3 Prosentregning vekstfaktor og eksponentiell vekst Prosent (pro cent) betyr «av hundre» eller «hundredeler». I mange sammenhenger står prosentregning svært sentralt. Prisstigning (inflasjon) måles i prosent. Direkte skatt utregnes ofte i prosent, og det samme gjelder merverdiavgift («moms»). I Norge er for tiden denne satsen 23 % av nettopris. Alle møter prosent ved avslag på priser. Prosent er nær knyttet til brøkregning. Prosent er ikke en benevning, slik som kroner, meter, liter osv. 20 % betyr 50 % betyr 20 50 20 20 og ¼ 0,2 ð0,20þ 20 % ¼ ¼ 1 5 ¼ 0,2 50 50 og ¼ 0,5 ð0,50þ 50 % ¼ ¼ 1 2 ¼ 0,5 I mange sammenhenger er det lurt å gjøre om prosenttallet til desimalbrøk eller vanlig brøk, for da blir utregningen lettere. 33 1 3 % gjøres om til 1 3, 14,3 % gjøres om til 0,143 osv. Merk ellers at 0,33333...¼ 1 3 og 0,66666...¼ 2 3 (1 : 3 ¼ 0,333333...¼ 1 3 og 2 3 ¼ 2 : 3 ¼ 0,66666...) Vi skiller mellom direkte og indirekte prosentregning. Det er lettest å hanskes med direkte prosentregning. Problemene dukker opp ved indirekte prosentregning. Derfor er det viktig å ha en strategi når en skal løse oppgaver med prosentregning. 37
www.ebok.no 3.1 Direkte prosentregning Eksempel 1 Petter kjøpte ei skjorte som opprinnelig kostet kr 550. Han fikk 20 % rabatt (avslag) ved kjøpet. Hvor mange kroner var rabatten på? Hvor mye betalte Petter for skjorta? Selv om oppgaven synes rimelig grei, velger vi tre alternativer for å løse dette eksemplet. Det er fordi det er lurt å ha flere alternativer å spille på. Det kan også være bra å kunne regne på ulike måter hvis svaret blir det samme ved flere regnemåter, kan vi være ganske trygge på at vi har regnet riktig. Løsningsforslag Alternativ 1 Rabatt i kroner: kr 550 20 ¼ kr 110 Petter betalte for skjorta: kr 550 kr 110 ¼ kr 440 Her ser vi at vi multipliserer med prosenttallet og dividerer med. kommer altså under brøkstreken. Alternativ 2 Rabatt i kroner: kr 550 0,2 ¼ kr 110 0,2 ¼ 20 ¼ 20 % Petter betalte for skjorta: kr 550 0,8 ¼ kr 440 ð0,8 ¼ 80 % Þ NB! Når vifår 20 % rabatt, betaler vi 80 % (0,8) av ordinær pris. Alternativ 3 Dette løsningsforslaget er spesielt gunstig for den som sliter med prosentregning. Ordinær pris: kr 550 % j ¼ tilsvarer Rabatt: kr x 20 % Vi setter dette opp som en proporsjon: 550 x ¼ 20 38
Kryssmultiplisering gir x ¼ 550 20 j Vi deler på x ¼ 110 Rabatten er på kr 110. Petter betalte kr 440 for skjorta ðkr 550 kr 110Þ. 3.2 Indirekte prosentregning Eksempel 2 Kari kjøpte en sykkel på tilbud. Tilbudsprisen med 25 % rabatt var kr 2298. Hva kostet sykkelen opprinnelig? Her er problemstillingen annerledes enn i eksempel 1. Det er feil å regne ut 25 % av kr 2298 (kr 574,50) og legge summen til kr 2298 (kr 2872,50). 