Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Transkript

1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no

2

3 Forord Dette kompendiet er skrevet for faget Matematikk 0, Matematikk for data- og grafiske fag ved Høgskolen i Gjøvik. Det er en noe omarbeidet utgave av tidligere utgaver skrevet for det utgåtte faget Matematikk, Matematikk for data- og multimedieteknikk. Kapittel 4, Følger og rekker, og kapittel 7, Integrasjon, er nye, mens et kapittel om lineær algebra er tatt ut. Grunnen til at vi har valgt å skriveet kompendium er at det er vanskelig å finne passende lærebøker. Bøker som inneholder enkelte av emnene som er med er gjerne skrevet med tanke på et adskillig mer omfattende kurs. De forutsetter dessuten ofte mer matematisk bakgrunnskunnskap enn flertallet av studentene på dette studiet har. Emnesammensetningen er heller ikke vanlig i lærebøker, slik at flere bøker trengs for å dekke alle emnene Kompendiet er fremdeles under utvikling. Tilbakemeldinger fra studenter og lærere som kan bidra til at neste utgave blir bedre mottas med takk. Per Paulsrud og Jan Henrik Wold har aktivt vært med påå lage kompendiet. Takk også til Hans Engenes, Tove Norheim og Erik Hjelmås som har bidratt med korrekturlesning og forslag til forbedringer. Siden kompendiet inneholder mange emner som vanligvis gjenomgåes etter mer matematikk enn det som forutsettes her, må det taes noen snarveier. Det matematiske presisjonsnivået og omfanget av utledninger og matematiske bevis er tonet ned i forhold til vanlig framgangsmåte for emnene. Det er imidlertid med noen utledninger som jeg har vurdert som viktig for å underbygge forståelsen, eller som i seg selv representerer viktige eksempler på regneteknikk. Jeg har også forsøktå unngå formuleringer eller framgangsmåter som ikke alltid er riktige, selv om de kanskje kunne klart seg som forenklinger innen dette faget. Dette er med tanke på at noen sikkert skal lære mer matematikk siden, og det bør da ikke være slik at noe som er lært her må avlæres fordi det er feil. Anbefalt måte å studere dette faget på er ved utstrakt trening i oppgaveregning. Kompendiet her må for helhetens skyld ha med noen presiseringer og litt teori som studentene kanskje kan nedtone i forhold til regneeksempler og oppgavetrening. Forelesningene vil være en god støtte til å finne ut hvor mye de enkelte delkapitlene bør vektlegges. HiG, juni 004 Hans Petter Hornæs Kontor A08E Tlf: E-post: hig.no i

4 ii

5 Innhold Repetisjon av algebra. Polynomer Brøkregning Potensregning Likninger Litt bakgrunn og utdyping Mengder og funksjoner 9. Mengder Mengdeoperasjoner og Venndiagram Sammensatte mengdeoperasjoner Funksjoner Sammensatte og inverse funksjoner Logikk og tallsystemer 5 3. Utsagnslogikk Tallsystemer Oppgaver Følger og rekker Følger Summetegnet Rekker Aritmetiske og geometriske rekker Algebraiske funksjoner Polynomfunksjoner Rasjonale funksjoner Rotfunksjoner Derivasjon Grenser og kontinuitet iii

6 iv Definisjon av den deriverte Anvendelser av derivasjon Andrederiverte Flerederivasjonsregler Integrasjon 5. Ubestemt integrasjon Oppgaver Oppgaver Trigonometri Absolutt vinkelmål (radianer) Definisjon av sinus, cosinus og tangens Geometriske anvendelser av trigonometri De trigonometriske funksjonene for generelle vinkler Trigonometriske omregningsformler Sinus og cosinus som funksjoner De deriverte av sinus og cosinus Plott av grafen til noen funksjoner med sinus og cosinus Eksponential- og logaritmefunksjoner 6 0. Eksponentialfunksjonen med vilkårliggrunntall Derivasjon Den naturlige logaritmen Logaritmer med vilkårlig grunntall A Eksamensoppgaver med løsning 77 A. Eksamen i Matematikk, desember A. Fasit, eksamen i Matematikk, desember A.3 Eksamen i Matematikk, august A.4 Fasit, eksamen i Matematikk, august B Fasit 85 B. Fasit til kapittel B. Fasit til kapittel B.3 Fasit til kapittel B.4 Fasit til kapittel B.5 Fasit til kapittel B.6 Fasit til kapittel B.7 Fasit til kapittel B.8 Fasit til kapittel

7 B.9 Fasit til kapittel v

8 vi

9 Kapittel Repetisjon av algebra En viktig grunn til at mange studenter sliter med matematikk er problemer med grunnleggende regneteknikk. Dette er selvsagt et problem i seg selv. Det fører også til at for mye av konsentrasjonen brukes opp pååforstå vanlige omforminger framfor det nye stoffet som er hovedhensikten der og da. Dette repetisjonskapitlet er lagt opp med tanke på repetisjon og trening på multiplikasjon av polynomer, brøkregning, potensregning og likninger før oppstart med det egentlige pensum. Dette kan gjøres i form av et repetisjonskurs, for eksempel på en uke før oppstart. Det er antagelig ikke tid til åtakapitletså nøye som ønskelig innenfor den ordinære framdriftsplanen. Kapitlet er oppgavebasert. Oppgavene som er innbakt i teksten er det man bør bruke mest tid på. Disse studeres best ved å regne samtidig som kapitlet leses. Du bør likevel prøve åforståde forholdsvis få og enkle utledningene som finnes i disse avsnittene. I praktisk matematikk er det både enklere og sikrere å kunne utlede regler fra et forholdsvis beskjedent antall grunnregler, som du er sikker på stemmer, enn åprøveå huske alle mulige formler du støter på. Hovedavsnitt.5 er litt mer teoretisk og gir noe av grunnlaget for og utdypning av regnereglene i oppgaveavsnittene. Strever du med oppgavene er det kanskje riktig å nedprioritere dette avsnittet, i hvert fall i første omgang. Kapitlet bruker leilighetsvis begrepene mengde, naturlige tall N, heltall Z, rasjonale tall Q og reelle tall R som først behandles i kapittel.. Dette avsnittet kan eventuelt leses først, men det byr nok ikke på storeproblemerå utsette det.. Polynomer Hensikten med dette avsnittet er å trene i manipulasjon med polynomer. Dette inkluderer regning med vanlige tall, som er spesialtilfeller av polynomer. Avsnitt.5. danner bakgrunn for regnereglene i.. og..3. Den noe unaturlige rekkefølgen med teorien etter anvendelsene skyldes at fokus er på regneteknikken i dette kapitlet... Parentesbruk Parentesen i regnestykket 0 (5 + ) betyr at (5 + ) skal behandles som et enkelt tall. Det betyr at parentesen skal regnes ut først, slik at 0 (5 + ) = 0 7= 3. En annen parentessetting gir et annet resultat: (0 5) + = 5+ = 7. Med flere parenteser utenpå hverandre brukes ofte andre parentestyper (f.eks hakeparenteser) for å tydeliggjøre hvilke parentespar som hører sammen, men det vil i liten grad bli brukt her. Som input i dataprogrammer brukes hakeparenteser nesten aldri til dette formålet, de får gjerne tildelt andre betydninger. I uttrykk med flere parenteser regner vi

