Tallregning og algebra

30

Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning og med digitale hjelpemidler regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk omforme en praktisk problemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen

. Regnerekkefølge På ungdomsskolen har du lært mange regneregler for regning med tall. Vi repeterer noen regler. Når vi skal regne ut et uttrykk, gjør vi det i denne rekkefølgen: Regn først ut parentesene. Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram. EKSEMPEL Regn ut (3 + ) (6 + ) : 4 + 4 3. Løsning: (3 + ) (6 + ) : 4 + 4 3 Regn først ut parentesene. 4 8 : 4 + 4 3 Regn ut potensene. 4 8 : 4 + 4 8 8 + 3 3 Gjør multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.!! Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 3. Det er ikke det samme som 8 3. Når vi skriver 4 3, er det bare -tallet som skal opphøyes i tredje potens, slik at 4 3 4 8 3. Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 ) 3 8 3 5. Når vi skriver 3, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet 3. Dermed er 3 9. Hvis vi vil opphøye tallet 3 i andre potens, må vi skrive ( 3). Det gir ( 3) 9. På gode lommeregnere kan vi regne ut (3 + ) (6 + ) : 4 + 4 3 uten å dele opp uttrykket. Vi taster inn hele uttrykket på én gang. Prøv å få til det på din lommeregner. 3 3 Sinus T > Tallregning og algebra

Da er det viktig å vite at det er to ulike minustegn på lommeregneren. Lommeregneren har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut 45. Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. 4. Differansetasten står vanlig vis på høyre side av lomme regneren. Fortegnstasten ( ) finner du som oftest i den nederste rekka sammen med desimaltegnet. Hvis du har en grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i denne boka.? Oppgave.0 Regn ut både med og uten digitale hjelpemidler. 4 4 ( ) c) 5 3 d) (5 3) e) + 3 ( ) f) ( ) + ( 3) g) ( 3) + 5 ( 3) + 6 Oppgave. Regn ut både med og uten digitale hjelpemidler. (7 5) + 3(4 ) + 3 c) (8 4) ( 3) d) 4 + 3(7 3 ) + (3 4 5 ). Brøkregning På grunnskolen lærte vi å forkorte og utvide brøker. Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. EKSEMPEL Utvid brøken 5 slik at nevneren blir 56. 8 Forkort brøken _ 8 30. 33

Løsning: Ettersom 8 7 56, multipliserer vi telleren og nevneren med 7. 5 8 _ 5 7 8 7 _ 35 56 6 er det største tallet som går opp i både 8 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6. _ 8 30 8 : 6 30 : 6 _ 8 3 30 3 5 5 Gode lommeregnere kan forkorte brøker. På Texas TI-30X IIB går vi fram på denne måten: Når vi skal forkorte brøken 6, taster vi 6 A b / c 8 Vi får svaret 3 4 8 som vist på figuren nedenfor: Finn ut hvordan du gjør dette på din lommeregner. Hvis du har en grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i boka.? Oppgave.0 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 4 _ 9 6 5 8 c) _ d) _ 4 54 Oppgave. Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 7 6 c) 3 0 94 98 d) 53 5 e) 7 78 f) 308 3 34 34 Sinus T > Tallregning og algebra

Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. EKSEMPEL 7 _ + 3 8 3 + 5 6 + 4 9 c) 3 7 _ 8 d) _ 4 5 _ 6 49 e) _ 35 : _ 8 7! Løsning: Fellesnevneren er 4. _ 7 + 3 8 7 + _ 3 3 8 3 _ 4 4 + _ 9 4 _ 3 4 Fellesnevneren for de to brøkene er 8. c) 3 7 _ Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 3 til en brøk ved å skrive 3. 3 + 5 6 + 4 9 3 + 5 6 + 4 9 3 8 8 + _ 5 3 6 3 + _ 4 9 _ 54 8 + _ 5 8 + _ 8 _ 54 + 5 + 8 _ 77 8 8 8 8 3 7 _ 7 8 6 6 d) _ 4 5 _ 6 49 _ 4 6 5 49 _ 5 7 _ 4 35 5 7 5 9 35 e) _ : _ 8 7 _ 35 _ 7 _ 35 7 8 8 _ 5 9 4 4 4 4 _ 45 6 Det er lurt å forkorte før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. 35

