser oss om at det må være slik ved å se på likningene H s H s H s a s a Finn lengden ved å Kompleks konjuger 9
log db log log log db * a a a a a j a j H H log log db a db Ser på tilfellet når ω<<a
db log log log 3dB db log a log a -log loga Ser vi nå på grensetilfellet når ω=a Ser vi nå på grensetilfellet når ω>>a - log H s a log/ a log a Vi må også ha med konstant leddet H Beregner fase H s H j a j / a j / a / a j / a j / a Ser på H Konstantleddet er reelt og gir grader fase. Se på atanim/re når Im= Utvider med den komplekskonjugerte j / a / a / a Finner vinkelen
Løser tvetydighet ved å se på den imaginære j. Den var negativ. Da / a a a tan / a tan a / a a tan a tan a a ω<<a tvetydig kan være +-8 a a tan a tan 45 ω=a a a tvetydig kan være -45+-8 a tan a tan 9 ω>>a a tvetydig kan være -9+-8 Im e +j Vinkelen dreier da fra til minus -9 grader Re e -j Andre mulige pol-punkt og deres bodeplot Pol / -punkt i origo Pol / -punkt på real aksen i venstre halvplan. Kompleks Pol / -punkt i venstre plan.
Venstre halvplan vh Stabilt plan jω Høyre halvplan hh ustabilt plan s-plan σ z= H s s -punkt i origo Amplitude: -punkt, linje med positiv stigning på db per dekade. i origo gir en kontinuerlig stigende linje uten knekkpunkter. db ωdb θω o +db/dek.. ω +9 o Fase -punk fasen vil ende opp på +9 grader. i origo fasen ikke påvirket av frekvensen. Figur 3. Bodeplot for delfunksjonen H s med ett - punkt i origo NB Tegn denne figuren tydelig på en tavle for seg selv og sett inn de andre linjene etter hvert... ω 3
H s s Hvorfor -punkt gir konstant stigende linje H s H j j Lengden til H s H H * db= logv/vref j j Vi ser at db stiger konstant med logω. log db Siden logaritmen til = ser vi at linjen til må krysse db aksen ved ω= a tan 9 Im e +j o Hvorfor fasen er konstant for H s Ser på H jω i Inverstangens H j j Re Finner at vinkelen må være + eller -9 grader. e -j Ser på fortegnet til j i H. Fordi j er positiv H j, må fasen må være +9 grader. 4
Hva om H hadde vært en pol i origo H s / s H j j j log log a tan 9 Amplitude: Pol linje med negativ stigning på -db per dekade Origo kontinuerlig synkende linje uten knekkpunkter. krysser ω-aksen ved ω=. Hva om H hadde vært en pol i origo j s-plan p= Fase pol -9 grader. i origo fasen ikke påvirket av frekvensen. =konstant rett linje ved -9 grader σ Im e +j Ser at fasen peker ned Re e -j. 5
ωdb.. ω -db/dek θωdb.. ω Figur 4. Amplitude og faseplot for pol i origo -9 o Reelt -punkt i venstre halvplan Venstre halvplan vh jω Høyre halvplan hh Stabilt plan ustabilt plan Figur 5. -punkt i venstre halvplan a σ s-plan Vi har allerede utledet en reell pol i venstre halvplan. Eneste forskjellen mellom pol og -punkt er fortegnene. Vi bytter fortegn og 6
får da følgende plot. a = db.. +9 o +45 o /dek.. Figure Bodeplot for for H s s a 7
Normalisering og eksempel på Bodeplot for sammensatt reell funksjon Normalisering av et sammensatt utrykk vi si å bringe alle enkeltledd med knekkpunkt på en form som gjør at de blir liggende på -db før de knekker s a a / a s Vil si å trekke ut a av alle ledd av typen s+a form. a s τ er nå tidskonstanten til systemet. loga /τ ω Hvis τs+ var i nevner ville en inverslaplace transform vil gitt t / s e / a form II
s a Skrevet på denne formen a ser vi med en gang hvor kretsen vil knekke opp eller ned. loga ω ω Eksempel Hs=H s H sh 3 s... H N s Hvis vi har en eksempelfunksjon 8 s s H s s s Lar den være slik på faktorisert form
