T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00 1960 = 60, får vi y = 0,0 60 + 3,6 = 4,9. c Vi kan sette y = 5 og løse likningen for : 5 = 0,0 + 3,6 5 3,6 = = 63,6 0,0 Folketallet vil altså passere 5 millioner i løpet av 03. 3. a Målepunkter med utjevnet linje: b Likningen for linja er y = a+ b. Δy Vi har at a = Δ, og vi leser av figuren at 705 a = = 35. 3 Videre er b= y(0), som vi leser av til 170. Stigningstallet angir netto økning i antallet abonnementer per år. c Starten av 008 gir = 5. Setter vi inn, får vi y = 35 5 + 170 = 1345, altså i overkant av 1,3 millioner bredbåndsabonnementer. d Antallet bredbåndsabonnementer må til slutt flate ut. Det gjør ikke en lineær modell, så den gir ikke noe riktig bilde av forløpet over lang tid. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 15
3.3 a Målepunkter med utjevnet linje: b Vi får følgende verdier for kvadratavstandene: n =1 n = n = 3 n = 4 n = 5 y 0,1 0,46 0,0 0,64 0,0 Δ n Summerer vi verdiene, får vi 1,53. c Likningen for linja er y = a + b. Δy Vi har at a = Δ, og vi leser av figuren at 3,8 a = = 0,76. 5 Videre er b= y(0), som vi leser av til 4,8. Uttrykket blir derfor y = 0, 76+ 4,8. 3.4 a Følger vi framgangsmåten i læreboka, får vi modellen y = 1,05 + 7,81. b Setter vi inn for =13, gir modellen y = 1,05 13+ 7,81 = 1,4. Altså 1,5 C. c Av erfaring vet vi at temperaturen ikke øker jevnt utover kvelden. Det gjør derimot modellen. Den er derfor ingen god beskrivelse av temperaturforløpet for større tidsrom. 3.5 a Setter vi inn for = 0, får vi y = 5,5 0 + 76, 7 = 76, 7. Tilsvarende for = 0 : y = 5,5 0 + 76, 7 = 187,1. Hvis vi ser på Sunnivas høyde på niårsdagen, er det nok ikke rimelig å tro at hun vil være over 180 cm høy når hun fyller 0. En nyfødt på nesten 80 cm er også noe oppsikts vekkende. Modellen er best i området der vi har data, og blir mindre og mindre sikker jo mer vi fjerner oss fra dette området. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 15
3.6 a Plott av karakterer i fysikk mot karakterer i matematikk: Løsninger til innlæringsoppgavene Korrelasjonskoeffisienten er r = 0,85, så det er en positiv korrelasjon mellom prestasjoner i matematikk og fysikk. I det minste ut fra våre seks målinger. b Plott av karakterer i kroppsøving mot karakterer i matematikk: Her er korrelasjonskoeffisienten svært liten, r = 0,017. Vi kan altså ikke vente noen sammenheng mellom karakterer i kroppsøving og matematikk. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 15
3.7 a Grafene til y = 0,5, y =, y = 0,5 og y = : 3.8 a Grafene til y = +1 og y = : Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 15
3 1 1 3.9 a Grafene til y =, y =, y =, y = og y = 3. De har punktene (0, 0) og (1, 1) til felles. De to første øker mer og mer med, mens de to siste øker mindre og mindre. 3 b Grafene til y =, y =, y =, y = 1 og y = 13. Alle grafene går gjennom punktene (0, 0) og (1, ), og alle stiger i det området vi ser på (positiv og y). Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 15
c Grafene til y =1,5, y = 1,5 1 1 og y = 1,5. Alle grafene går mot uendelig når nærmer seg 0, og de synker i området vi ser på (positiv og y). Alle går gjennom punktet 1,1,5. ( ) 3.10 a Grafene til y = 3, y =, y = 1, y = 0,5 og y = 0,3. Alle går gjennom punktet ( 0,1). y = og y = 0,5 er symmetriske om y-aksen. Funksjonen y = b vokser for b >1 og avtar for 0 < b <1. (For b = 1 er den konstant.) b Hvis funksjonen skal avta, må grunntallet være mindre enn 1. Altså: 0< b < 1. Hvis den 0 skal skjære y-aksen i (0, 5), må vi ha at 5 = ab = a, så a må ha verdien 5. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 15