Svarene på forrige side kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke gjøre om _ 45 til _ 3. I den videregående skolen bruker vi slike 6 6 blandede tall svært lite. Grunnen er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Tallet _ 3 kan vi derfor lett oppfatte som _ 3 i stedet for + _ 3 6 6 6, som er det rette.! Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar. Brøkstykkene foran kan vi regne på gode lommeregnere. Når vi skal regne 7 ut _ på Casio fx8es, taster vi + 3 8 7 + Svaret blir _ 3 som vist her: 4 3 8 7 3 + 8 36 36 Sinus T > Tallregning og algebra 3 4 Finn ut hvordan du kan gjøre dette på din lommeregner. Hvis du bruker en grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i denne boka. En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 _ 4 5 Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det 6 5 og _ 4 som er 5 småbrøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken. Når vi skal forenkle en brudden brøk, finner vi først fellesnevneren for småbrøkene. Fellesnevneren i dette tilfellet er 5. Deretter utvider vi den brudne brøken. Det gjør vi ved å multiplisere med fellesnevneren over og under hovedbrøkstreken. 6 6 5 _ 4 5 5 3 4 5 5 5 _ 6 3 _ 3 3 9 4 Den brudne brøken ovenfor kan vi også forenkle ved å dividere: 6 5 _ 4 3 3 3 6 : _ 4 5 5 6 _ 5 5 4 3 3 9 5 Den første metoden er mest praktisk når vi skal forenkle brudne brøker som har flere ledd i telleren eller i nevneren.

EKSEMPEL Trekk sammen den brudne brøken. 3 + 5 9 + 7 6 Løsning: Fellesnevneren for småbrøkene er 8. ( + 7 3 + 5 ) 9 8 _ 6 ( + 7 ) 6 8 3 8 + 5 _ 9 8 8 + 7 6 8 3 + 5 9 6 + 5 8 + 7 3 6 + 0 _ 8 + _ 39 3 Vi kan regne ut brudne brøker på lommeregnere. Pass da på å sette parentes om telleren og om nevneren.? Oppgave. Regn ut både med og uten lommeregner. _ + 4 9 d) 3 + _ 5 _ 4 9 e) 3 _ 5 c) _ : 4 9 f) 3 : _ 5 Oppgave.3 ( 3 8 + 4 ) ( 5 6 9 ) 3 5 c) _ ( 5 36 + _ ) : 9 d) ( 7 6 9 ) ( 5 + 4 ) Oppgave.4 Regn ut både uten og med lommeregner. _ 3 5 6 _ 36 c) _ 4 45 3 + 5 _ 8 4 + _ 5 d) 3 + 4 _ 3 _ 5 + 5 37

.3 Bokstavregning og parenteser I uttrykket x + 4x står x for en variabel eller et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: I uttrykket x + 4x 6x 4a + a + a + 3a er det seks ledd. Leddene 4a og a er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a og a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a + a + a + 3a 4a a + a + 3a + 3a + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra ungdomsskolen kjenner vi reglene nedenfor. Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. EKSEMPEL Trekk sammen 5a + (3a + (4a +. Løsning: 5a + (3a + (4a + 5a + 3a + b 4a b 5a + 3a 4a + b b 4a 38 38 Sinus T > Tallregning og algebra

