S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4]. Grafen viser at [ 15, 0] V =. f Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 15

5. a f( x) = x+ 10 Vi har fått oppgitt at [ 3,5] D =. f Da kan vi la GeoGebra regne ut f( 3) og f(5) for oss. I innskrivningsfeltet skriver vi f(-3) og trykker Enter. Svaret får vi i algebrafeltet: f ( 3) = 16. Tilsvarende får vi at f (5) = 0. Altså er [ 0,16] V =. b gx ( ) = 0x 100 f Vi har fått oppgitt at = [ 5, 0] D. f Da kan vi la GeoGebra regne ut g(5) og g (0) for oss. I innskrivningsfeltet skriver vi g(5) og trykker Enter. Svaret får vi i algebrafeltet:. g (5) = 0. Tilsvarende får vi at g (0) = 300. Altså er [ 0, 300] V =. g 5.3 a Grafen går gjennom punktene (0,)og(4,5). y y1 5 3 a = = = x x 4 0 4 1 Stigningstallet for linja er 3. 4 b Grafen går gjennom punktene (0,10) og (8, 0). y y1 0 10 a = = = 15 x x1 8 0 Stigningstallet for linja er 15. 5.4 a Grafen går gjennom punktene (1, 5) og (3, 9). a y y 9 5 4 1 = = = = x x1 3 1 Stigningstallet for linja er. Aschehoug www.lokus.no Side av 15

b Nå kan vi skrive y = x+ b. Vi velger punktet (1, 5) og setter inn x= 1og y = 5 inn i y = x+ b. Det gir 5= 1 + b b = 3 Likningen for linja er y = x+ 3. 5.5 a Grafen går gjennom punktene ( 1,7)og(,1). y y1 1 7 6 a = = = = x x1 ( 1) 3 Stigningstallet for linja er. Nå kan vi skrive y = x+ b. Vi velger punktet (, 1) og setter inn x= og y = 1inn i y = x+ b. Det gir 1= + b b = 5 Likningen for linja er y = x+ 5. b Grafen går gjennom punktene (, 5) og (1, ). y y1 ( 5) 7 1 a = = = = x x 1 ( ) 14 1 Løsninger til oppgavene i boka Stigningstallet for linja er 1. 1 Nå kan vi skrive y = x+ b. Vi velger punktet (1, ) og setter inn Det gir 1 = 1 + b = 6+ b b = 4 Likningen for linja er 1 y = x 4. 1 x= 1 og y = inn i y = x+ b. 5.6 a Grafen går gjennom punktene (, ) og (1, 7). y y1 7 ( ) 9 a = = = = 3 x x 1 ( ) 3 1 = 3 og, = (1, 7). Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) 1 1 Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 15

Det gir y y1 = a( x x1) y 7 = 3( x 1) y = 3x 3+ 7 y = 3x+ 4 Likningen for linja er y = 3x+ 4. b Grafen går gjennom punktet (, 4) og har stigningstallet. Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 4 = ( x ) y = x+ 4+ 4 y = x+ 8 Likningen for linja er y = x+ 8. = og, = (, 4). 1 1 c Grafen går gjennom punktene (0, 4) og har stigningstallet,5. Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 4 =,5( x 0) y =,5x+ 4 Likningen for linja er y =,5x+ 4. d Grafen går gjennom punktene ( 3, 0) og (0, 6). y y1 6 0 6 a = = = = x x 0 ( 3) 3 1 =,5 og, = (0, 4). 1 1 Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 6 = ( x 0) y = x+ 6 Likningen for linja er y = x+ 6. = 3 og, = (0, 6). 1 1 5.7 a I GeoGebra skriver vi inn punktene (, 40) og (8,100). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 15

Linja har likningen y = 10x+ 0. b I GeoGebra skriver vi inn punktene (, 4,5) og (6, 7). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. Linja har likningen y = 1,44x 1,63. c I GeoGebra skriver vi inn punktene ( 35, 4) og (100, ). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. 5.8 Linja har likningen y = 0,04x+, 44. a Grafen viser at N(t) kan få verdier fra og med = [ ] b Grafen viser at ( ) 3 til og med 5. Da er 3, 5. f x kan få verdier fra og med = [ ] V N til og med 6. Da er, 6. V f 5.9 a f( x) = 4x+ 1 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+1,-,5]. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 15