10 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA først ut de innerste parentesene: ( (5 + (4 ))) = ( (5 + 3)) = ( 8) = 3=6 Regneoperasjonene i de fire regningsartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon er i utgangspunktet definert for to og to tall. Lange uttrykk med slike utregninger skal da i prinsippet ha parenteser som gjør at alle utregninger skal gjøres for to og to ledd. For eksempel kan summen skrives ((( + ) + 3) + 4) + 5 for å angi rekkefølgen vi regner ut dette i: = ((( + ) + 3) + 4) + 5 = ((3 + 3) + 4) + 5 = (6 + 4) + 5 = = 5 Dette er antagelig rekkefølgen du ville regnet ut denne summen i ved hoderegning ( en pluss to er tre pluss tre er seks pluss fire er... ). Om parentesene plasseres på en annen måte i regnestykket over, for eksempel + ((( + 3) + 4) + 5), blir resultatet det samme. Vi sløyfer derfor gjerne parentesene i dette tilfellet, og skriver summen uten parentes. Det er imidlertid aldri farlig åskrive parentes selv om det ikke er helt nødvendig. Rådet er: Vær raus med parentesene, og bruk alltid parentes hvis du er i tvil om det er nødvendig. Dette gjelder kanskje i enda sterkere grad i programmering enn i matematikk. I uttrykk uten parentes er det allment akseptert (konvensjonelt) at tolkningen skal være: I lange uttrykk bygd opp av de fire regningsartene er regelen at vi utfører multiplikasjoner og divisjoner før addisjoner og subtraksjoner. Bortsett fra dette regner vi fra venstre. Endringer i denne rekkefølgen kan oppnås ved parentesbruk. (.) Skal vi regne ut +5 4 /4, begynner vi med multiplikasjonen og divisjonen og forenkler til Deretter regner vi sammmen fra venstre:...= 3 = 9. Ønsker vi utføre addisjonen først og divisjonen helt til slutt, skriver vi (( + 5) 4 )/4 =(7 4 )/4 =(8 )/4 =6/4 =4. For bokstavuttrykk (f.eks polynomer eller funksjonsuttrykk) gjelder de samme reglene. Vi kan da tenke oss at parentesen angir rekkefølgen vi skulle regnet ut uttrykket i dersom vi satt inn tall for bokstavene. En litt annen nyans er at om vi i bokstavuttrykk erstatter en bokstav med et sammensatt uttrykk, vil vi i første omgang ha en parentes rundt dette. Hovedregelen over gjelder fortsatt, men i fortsettelsen får vi noen flere omformingsregler for parentesuttrykk med bokstaver. Oppgave. Regn ut: a) /6 b) (7+ 4 ) + 4 9/6 c) (7+ 4) +4 9/6 d) (7+ 4) ( + 4) 9/6.. Manipulasjon av polynomer Polynomer er uttrykk som er bygd opp av tall og bokstaver sammen med operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Bokstavene som inngår (eller som det er naturlig å tillate), kalles polynomets variable. For eksempel er x 3x + et polynom i variablen x. Leddet x er også framkommet ved multiplikasjon da det er en skrivemåte for x x. Eksempler på polynomer i de to variablene a og b er 7ab b +3og(a b)(a +3b). Det finnes også andre måter å bruke parentes på i denne boken. I avsnitt.4 skal vi representere ordnede par på formen (x,y), for eksempel (5, 3). Seinere skal vi også se på funksjonsuttrykk som for eksempel f(x) eller sin(x), der parentesen også har en annen rolle enn her.

11 .. POLYNOMER 3 Tall kan oppfattes som spesialtilfeller av polynomer. Tallet 3 kan for eksempel betraktes som et polynom i variablen x ved åskrive3=3+0 x. I polynomet 7x 3 x+5 kalles addendene 7x, 3x og 5 polynomets ledd. Potensen som variablen i et ledd opphøyes i, er leddets grad, slik at 7x har grad, 3x har grad og 5 har grad 0. Den høyeste potensen som forekommer i polynomet, kalles polynomets grad. Polynomet i dette eksemplet er således av grad, et andregradspolynom. Tallene 7, og 5, som variablene multipliseres med, kalles koeffisientene. Koeffisienten i leddet av høyeste grad, her 7, kalles ledekoeffisienten, og tallet 5 er konstantleddet. Multiplikasjon av polynomer De viktigste prinsippene for multiplikasjon mellom polynomer (eller parenteser) formuleres her verbalt. I avsnitt.5. finnes bakgrunnen for disse. Det som alltid er bakgrunnen for at noen omforminger er lovlige, er at uansett hvilket tall vi setter inn for variablene, får det opprinnelige og omformede polynomet samme verdi. En sentral regel er hvordan vi multipliserer et tall inn i en parentes. Vi har at 5 (4+3) = 5 7= 35. Vi har også = = 35, slik at 5 (4 + 3) = Det samme gjelder om vi erstatter 5, 4 og 3 med hvilke som helst andre tall. Dette kan formuleres til en generell regel: a(b + c) =a b + a c. (.) Ved en utvidelse av dette prinsippet får vi en regel for hvordan vi multipliserer sammen to parenteser. Denne formuleres her med ord: Produktet av to polynomer er summen av alle produktene med et ledd (en addend) fra første og et ledd fra andre faktor. (.3) Eksempel Et eksempel på hvordan dette ser ut med tall: ( )(3 + ) = 0 5 = 50ved direkte utregning. Via regelen over, som vi refererer til ved nummeret.3 i høyre kant, har vi (4+5+)(3+)= = =50. Hovedeksempel Som et hovedeksempel i dette avsnittet skal vi regne sammen uttrykket (a + b)(a b +3)såmyesommulig,ogvibegynnermedå bruke regelen over: (a + b)(a b +3)=a a + a ( b)+a 3+b a + b ( b)+b 3. Parentesen rundt b presiserer at dette betraktes som et enkelt tall, men hovedgrunnen til åhadenmed er å unngå å forveksle produktet a( b) med subtraksjonen a b. De tre første leddene er kombinasjonene med første ledd a fra første polynom og hvert av de tre leddene i andre polynom. De tre siste leddene er andre ledd, b, multiplisert med hvert av leddene i andre polynom. Dette uttrykket kan så pyntes videre med andre regler: Hvis antallet faktorer med minus foran i et produkt er et oddetall, kan alle minustegnene erstattes av en felles minus foran produktet. Hvis antallet faktorer med minus foran i et produkt er et partall, kan minustegnene sløyfes. (.4) Hvis det er flere variable, er summen av eksponentene til variablene i leddet leddets grad, og graden på det eller de leddene med høyest grad er polynomets grad. For eksempel er 0.7ab 0.b +.4 et 3. gradspolynom i variablene a og b.