3.11 a Plott av punktene fra tabellen og forslag til kurve: Ved bruk av regresjon på digitalt verktøy kan vi finne at funksjonen y = + passer bra med de oppgitte tallene. (For øvrig: Ser vi på tallene i tabellen, kan vi legge merke til at y-verdiene tilsvarer tallene fra 0 til 3 kvadrert og lagt til. Prøver vi med funksjonen y = +, ser vi at den stemmer med punktene fra tabellen.) b Plott av punktene fra tabellen og forslag til kurve: Ved bruk av regresjon på digitalt verktøy kan vi finne at funksjonen y = 144 passer 144 bra med de oppgitte tallene. y = 144 kan skrives som y =. (For øvrig: Her kan vi gjøre mye det samme som i forrige deloppgave. Verdiene for y er denne gangen rene kvadrattall (dvs. kvadratene av 1, 6, 4, 3 og ), så vi venter at 144 funksjonen skal inneholde på noe vis. Det viser seg at y = gjengir tallene i tabellen.) Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 7 av 15
c Plott av punktene fra tabellen og forslag til kurve: Ved bruk av regresjon på digitalt verktøy kan vi finne at funksjonen med de oppgitte tallene. y = 8 1,5 passer bra (Uten regresjon: I dette tilfellet er det vanskeligere å lese noen funksjonsavhengighet direkte av tabellen. Vi kan gjette på en eksponentiell funksjon y = ab og se på de første to punktene fra tabellen. Vi får de to uttrykkene 1 = ab og 18 = ab. Deler vi det siste 18 uttrykket på det første, får vi at b = 1 = 1, 5. Setter vi inn for b i det første uttrykket, får vi 1 a = 1,5 = 8. Uttrykket y = 8 1,5 stemmer for resten av punktene i tabellen også.) 3.1 Vi skal finne et funksjonsuttrykk y = ab som passer med punktene (0,10,) og (0, 5). I det første punktet er lik null. Da har vi at a =10,. Vi kan sette inn verdiene fra det andre 0 5 punktet: 5 10,. Løser vi dette for b, får vi b = 10, = 0,965. Dette tilsvarer en årlig prosentvis nedgang på 100 % 96,5 % = 3, 5 %. (For framgangsmåte med digitalt verktøy, se eksempel på side 17 i læreboka.) = b ( ) 0,05 3.13 a Prøv deg fram med forskjellige modeller til du finner en som passer. Tenk litt over hva slags funksjonsavhengighet det kan være mellom masse og lengde på alligatorer. Vårt regresjonsverktøy gir modellen y =,48 10 7 3,5, der y representerer massen i kilogram og representerer lengden i cm. 7 3,5 b Setter vi = 400 i funksjonsuttrykket, får vi y =, 48 10 400 = 358, altså nesten 360 kg. 7 3,5 c Hvis vi setter inn for y = 400 i uttrykket, får vi 400 =,48 10. Denne likningen løser vi lettest grafisk med digitalt verktøy. Svaret blir 41, altså ca. 4,1 m. 400 3,5 7 Likningen kan også løses ved regning: = 10 = 41, 48 1 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 8 av 15
3.14 a Total avfallsmengde per innbygger: Høyest korrelasjonskoeffisient oppnår vi med en eksponentiell regresjon. For utsortert avfallsmengde er det en lineær regresjon som passer best. De to funksjonsuttrykkene blir T = 37 0,04 og U = 14,6 + 1,01. b År 030 tilsvarer = 38 i modellen vår. Vi kaller mengden avfall som ikke blir utsortert for R og sier at den er gitt ved R( t) = T( t) U( t), der t er antall år etter 199. Da kan vi 38 sette inn for vår : R(38) = 37 1,041 38 14,6 1, 0 = 54. Modellen sier altså at i 030 vil 54 kg avfall per innbygger være usortert. 3.15 a En lineær regresjon av punktene i tabellen gir uttrykket y = 3,13 + 967. b Vi antar at bedriften produserer E enheter i uka. Da blir de ukentlige kostnadene K = 36 000 + 30E. c Bedriften selger y enheter i uka til en pris av kroner. Ukentlig inntekt blir da I = y = 3,13 + 967. Med de ukentlige kostnadene fra forrige deloppgave blir overskuddet O= I K = 3,13 + 967 36 000 30 E. Hvis vi sier at bedriften selger akkurat like mange enheter som den produserer, kan vi bytte ut E med uttrykket for y fra oppgave a, og forenkle det til O= 3,13 + 1061 65 000. d Vi tegner grafen til O= 3,13 + 1061 65 000, og leser av at prisen som gir høyest overskudd er 169,40 kr. Overskuddet er da ca. 4 900 kr. 3.16 a Følgende løsning tar utgangspunkt i regnearket Ecel. Framgangsmåten er den samme som i underkapittel 3.8 i læreboka. Årlige utgifter etter 000 300 Utgifter (1000 kr) 50 00 y =,5-3,95 +, R = 0,9993 Utgifter Regresjonslinje (annengradspolynom) 150 0 4 6 8 Antall år etter 000 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 9 av 15