Grafen viser at [ 8, 0] V =. f b gx ( ) = 0,8x+ 5 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-0,8x+5,0,0]. Grafen viser at [ 9, 5] V =. g Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 15

5.10 a Grafen går gjennom punktene (0,1) og (4, ). y y1 1 1 a = = = x x 4 0 4 1 b Stigningstallet for linja er 1. 4 1 Nå kan vi skrive y = x+ b. 4 Vi velger punktet (0, 1) og setter inn Det gir 1 x= 0 og y = 1inn i y = x+ b. 1 1= 0+ b b = 1 1 Likningen for linja er y = x+ 1. Grafen går gjennom punktene (0,3)og(9,0). y y1 0 3 3 1 a = = = = x x1 9 0 9 3 1 Vi bruker ettpunktsformelen med a = og ( x1, y1) = (9, 0). 3 Det gir y y = a x x ( ) 1 1 1 y 0 = ( x 9) 3 1 y = x+ 3 3 1 Likningen for linja er y = x+ 3. 3 5.11 Grafen går gjennom punktet (, 1) og har stigningstallet,5. Vi bruker ettpunktsformelen med a= ( x y ) = Det gir y y1 = a( x x1) y ( 1) =,5( x ) y =,5x+ 5 1 y =,5x+ 4 Likningen for linja er y =,5x+ 4.,5og, (, 1). 1 1 Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 15

5.1 Grafen går gjennom punktet (1, 3) og har stigningstallet. Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 3 = ( x 1) y = x + 3 y = x+ 1 Likningen for linja er y = x+ 1. = og, = (1, 3). 1 1 5.13 a I GeoGebra skriver vi inn punktene (, 4) og (, ). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. Linja har likningen y = 1, 5x 1 b Grafen går gjennom punktene (, ) og (, ). y y1 ( 4) 6 3 a = = = = x x1 ( ) 4 3 Vi bruker ettpunktsformelen med a= og ( x1, y1) = (, ). Det gir y y = a x x ( ) 1 1 3 y = ( x ) 3 y = x 3+ 3 y = x 1 Likningen for linja er 3 y = x 1. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 15

5.14 a Grafen går gjennom punktet (, 1) og har stigningstallet 1, 5. = 1,5og, = (,1). Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 1 = 1, 5( x ) y = 1, 5x+ 3 + 1 1 1 y = 1, 5x+ 4 Likningen for linja er y = 1, 5x+ 4. For å finne skjæringspunktet mellom linja og x-aksen setter vi y = 0. Det gir 1, 5x + 4 = 0 1, 5x = 4 1, 5x 4 = 1, 5 1, 5 x =,66 8,666 = = 3 3 8 Skjæringspunktet mellom linja og x-aksen er, 0 = (,66, 0). 3 b For å finne skjæringspunktet mellom linja og y-aksen setter vi x = 0. Det gir y = 1, 5 0 + 4 = 4 c Skjæringspunktet mellom linja og y-aksen er ( 0,4 ). Vi setter 3 1, 5x + 4 = 3 3 x = 4 3 3 x = 4 3x = 3 8 3x = 11 11 x = 3 Skjæringspunktet mellom linja l og linja 3 y = er 11 3, 3. Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 15

5.15 Grafen går gjennom punktene (, 6) og (4, 3). y y1 3 6 9 3 a = = = = x x1 4 ( ) 6 3 Vi bruker ettpunktsformelen med a = og ( x1, y1) = (, 6). Det gir y y = a x x ( ) 1 1 Løsninger til oppgavene i boka 3 y 6 = ( x ( ) ) 3 y = x 3+ 6 3 y = x+ 3 3 Likningen for linja er y = x+ 3. Linja har stigningstallet 1, 5. Påstand A er riktig. 3 x + 3= 0 1, 5x = 3 x = Nullpunktet for funksjonen er. Påstand B er feil. For å se om punktet ( 1, 4) ligger på linja, setter vi inn x = 1 i likningen for linja. Det gir y = 3 ( 1) + 3 = 1,3 + 3 = 4,5 Punktet ( 1, 4) ligger ikke på linja. Påstand C er riktig. Siden linja l har stigningstall 1, 5 vil an annen linje med stigningstall 1skjære linja l. Påstand D er riktig. Påstandene A, C og D er riktige. 5.16 Linja l er gitt ved y = x 4. a Grafen p går gjennom punktet (1,1)og har stigningstallet. Vi bruker ettpunktsformelen med a = og ( x1, y1) = (1,1). Det gir y y1 = a( x x1) y 1 = ( x 1) y = x + 1 y = x 1 Likningen for linja p er y = x 1. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 15

