Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I opplæringen leser du beskrivelser av hvordan noe skal gjøres, og løser en eller flere GeoGebraoppgaver for å øve selv. For å gjøre oppgavene, trenger du GeoGebra 4.0 eller nyere. Du kan laste ned programmet fra www.geogebra.no. Skjermbildet Menylinje Angre Valgt verktøy Verktøylinje Forklaring til valgt verktøy Inntastingsfelt Når vi skal arbeide med funksjoner i GeoGebra, er det greit å velge Oppsett, Algebra og grafikk (dette vil som oftest være standardoppsettet når vi starter GeoGebra). Vi kan også merke av for Vis, Rutenett. Aschehoug 1
Å flytte tegneflaten, å endre enheter på aksene Når vi arbeider med funksjoner, har vi ofte behov for å flytte tegneflaten eller endre enheten på aksene. Vi kan da bruke verktøyet Flytt grafikkfelt. Mens dette verktøyet er valgt, kan vi endre enheten på aksene ved å «dra» i aksene med musepekeren mens venstre museknapp holdes nede. Å holde nede Shift-tasten (den tasten vi holder nede for å få store bokstaver) har samme virkning som å velge verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens vi holder Shift-tasten nede, kan vi både flytte grafikkfeltet og endre enheten på aksene med musepekeren. Oppgave 1 Velg Oppsett, Algebra og grafikk og Vis, Rutenett. Plasser origo midt i grafikkfeltet. Vis enheter fra 15 til 15 på førsteaksen, enheter fra 100 til 100 på andreaksen. Aschehoug 2
Å tegne grafen til en funksjon når vi kjenner funksjonsuttrykket Vi kan skrive funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet, og GeoGebra vil tegne grafen til funksjonen. Vi må alltid bruke x som navn på variabelen. Det betyr at x alltid vil svare til en verdi på førsteaksen. Verdiene på andreaksen vil svare til den verdien som regnes ut når vi setter inn x i funksjonsuttrykket. GeoGebra gir funksjoner navn med små bokstaver og starter med bokstaven f. For å markere at f får en verdi ved at vi setter inn en verdi for x, skrives navnet til funksjonen slik: f(x). Vi kan enten la GeoGebra gi funksjonene navn eller selv velge navn ved å kalle funksjonene f(x), g(x), h(x), p(x) osv. Vi skal tegne grafen til f(x) = 2x + 1 Vis skriver i inntastingsfeltet: I algebrafeltet ser vi nå at funksjonen har fått navnet f(x), og i grafikkfeltet ser vi at grafen er en rett linje. Oppgave 2 a) Tegn grafen til disse tre funksjonene i samme koordinatsystem: f(x) = x + 3 g(x) = 2x + 4 p(x) = 10x + 50 b) Du må endre enheten på andreaksen for å se grafen til p(x). Følg med på hvordan grafen til f(x) og g(x) endrer seg når du endrer enheten på andreaksen. Aschehoug 3
Å endre grafens egenskaper Det kan være flere grunner til at vi vil endre egenskapene til en graf, for eksempel at vi har skrevet feil, eller at vi vil endre navn, farge eller linjestil. Da høyreklikker vi på funksjonen, enten i grafikkfeltet eller i algebrafeltet, og velger Egenskaper. I feltet Verdi kan vi endre funksjonsuttrykket og i feltet Navn kan vi endre funksjonsnavnet. Under fanen Farge kan vi velge hvilken farge grafen skal ha, og under fanen Stil kan vi velge hva slags linje grafen skal tegnes med. Aschehoug 4
Vær oppmerksom på at i GeoGebra bruker vi punktum som desimaltegn. Vi må dermed skrive k(x)=0.2x+4. Tips: Ved å vise hurtigmenyen øverst i grafikkfeltet kan vi raskt skifte farge på grafene. Velg farge. Vis hurtigmenyen. Oppgave 3 Tegn de tre funksjonene i samme koordinatsystem. De tre grafene skal ha hver sin farge. Den siste skal være stiplet. k(x) = 0,2x + 4 p(x) = 4x s(x) = 5 Husk at punktum er desimaltegn. Når funksjonsuttrykket ikke inneholder x må vi skrive inn navnet på funksjonen sammen med uttrykket. Du må altså skrive s(x) = 5 i inntastingsfeltet. Aschehoug 5