12 4 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA Eksempel Dette betyr for eksempel at ( )( 3) = 6, ( )( )( ) = og ( ) a ( b) c ( d) = abcd. I hovedeksemplet kan vi sette minusen foran andre ledd, a ( b), og nestsiste ledd, b ( b), ved denne regelen, siden de inneholder én (et oddetall) minus: a a + a ( b)+a 3+b a + b ( b)+b 3=a a a b + a 3+b a b b + b 3. Rekkefølgen av faktorene i et produkt kan omorganiseres som du ønsker. Rekkefølgen av addendene i en sum kan omorganiseres som du ønsker. (.5) Vi kan ikke bytte om rekkefølgen i en differens, a b b a. Hvis vi betrakter minustegnet som en del av leddet b kan vi omorganisere ved å la minusen følge med som en del av leddet: a b = a +( b) =( b)+a = b + a. Eksempel 3 + 7= 0 og 7+ 3 = 0, = 0 og = 0. Hovedeksemplet Vi skriver a a kortere som a og b b som b. Multiplikasjonstegn i produkter sløyfes hvis dette ikke kan føre til misforståelser. Ledd med samme bokstavkombinasjon samles i en naturlig rekkefølge (gjerne dalende eller økende potens). I eksemplet kan vi da få omformingen: a a a b + a 3+b a b b + b 3=a ab +ab b +3a +3b. Hvis flere ledd i en addisjon har en faktor felles, kan denne settes utenfor en parentes som omfatter leddene uten denne faktoren. (.6) Eksempel Siden (9 + 5) = ( ) er = 3(3 + 5) = 3 8, som vi ser stemmer. Hovedeksemplet I delen ab + ab i eksemplet er ab felles faktor. (Hvis ab fjernes fra ab, står vi igjen med.) Dette kan da skrives som ab( +) = ab =ab. Vedå gjøre denne sammenslåingen kan utregningen i eksemplet oppsummeres til (a + b)(a b +3)=a + ab b +3a +3b. (.7) Omforminga i formel (.7) skal forstås slik at uansett hvilke tall som settes inn for a og b vil likheten gjelde. Hvis vi for eksempel velger a =3ogb = 4, blir venstresiden (3 + 4)( 3 4+3)= 7 5 = 35. Høyresiden blir det samme: = = 35. Kommentar: I praksis gjøres ofte flere av skrittene i eksemplet over i en og samme operasjon så utregningen blir noe kortere. Det er imidlertid en fare at fristelsen er stor til åtaformange skritt om gangen og pådra seg slurvefeil. Ikke minst er den neste omformingsregelen en hyppig feilkilde: Hvis det står en minus foran en parentes, kan parentesen fjernes samtidig som alle leddene i parentesen bytter fortegn. (.8)

13 .. POLYNOMER 5 Eksempel: ( +3 4) = ( )=+=3, og også ( +3 4) = + 3+4=3 og (a 3b +5)= a +6b 0. Oppgave. Regn sammen polynomene : a) (x +)(x +) b) (x 5)(x ) c) (y + )(3y ) d) (x 5)(x ) e) (x )(x x +) f) (5x +)(x +x 3) g) (a + b 3)(a b +) h) (t )(t )(t 3) i) (x )(x 4 + x 3 + x + x +) j) (x +)(x ) (x +)(x +) Oppgave.3 Sett inn a = x og b =x i uttrykkene nedenfor, og regn sammen: a) (a + b)(a b +3) b) a + ab b +3a +3b Hvis du har regnet riktig, vil du se at begge svarene i forrige oppgave er 4x + x + 5. Uttrykkene er høyre og venstresiden i uttrykket i (.7), svaret på eksemplet i starten av dette avsnittet. Dette er et eksempel på at ikke bare tall kan settes inn for bokstavene i disse utregningene, men også polynomer. Kommentar: Funksjonsuttrykk, som for eksempel x eller /x, kan også settes inn. Å omforme funksjonsuttrykk vil være en viktig anvendelse av regneteknikken fra dette kapitlet seinere i boka...3 Kvadratsetningene Oppgave.4 Begynn dette avsnittet med å regne sammen følgende polynomer (med metodene fra forrige avsnitt): a) (a + b)(a + b) b) (a b)(a b) c) (a + b)(a b) Vanligvis skrives produktet (a + b)(a + b) som(a + b), og produktet (a b)(a b) som(a b). Hvis du har regnet oppgaven over riktig, vil resultatet kunne oppsummeres i følgende setninger, som kalles kvadratsetningene: Kvadratsetningene: Første kvadratsetning (a + b) = a +ab + b Andre kvadratsetning (a b) = a ab + b (.9) Tredje kvadratsetning (a + b)(a b) = a b Tredje kvadratsetning kalles også konjugatsetningen. Setningene kan forståes slik at innsetting av vilkårlige tall for a og b gir samme tall på høyre og venstre side av likningene. Polynomer (eller funksjonsuttrykk) kan også settes inn for a og b, og da gir formlene måter å omforme et polynom (eller funksjonsuttrykk) på.

14 6 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA Eksempel En sjekk av første og tredje kvadratsetning med tall: (5 + 3) =8 = 64 og (5+3) = =5+30+9=64. (5 + 3)(5 3) = 8 = 6 og (5 + 3)(5 3) = 5 3 =5 9=6. Oppgave.5 Bruk kvadratsetningene til å regne sammen uttrykkene: a) (x +) b) (t ) c) (y +3)(y 3) d) (x + y) (x y) e) (s +3t) f) ( x )( x +) g) (a +( b)) (bruk første kvadratsetning! ) Kvadratsetningene bør læres- ikke hovedsaklig fordi det går litt raskere å sette inn i formelen enn å regne det ut etter metoden i oppgaven over, men fordi du ofte trenger å bruke dem baklengs. Det vil si å skrive om polynomer fra utregnet form til produktform. Faktorisering Vi ønsker ofte å omforme polynomer den omvendte vegen av det som er gjort tidligere. For eksempel kan vi ønske åskrivex +4x +4 som (x +),noesomvisermå være riktig fra a oppgaven over. Dette kalles å faktorisere polynomet. Teknikken er ikke så automatisk som å regne sammen kvadratet. Først må du finne et kvadrat som skal erstatte a,ogdermeda, ienavformlenei(.9) (dette vil ofte være leddet x, som i dette eksemplet). Deretter finner du ut hva som skal tilsvare ab (dette vil ofte være leddet som inneholder x i første potens, dvs. 4x i eksemplet). Siden vi nå har bestemt a, kan a settes utenfor ab leddet, og b b bestemmes (med fortegn). I eksemplet er 4x =x, så b = (og det passer heldigvis med at b =4). Oppgave.6 Polynomene nedenfor tilsvarer høyresiden i en av kvadratsetningen ved passende valg av a og b. Faktoriser polynomene. a) x +x + b) x 4x +4 c) x 6 d) 4t +4t +36 e) y +6xy +9x f) 8 x + x +6 Kommentar: I disse oppgavene gikk faktoriseringen greit da uttrykkene passet akkurat inn i mønsteret til kvadratsetningene. En metode som kalles utfylling av kvadratet, utvider denne framgangsmåten til å kunne faktorisere generelle andregradspolynomer (komplekse tall må tillates for at alle andregradspolynomer skal kunne faktoriseres). Utledningen av løsningsformelen for andregradslikningen på side8ereteksempelpå bruk av denne teknikken.. Brøkregning Dette hovedavsnittet handler om brøkregning. Siden det er regneteknikken som skal oppøves, skal kalkulator ikke brukes på oppgavene. Svarene skal normalt gis på brøkform, ikke som desimaltall. Avsnitt.5. gir noe mer bakgrunn for regnereglene i dette avsnittet. Med brøk menes et uttrykk på formen a b (som også kanskrivesa/b). Størrelsene a og b kan være tall, polynomer eller funksjonsuttrykk. a kalles brøkens teller og b kalles brøkens nevner. Nevneren kan ikke være 0. Brøker på formen a kan settes lik a, ogbrøkena = for alle a 0. a Hvis a og b er heltall, kalles brøken et rasjonalt tall.