3.1 a De to påstandene Terje er fra Ålesund og Terje er fra Oslo utelukker hverandre, dvs. hvis Terje er fra Ålesund, så er han ikke fra Oslo, og omvendt. Vi kan derfor ikke bruke noen av tegnene, eller mellom påstandene. b Trine er eldre enn Lise Lise er yngre enn Trine. c De to påstandene A ligger sør for Tromsø og Tromsø ligger sør for A utelukker hverandre. Vi kan derfor ikke bruke noen av tegnene, eller mellom påstandene. d Lars har førerkort for bil Lars er minst 18 år. (Hvis Lars har førerkort, så er han nødvendigvis minst 18 år. Men det er fullt mulig å være minst 18 år uten å ha førerkort.) 3. a = 4 eller = 4 =16 b Det er ingen nødvendig sammenheng mellom fortegnet til a og fortegnet til ab. Vi kan derfor ikke bruke noen av tegnene, eller mellom påstandene. c = 4 3 = 48 (Hvis = 4, så er 3 = 48. Men likningen 3 = 48 har én løsning til, nemlig = 4.) d ( + )( 4) = 0 = eller = 4 3.3 a + ( 4) = 0 = 0 eller = 0 eller + 4= 0 = 4 b 1 + = 3 1 + = ( a = b a c= b c) 3 1 + = 3 1 + = ( a = b a c = b c) 3 3 3 7 = 6 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 10 av 15
3.4 a 9 = 4 9= 4 = 16 + 9 = 5 =± 5 = 5 eller = 5 Prøve for = 5: VS = ( 5) 9 = 5 9 = 16 = 4 HS = 4 Prøve for = 5: VS = 5 9 = 5 9 = 16 = 4 HS = 4 Løsningen av likningen er derfor = 5 eller = 5. b 1 3 = 1 3 = ( ) 1 3 = 4 4 + 3 1= 0 Vi bruker abc-formelen med a = 4, b = 3 og c = 1. 3± 3 4 4 ( 1) 3± 5 3± 5 = = = 4 8 8 = 1 eller 1 = 4 Prøve for = 1: VS = 1 3 ( 1) = 1+ 3 = 4 = HS = ( 1) = 1 Prøve for = : 4 1 3 1 VS = 1 3 = 1 = = 1 4 4 4 1 Løsningen av likningen er derfor =. 4 1 1 HS = = 4 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 11 av 15
3.5 a 3 6 1 = Her ser vi at ikke kan være lik. 3 ( ) 6 ( ) 1( ) = 3 ( ) = 6 3 + =6 = 4 = Likningen har derfor ingen løsninger. b 16 3 = 4 4 Vi ser at ikke kan være lik 4. ( 4) 16 ( 4) 3( 4) = 4 4 3( 4) = 16 3 1 = 16 = 8 3 = 1 3 Vi ser at ikke kan være lik 0 eller 1. Vi multipliserer med fellesnevneren, som er ( 1) = : 3 ( 1) ( 1) 3 ( 1) = ( 1) 1 3= 3 ( 1) 3= 3 + 3 = 0 Likningen har derfor ingen løsninger. c Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 15
d 4 + 1 = ( )( 1) Vi ser at ikke kan være lik 1 eller. ( )( 1) ( 4 + ) ( )( 1) 1( )( 1) = ( )( 1) ( )( 1) ( 1) = 4+ 3+ + = 4+ + = 4+ 3 = 6 = Likningen har derfor ingen løsninger. 3.6 a ( + 4)( 3) = ( + 4)( + ) Vi ser at for = 4 får vi null på begge sider. Altså er = 4 en løsning. Vi forkorter med + 4 på begge sider for å finne resten av løsningene. 3 = + = ( 3) = 5 Løsningen av likningen er = 4 eller = 5. Vi finner løsningene grafisk ved å tegne grafene til y = ( + 4)( 3) og y = ( + 4)( + ) i samme koordinatsystem. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 13 av 15
b ( 4 ) = 1 Vi ser at for = 0 får vi null på begge sider. Altså er = 0 en løsning. Vi forkorter med på begge sider. 4= 1 4 1= 0 Vi bruker abc-formelen med a = 1, b = 4 og c = 1. ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 1) 4± 64 4± 8 = = = = ± 4 1 = eller = 6 Løsningen av likningen er =, = 0 eller = 6. Vi finner løsningene grafisk ved å tegne grafene til koordinatsystem. y = ( 4 ) og y = 1 i samme Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 14 av 15
c 5 5 = ( 1)( + 3) Vi ser at for = 1 får vi null på begge sider. Altså er = 1 en løsning. Vi forkorter med 1 på begge sider. 5 5 ( 1)( + 3) = 1 1 5= + 3 = 5 3 = Løsningen av likningen er = 1 eller =. Løsninger til innlæringsoppgavene Vi finner løsningene grafisk ved å tegne grafene til y = 5 5 og y = ( 1)( + 3) i samme koordinatsystem. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 15 av 15