Å finne koordinater til punkter på grafen Ved å plassere punkt på linjen kan vi lese av x-verdier og funksjonsverdiene som hører til. Vi starter med å tegne grafen til den funksjonen vi skal arbeide med. Deretter velger vi verktøyet Punkt og plasser noen punkter på grafen ved å klikke på linja. Vi ser punktets koordinater i algebrafeltet. I eksemplet har vi tegnet grafen til f(x) = 2x + 1 og plassert punktene A, B og C på grafen. Legg merke til at når punktene er plassert på linja, kan de flyttes med slik at de havner der vi vil ha dem. Oppgave 4 Tegn grafen til f(x) = 2,8x 5 (Husk at desimaltegnet er punktum). Plasser et punkt på grafen. Flytt på punktet og se i algebrafeltet hvordan punktets koordinater endrer seg Aschehoug 6
Å vise koordinatene til punkter i grafikkfeltet Når vi vil se koordinatene til et punkt i stedet for navnet, høyreklikker vi på punktet, velger Egenskaper og velger deretter Vis verdi fra nedtrekkslista ved Vis navn. Et annet alternativ er å bruke menylinja øverst i grafikkfeltet. Vi kan sette opp funksjonsverdiene i en tabell: x f(x) 1 3 0,29 1,58 0 1 Oppgave 5 Sett opp en tabell med følgende fire punkt som ligger på grafen til g(x) = 3x + 6. a) Punktet der førstekoordinaten = 0 b) Punktet der andrekoordinaten = 0 c) Punktet der andrekoordinaten = 3 d) Punktet der førstekoordinaten = 1 Aschehoug 7
Å finne funksjonsverdien grafisk når x er kjent Av og til kan det være vanskelig å plassere punkt på grafen nøyaktig nok ved hjelp av verktøyet Punkt. Da kan vi i stedet plassere punktene ved å skrive dem inn i inntastingsfeltet. Denne metoden kan vi bruke dersom vi kjenner x-koordinaten til punktet. GeoGebra navngir punkt med store bokstaver. Hvis vi har en funksjon som heter f og skal plassere punktet A på grafen til f slik at x-koordinaten er 2000, skriver vi i inntastingsfeltet: A=(2000,f(2000)) Eksempel: Vis skal se på funksjonen f(x) = 2,71x + 1500. Vi tegner grafen til f(x) ved å skrive inn 2.71x+1500 i inntastingsfeltet. Vi skal bruke grafen til å finne hva f(x) er når x = 2000. Inntastingsfeltet: Den verdien vi skal finne, er andrekoordinaten til A. Vi kan se den i algebrafeltet, eller vi kan vise verdien til punktet A slik at koordinatene vises i grafikkfeltet. Oppgave 6 Tegn grafen til f(x) = 560 12,8x. Finn deretter hva f(x) er når x = 500, når x = 124 og når x = 0. Oppgave 7 Marianne har fylt på verdikortet hun bruker når hun reiser med bussen. Det er 300 kr på kortet. Hver gang hun reiser minker verdien på kortet med 15 kr. a) Vi lar x stå for antall ganger Marianne har reist med bussen. Funksjonen v(x) beskriver hvor mange kroner som er igjen på kortet. Sett opp et funksjonsuttrykk for v(x). b) Tegn grafen til v(x). c) Bruk grafen og finn ut hvor mye penger er igjen på verdikortet når Marianne har tatt 6 bussturer. Aschehoug 8
Å finne x når funksjonsverdien er kjent Vi bruker funksjonen f(x) = 2,71x + 1500. Vi tegner først grafen til f(x). Vi skal finne hva x er når f(x) = 12 000. Da tegner vi linja g(x) = 12 000. Marker deretter skjæringspunktet mellom g(x) og f(x) ved hjelp av. Vis koordinatene til skjæringspunktet i grafikkfeltet ved å vise Verdi i stedet for Navn. Oppgave 8 Tegn grafen til f(x) = 17x + 57. Finn deretter hva x er når f(x) = 200, f(x) = 38 og f(x) = 0. Oppgave 9 Marianne har fylt på verdikortet hun bruker når hun reiser med bussen. Det er 300 kr på kortet. Hver gang hun reiser minker verdien på kortet med 15 kr. a) Funksjonen v(x) beskriver hvor mange kroner som er igjen på kortet. Sett opp et funksjonsuttrykk for v(x). b) Tegn grafen til v(x). c) Bruk grafen og finn ut hvor mange ganger Marianne har reist når det er 120 kr igjen på kortet. d) Hvor mange ganger kan Marianne reise før kortet er tomt for penger? Aschehoug 9