25 % rabatt regnes ikke av tilbudsprisen, men av ordinær pris (opprinnelig pris). Strategi Ordinær pris er alltid %. Når rabatten er 25 %, betaler vi 75 % av ordinær pris ð % 25 %Þ. 75%¼ 0,75 Løsningsforslag 1 Sykkelen kostet opprinnelig 2298 kr ¼ kr 3064 75 eller sykkelen kostet kr 2298 : 0,75 ¼ kr 3064. Ved å ta kr 2298 og dele på 75 finner vi hvor mange kroner 1 % svarer til. Vi multipliserer så med for å finne %. Løsningsforslag 2 Vi løser problemet ved hjelp av en likning. Opprinnelig beløp ¼ x. eller x 0,25x ¼ 2298 0,75x ¼ 2298 j : 0,75 x ¼ 2298 0; 75 x ¼ 3064 39
www.ebok.no x x 25 ¼ 2298 j x 25x ¼ 229 800 75x ¼ 229 800 j : 75 x ¼ 3064 Sykkelen kostet opprinnelig kr 3064. Løsningsforslag 3 Opprinnelig pris: kr x % Tilbudspris: kr 2298 75 % x 2298 ¼ 75 Kryssmultiplisering gir 75x ¼ 2298 j : 75 x ¼ 3064 Sykkelen kostet opprinnelig kr 3064. Eksempel 3 Rune kjøpte en lommeregner som opprinnelig kostet kr 1280, for kr 1088. Hvor mange prosent rabatt (avslag) fikk Rune? Strategi Her vet vi at % er kr 1280. Rabatten er kr 1280 kr 1088 ¼ kr 192: Løsningsforslag 1 Rabatt i prosent: eller 192 1280 ¼ 15 192 1280 ¼ 0,15 0,15 ¼ 15 % Hvis vi deler % på kr 1280, finner vi hvor mange prosent 1 krone er. 40
Når vi multipliserer dette tallet med 192, finner vi hvor mange prosent kr 192 er. Løsningsforslag 2 Løst med likning: Vi setter rabatten i prosent lik x: 1280 x ¼ 192 j 1280x ¼ 19200 j : 1280 x ¼ 15 Rune fikk 15 % rabatt på lommeregneren. Løsningsforslag 3 Opprinnelig pris: kr 1280 % Rabatt: kr 192 x % 1280 192 ¼ x Kryssmultiplisering gir Rune fikk 15 % avslag på kjøpet. 1280x ¼ 192 j : 1280 x ¼ 15 Det har vist seg at mange har problemer med å finne ut om skal stå over eller under brøkstreken. Det har lett for å bli «tipping» på grunn av denne usikkerheten. For de som sliter med denne type problemer, vil jeg sterkt anbefale løsningsmetode 3 av de tre eksemplene ovenfor. Det aller viktigste er at vi leser oppgaven (analyserer problemet) grundig. Vi må prøve å få de opplysningene som er gitt, ned på arket og deretter sortere opplysningene. Valg av løsningsmetode avhenger av den enkeltes kunnskaper og forutsetninger. For de som behersker likninger, vil bruk av likninger være ideelt (alltid direkte prosentregning). Husk: Det er viktig å tørre å prøve løsninger som du tror fungerer, og så sette prøve på om du har gjort det riktig. Feiler du, kan du rette opp feilen. Eksempler på direkte/indirekte prosentregning For å bekrefte at vi har forstått løsningsmetodene i de tre eksemplene ovenfor, kan vi ta for oss to eksempler til: 41
