UNIVERSITETET I OSLO Dt matmatisk-natuvitnskaplig fakultt Eksamn i MAT-INF 00 Modlling og bgning. Eksamnsdag: Fdag 6. dsmb 0. Tid fo ksamn: 9:00 :00. Oppgavsttt på 8 sid. Vdlgg: Tillatt hjlpmidl: Fomlak. Godkjnt kalkulato. Kontoll at oppgavsttt kompltt fø du bgynn å bsva spøsmåln. Husk å fyll inn kandidatnumm und. Kandidatn: Føst dl av ksamn bstå av 0 flvalgsoppgav som tll pong hv. Dt ba tt iktig svaaltnativ på hv av diss oppgavn. Dsom du sva fil ll la væ å kyss av på n oppgav, få du null pong. Du bli altså ikk "stafft" fo å gjtt. And dl av ksamn bstå av tadisjonll oppgav. I dnn dln tll hvt av d 7 dlspøsmåln 0 pong. Dn total pongsummn altså maksimalt 00 pong. I and dl av ksamn må du bgunn hvodan du ha kommt fam til sultatn din. Sva som ikk bgunnt få 0 pong slv om d iktig! Husk å lv akn md flvalgssvan! Dl : Flvalgsoppgav Oppgav. Løsningn til diffnsialligningn y + y 5y = 0 md initialvdi y(0) = og y (0) = x y(x) = 5x + x y(x) = 5x + x y(x) = 5x + x y(x) = 5 x 5x y(x) = x Oppgav. Løsningn til diffnsialligningn y y + 5y = 5 md initialvdi y(0) = 0 og y (0) = y(x) = 5 5 x cos x y(x) = x (cos x x sin x) x y(x) = x (cos x sin x) y(x) = x (cos x + sin x) y(x) = x sin x (Fotstts på sid.)
Eksamn i MAT-INF 00, Fdag 6. dsmb 0. Sid Oppgav. Løsningn til diffnsialligningn y xy = x md initialvdi y(0) = y(x) = x y(x) = + x x y(x) = x x y(x) = ( + x ) / y(x) = x Løsning. Kan løss som føstodns linæ ligning ll som spaabl føstodns ligning. Ba å følg oppskiftn. Oppgav. Vi vil løs ligningn x = 0 numisk. Buk vi t stg md Nwtons mtod md statvdi x 0 = få vi tilnæmingn x.65 x x.8 x.0587 x.09 x.99 Løsning. Oppgav 5. Ba å buk fomln fo Nwtons mtod. Vi skal s på tilnæmingn til dn anddivt gitt vd f (a) f(a + h) f(a) + f(a h) h. Fo f(x) = x bli filn i dnn tilnæmingn nøyaktig lik (botstt fa avundingsfil) h / x 0 h h/ Løsning. H vt vi at f (a) = mns tilnæmingn gi samm sultat, dmd bli filn 0. Oppgav 6. En tkst som innhold 5000 tgn, inkludt sænosk tgn, lagt i n fil md n standad koding vd hjlp av 5000 byts. Hvilkn koding filn da kodt md? x UTF-8 UTF-6 ISO Latin- 7-bits ASCII UTF- (Fotstts på sid.)