b Grafen m går gjennom punktet (1, 4). Stigningstallet regner vi ut slik: a = 1 c 5.17 a = 1 1 = og 1, 1 = (1, 4). Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 1 y 4 = ( x 1) 1 1 y = x+ + 4 1 9 y = x+ 1 9 Likningen for linja m er y = x+. Vi setter 1 9 x 1= x+ 1 9 x 1 = x + 4x = x+ 9 4x+ x= 9+ 5x = 11 11 x = 5 11 5 5 17 y = x 1= 1= = = 5 5 5 5 5 11 17 Skjæringspunktet mellom p og m er, 5 5. Linja l har likningen y 3x k = 0. Punktet (1, 4) ligger på linja. a Vi setter x= 1og y = 4. Det gir 4 31 k = 0 k = 8+ 3 k = 5 Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 15

b y 3x 5= 0 y = 3x+ 5 3 5 y = x+ Stigningstallet for linja l er 3. c Grafen m går gjennom punktet A = (1, 4). Stigningstallet regner vi ut slik: 3 a = 1 3 a = 1 3a = 5.18 a = 3 = og 1, 1 = (1, 4). 3 Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 4 = ( x 1) 3 y = x+ + 4 3 3 1 y = x+ + 3 3 3 14 y = x+ 3 3 Likningen for linja m er Vi setter 14 x + = 0 3 3 14 x 3+ 3= 03 3 3 x + 14 = 0 x = 14 14 y = x+. 3 3 x = 7 Skjæringspunktet mellom linja m og x-aksen er (7,0). Vi antar at GarnStua selger x bunter med garn. En modell for inntektene er da gitt ved I( x) = 40x. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 15

5.19 a 665 650 = 15 Antall deltakere økte med 15 fra 013 til 014. 665 + 15 = 695 I 016 vil det være 695 deltakere. b Antall deltakere = antall deltakere i 013 + 15 antall år etter 013. Dx ( ) = 650 + 15x, der x er antall år etter 013. 5.0 Betalingen = grunnpris 50 antall uker før 1. februar K( x) = 1 500 50 x, der x er antall uker før fristen 1. februar. D = K 5.1 [ 0,10] Løsninger til oppgavene i boka Likningen for linja er y = 16x+ 33. Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 15

5. a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn alderen i kolonne A og vekten i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er mx ( ) = 0,61x + 3,68. b () 0, 61 3, 68 4,9 m = + = Vekten er 4,9 kg. Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 15

c 0,61x + 3,68 = 8 5.3 a 0,61x = 8 3,68 0, 61x = 4,3 4,3 x = = 7,1 0,61 Etter ca. 7 måneder. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn lengden i kolonne A og skostørrelsen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Løsninger til oppgavene i boka Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er y = 1, 5x +, 0. b y = 1,5 5,3 +, 0 = 39,95 Hun bør kjøpe størrelse 40. Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 15

5.4 a b Likningen som passer best med punktene, er y = 0,6x+ 59,5. c Linja har stigningstallet 0,6. Bensinforbruket er 0,6 liter per mil. 5.5 a I GeoGebra skriver vi inn punktene (0, 8340) og (4, 7960). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. En lineær modell er da F( x) = 95x+ 8340. b () 95 8340 8150 F = + = Modellen gir litt for høyt folketall. Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 15

c I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn år i kolonne A og folketall i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er F( x) = 94x+ 833. Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 15

5.6 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er Ex ( ) = 1x+ 10 600. Aschehoug www.lokus.no Side 18 av 15

5.7 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn strømmen i kolonne A og spenningen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er U( I) = 7,33I + 0,1. Aschehoug www.lokus.no Side 19 av 15

5.8 a Løsninger til oppgavene i boka I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall år etter 004 i kolonne A og antall MMS-meldinger (i millioner) i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er f( x) = 13,4x + 74. x er antall år etter 004. b (8) 13, 4 8 74 181, f = + = Etter modellen vil det bli sendt 181, millioner tekstmeldinger i 01. Modellen gir altså et for høyt antall MMS-er. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 15