www.ebok.no Eksempel 4 Prisen på en vare var kr 25 i 1997. I 1999 hadde prisen steget til kr 27. Da hadde prisen steget med 20 % fra 1998. Hva var prisendringen fra 1997 til 1998 i prosent? Løsningsforslag 1 Først må vi finne ut hva prisen var i 1998. Vi setter prisen i 1998 lik %. Da var prisen i 1999 lik 120 % ( % þ 20 %). 27 Prisen i kroner i 1998: kr ¼ kr 22,50 120 Prisendringen fra 1997 til 1998: kr 22,50 kr 25 ¼ kr 2,50 Prisen hadde altså sunket med kr 2,50. ð 2,50Þ Prisendring i prosent: ¼ 10 25 Prisen på varen gikk ned med 10 % fra 1997 til 1998. (En endring kan være både en økning og en nedgang.) Løsningsforslag 2 (med likning) Vi setter prisen i 1998 lik x: x þ 0,20x ¼ 27 1,20x ¼ 27 x ¼ 22,50 eller x þ 20 x ¼ 27 j x þ 20x ¼ 27 j : 120 x ¼ 22,50 Prisnedgangen var på kr 2,50 fra 1997 til 1998. I prosent: 22,50 ¼ 0,9 ð90 %Þ 25 Det vil si at prisen var 90 % av hva den var tidligere, altså en prisnedgang på 10 %. Løsningsforslag 3 Prisen i 1998: kr x % Prisen i 1999: kr 27 120 % x 27 ¼ 120 42
Kryssmultiplisering: 120x ¼ 27 x ¼ 22,50 Det har vært en prisnedgang på kr 2,50 fra 1997 til 1998. Vi lager en ny proporsjon for å finne prisnedgangen i prosent fra 1997 til 1998: Pris 1997: kr 25 % Prisnedgang: kr 2; 50 y % 25 2; 50 ¼ y (nå regner vi y som den ukjente) Kryssmultiplisering gir 25y ¼ 2,50 y ¼ 10 Prisnedgangen fra 1997 til 1998 var på 10 %. Eksempel 5 Kursen på en aksje steg et år med 5 % fra juni til juli og med 10 % fra juli til august. Hvor mange prosent steg kursen fra juni til august dette året? Kommentar Her er det åpenbart feil å si at den totale kursstigningen var 15 %, fordi de to prosenttallene regnes av ulike tall. Vi kan bare summere (eller subtrahere) prosenttall hvis prosentgrunnlaget er det samme. Løsningsforslag 1 Vi velger å sette aksjekursen i juni lik (kroner). Kurs i juli: kr 1,05 ¼ kr 105 ð1,05 ¼ 105 %Þ Kurs i august: kr 105 1,10 ¼ kr 115,50 ð1,10 ¼ 1,1 ¼ 110 %Þ Total kursøkning: kr 115,5 kr ¼ kr 15,50 I prosent: 15; 5 ¼ 15,5 Fra juni til august steg aksjekursen med 15,5 %. 43
www.ebok.no Løsningsforslag 2 (jamnfør vekstfaktor) 1,05 1,1 ¼ 1,155 ¼ 115,5 %, det vil si en økning på 15,5 %. Dette er en elegant løsning. Løsningsforslag 3 Når vi mangler et tall å ta utgangspunkt i, kan vi velge et hvilket som helst tall så lenge vi skal beregne prosentvise endringer. Her mangler vi kursen i juni, og vi setter den lik. Kurs i juni: kr % Kurs i juli: kr x 105 % ð105 % ¼ % þ 5%Þ x ¼ 105 Løsning: x ¼ 105. Kursen i juli var 105 (kroner). Kurs i juli: kr 105 % Kurs i august: kr y 110 % 105 y ¼ 110 Løsning gir y ¼ 115,5. Kursen i august var 115,50 (kroner). Kursøkning juni august: 115,50 ¼ 15,50 ðkronerþ Når vi bruker som utgangspunkt, vil en økning i kroner og prosent være det samme tallet. Kursøkningen fra juni til august var på 15,5 %. 3.3 Vekstfaktor og eksponentiell vekst Vekstfaktor er et sentralt begrep hvis en størrelse øker eller minker med en fast prosent for hver periode, for eksempel over flere år. Vi vet fra tidligere at når vi legger 5 % til et beløp (en størrelse), vil beløpet ha vokst til 105 %. 105 % er det samme som 105 ¼ 1,05. I dette tilfellet er altså vekstfaktoren lik 1,05. Generelle formler for vekstfaktorer: 44