Eksamn i MAT-INF 00, Fdag 6. dsmb 0. Sid Oppgav 7. Du skal buk aitmtisk koding på tkstn AAB. Hvis du tilodn intvallt [0, /) til A, så vil dn aitmtisk kodn ligg i intvallt [8/9, ) [/, 8/9) [/9, /) [0, 8/7) x [8/7, /9) Løsning. Sidn føst tgn A skal kodn ligg i [0, /). Sidn and tgn også n A må kodn ligg i d ndst / av dtt intvallt, dt vil si i [0, /9). Og sidn dt tdj tgnt B vil kodn fo AAB ligg i dn øvst tdjdln av dtt intvallt, dt vil si i [8/7, /9). Oppgav 8. Vi tilnæm intgalt h 0 x dx md tapsmtodn md tt stg. Svat bli da (vi s bot fa avundingsfil) 0 x h / h h/ Løsning. H dt gntlig ba å gn ut intgalt sidn funksjonn som skal intgs n tt linj. Oppgav 9. Diffnsialligningn x sin x + (x ) + tx = t skal skivs som t systm av føstodns diffnsialligning. systm iktig? Hvilkt x = x, x = x, x = t tx + x + sin x x = x, x = x, x = t tx x sin x x = x, x = x, x = t tx x + sin x x x = x, x = x, x = t tx x + sin x x = x, x = x, x = t + tx x + sin x Oppgav 0. Vi intpol funksjonn f(x) = x i punktn x 0 = 0, x =, x =, og x =, md t tdjgadspolynom p (x). Vi ha da at p (x) = x + 7x(x ) + 6x(x )(x ) p (x) = x + 6x(x ) + x(x )(x ) x p (x) = x p (x) = x + 6x(x ) + 8x(x )(x ) p (x) = x + 5x(x ) + x(x )(x ) Løsning. H dt ingn gunn til å gn. Dt midtst altnativt må åpnbat stmmn md x i intpolasjonspunktn. Og ikk ba d, mn ovalt. (Fotstts på sid.)
Eksamn i MAT-INF 00, Fdag 6. dsmb 0. Sid Dl Husk at i dnn dln må all sva bgunns! Og ikk glm å bsva all dlspøsmåln i hv dloppgav. Oppgav. a) Vis at diffnsligningn x n+ x n+ + x n 9 =, x 0 =, x = ha løsningn x n = (9 n )/. Løsning. Dn kaaktistisk ligningn 9 6 + = 0 som ha n dobbl ot i = /. Dn gnll løsningn av dn homogn ligningn dfo x h n = (C + Dn)/ n. Sidn høysidn av gad pøv vi md n patikulæløsning på fomn x p n = A. Innsatt i ligningn få vi da A A/ + A/9 = ll A/9 =. Dmd må vi ha A = 9/. Dn gnll løsningn av diffnsligningn dfo Statvdin gi d to ligningn x n = x h n + x p n = (C + Dn)/ n + 9/. / = x 0 = C + 9/ / = x = (C + D)/ + 9/. Fa dn føst få vi C = / som innsatt i dn sist gi D = 0. b) Anta at vi simul diffnsligningn i (a) på datamaskin md 6 bits flyttall. Hvodan vil dn bgnd løsningn oppfø sg fo sto vdi av n? Løsning. Dn ksakt matmatisk løsningn vil åpnbat næm sg 9/ nå n gå mot undlig sidn n da gå mot 0. Statvdin x = / kan imidlitd ikk psnts ksakt, og i dn vid simulingn få vi divisjon md og 9. Dtt bty at simulingn sva til å løs t poblm md ptubt statvdi x 0 = /+δ og x = /+δ d δ og δ bgg av stølssodn 0 6. Dmd bli koffisintn C = /+ɛ og D = ɛ, d båd ɛ og ɛ av stølssodn + 6. Dn simult løsningn vil dmd oppfø sg som x n = x h n + x p n = ( C + Dn)/ n + 9/ = 9/ (/ + ɛ ) n + ɛ n n. H vil fakton n gjø at bgg d to sist lddn gå mot null slik at dn simult løsningn gå mot 9/. Md and od vil dt ikk bli poblm md avundingsfil. (Fotstts på sid 5.)
Eksamn i MAT-INF 00, Fdag 6. dsmb 0. Sid 5 Oppgav. Vis dn utvidd tkantulikhtn a + a + + a n a + a + + a n vd induksjon, d n t hltall. Du kan ta dn vanlig tkantulikhtn a + b a + b fo gitt. Løsning. Vi obsv føst at dn utvidd tkantulikhtn fo n = dus sg til dn vanlig tkantulikhtn. Anta så at dn utvidd tkantulikhtn gjld fo n = k, vi må vis at da gjld dn også fo n = k +. Vi ha a + a + + a k + a k+ a + a + + a k + a k+ a + a + + a k + a k+, d vi i føst ulikht bukt dn vanlig tkantulikhtn md a = a + + a k og b = a k+, og i dn and induksjonshypotsn. Dmd s vi at ulikhtn også stmm fo n = k + og induksjonsbvist fullføt. Oppgav. a) Lag t Huffman-t fo tkstn x = dn divt md sannsynlightsfodling bstmt av tkstn. Løsning. Vi obsv føst at fkvnsn til d ulik tgnn f(d) =, f() =, f(n) =, f() =, f(i) =, f(v) =, f(t) =, f( ) =. Huffman-algoitmn stat md å lag t n-nod binæt t fo hvt symbol: d n i v t Dtt slå vi sammn to tæ md minimal vkt til tt t: d n t i v Vi slå sammn d to sist tæn: d n i v t Vi slå så sammn d og n d n i v t (Fotstts på sid 6.)