15 .. BRøKREGNING 7.. Addisjon, multiplikasjon og forkorting av brøker Regnereglene for brøk bygger på hovedregelen (.) for multiplikasjon og (.3) for addisjon. Multiplikasjon av brøker Et heltall multipliseres med en brøk ved å multiplisere tallet inn i telleren: Multiplikasjon mellom heltall og brøk : c a b = ac b (.0) Eksempel 5 3 = 5 = To brøker multipliseres ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner: Multiplikasjon av brøker: a b c d = ac bd (.) Eksempel 3 = 3 = 6. Ved å skrive heltallet c som c er regel (.0) et spesialtilfelle av regel (.): 5 3 = 5 3 = 5 3 = 0 3. I mange sammenhenger er det lurt å huske enklere regler som spesialtilfeller av mer generelle regler. Da blir det ikke så mange regler ågå rundt og huske på. En konsekvens av denne regelen er forkortningsregelen for brøker. Hvis teller og nevner inneholder en felles faktor, kan denne forkortes bort. Det vil si: ac bc = a b Utregningen under følger fra multiplikasjonsregelen og det at c c =: (.) a b = a b =a b c c = ac bc. Siden likhetstegn er symmetrisk (a = b betyr det samme som b = a) er det gyldig å gjøre denne utregningen fra høyre mot venstre, og da har vi forkortningsregelen. Eksempel 9 = = 3 4. Ved å bruke tredje kvadratsetning baklengs til å omforme (faktorisere) telleren, får vi følgende forenkling: a b a b = (a b)(a + b) (a b) = a + b = a + b. Oppgave.7 Skriv brøkene så enkelt som mulig. Det vil si med (maksimum) en brøkstrek og uten felles faktor i teller og nevner. a) 3 b) c) p q q p

16 8 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA d) g) 5xy 0xz e) h) 35 4 (x ) (x )(x +) f) i) 55x x x +x + x Addisjon av brøker Hvis nevneren er lik i to brøker som skal adderes, adderes tellerne mens fellesnevneren beholdes: Addisjon av brøker med samme nevner: a b + c b = a + c b (.3) 3 Eksempel = 3+7 = =. Hvis nevnerne er forskjellige, kan det ordnes slik at nevnerne blir like før det adderes. Siden =, kan brøkene multipliseres med disse uten å endres. Derfor gjelder følgende omforming: d d = b b a b + c d = a b d d + c d b b = ad bd + cb db. Nå er nevnerne like (siden bd = db), og addisjonsregel (.3) kan brukes. Resultatet kan oppsummeres i den generelle addisjonsregelen a b + c ad + bc = d bd (.4) Eksempel = +5 5 = Hvis nevnerne har en felles faktor, greier det seg å multiplisere teller og nevner med et mindre tall for å oppnå samme nevner i brøkene (fellesnevner): = = = = = Det vil ikke bli feil om du ordner fellesnevneren til 0 5 = 50, du kan i så fall forkorte med 5 til slutt. Det er likevel vanligvis enklere å regne med lavere tall underveis. Subtraksjon av brøker. Vi har at a b = a b, og subtraksjon kan fåes fra addisjonsformelen ved å flytte minustegnet opp i telleren: = ( 5) = = Oppgave.8 Skriv brøkene så enkelt som mulig. Det vil si med (maksimum) én brøkstrek og uten felles faktor i teller og nevner. a) d) g) x + 3 x + 4 b) + 3 e) h) x x c) f) i) 3 9xy p q 6yz ) ( p q + q p

17 .. BRøKREGNING 9 Oppsplitting av brøker Ofte er vi interessert i å omforme den motsatte vegen av å sette på felles brøkstrek. Det vil si at vi ønsker å splitte opp en brøk som en sum eller et produkt av to eller flere brøker. Som eksempel vises oppsplitting av brøken ( x 3 6x +8x )/ (4x): x 3 6x +8x 4x = x3 4x + 6x 4x + 8x 4x. Her er summeregelen brukt motsatt: Adderes leddene på høyresiden sammen fåes brøken på venstresiden. Noen forkortinger kan nå gjøres i hvert ledd: x 3 4x + 6x 4x + 8x 4x = x + 3x +. Dette er et polynom, og en standardmåte å skrive polynomer på er med koeffisientene på brøkform, med x faktorene utenfor brøkstreken. I brøker foretrekkes også ofteatbådetellerognevnerer positive, så minusen settes foran i andre ledd: x 3 6x +8x 4x = x + 3x + = x 3 x +. De siste omformingene er egentlig multiplikasjonsregelen brukt omvendt. For det første leddet kan dette presiseres slik: x = x = x = x.... Kommentar:... Advarsel: Fra reglene over kan du greit omforme x+y til x + y. Hvis summen derimot finnes i nevneren, som i, finnes ingen omformingsregel. En vanlig og alvorlig feil er å omforme dette x+y til +. Du ser at dette er helt feil ved åprøveå sette inn noen tall. Hvis omformingen var x y riktig, ville svarene blitt like. Hvis du setter inn x =ogy =,erførstebrøk =,mens + andre brøk er + =4. Denne innsettingsmåten er ofte nyttig for å sjekke om en omforming er gal. Hvis utrykkene blir forskjellige, er den det. Hvis utrykkene blir like, kan du likevel ikke være sikker på om omformingen er riktig. Likhet kan tilfeldigvis gjelde for de tallene du har valgt uten ågjelde generelt. Studenter som gjør omformingsfeil av denne typen, spør av og til: Hvorfor har jeg ikke lov til å gjøre dette?. Å gi et moteksempel som det over er et svar. Generelt bør likevel svaret være: Spørsmålet er galt stilt. I matematikk må du spørre deg selv om hvorfor du har lov til ågjøre ting. Dette må du besvare ved å tilbakeføre omformingen til regler du vet er riktige (som for eksempel multiplikasjons- og addisjonsreglene (.) og (.3)). Noen ganger ser du dette lett, andre ganger trengs en utledning. Klarer du ikke dette, kan den nye regelen heller ikke brukes.... Oppgave.9 Gjør, om mulig, en naturlig oppspalting av følgende brøker som en sum av enklere brøker. Skriv resultatet så enkelt som mulig. a) x + x b) x x + c) 3x +5x +x 3 + x 4 d) (a + b)(a b) ab

18 0 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA.. Brudden brøk Vi kan ha brøker der teller og nevner selv er brøker. Det er da viktig å holde orden på hvasom er hovedbrøkstreken. Det er ikke likegyldig om 8/4/ tolkes som 8/4 = =(somerriktig,i 8 følge konvensjonen om åregnefravenstre)eller 4/ = 8 = 4. Uttrykkene over og under hovedbrøkstreken kalles fortsatt brøkens teller og nevner, mens tellerne og nevnerne i brøkene som inngår over og under hovedbrøkstreken kalles smånevnere og småtellere. Brudne brøker kan omformes til utrykk med bare en (hoved)brøkstrek. Metoden baserer seg på at teller og nevner multipliseres med smånevnerne, og dermed kan disse forkortes bort. Dette illustreres i følgende eksempel: = = = = 0. Metoden oppsummeres gjerne i følgende form: En brudden brøk forenkles ved å flytte smånevneren i telleren ned i nevneren, og smånevneren i nevneren opp i telleren: a/b c/d = a d (.5) b c En annen måte dette ofte formuleres på eratå dividere med en brøk er å multiplisere med den omvendte brøken: a/b c/d = a b d c. Eksempel /3 7/5 = = 0 Oppgave.0 Skriv som ubrudne brøker: a) /3 4 b) / c) /5 /5 d) 5/4 5/6 e) /x f) s/ t/3 g) h) x + x + i) x 6 x j) x + y k) /3 /4 6 l) a/ b/5 /a /b.3 Potensregning.3. Potenser med fast grunntall Med heltall mener vi tallene {...,,, 0,,,...}, menspositive heltall er tallene {,, 3, 4,...}. Rasjonale tall er alle tall som kan skrives som brøker m/n mellom heltall. Reelle tall er alle tall som kan skrives som desimaltall, eventuelt med uendelig mange desimaler. Dette skal presiseres litt mer i neste kapittel, men denne definisjonen klarer seg foreløpig.