? Oppgave.30 Trekk sammen uttrykkene. x 5y + 3x + 7y + a + a + 3 + a 3a c) x + x + y x y d) xy + xy x y xy yx Oppgave.3 Løs opp parentesene og trekk sammen. (5x + y) + (x y) a + b ( a + c) (x + x + ) (x x + ) d) a a 3 + ( a + a + 3) Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. EKSEMPEL 3(x + 3x ) 3(x 4) c) (x 3) (x + ) d) y (y + 3)(y ) Løsning: 3(x + 3x ) 3 x + 3 3x 3 3x + 9x 6 3(x 4) ( 3) x ( 3) 4 6x + c) (x 3)(x + ) x x + x 3 x 3 x + 4x 3x 6 x + x 6 d) y (y + 3)(y ) y (y y + y ( ) + 3 y + 3 ( )) y (y y + 6y 3) y (y + 5y 3) y y 5y + 3 5y + 3 Når vi multipliserer uttrykk med minus foran, må vi beholde parentesen. 39

Et produkt av tre faktorer kan vi regne ut på flere måter. Her skal vi vise hvordan vi kan regne ut (t 5)(t + ) på tre forskjellige måter. Metode Vi kan multiplisere parentesene med hverandre først: (t 5)(t + ) (t + t 5t 5 ) (t 9 t 5 ) t 9t 5 Metode Vi kan multiplisere med (t 5) først: (t 5)(t + ) (t 0)(t + t t + t ) 0t 0 t + t 0t 5 t 9t 5 Metode 3 Vi kan multiplisere med (t + ) først: (t 5)(t + ) (t 5)(t + ) (t 5)(t + ) t + t 0t 5 t 9t 5 Vi ser at alle de tre metodene gir samme svar, og vi kan velge fritt hvilken metode vi vil bruke. Her er kanskje den tredje metoden den beste, for den gir minst brøkregning.!? Når vi skal regne ut (t 5)(t + ), må vi ikke multiplisere begge parentesene med. Oppgave.3 (x + 4) (t 3) c) 3(x + ) (3x + ) d) 5(x + 3x + ) 5(x + ) Oppgave.33 Trekk sammen. (a + 3( a + 3 a(ab b ) b(a a c) (x + )(x 3) d) (3t )(t + ) Oppgave.34 Trekk sammen. (x )(x + 3) + (x )(x 4) (x + 3)(4x ) (x + )(x 3) c) (x )(x + 3) d) 3 (t + 3)(8t 4) 4 40 40 Sinus T > Tallregning og algebra

.4 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk. EKSEMPEL 5 _ 7 x x + 4 a _ 4 ab c) x 4 : _ x Løsning: Fellesnevneren for x, x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle får nevneren 4x. 5 _ 7 x x + 4 _ 4 5 4 x 7 x + _ x 4 x _ 0 4x _ 4 4x + _ x 0 4 + x _ 6 + x 4x 4x 4x Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. a _ 4 ab a 4 ab _ a 4 a b b c) Når vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 3 x 4 : _ x x 4 _ x x 4 x x 4 x 3 3? Oppgave.40 Trekk sammen. a + a 3 + a 6 _ a + _ 3a + _ 6a c) + _ 3 x x _ 4 3x Oppgave.4 _ a 3 6 x a 3y 5y 4x c) _ 8a 5 : _ 4a 5 d) _ 6a 5 : a Oppgave.4 3 5 + a _ 7 3a _ x ( 5x 3 _ 7x 6 ) c) ( x _ 3 + _ 5x 6 ) : _ x 4

Hvis telleren inneholder en sum, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. EKSEMPEL x + 3 3 _ x + 6 8 3 _ x + 4 Løsning: x + 3 3 _ x + 6 (x + 3) 3 4x + 6 6 _ x + 6 _ x + 6 (4x + 6) (x + ) _ 6 4x + 6 x 6 3x + 5 6 8 3 _ x + 8 (x + ) _ 4 3 4 (x + ) 3 x + 3 Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for småbrøkene. EKSEMPEL x + _ x 4 + 4 4 Sinus T > Tallregning og algebra