Eksamn i MAT-INF 00, Fdag 6. dsmb 0. Sid 6 Som nst stg vlg vi å slå sammn d to tæn lngst til høy: d n i v t Vi slå så sammn tt til vnst md : 5 d n i v t Nst stg å slå sammn d to tæn md fkvns : 5 8 d n i v t Til slutt slå vi sammn diss to tæn: 5 8 d n Dtt dt ndlig Huffman-tt. i v t b) Kod tkstn i (a) md Huffman-koding og gn ut antall bits p. tgn fo kodn. Hva dt minimal antall bits tkstn kan kods md? (Fotstts på sid 7.)
Eksamn i MAT-INF 00, Fdag 6. dsmb 0. Sid 7 Løsning. Hvis vi assossi 0 md hv vnst kant og md hv høy kant få vi følgnd kod fo d ulik symboln: c(d) = 000, c(n) = 00, c() = 0, c() = 0, c(i) = 00, Dn gitt tkstn kods dfo som c(v) = 0, c(t) = 0, c( ) =. 000 0 00 000 0 000 00 00 0 (h ha vi tatt md mllomom fo å skill d ulik tgnn, dtt ba fo å gjø dt ltt å ls og ikk n dl av kodn), til sammn 7 bits. Fa fkvnsn finn vi at sannsynlightn fo d ulik tgnn p(d) = /, p() = /, p(n) = /, p() = /, p(i) = /, p(v) = /, p(t) = /, p( ) = /. Dmd bli infomasjonsntopin til alfabtt H.78. Sidn tkstn innhold tgn dt minimal antall bits dn kan kods md.78 6., altså 7 bits. Dmd Huffman-koding optimal i dtt tilfllt. Vi minn om at infomasjonsntopin til t alfabt md sannsynlight p, p,..., p n gitt vd n H(p,..., p n ) = p(α i ) log p(α i ). i= Oppgav. Vi ha gitt diffnsialligningn x = x, x(0) =. () a) Finn n foml fo løsningn og skiss dnn i t plott på intvallt [0, ]. Løsning. Vi obsv at ligningn kan skivs x x = så dn spaabl. Hvis vi intg høysidn få vi dt = t + C. Intgasjon på vnst sid gi x(t) dt = x dx = x = x(t). Dmd x(t) = t + C. Vi løs md hnsyn på x(t) vd å ta natulig logaitm på bgg sid og få Statvdin x(0) = gi x(t) = ln ( t + C ). = x(0) = ln C ll C =. Dmd dn ndlig løsningn x(t) = ln(t + ). (Fotstts på sid 8.)
Eksamn i MAT-INF 00, Fdag 6. dsmb 0. Sid 8 b) Finn n tilnæming til løsningn i t = h vd å ta tt stg md Euls mtod. Finn n øv gns fo filn i dnn tilnæmingn. Løsning. Euls mtod md stglngd h gitt vd x = x 0 + hf(t 0, x 0 ) d t 0 = 0, x 0 = og f(t, x) = x i dtt tilfllt. Dmd få vi x = + hf(0, ) = + h = + h/. Vi vt at Euls mtod sva til n tilnæming md t Taylo-polynom av gad. Filn dmd gitt vd stlddt d ξ t tall i intvallt (0, h). Fa x (t) = x(t) få vi at R x(t) = h x (ξ) x (t) = x(t) x (t) = ( x(t)) = x(t). Tallvdin til filn dfo gitt vd R x(h) = h x (ξ) = h x(ξ). () Fa diffnsialligninn s vi at x alltid positiv så x(t) n voksnd funksjon som stat md x(0) =. Altså n øv gns i () gitt vd R x(h) h x(0) = h. Lykk til!