1 þ p ved prosentvis økning 1 p ved prosentvis reduksjon Her står p for prosentsatsen. Eksempel 6 Mari satte inn kr 10 000 på en konto i AS Bank i 1993. Hun fikk 5,5 % rente per år (p.a. = pro anno) for pengene. Hvor mye stod på kontoen i a) 1994? b) 1995? c) 1998? Løsningsforslag Her er vekstfaktoren På kontoen stod det 1 þ 5; 5 ¼ 1,055: i 1994: kr 10 000 1,055 ¼ kr 10 550,00 i 1995: kr 10 000 1,055 2 ¼ kr 11 130,25 i 1998: kr 10 000 1,055 5 ¼ kr 13 069,60 Kommentar Beløpet etter to år kunne vi ha funnet ved å ta kr 10 550 1,055. Men vi vet at kr 10 550 ¼ kr 10 000 1,055. Dermed finner vi beløpet ved å multiplisere kr 10 000 med 1,055 to ganger, det vil si kr 10 000 1,055 1,055 ¼ kr 10 000 1,055 2 Tilsvarende tankegang gjelder for fem år. Det er feil å regne ut renten for det første året, kr 550, multiplisere dette tallet med fem, legge det til innskuddet på kr 10 000 og få kr 12 750. Da får vi ikke med rentesrenteeffekten, det vil si renter på opptjente renter. År Prosent Vekstfaktor 1993 1994 5,5 % 1,055 1994 1995 5,5 % 1,055 1995 1996 5,5 % 1,055 1996 1997 5,5 % 1,055 1997 1998 5,5 % 1,055 45
www.ebok.no Eksempel 7 Kursen på en aksje var kr 180 per 31. desember 1997. I de tre første av de følgende månedene steg kursen med henholdsvis 2 %, 3 % og 2,2 %. De neste tre månedene (april, mai og juni) sank kursen med henholdsvis 0,7 %, 1,2 % og 2 %. Hva var kursen på aksjen per 30. juni 1998? Løsningsforslag Måned Prosent Vekstfaktor Januar 2,0 % 1,02 Februar 3,0 % 1,03 Mars 2,2 % 1,022 April 0,7 % 0,993 Mai 1,2 % 0,988 Juni 2,0 % 0,98 Aksjekurs 30. juni 1998: kr 180 1,02 1,03 1,022 0,993 0,988 0,98 ¼ kr 185,80 Tabellen ovenfor finner vi ved å gjøre beregningene nedenfor. For januar til mars bruker vi formelen 1 þ p (prosentøkning) og for april til juni formelen 1 p (prosentreduksjon). Januar: 1 þ 2,0 ¼ 1,02 Februar: 1 þ 3,0 ¼ 1,03 Mars: 1 þ 2,2 ¼ 1,022 April: 1 0,7 ¼ 0,993 Mai: 1 1,2 ¼ 0,988 Juni: 1 2,0 ¼ 0,98 46
Denne typen vekst kaller vi eksponentiell vekst. Merk at vi kan snakke om positiv og negativ vekst. Positiv vekst: prosentvis økning. Vekstfaktoren er høyere enn 1. Negativ vekst: prosentvis nedgang. Vekstfaktoren er mindre enn 1 ð0;...þ. Vekstfaktor er også greit å bruke i vanlig prosentregning. Et eksempel kan vise dette: Eksempel 8 I forbindelse med tusenårsskiftet var reiseoperatørene tidlig ute med priser for reiser til ulike reisemål. Operatørene ventet stor etterspørsel etter slike reiser. Men etterspørselen ble mye mindre enn de trodde, og de måtte tilby reisene til lavere pris. En reise til USA ble først satt ned med 15 % og deretter med 25 %, slik at endelig pris ble kr 6375. Hva var pristilbudet opprinnelig? Løsningsforslag Her regner vi med to vekstfaktorer: 1 15 25 ¼ 0,85 og 1 ¼ 0,75 Vi setter den opprinnelige prisen lik x. x 0,85 0,75 ¼ 6375 x 0,6375 ¼ 6375 j : 0,6375 x ¼ 10 000 Opprinnelig tilbød reiseoperatørene reisen for kr 10 000. 47