19 .3. POTENSREGNING Heltallspotenser For n>0, et positivt heltall, og a et reelt tall er a n definert som a n def = a a a } {{ } n faktorer (.6) Eksempel 9 3 =9 9 9 = 79. Spesialtilfellet a = a regnes som en del av denne definisjonen. Ipotensena n kalles a grunntallet og n eksponenten. For to positive heltall n og m følger da: a n a m =(a a a) } {{ } n faktorer (a a a a) } {{ } m faktorer = } a a a {{ a a a a } = a n+m. n + m faktorer Kommentar: Ved å droppe prikkene fåes spesialtilfellet n =3,m =4. Dette gir en hovedregel for potensregning: a m a n = a m+n (.7) Vi skal nå utvide definisjonen av potenser til n = 0 og n negativt heltall. En viktig motivasjon for måten å gjøre dette på er at vi ønsker at multiplikasjonsregelen (.7) fortsatt skal gjelde. Da tvinger følgende omforminger fram definisjonene av a 0 og a n : Vi definerer derfor: a = a +0 = a a 0 = a a 0. Derfor må vi sette a 0 =. =a 0 = a n n = a n+( n) = a n a n. Derfor må vi sette a n = a n. a) a 0 = (a 0) b) a n = a n (a 0) (.8) Det er ikke så vanskelig å sjekke at regel.7 gjelder alle heltall m og n med disse definisjonene. Det gjennomføres ikke her. Oppgave. Fyll ut (uten kalkulator) verdiene av n i tabellen nedenfor. n n Kommentar: Toerpotensene er ofte viktige i datasammenheng. De er blant annet sentrale i kapittel 3.. Ordet kilo betyr egentlig tusen, men i datasammenheng betyr det gjerne 0.Enkilobyte er ikke nøyaktig 000 bytes, men derimot 04 bytes. En megabyte betyr en million bytes, men er egentlig 0 = bytes.

20 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA Oppgave. Fyll ut (uten kalkulator) verdiene av 0 n i tabellen nedenfor. Bruk desimaltall. n n Oppgave.3 Regn ut ( ) 0,( ),( ),( ) 3 og ( ) 4. Kommentar: Multiplikasjon med ( ) n brukes som et triks for åfå til ledd med alternerende fortegn i matematiske formler og dataprogrambiter. Brøkpotenser For vilkårlige heltall m og positive heltall n kan vi bruke regel (.7) n ganger og får da (a m ) n = } a m a m {{ a m regel (.7) } = a m+m+ +m = a m n. n faktorer Vi kan på liknenede måte sjekke at denne regelen også gjelder for n =0ogn<0, og m =0 og m<0. (Hvordan vil du gå fram for å sjekke dette? Prøv!). Dette er også en grunnleggende potensregneregel: ( a m ) n = a m n. (.9) Vi skal nå utvide definisjonen av potenser til brøker x = m/n, og denne utvidelsen er motivert av at vi ønsker at regel.9 fortsatt skal gjelde. Vi begynner med x =/n, som vi setter inn for m i denne regelen. Da tvinger følgende definisjon seg fram: ( a /n) n = a n n = a = a. Derfor må vi sette a /n = n a Vi definerer n a som det positive tallet som oppfyller ( n a ) n = a. (.0) Vi forutsetter at a er positiv, og da eksisterer det et entydig positivt reelt tall som oppfyller dette. For eksempel er 3 8=siden 3 =8. Ved isteden å erstatte m med m/n i regel.9 får vi følgende definisjon: ( a m/n) n m = a n n = a m. Derfor må vi sette a m/n = n a m. En alternativ måte å bruke regel.9, sammen med at vi nå har definert a /n = n a tvinger fram et annet uttrykk for a m/n : a m/n = a n m = ( a n ) m. Derfor må vi sette a m/n = ( n a ) m. Skal det derfor i det hele tatt være mulig å gjøre denne utvidelsen med disse reglene intakt, må de to uttrykkene for a m/n være like, dvs. at n a m =( n a) m for alle positive tall a og alle heltall m og n. Dette er tilfellet (selv om vi ikke viser det her). Det er også slik at reglene.7og.9 fortsatt gjelder om vi erstatter m og n med vilkårlige brøker. Dette trenger en egen sjekk, som ikke taes med her. Vi oppsummerer med følgende definisjoner:

21 .3. POTENSREGNING 3 a) a /n = n a b) a m/n = n a m (.) c) a m/n = ( n a) m Ved å bruke de to definisjonene for a m/n kan for eksempel 7 /3 regnes ut på tomåter: Enten ved åskrive7 /3 = 3 7 = 3 79 = 9 (siden 9 3 = 79), eller (noe enklere hoderegning) ved åskrive 7 /3 = ( 3 7 ) =3 = 9. At svarene er like, er en konsekvens av at det er en gyldig regneregel at de to definisjonene av a m/n er like.... Kommentar:... Foratviskalværesikrepå at alle reglene over gjelder, må viantaatgrunntalleta er positivt, og at a x er positiv for alle rasjonale tall x. Vi kan tillate negative verdier av a om eksponenten er et heltall (også negative), men vi kan ikke ha a = 0 for negativ eksponent siden 0 n =/0 n =/0 ikke går an. 0 0 er et ubestemt uttrykk:0 n = 0 skulle tilsi at 0 0 =0,mensa 0 = skulle tilsi at 0 0 =. Det er tryggest åla0 0 forbli udefinert. For brøker i eksponenten kan ikke negative verdier av a tillates. For det første er ikke noe reelt tall. Selv om det finnes negative tredjerøtter av negative tall, fører det til selvmotsigelser å bruke disse i potensregningen, som følgende eksempel viser: ( ) /3 = 3 = (siden( ) 3 = ). Samtidig er ( ) /3 =( ) /6 = 6! ( ) = 6 =. Det er selvmotsigende åhaat( ) /3 er både og,så( ) /3 bør forbli udefinert. For positive tall a har vi ( " #! a) = a / = a. Dette gjelder ikke negative tall: ( ) = 4=. Det som alltid gjelder er x = x, der x er absoluttverdien til x. Absoluttverdien er det ikke negative tallet vi får om vi stryker en eventuell minus foran tallet.... Oppgave.4 Regn ut følgende potenser, uten kalkulator: a) 3 b) 3 3 c) 3 4 d) 6 e) 6 3 f) 6 4 g) 6 / h) 6 /4 i) 6 3/4 j) 6 / k) 6 3/ l) 6 3/ m) a a 4 n) 0 r+ 0 r o) 7 r+3/ 7 r+ p) q) ( 5 ) r) ( /) 4 s) ( 8 ) 4 t) 8 4 u) (5 ) v) 7 4 w) x)