5.9 a Løsninger til oppgavene i boka I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall år etter 1990 i kolonne A og antall personer (i millioner) med førerkort i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er f( x) = 0,031x+, 47. x er antall år etter 1990. b (5) 0, 031 5, 47 3, 47 f = + = Etter modellen vil 3,47 millioner personer ha førerkort i 015. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 15

5.30 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn løpt distanse i kolonne A og kondisjonstallet i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Løsninger til oppgavene i boka Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er K( x) = 0,0x 10,893. x er løpt distanse i meter. Sammenhengen mellom kondisjonstallet og løpt distanse kan skrives på formen K( x) = ax + b. Vi sammenlikner med modellen og ser at a = 0, 0 og b= 10,893 b (600) 0, 0 600 10,893 46,307 f = = Det svarer til kondisjonstallet 46,3. Aschehoug www.lokus.no Side av 15

c 0, 0x 10,893 = 41 0, 0x = 41+ 10,893 5.31 0, 0x = 51,893 Løsninger til oppgavene i boka x = 358,8 En mann i denne aldersgruppen må minst løpe 359 meter for å være i bra form. 0, 0x 10,893 = 46 0, 0x = 46 + 10,893 0, 0x = 56,893 x = 586 En mann i denne aldersgruppen må minst løpe 586 meter for å være i svært bra form. 586 359 = 7 Han må minst ha løpt 7 meter lengre for å være i svært bra form. a Grafen har toppunkt i ( 1, 4). b Funksjonen har nullpunktene 3 og 1. c I toppunktet er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene. Verdimengden er V =,4]. d f ( ) = 3 5.3 f( x) = x + x 3 f a Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. x + x 3= 0 4 1 ( 3) ± x = 1 ± 4 + 1 x = ± 16 x = 4 + 4 x= x= x= 3 x= 1 f har nullpunktene 3 og 1. b Grafen er symmetrisk om symmetrilinja, gjennom bunnpunktet. Symmetrilinja må gå midt mellom nullpunktene. 3+ 1 Bunnpunktet har x-koordinaten = 1. f ( 1) = ( 1) + ( 1) 3 = 1 3 = 4 Bunnpunktet er (1, 4). Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 15

c d Av grafen ser vi at skjæringspunktene er ( 4, 5) og (1, 0). Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 15

5.33 f x x x gx x a ( ) = + 4og ( ) = 3 + Av grafen ser vi at skjæringspunktene er (, 4) og (3,11). b I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Velger vi eksakt løsning får vi dette skjermbildet. Skjæringspunktene er (, 4) og (3, 11). Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 15

5.34 K x x x a ( ) 0, 05 5 5000, = + + D = [ 100, 900] Inntekten = pris per enhet antall enheter som selges. I( x) = 60x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = 60x 0, 05x + 5x+ 5000 ( ) Ox = x x x Ox = x + x ( ) 60 0, 05 5 5000 ( ) 0, 05 35 5000 b Produksjonen går i balanse når I( x) = K( x) I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Velger vi eksakt løsning får vi dette skjermbildet: K c Produksjonen går i balanse når det produseres 00 enheter og 500 enheter. Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Vi tegner grafen til O i GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-0.05x +35x-5000,100,900] Overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 350 enheter. Da er overskuddet 115 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 15

5.35 K x x x D K px ( ) = 400 0, 0x [ ] ( ) = 0,8 + 40 + 10 000, = 100,1000. a I( x) = x p( x) = x ( 400 0, 0x ) b I( x) = 400x 0,0x c Av grafen ser vi at produksjonen går i balanse når det produseres og selges 330 enheter. I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Verdien er utenfor definisjonsområdet for kostnadsfunksjonen. d Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox = x x x + x+ ( ) 400 0, 0 0,8 40 10 000 ( ) 400 0, 0 0,8 40 10 000 Ox = x x x x Ox x x ( ) = + 360 10 000 e Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Vi tegner grafen til O i GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-x +360x-10000,100,1000] Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 15

Overskuddet er størst når det produseres og selges 180 enheter. Da er overskuddet 400 kr. f p (180) = 400 0, 0 180 = 364 Prisen er 364 kr. 5.36 1 f( x) = x+ 4 x 0,8. a AB = x og BC = f ( x) 1 1 F( x) = AB BC = x x + 4 = x + 4x b Vi tegner grafen til F og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[F] til å finne toppunktet. Arealet er størst når x = 4. Det største arealet er 8. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 15