H s 8 s s s s / / / / Normaliserer ved å utvide med ledd valgt slik at alle s faktorene slutter på. 8 / / s s s / s / Vi har nå leddene 8 s s s / s / s, s+, s og s H s 8 s 3 s s s 4 Vi kaller faktorene foran s for tidsfaktorer τ H s 8 s s s s 3 4 Eller referansefrekvenser / osv = log 8 = 8 db Konstantleddet gir θ = atan / 8 =
Ser vi på hvert ledd har vi H s s s gir - punkt for Hs H s s s gir - punkt for Hs / H 3 s s s gir pol for Hs 3 H 4 s s s gir pol for Hs 4 / ωdb 8 db db.. ω θω 9.. ω -9 Figur 6. Tykk linje markerer her summen av alle de stiplede linjene, som angir virkningen av de to polene og -punktene i eksempelfunksjonen H
Resonans og komplekskonjugerte -punkter, dempings faktor og resonansfrekvens Innledning Vi skal lære Standard likningen to nye bokstaver ξ, Q se nærmere på ω Det oppstår spesielle fenomener mellom reaktive komponenter reaktanser som kan lagre og avgi energi på ulikt vis. For eksempel ass-fjær, Spole-Kondensator Eksempler på systemer a bil med masse fjær og støtdemper., b krets med motstand spole og kondensator Begge systemene kan oscillere. Forholdet mellom Reaktansene gir opphav til svingeledd. Tappes ikke energien ut av systemet vil det svinge til evig tid. otstanden eller støtdemperen står for årelatingen ved å gjøre om energien til varme. Dette gir dempeledd. Er det tilstrekkelig med demping vil svingningene forsvinne. Hvorfor er det slik? Hva skal til for å hindre eller oppnå svingninger? Hvordan manifesterer dette seg i våre likninger? 4
Bruker et annenordens lavpassfilter som eksempel. Vi har sett at en andregradslikning for et polynoms -punkter var viktig når vi regnet på kretser med to poler. Z I V tot tot ut s R sl / sc Vinn s s I c s Z s Vinn s Xc Z s V H s V ut inn s / sc s R sl / sc Finn Hs for kretsen finn impedansen finn strømmen finn spenningen over kondensatoren Finn H ultipliser inn /sc 5
H s LCs RCs s / LC R s L LC H s as H s bs c s ps p * p, p b b a 4ac Finn R L R L j LC Forholdene mellom komponentene kan føre til at beta blir reell, eller kompleks. Finne en generell standardform. Nå skal vi Letter å se demping ξ og 6
svinge frekvens ω. Se på godhet, Q-verdi og båndbredde s-plan z jω Z = ω jβ s-plan -α θ σ z* Z = ω - jβ H s s p s p * Anta at -punktet er komplekst s j s j mellom regning s s s s j s s s ja js s js Resonans frekvens j j z Kvadratsetningen for trekanter. Se figuren over Lengden til en kompleks vektor i s- planet tilsvarer resonansfrekvensen til 7
systemet R L LC R L LC Det spiller ingen rolle om vi velger å se på positiv eller negativ pol. +jβ eller -jβ når vi finner lengden. H s s s Vi kan da skrive Dempningsaktoren cos z z cos z, cos, Tilsvarer cos til vinkelen mellom den komplekse vektoren og real aksen Kan nå erstatt α med ξ = Xi Ksi hosliggende cos hypotenus 8
H s s s Normaliserer ved å utvide med / s s Q Q-verdi = Godhet Q Kan også utrykke det hele med Q-Verdien. Beskriver systemet fint når vi har liten demping Standardformen I II s s s s Q Kan opptre både i nevner og teller Generelt utrykk for resonans kretser Bruk av standardform Når vi møter et -grads uttrykk fra et system med poler eller - punkt kan vi sammenlikne med dette og finne ω og ξ direkte, uten å gå veien om utledningen slik vi har gjort her. 9