22 4 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA Tierpotensene, som det ble regnet ut noen av i oppgave., er grunnelementene i desimaltallsystemet. For eksempel kan 35.6 skrivessom Enbrukavdisseerå skrive store eller små tallpå en mer oversiktlig måte: = = 7 0. En alternativ standard er å skrive desimaltalltall med ett siffer 0 foran desimalpunktum ganget med en tierpotens som sier hvor langt desimalpunkumet skal flyttes mot høyre eller venstre: = og = Dette skrives ofte med bokstaven E (for eksponent): =.345E5. Dette kalles teknisk notasjon. Representasjonen av desimaltall internt i datamaskiner følger et liknende prinsipp (bortsett fra at da er grunntallet (en potens av) istedenfor 0). Oppgave.5 Regn sammen tallene under, uten bruk av kalkulator. ( a) 0 ) (5 0 3) ( b) c) 0 ) 3 d) ( ) ( ) e) f) g) 8.45 E.00 E-9.3. Potenser med fast eksponent I reglene over, for eksempel multiplikasjonsregelen (.7), var grunntallet (a) det samme på begge sider av likhetstegnet. Vi har også en viktig og grunnleggende multiplikasjonsregel med forskjellige grunntall, men samme eksponent. Her begrunnes den først for positive heltall, før vi (uten bevis) setter den opp som en generell regel: (a b) n =(ab) (ab) (ab) } {{ } n faktorer = a } a {{ a } b } b {{ b } = a n b n. n faktorer n faktorer a x b x =(a b) x (.) Følgende er et eksempel der eksponenten x =/ ikke er et heltall, men hvor du likevel kan se at resultatet stemmer: 6= 36 = 4 9=(4 9) / =4 / 9 / = 4 9= 3 Her følger en liste med noen flere regler du bør kjenne. De er kanskje lettest åhuskesomspesialtilfeller av reglene tidligere i dette avsnittet: a) b) n c) a d) a x a y = a x y a x ( a ) x b x = b n n b = ab n a n b = n a b (.3) En bruk av (.3c) er åskrive på formen = 4 3= 4 3= 3 Jeg har valgt å bruke amerikansk notasjon med desimalpunktum herfra og i resten av boken, framfor norsk notasjon med desimalkomma. Dette skyldes dels at det er mest vanlig i dataprogrammer, og dels at det er lettere å lese når vi skal skrive par av desimaltall, som f.eks. (7.3, 4.9).

23 .3. POTENSREGNING 5... Kommentar:... Advarsel: Det er ingen enkel omformingsregel om vi bytter ut multiplikasjon med addisjon på en av sidene i formel (.). Spesielt finnes ingen forenkling av uttrykket x + y. Dumå unngå den vanlige feilen å omforme dette til x + y.hvisvisetterinnx =9ogy = 6, er x + y = 9+6=5, mens x + y = 9+ 6 = = 7. Dette er sterkt beslektet med tilfellet i kommentaren på side9. Det finnes heller ingen enkel omformingsregel for a x b y når både grunntall og eksponent er forskjellige.... Gjør, om mulig, naturlige omforminger av potensuttrykkene (uten kalku- Oppgave.6 lator): ( ) 3 a) a 3 b 3 b) n 3 n c) d) (x) 3 e) 8 6 f) 9x 4 g) 8 h) x /5 i) 4 /3 /3 j) 3 x8 / 3 8x k) 4 x/8 l) 3 9 x + 3 m) a +4b n) x +x + o) x +9 x 4 Oppgave.7 Regel (.3c) får vi slik: n a n b = a /n b /n regel (.) = (ab) /n = n ab. Utled reglene (.3a), (.3b) og (.3d) på tilsvarende måte. I brøker anses det gjerne for ryddigere å unngå rotuttrykk i nevneren. Her er et eksempel på en omforming for åfå til dette: = = ( ) = 3 3. Oppgave.8 Omform til brøker uten rottegn i nevner: a) b) x x + c) 3 d) + Hint:Multipliser med itellerognevner.

24 6 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA.4 Likninger Dette hovedavsnittet tar for seg lineære likninger i en og to variable, og andregradslikninger. Det inneholder også litt om likninger for rette linjer og parabler, og tegning av disse i et kartesisk koordinatsystem (xy planet). Noe mer teori om likninger finnes i avsnitt.5.3 Samlingen av alle løsninger av en likning (eller et likningssystem) skal vi kalle løsningsmengden. To likninger (eller likningssystemer) som har samme løsningsmengde, kalles ekvivalente og kan bindes sammen med tegnet. Når likninger skal løses, er metoden vanligvis å omforme likningene til en form der vi direkte kan se hva løsningsmengden må være. Et viktig prinsipp for omforming av likninger er at om samme operasjon utføres på begge sider av likhetstegnet, vil alle løsninger i den opprinnelige likningen også være løsninger i den omformede likningen. Hvis det også finnes en operasjon som kan utføres på begge sider i den nye likningen slik at den blir omformet til den opprinnelige likningen, har de samme løsningsmengde..4. Førstegradslikninger En likning (med x som ukjent) som kan ordnes til formen ax + b =0(dera 0), kalles en lineær likning med en ukjent, eller kort bare en førstegradslikning. Eteksempelerx 8 = 0. En løsning er et tall som ved innsetting for den ukjente, x, gir samme tall på venstresiden (her x 8) og høyresiden (her 0) av likhetstegnet. I dette tilfellet er dette x =4siden 4 8 =0.Når dette tallet er funnet, sier vi at likningen er løst med hensyn på x. Eksempel Løsning av likningen x 3 = 5 kan starte med å addere tallet 3 til begge sider av likhetstegnet: x 3=5 x 3+3=5+3 x =8. Denne operasjonen kan reverseres (ved å subtrahere 3 fra begge sider av likningen x =8),sådet omformede likningssystemet har samme løsningsmengde. Denne operasjonen beskrives vanligvis som Et ledd i en likning kan flyttes over på motsatt side av likhetstegnet ved å bytte fortegn på leddet. Løsningsmengden endres ikke ved denne operasjonen. (.4) Vi kan fortsette med å dividere begge sider av likhetstegnet med tallet : x =8 x =8 x =4. Siden denne operasjonen kan reverseres (ved å multiplisere begge sider av likningen x = 4 med ), er likningene ekvivalente. Denne operasjonen kan vi generelt beskrive slik: Et tall forskjellig fra 0 kan multipliseres eller divideres på begge sider av likningen. Løsningsmengden endres ikke ved denne operasjonen. (.5) Det har nå framkommet en likning der x står alene på den ene siden av likhetstegnet. I denne likningen ser vi direkte at det er 4 vi må sette inn for x for at begge sider av likhetstegnet skal få samme verdi. Ved innsetting i den opprinnelige likningen er venstresiden 4 3=5,somerdet samme som tallet på høyresiden. Utgangspunktet her er at leseren vet hva likninger og løsninger er, ihvertfall i tilstrekkelig grad til å følge framstillingen videre. Jeg tar derfor ikke med noen detaljert og formell forklaring på dette. Tilsvarende utgangspunkt tas også flere ganger seinere, blant annet i dette hovedavsnittet når vi tar i bruk kartesisk koordinatsystem (xyplanet)