Løsning: Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Vi multipliserer derfor med 4 over og under hovedbrøkstreken. x + 4 ( x _ + ) x 4 + _ 4 ( x 4 + ) 4 x + 4 4 x x + 8 4 + 4 x +? Oppgave.43 x + 3 _ x + 4 4 c) x + _ x x 3x _ a + d) + _ a a a 6 a _ a + 3 3a Oppgave.44 _ x 5 + x _ 0 x + _ + x c) _ a b a b d) + _ x 6 _ x _ 3x.5 Kvadratsetningene I kapittel.3 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Vi skal nå multiplisere ut tre spesielle uttrykk: (a + (a + (a + a a + a b + b a + b b a + ab + ab + b a + ab + b (a (a (a a a a b b a + ( ( a ab ab + b a ab + b (a + (a a a + a ( + b a + b ( a ab + ab b a b 43

Vi har nå bevist de tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: (a + a + ab + b Andre kvadratsetning: (a a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + (a a b I den tredje kvadratsetningen regner vi ikke ut noe kvadrat. Mange kaller denne setningen for konjugatsetningen. Men vi bruker ofte denne setningen den andre veien. Vi får da at a b (a + (a. Det gir oss et uttrykk for en differanse mellom to kvadrater. Vi kaller derfor også denne setningen for en kvadratsetning. EKSEMPEL (x + 3) (y 5) c) (t + )(t ) d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) Løsning: (x + 3) x + x 3 + 3 x + 6x + 9 (y 5) y y 5 + 5 y 0y + 5 c) (t + )(t ) (t) 4t Legg merke til at d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) (x + 6x + 9) + (x 6x + 9) (x 9) x + 6x + 9 + x 6x + 9 x + 8 0x + 0x + 36 36 (t) t t 4t? Oppgave.50 Bruk kvadratsetningene til å regne ut. (x ) (x + 4) c) (t + 5) d) (t + 3)(t 3) e) (y 4)(y + 4) Oppgave.5 Bruk kvadratsetningene til å regne ut. (t )(t + ) (x + ) c) (x 5)(x + 5) d) (3x ) e) (5x + ) 44 44 Sinus T > Tallregning og algebra

? Oppgave.5 Bruk om mulig kvadratsetningene når du regner ut og trekker sammen. (x + ) (x + )(x ) (x + 3) (x 3) c) (x 3) 4(x + )(x 3) d) (t 4)(t + 4) + 3(t + 4)! Du kan regne eksemplene på forrige side uten å bruke kvadratsetningene, men du bør likevel bruke dem. Vi skal snart bruke kvadratsetningene baklengs. Hvis vi skal få til det, må vi ha god trening i å bruke kvadrat setningene slik som vist foran. Vi kan også bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. EKSEMPEL Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. 9 3 3 c) 39 39 d) 53 47 Løsning: 9 (0 ) (0 + ) 0 400 399 3 3 3 (30 + ) 30 + 30 + 900 + 60 + 96 c) 39 39 39 (40 ) 40 40 + 600 80 + 5 d) 53 47 (50 + 3) (50 3) 50 3 500 9 49? Oppgave.53 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. 9 3 9 c) d) 8 3 e) 35 45 f) 03 97 Oppgave.54 Regn ut uten å bruke lommeregner. ( + )( ) ( 5 )( 5 + ) c) ( 7 + 3)( 7 3) 45