5.37 1 f( x) = x + 4 x 0,4 4 a Lengden av rektanglet er x, og lengden av rektanglet er f( x ). Arealet av rektanglet er da gitt ved 1 1 3 F( x) = x f( x) = x x + 4 = x + 8x 4 b Vi bruker CAS i GeoGebra for å finne den verdien av x som gir størst areal. Vi får dette skjermbildet: Løsninger til oppgavene i boka Den verdien av x som gir størst areal, er.3. Vi ser at f (,3) =,7. Koordinatene til P er (,3,,7). Det største arealet er 1,3. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 15

5.38 a Vi tegner grafen til I GeoGebra med kommandoen I(x)=Funksjon[-0.05x^+70x,50,500]. Med tilsvarende kommando tegner vi grafene til K og O. b Skjæringspunktet mellom grafen til I og grafen til K er ( 111,5, 718) og ( 448,5, 1338 ). c Vi finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Nullpunktene er 111,5 og 448,5. d Skjæringspunktene i oppgave b har samme førstekoordinat som nullpunktene i oppgave c. Det skyldes når I( x) = K( x ) er Ox ( ) = 0. 5.39 x= 1 00 10 p a Vi omformer og får et uttrykk for prisen som en funksjon av etterspørselen x= 100 10 p b 10 p= x+ 100 1 p= x+ 10 10 1 Prisen som funksjon av etterspørselen er px ( ) = x+ 10 10 Inntekten = antall solgte enheter pris per enhet. 1 1 I( x) = x p( x) = x x+ 10 = x + 10x 10 10 Aschehoug www.lokus.no Side 30 av 15

c Vi tegner grafen til I og finner toppunktet. d Den største inntekten bedriften kan få er når det blir produsert og solgt 600 enheter. Inntekten er da 36 000 kr. 1 p (600) = 600 + 10 = 60 10 Inntekten er størst når prisen per enhet er 60 kr. 5.40 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og antall solgte enheter i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Aschehoug www.lokus.no Side 31 av 15

Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er x= 0 p + 1600. b c d Vi omformer og får et uttrykk for prisen som en funksjon av etterspørselen x= 0 p+ 1600 0 p= x+ 1600 p = 0, 05x+ 80 Prisen som funksjon av etterspørselen er px ( ) = 0,05x+ 80. ( ) I( x) = x p( x) = x 0,05x+ 80 = 0,05x + 80x K( x) = 0, 05x + 15x + 5500 Overskuddet = inntektene kostnadene. Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox = x + x x + x+ ( ) 0, 05 80 0, 05 15 5500 Ox = x + x ( ) 0, 075 65 5500 Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 15

Overskuddet er størst når det blir produsert og solgt 433 enheter. Overskuddet er da 8583 kr. e p (433) = 0, 05 433+ 80 = 58,35 Overskuddet er størst når prisen er på 58 kr. 5.41 Nt t t t a 3 ( ) =,5 35 + 10 + 900 Aschehoug www.lokus.no Side 33 av 15

b Nt ( ) = 1000 t = 1, t = 3,5 t = 9,3 Bestanden var på 1000 dyr etter ca. 1, år, etter ca. 3,5 år og etter ca. 9,3 år. c Bestanden var størst i begynnelsen av 014. Da var bestanden på ca. 1100 dyr d Bestanden var minst i begynnelsen av 011. Da var bestanden ca. 880 dyr. Løsninger til oppgavene i boka 5.4 I GeoGebra åpner vi regnearket. Vi legger inn nummer på måneden i kolonne A og temperaturen i kolonne B. Vi merker cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser I rullegardinmenyen velger vi polynom og grad 3. Den tredjegradsfunksjonen som passer best, er 3 f( x) = 0,137x + 1,561x 1,147x 4,986 Aschehoug www.lokus.no Side 34 av 15

5.43 f( x) = x 4x + 3 a Vi løser likningen f( x ) = 0. x 4x+ 3= 0 ± x = 1 4 ± 16 1 x = ( 4) ( 4) 4 1 3 4± 4 x = 4 4+ x= x= x= 1 x= 3 f har nullpunktene 1 og 3. b c Skjæringspunktene er (1, 0) og (4, 3). Aschehoug www.lokus.no Side 35 av 15