25 .4. LIKNINGER 7 Oppgave.9 Løs likningene under med hensyn på x: a) 3x =3 b) 6x 5=3 c) x +=x d) 4x +5=3( x) e) x 0.5 =0.7 f) x =0.75x g) 5x = 3 i) k) h) 3 x +4= x += x 3 j) x = x x = l) x +3 = 3 x + Likninger med parametre I mange situasjoner kan det være naturlig eller hensiktsmessig å kalle den ukjente noe annet enn x. Hvis likningen i eksemplet over dreide seg om en problemstilling der tiden skulle finnes for et eller annet, ville vi kalt den ukjente t og skrevet likningen t 3 = 5 med løsning t =4. I mange problemstillinger inngår andre bokstaver enn den ukjente. Disse bokstavene behandles på samme måte som de kjente tallene og kalles parametre. Løsningen(e) vil da også (vanligvis) inneholde parametrene. Likningen x 4t = har løsning x =t + om x er den ukjente og t er en parameter. Dette kan tolkes som at uansett hvilket tall vi setter inn for t i likningen så får vi løsningen ved å sette dette tallet inn for t iformelenx =t +. Det er viktig å vite hvilken bokstav som er den ukjente, t kan også være ukjent i likningen x 4t =. Den kan da løses med hensyn på t og ha løsningen t = x 4. Oppgave.0 Løs likningene under med hensyn på variabelen som står til slutt. Angi også eventuelle begrensninger på hva parameteren kan være for at løsningen skal gjelde. a) x t =, x b) x t =, t c) µ σ =, σ d) x +y =8, x e) kx + l =0, x f) ax + by = c, y g) p(p + q) =, q h) xy =, x.4. Lineære likninger med to ukjente Likning for en rett linje En likning på formenx +y = 8, eller mer generelt ax + by = c, kalles en lineær likning med to ukjente (dvs. de ukjente er x og y). Løsninger av denne vil bestå avbåde en x verdi og en y verdi. Vi skriver derfor en løsning som et ordnet tallpar (x, y). Samlingen av slike løsninger kalles løsningsmengden. For eksempel er (, 3) og (6, ) begge i løsningsmengden til x +y =8,siden innsetting av x =ogy = 3 gir venstresiden + 3 = 8, og x =6,y =gir6+ =8.Det finnes uendelig mange slike tallpar som oppfyller denne likningen, så alle kan ikke listes opp. Det som kan gjøres er å tegne dem inn i et koordinatsystem, og de vil da sammen danne en rett linje. Den er selvfølgelig uendelig lang og har tykkelse 0, men vi må nøyeossmedå tegne et passende utsnitt, som i figur.. Løsningene (, 3) og (6, ) er markert som store prikker.

26 8 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA y x Figur.: Løsningsmengden til x +y =8 Hvis b 0, kan likningen ax+ by = c omformes til y = a b x + c b a b med k og c b med l blir da likningen på formen y = kx + l. (jfr. oppgave.0f). Ved å erstatte For eksempel kan likningen x +y =8omformestily = x + 8 y = x +4. Velges en verdi for x, erdetbareett par (x, y) med denne x verdien som er løsning. Velges f.eks. x = 4 i eksemplet over, må y være y = 4+4=.Vedåsepåfigur.får vi bekreftet at (4, ) ligger i løsningsmengden. Om x velges lik 0, fåes et punkt på y aksen. Generelt har vi da at y = k 0+l = l. Dermedkan konstantleddet l tolkes geometrisk som skjæring med y aksen. Differensen mellom y verdien i et punkt med x koordinat x 0 og punktet som har x koordinat x 0, det vil si punktet til venstre for det første, er [kx 0 + l] [k(x 0 ) + l] =kx 0 + l kx 0 + k l = k. Konstanten k kan dermed tolkes som hvor mye y verdien øker om x økes med. Dette betyr at k er et mål for hvor bratt kurven er og kalles stigningskoeffisienten. Mer generelt har vi at om x verdien endres med et tall x, og den tilsvarende økning i y verdien kalles y, er stigningskoeffisienten k = y x. Oppgave. Skissér løsningsmengden og finn likningene på formeny = kx + l for linjene med følgende egenskaper: a ) Stigningskoeffisienten er, og skjæring med y aksen er y = 3. b ) Stigningskoeffisenten er, og skjæring med x aksen er x = 3. c ) Stigningskoeffisienten er 3, og linja går gjennom punktet (4, ). d) Linja skjærery aksen i y = oggår dessuten gjennom punktet (3, 7). e ) Linja er parallell med x aksen og skjærer y aksen i y =5. f ) Linja er løsningsmengden av likningen x 3y =. Vertikale linjer kan ikke skrives på formeny = kx + l. De kan derimot skrives som for eksempel x = 3. Dette kan oppfattes som spesialtilfelle av formen ax + by = c, meda =,b =0ogc =3.

27 .4. LIKNINGER 9 y x 3y = x +y = x Figur.: Løsningsmengden til likningsystemet x +y =8, x 3y = Et likningssystem av to lineære likninger med to ukjente er for eksempel x + y = 8 x 3y =. Det eller de parene (x, y) som tilfredstiller begge likningene kalles likningssystemets løsningsmengde. Det er som oftest bare ett tallpar som oppfyller dette, og i så fall sier man at likningssystemet har entydig løsning. Vedå tegne begge løsningsmengdene som linjer i et koordinatsystem vil denne løsningen være skjæringspunktet mellom disse linjene. I figur. er dette gjort for likningene i eksemplet, og det kan leses av figuren at punktet med koordinater (4, ) er den entydige løsningen. Dette kalles grafisk løsning av likningssystemet. En regnemessig (analytisk) måte å løse slike likninger på ervedinnsettingsmetoden, somher illustreres ved eksemplet: Først løser vi den ene likningen med hensyn på den ene ukjente. Likning og ukjent er fritt valgt, her velges x i den første likningen: x +y =8 x = y +8. Dette settes så inn i den andre likningen ved at x erstattes med y uttrykket for x, slik at dette blir en likning med en ukjent (y) ( y +8) 3y = 4y +6 3y = 7y = 4 y =. y verdien i løsningen er nå funnet, og denne settes inn i en av likningene for å finne x, for eksempel idenførste: x + =8 x =4. Dermed er løsningen x =4,y =, som også kanskrives(x, y) =(4, ) eller L = { (4, ) }. Dette er den samme løsningen som ble funnet grafisk. Oppgave. a) Løs likningssystemene både grafisk og ved innsettingsmetoden: x + y = 5 x y =. b) 3x + y = 3 7x 3y = 7.