En lineær funksjon kan beskrive en praktisk situasjon Funksjonen f(x) = 2,71x + 1500 beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi skal tegne grafen til funksjonen. Vi kan ikke bruke negative tall for x her, ettersom x står for et antall kopper kaffe. Vi regner med at kaffemaskinen er utslitt etter å ha laget 10 000 kopper kaffe. For å begrense grafen til de gyldige verdiene av x skriver vi følgende i inntastingsfeltet: største x funksjonsuttrykk minste x Nå må vi tilpasse aksene i grafikkfeltet slik at vi ser funksjonen. Oppgave 10 Månedsprisen for et mobilabonnement er gitt ved funksjonen s(x) = 0.99x + 49, der x er antall ringeminutter. a) Tegn grafen til s(x). Vi snakker ikke mer enn 200 minutter noen måned. b) Bruk grafen til å finne ut hvor mange minutt en kan ringe for 200 kr. c) Bruk grafen til å finne ut hva det koster å ringe 70 minutt. Aschehoug 10
Å sette navn og enhet på aksene Vi kan vise navnet til funksjonen i grafikkfeltet ved å velge funksjonen i algebrafeltet og dra den over til grafikkfeltet. (Alternativ: Høyreklikk på funksjonen, velg Egenskaper og Vis, Navn og verdi.) Vi setter enheter og forklarende tekst på aksene slik: Høyreklikk et sted der du ikke har tegnet noe i grafikkfeltet. Velg Grafikkfelt 1. På fanen xakse skriver vi x (antall kopper) i feltet Navn på aksen. På fanen yakse skriver vi f(x),kostnad som Navn på aksen og kr som Enhet. Aschehoug 11
Vi klikker på Lukk for å avslutte. Oppgave 11 Månedsprisen for et mobilabonnement er gitt ved funksjonen s(x) = 0.99x + 49, der x er antall ringeminutter. a) Tegn grafen til s(x). Vi snakker ikke mer enn 200 minutter noen måned. b) Vis funksjonsuttrukket i grafikkfeltet c) Sett på navn på begge aksene og enhet på andreaksen. Aschehoug 12
Lineær funksjon som går gjennom to kjente punkt Vi kan tegne en linje som går gjennom to faste punkt ved å bruke verktøyet Linje gjennom to punkt. Plasser A ( 2, 1) og B (4, 4) i grafikkfeltet og tegn linja gjennom dem. Legg merke til at GeoGebra ikke skriver funksjonsuttrykket i algebrafeltet slik du er vant til. For å vise funksjonsuttrykket mer likt det vi er vant med, høyreklikker vi i linja i algebrafeltet eller i grafikkfeltet og klikker på Likning y = ax + b. Da blir funksjonsuttrykket slik vi ønsker det, men funksjonen får ikke navn slik vi er vant med. Det blir i stedet en linje som heter a, og den har likningen y = 0,5x + 2. Funksjonen er f(x) = 0,5x + 2. Oppgave 12 Tegn linja gjennom de to punktene. Kan du ut fra grafen se hva funksjonsuttrykket blir? Sjekk svaret ved å velge Likning y = ax + b. a) (0, 4) og (6, 3) b) (0, 0) og (4, 12) Aschehoug 13
Konstantledd og stigningstall Grafen til en lineær funksjon er en rett linje, og funksjonen kan skrives på formen f(x) = ax + b der a og b er tall. Vi kaller b konstantleddet, og a stigningstallet. Vi kan lese av konstantleddet grafisk ved å finne det punktet der grafen skjærer andreaksen. Bruk verktøyet til å markere skjæringspunktet. Konstantleddet er andrekoordinaten til skjæringspunktet. Det er lurt å vise koordinatene til skjæringspunktet i grafikkfeltet. Konstantledd Vi har et eget verktøy som kan brukes til å finne stigningstallet dersom grafen er tegnet som en linje gjennom to punkt. Velg verktøyet Stigning og klikk på grafen. Stigningstall Oppgave 13 Tegn grafen til f(x) = 1,5x + 2. Vis konstantleddet på grafen. Bruk grafikkfeltet på hvordan konstantleddet endrer seg. og flytt på linja. Følg med i Når er konstantleddet positivt? Når er konstantleddet negativt? Hvilken sammenheng ser du mellom konstantleddet og grafen? Aschehoug 14
Oppgave 14 a) Tegn en rett linje gjennom to punkter. Marker skjæringspunktet med andreaksen og stigningstallet. b) Flytt på punktene til du har grafen til en lineær funksjon med konstantledd lik -4 og stigningstall lik 2. c) Hvordan kan du flytte linja uten at stigningstallet til funksjonsuttrykket endres? d) Hvordan kan du flytte linja uten at konstantleddet til funksjonsuttrykket endres? Aschehoug 15