.6 Faktorisering Et uttrykk består av flere ledd dersom det er sammensatt av flere deler med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket x + 5x + 6 har tre ledd: x, 5x og 6. Uttrykket 5xy + 3(x + y) + y består av de tre leddene 5xy, 3(x + y) og y. Vi sier at et uttrykk er faktorisert når det består av bare ett ledd. Uttrykket 3(x + 5)(x 3) er faktorisert. Det består av de tre faktorene 3, (x + 5) og (x 3). Uttrykket 3(x + 5)y + 7 er ikke faktorisert, for det består av to ledd: 3(x + 5)y og 7. Når vi faktoriserer et uttrykk, skriver vi uttrykket som et produkt av flere faktorer. Vi skal lære flere faktoriseringsmetoder. Dersom leddene i et uttrykk har felles faktorer, kan vi trekke faktorene utenfor en parentes. 4x + 4 x + 4 3 4(x + 3) x 4x x x 4 x (x 4) x (x 4)x 3x 3 9x 3x x 3x 3 3x(x 3) Vi ser at uttrykkene er faktorisert, for nå består de av bare ett ledd. Ved å multiplisere faktorene kan vi alltid kontrollere om en faktorisering er riktig: 3x(x 3) 3x x 3x 3 3x 3 9x Vi må være forsiktige når vi setter negative tall utenfor en parentes: 6x + 4x 0 (3x x + 5) 3x 6x 3x(x + ) Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: 3x(x + ) 3x x + ( 3x) 3x 6x Vi kan alltid kontrollere en faktorisering ved å multiplisere faktorene. 46 46 Sinus T > Tallregning og algebra

? Oppgave.60 Hvor mange ledd består uttrykkene av? Hvilke uttrykk er faktorisert? x(x ) + 4x x 4x + 4 c) (x 4y)(x y) d) (x ) Oppgave.6 Sett mest mulig utenfor en parentes. 3x + 6 x 3x c) y 3 4y d) x 3 4x + 6x Oppgave.6 Trekk mest mulig utenfor en parentes. xy + 4x 5xy 0xy c) a b + 3a b + ab d) 3x + 6xy 9x Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a b (a + (a EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. x 4 x 5 c) 4t 9 d) (x ) 4 Løsning: x 4 x (x + )(x ) x 5 x ( 5 ) ( x + 5 ) ( x 5 ) c) 4t 9 (t) 3 (t + 3)(t 3) d) (x ) 4 (x ) ((x ) + )((x ) ) (x + )(x 3) Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorer utenfor en parentes og deretter bruke tredje kvadratsetning. 47

EKSEMPEL Faktoriser 3x 3 48x. Løsning: 3x 3 48x 3x(x 6) 3x(x 4 ) 3x(x + 4)(x 4)? Oppgave.63 Faktoriser uttrykkene. x 9 t 6 c) x d) x 4 8 Oppgave.64 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. 4x 9 x + 4 c) 9x d) x 3 75x Oppgave.65 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. (x ) 9 (x + ) c) (x 3) + 4 d) (x + ) 6.7 Forkorting av rasjonale uttrykk I kapittel.4 arbeidet vi med rasjonale uttrykk. Når vi skal forkorte slike uttrykk, og når vi skal finne fellesnevneren, får vi bruk for det vi nå har lært om faktorisering. EKSEMPEL _ x + x 7 3 3x + 6 9x x + 6 + 4 3x + 9 48 48 Sinus T > Tallregning og algebra

Løsning: Først faktoriserer vi og setter alt på én brøkstrek. Deretter forkorter vi brøken. _ x + x 7 _ x (x + ) 7 7x 3 3x + 6 3 3 (x + ) 9 _ 3x 3x Først faktoriserer vi nevnerne for å finne fellesnevneren. x + 6 (x + 3) 3x + 9 3 (x + 3) Fellesnevneren er 3 (x + 3) 6(x + 3) Nå utvider vi brøkene slik at de får samme nevner. Deretter trekker vi sammen. 9x x + 6 + 4 3x + 9 9x (x + 3) + 4 3(x + 3) 3 9x 3 (x + 3) + 4 3(x + 3) 7x 6(x + 3) + 8 6(x + 3) 7x + 8 6(x + 3) Vi må alltid se etter om vi kan forkorte svaret. Her går det ikke an, for vi kan ikke faktorisere telleren. 3? Oppgave.70 3 6x 9 4x c) _ x + 3 x x 4 d) x x + 4 3x Oppgave.7 _ x + 3 3x + 9 x + 4 x 4 x + _ 3x + 3 7x 4 c) _ x 3x x + x x 6 49