28 0 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA c) y = x 5 y = 3x 9. d) y = 3 x 3 x = 7. e) x y = 0 x + 4y = 0. f) x y = 0 x + 4y = 4. I de to siste deloppgavene brøt innsettingsmetoden sammen. Grafisk løsning viser hva som skjedde: I det ene likningssystemet falt linjene oppå hverandre. Det vil si at alle de uendelig mange løsningene i den ene likningen også er løsninger i den andre, så det er uendelig mange løsninger. Egentlig er det samme likning, multipliseres x y = 0 med på begge sider av likhetstegnet blir resultatet x +4y =0. I det andre systemet er linjene parallelle og har ingen skjæring. Likningssystemet har ingen løsninger. Dette kalles også et selvmotsigende likningssystem. Kommentar: I fagområdet lineær algebra innføres en alternativ løsningsmetode, kalt Gausseliminasjon. Gausseliminasjon er bedre hvis det er flere ukjente, og til å hanskes med varianter som ingen eller uendelig mange løsninger, og forskjellig antall ukjente og likninger. Gausseliminasjon er også enklere å programmere i dataspråk. Eksempel De ukjente behøver selvfølgelig ikke kalles x og y. Her er et eksempel der x og y inngår, men de er ikke de ukjente i likningene som skal løses: Koeffisientene k og l i likningen y = kx+ l for linja gjennom punktene (, 3) og (4, 4) skal bestemmes. Hvis punktet (, 3) skal ligge på linja, må disse passe inn i y = kx+ l, og innsetting av x =og y = 3 gir likningen 3=k +l. Tilsvarende gir innsetting av punktet (4, 4) likningen 4=k 4+l. Dermed er det to likninger med k og l som ukjente: k + l = 3 4k + l = 4. Første likning kan løses med hensyn på l, detvilsiomformestill =3 k. Dette uttrykket for l settes inn i andre likning: 4k +(3 k) =4 3k +3=4 k = 3. Dermed er stigningskoeffisienten k funnet, og denne kan nå settes inn i en av likningene, for eksempel den første: k + l =3 3 + l =3 l =3 3 = = 8 3. Da kan vi sette inne verdiene vi har funnet for k og l i uttrykket y = kx + l, ogvifår likningen for linja: y = 3 x + 8, som også kanskrives 3y x =8. 3 Oppgave.3 a ) Finn en likning for linja gjennom punktene (, 5) og (4, 3).

29 .4. LIKNINGER b ) Finn en likning for linja gjennom punktene (0, 4) og (, 0). c ) Finn en formel for k og l (uttrykt ved hjelp av x 0, y 0, x og y ) for linja gjennom punktene (x 0,y 0 )og(x,y ). d ) Vis at likningen for linja gjennom punktene (x 0,y 0 )og(x,y )kanskrives y y 0 = y y 0 x x 0 (x x 0 ). Kommentar: Her er x og y kalt de ukjente siden vi har et likningsperpektiv på linjene. Seinere vil dette sees fra et funksjonsperspektiv, og da er det naturlig å kalle x og y variablene. Her er koordinataksene kalt x aksen og y aksen. Vi kan selvfølgelig ha andre navn på variablene, og vi må da skifte navn på aksene deretter. Et navn på x aksen som ikke referer til variabelnavnet, er abscisseaksen,. aksen brukes også av noen. Tilsvarende navn på y aksen er ordinataksen og. aksen..4.3 Andregradslikninger En likning som kan ordnes til formen ax + bx + c =0,medx som ukjent og a 0, kalles en andregradslikning. Hvis likningen er på faktorisert form, for eksempel (x )(x 3) = 0, kan løsningen sees direkte. Et produkt er 0 når en av faktorene er 0, ikke ellers. Det vil si (x )(x 3) = 0 når x = 0 eller x 3 = 0. Løsningen er dermed x = eller x =3. Dette formuleres også som at løsningsmengden er {, 3 }. Løsningene av andregradslikninger (og generelt likninger på formenp(x) = 0derp(x) eretpoly- nom) kalles røtter. En andregradslikning kan ha ingen, en eller to røtter blant de reelle tallene. Oppgave.4 Løs andre- og tredjegradslikningene a) (x )(x +3)=0 b) (x +7) =0 c) (x )(x 3)(x 4) = 0 d) x 5 =0 e) x(x 4) = 0 f) x +x +=0 Hvis polynomet ikke er faktorisert, er i prinsippet framgangsmåten å begynne med å faktorisere det. Dette er imidlertid gjort en gang for alle for andregradslikningen. Det er utledet en formel for røttene (se side 8 i avsnitt.5.3): Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har røttene b + b 4ac a og b b 4ac a (.6) når a 0ogb 4ac 0. Eksempel: I likningen x 5x +6=0era =,b = 5 ogc =6,så den ene roten er ( 5) + ( 5) 4 6 Litt mindre omstendelig regnet er den andre roten = = 5+ = 5+ =3. ( 5) ( 5) 4 6 = 5 =.

30 KAPITTEL. REPETISJON AV ALGEBRA Løsningsmengden er altså {, 3 }, den samme som i eksemplet i starten av avsnittet. Dette skyldes at om vi regner sammen, har vi (x )(x 3) = x 5x +6. Siden det bare er et fortegnsskille et sted i formelen for de to røttene, skrives dette gjerne på en mer kompakt form som b ± b 4ac a der tegnet ± leses pluss eller minus. Hvis b 4ac < 0 er uttrykket under rottegnet negativt, og vi har ingen reelle røtter. Hvis b 4ac = 0, smelter de to røttene sammen til en rot. I mange sammenhenger kalles denne da en dobbel rot eller en rot av multiplisitet. Hvis b 4ac ikke er et kvadrattall, som i likningen x x = 0 med røtter ( ± +4 ) /, kan røttene ikke skrives som brøker mellom heltall. Vi har da to muligheter: Å gi løsningen på eksakt form, der rottegnet bevares, eller å regne ut røttene tilnærmet som desimaltall ved hjelp av kalkulator, med så mange desimaler som situasjonen krever: { } Løsning av x x =0på eksakt form:. + 5, 5 Løsning av x x =0pådesimalform: {.680, }. Kommentar: Behold røttene på eksakt form hvis det ikke er noen spesiell grunn til åhadem på desimalform. Alle oppgavene i dette avsnittet skal løses uten kalkulator, og da er det nesten nødvendig å bruke eksakt form.. Oppgave.5 Løs likningene med hensyn på x a) x 4x 5=0 b) x 3x +=0 c) x x =0 d) x 9=0 e) x x =0 f) x x +=0 g) x x +=0 h) x =0 i) x =8x 5 j) (x +)(x 3) = 5 k) x = x x l) x +rx + s =0 En likning på formeny = ax +bx+c, for eksempel y = x 5x+6, har en uendelig løsningsmengde av par (x, y).foreksempeler(0, 6), (, ), (, 0) og (3, 0) alle løsninger i eksemplet. Ved åtegne løsningsmengden inn i xy planet vil enhver slik likning gi en kurvetype som kalles parabel. I figur.3 er parabelen for y = x 5x + 6 tegnet inn. Parabelens skjæringspunkt med y aksen har x koordinat 0. y koordinaten finnes da ved å sette inn x = 0, og konstantleddet c = 6 blir stående igjen. I skjæringspunktene med x aksen er y-koordinaten 0, så disse finnes ved å løse andregradslikningen x 5x + 6 = 0 (som tidligere ble regnet ut til og 3). At andregradslikningen ikke har noen løsninger svarer til at parabelen i sin helhet ligger over eller under x aksen. Én (dobbel) rot tilsvarer at den akkurat tangerer x aksen. Alle parabler har samme form, bortsett fra at de kan være forstørret eller forminsket, dreid eller parallellforskjøvet. Hvis ledekoeffisienten a>0, åpner parabelen seg oppover. Hvis a<0, åpner den seg nedover. Med utgangspunkt i dette kan man tegne en brukbar parabel ved bare å kjenne noen få punkter på den (3 punkter er i prinsippet nok). Dette er en teknikk man bør lære seg. Tillater vi komplekse tall, har vi to komplekse røtter. Derfor brukes helst formuleringen ingen reelle røtter og ikke bare ingen røtter.