H s RCs G 3 RCs G er en ikke bestemt forsterkning RCs G 3 RCs s s Likner kvadratleddet med standardformen og.5 G 3 Vi ser da dette RC Eksempelet kommer fra et Wienerfilter som vi skal se nærmere på senere. Skal da vise at G bestemmer om filteret skal være et båndpassfilter eller en oscillator. Fordi G er en variabel forsterker har vi full kontroll over dempeleddet. Plotter lengde funksjonen til standardformen NB ser på standardformen uten å tenke på om den opptrer i teller eller nevner H st s H j st H st j j kan plotte dette uttrykket ved å se på ulike verdier av vinkelfrekvensen j Form I j Q Form II 3
Studerer nevner til H st jω som vektor i det komplekse plan. Nb ikke s-plan H = reell og har lengde. ω= H st s j j / Q j ω = ω Q Realleddet blir borte H forsvinner ut mot venstre ω >> ω 3
3 Figur 7. Plott av H viser lengden som funksjon av vinkel. Nb! Dette planet må ikke forveksles med s-planet. Kall det heller for H planet om det må ha et navn. AmplitudeBodeplot * j j H H j H st st Lengden til H log st db Tar vi bort rot tegnet får vi log. ω<< ω ImH st ReH st H=ξ ω=ω resonans θ=45 o θ ω= H st jω <--ω 8 o <-- θ
33 db db st log log log log db st ω= ω 4 4 4log log log log db ω>> ω
db stor ξ +4 Asympto 4logω. liten ξ,stor Q Figur 8. Bodeplot for amplituderespons fra funksjon med to komplekse -punkt.. Faserespons H st Re H j / j Q Ser fortsatt på standsardlikningen for det tilfellet at den står i teller Im H Q Separerer realdelen og imaginærdelen til H standard Lett når utrykket er på standardform. 34
Im H Q a tan a tan Re H / Tre mulige løsninger a tan a tan atan er tvetydig men / Q a tan a tan 9 Figur 7 viser klart hva som er riktig valg / Q a tan tan 8 / a ReH =+, Tvetydighet løses ImH =. ω<< ω H peker positivt langs den reelle aksen og at vi da har θ= grader ReH= ω= ω, ImH=ξ. 35
H peker opp langs den positive imaginære aksen θ=9 o ReH vokser kvadratisk mot -. ω>> ω, ImH vokser mot, men mye langsommere. H peker snart tilnærmet langs den negative realaksen. H har hele tiden dreid i negativ retning mot fase på 8 grader θ 8 9 stor ξ liten ξ. ω/ω 36
Figur 9. Bodeplot for amplituderespons til standarlikningen når den står i teller. Dempeleddet ξ Xi forteller hva som skjer rundt resonansfrekvensen. ξ=, Q= vil overgangen skje over et uendelig kort frekvensområde, ξ vokser overgangsområdet vokser. Båndbredde Q-verdi La oss gå tilbake til eksempelfunksjonen H LRC s hvor standard likningen endte opp i nevner H RCL s s s Q La ω= ω La Q = db LRC log log log Q log / Q Q db Q ω/ω leddene blir - tegnet kommer av nevner Standardlikningen gir alltid logq Lett å finne 37
resonanstoppen ser styrken med standardlikningen BW nedre resonans øvre Båndbredde Dippens eller toppens bredde måles der toppen skjærer en -3 db linje Når standardlikningen står i nevner får vi et bodeplot av samme type som sist men speilet om x-aksen Bodeplot for H LRC db liten ξ, Stor Q Asymptote db. ω/ω stor ξ +4 db/dek Figur. Bodeplot for amplituderespons fra funksjon med to komplekse poler i nevne. 38
39 Figur. Bodeplot for amplituderespons fra funksjon med to komplekse poler. ange Poler og -punkt Vi kan legge sammen stigningene og vinklene i Bodeplottet 3 3 j j j j e e e e j H 3 3 j j j e e e systemfunksjonen kan deles opp i faktorer agnitude og fase kan skilles. ω/ω θ -9-8 liten ξ, stor Q stor ξ
4 log log log log log 3 3 3 db Ser på lengden Faktorer blir til summer og differanser i det logaritmiske domenet. Hvor de kan tegnes som individuelle funksjoner og deretter summeres 3 3 j e j H 3 Ser på fasen delen og ser at den også er en sum