? Oppgave.7 Trekk sammen. x 3 + _ x + _ 5x 6 c) + 3x 4 x _ x + + x d) x _ + x 4 + x _ x x + Noen ganger må vi faktorisere andregradsuttrykk når vi skal trekke sammen rasjonale uttrykk. EKSEMPEL x + 4 x x 6x Løsning: Først faktoriserer vi telleren og nevneren mest mulig. Vi må bruke tredje kvadratsetning for å faktorisere x. x x (x )(x + ) Deretter forkorter vi før vi multipliserer uttrykkene i telleren og i nevneren. x + 4 x x (x + ) (x )(x + ) 6x (x ) 6x (x + ) (x )(x + ) _ (x ) 6 x 3 x + 3x + 3x (x + )(x + ) 3x? Oppgave.73 Faktoriser og forkort. x 4 x 4 _ 4x 9 4x 6 Oppgave.74 Faktoriser og skriv uttrykkene så enkle som mulig. 3x 3 + x + 3 x + 3 x + x x x 4 50 50 Sinus T > Tallregning og algebra

.8 Fullstendige kvadrater Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket x + 6x + 9 er et fullstendig kvadrat fordi x + 6x + 9 (x + 3) Vi kontrollerer om dette er riktig ved å regne ut (x + 3) ved hjelp av den første kvadratsetningen: (x + 3) x + 3 x + 3 x + 6x + 9 Hvordan kan vi finne ut om x + bx + c er et fullstendig kvadrat? Da må x + bx + c (x + k) der k er et eller annet tall. Vi bruker nå første kvadratsetning og regner ut uttrykket på høyre side. Det gir x + bx + c x + kx + k Disse uttrykkene skal være like for alle verdier av x. Da må tallene foran x være like. Vi får k b k b Leddene uten x (konstantleddene) må også være like. Det gir c k ( b ) Uttrykket x + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom ( b ) c. Da er x + bx + c ( x + b ) 5

EKSEMPEL Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater. Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig, og kontroller faktoriseringen. x + 8x + 6 x 4x + Løsning: I uttrykket x + 8x + 6 er b 8 og c 6. Det gir ( b ) ( 8 ) 4 6 Både ( b ) og c er dermed lik 6. Vi har et fullstendig kvadrat som vi kan faktorisere på denne måten: x + 8x + 6 ( x + b ) ( x + 8 ) (x + 4) Dette kontrollerer vi ved hjelp av første kvadrat setning: (x + 4) x + x 4 + 4 x + 8x + 6 For uttrykket x 4x + er ( b ) _ ( 4 ) ( ) 4 Men ettersom c, er ikke ( b ) c. Uttrykket er ikke noe fullstendig kvadrat.? Oppgave.80 Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater, og faktoriser de fullstendige kvadratene. x 0x + 5 x + 3x + 9 c) x 4 + 6x + 8 d) t 5t + 6 Oppgave.8 Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. x + 4x + c x 4x + c c) x 6x + c d) x + 5x + c Oppgave.8 Vis at uttrykket er et fullstendig kvadrat. x + 8x + 6 Forkort brøkene ) 4x + 6 _ x + 8x + 6 5 5 Sinus T > Tallregning og algebra ) x 6 _ x + 8x + 6

.9 Metoden med fullstendige kvadrater I kapittel.8 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater. Hvis andregradsuttrykket x + bx + c ikke er et fullstendig kvadrat, kan vi faktorisere ved å lage et fullstendig kvadrat av x + bx. Vi legger til og trekker fra ( b ). Vi viser hvordan vi faktoriserer x + 4x + 3. x + 4x + 3 x + 4x + ( 4 ) ( 4 ) + 3 Vi danner fullstendig kvadrat. x + 4x + 4 + 3 (x + ) Vi bruker den første kvadratsetningen. (x + ) ((x + ) + )((x + ) ) Vi bruker den tredje kvadratsetningen. (x + 3)(x + ) Faktoriseringer kan vi alltid kontrollere ved multiplikasjon. (x + 3)(x + ) x + x + 3x + 3 x + 4x + 3 Tall foran x setter vi utenfor en parentes før vi lager fullstendig kvadrat. Vi bruker denne framgangsmåten når vi skal faktorisere andregradsuttrykk: Trekk tallet foran x utenfor en parentes. Lag fullstendig kvadrat ved å legge til og trekke fra tallet foran x ( ). 3 Faktoriser det fullstendige kvadratet og trekk sammen resten av leddene. 4 Faktoriser uttrykket ved hjelp av den tredje kvadratsetningen hvis det lar seg gjøre. 53

EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. x x + 0 x 4x + 5 Løsning: Vi følger framgangsmåten på forrige side. x x + 0 (x 6x + 5) ( x 6x + _ ( 6 ) ( 6 _ (x 6x + 3 3 + 5) Andre kvadratsetning ((x 3) 9 + 5) ((x 3) 4) ((x 3) ) Tredje kvadratsetning ((x 3) + )((x 3) ) (x 3 + )(x 3 ) (x )(x 5) ) + 5 ) I uttrykket x 4x + 5 trenger vi ikke sette noe tall utenfor en parentes. Vi går rett på punkt i algoritmen. x 4x + 5 x 4x + _ ( 4 ) _ ( 4 ) + 5 x 4x + + 5 Andre kvadratsetning (x ) 4 + 5 (x ) + Uttrykket (x ) + kan vi ikke faktorisere ved hjelp av tredje kvadratsetning fordi det står et plusstegn mellom de to leddene. Vi kan dermed heller ikke faktorisere x 4x + 5. Uttrykket x 4x + 5 kan vi ikke faktorisere. Det er bare andregradsuttrykk med tre ledd vi faktoriserer ved å lage fullstendige kvadrater. Uttrykket ax + bx faktoriserer vi ved å sette x utenfor en parentes. Uttrykket ax + c faktoriserer vi med den tredje kvadratsetningen hvis det lar seg gjøre. Tallene a og c må da ha motsatt fortegn. Uttrykk av typen (x + + c kan vi ikke faktorisere hvis c > 0. 54 54 Sinus T > Tallregning og algebra

? Oppgave.90 Faktoriser uttrykkene. x 8x + x 3x + c) x 4x 30 d) 3x 5x + 8 Oppgave.9 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. 4x 4x + x + 4x + 3 c) x + 4x + d) 4x + 4x 4 Oppgave.9 Faktoriser uttrykket x 4x + 3 Trekk sammen x 4x + 3 _ 6 x Oppgave.93 Faktoriser andregradsuttrykkene og trekk sammen. _ x 3 x + x 4x + 3 x + x 5x + 6 + _ 3 x _ 4 x 3 Det finnes digitale hjelpemidler som kan faktorisere og forkorte algebraiske uttrykk. Du finner hjelp til noen slike hjelpemidler på Sinus-sidene på nettet. Oppgave.94 Løs oppgave.90 digitalt. Oppgave.95 Løs oppgave.8b og oppgave.9 digitalt. 55

SAMMENDRAG Regnerekkefølge Regn først ut parentesene. Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. Kvadratsetningene Første kvadratsetning: (a + a + ab + b Andre kvadratsetning: (a a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + (a a b 56 56 Sinus T > Tallregning og algebra

Fullstendig kvadrat Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket x + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom ( b ) c. Da er x + bx + c ( x + b ) Metoden med fullstendige kvadrater Denne metoden bruker vi til å faktorisere andregradsuttrykk: Trekk tallet foran x utenfor en parentes. Lag fullstendig kvadrat ved å legge til og trekke fra _ tallet foran x ( ). 3 Faktoriser det fullstendige kvadratet og trekk sammen resten av leddene. 4 Faktoriser uttrykket ved hjelp av den tredje kvadratsetningen hvis det lar seg gjøre. 57