5.44 f x = x x + x+ D = a. b 3 ( ) 5 8, f 3 f (0) = 0 5 0 + 0 + 8 = 8 Skjæringspunktet med y-aksen er (0, 8). c f( x ) = 0 x= 1 x= x= 4 d I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Vi får dette skjermbildet: Aschehoug www.lokus.no Side 36 av 15

5.45 Bv ( ) = 0,005v a b Når farten er 50 km/h, er bremselengden 1,5 m. c d Når farten er 100 km/h, er bremselengden 50 m. Når farten dobles, firedobles bremselengden. Aschehoug www.lokus.no Side 37 av 15

5.46 Ox x x a ( ) = 3 + 300 6300 Vi tegner grafen til I GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-3x^+300x-6300] b For at overskuddet skal bli større enn 1000 kr, må x [ 41, 58]. c Det største overskuddet kiosken kan få, er når det blir produsert og solgt 50 softis. Da er overskuddet 100 kr. 5.47 px ( ) = 600 0,5x D = 400, 900 a p [ ] Inntekten = antall solgte enheter pris per enhet. I( x) = x p( x) = x ( 600 0,5x) = 0,5x + 600x Vi tegner grafen til I og finner toppunktet. b Den største inntekten bedriften kan få, er når det blir solgt 600 enheter. p (600) = 600 0,5 600 = 300 Da er prisen 300 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 38 av 15

5.48 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er E( p) = 7, 4 p+ 1566. Aschehoug www.lokus.no Side 39 av 15

5.49 a Løsninger til oppgavene i boka I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall produserte enheter i kolonne A og produksjonskostnadene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Polynom og grad i rullegardinmenyen under regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den andregradsfunksjonen som passer best, er K x x x ( ) = 0,8 + 40 + 5000. b I( x) = p x= 180x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox ( ) = 180x 0,8x + 40x+ 5000 Ox x x ( ) = 0,8 + 140 5000 Aschehoug www.lokus.no Side 40 av 15

c Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Det største overskuddet bedriften kan få, er når det produseres og selges 88 enheter. Da er overskuddet 115 kr. 5.50 f( x) = x x + 3 a Grafen er symmetrisk gjennom en linje, symmetrilinja, gjennom toppunktet. b ( ) x = = = 1 a ( 1) Vi lager verditabell og passer på at toppunktet står midt i tabellen. x 4 3 1 0 1 f(x) 5 0 3 4 3 0 5 Aschehoug www.lokus.no Side 41 av 15

b Vi tegner grafen til linja y = x+ 1 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktene er (1, 0) og (, 3). Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 15

5.51 F x x x x a 3 ( ) = 5 375 + 1150 + 1 000 b Folketallet var minst i 008. Da var folketallet ca. 10 000. c Folketallet var størst i 01. Da var folketallet ca. 15 000. d Fra 000 økte folketallet de første to årene til 00. Fra 00 til 008 minket folketallet. Etter 008 økte folketallet igjen. Aschehoug www.lokus.no Side 43 av 15

5.5 a f x x x x D [ ] 3 ( ) = + + 4 + 3 f = 1, Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=funksjon[-x^3+x^+4x+3,-1,] b For polynomfunksjoner finner vi nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[f]. Nullpunktet er 1,93. I CAS kan vi skrive inn funksjonen slik den står. Det gir Aschehoug www.lokus.no Side 44 av 15

c Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=funksjon[-x^3+k*x^+4x+3,-1,]. Vi legger k med glider og varierer k til f har to nullpunkter. Når k = 1, har funksjonen f to nullpunkter. 5.53 f( x) = x + 4, Df = a Punktet B har koordinatene (, 0) Lengden av AB er x, og lengden av BC er f( x ). Arealet er AB BC. Da kan vi sette opp x, og punktet C har koordinatene (, ( )) ( ) F x AB BC x f x x x x x 3 ( ) = = ( ) = + 4 = + 8 x f x. b Vi løser likningen F( x) = + = 3 x 8x Likningen skrives direkte inn i CAS. Det gir x må være positiv. x= 0,54 x= 1,861 Aschehoug www.lokus.no Side 45 av 15

c Vi tegner grafen til F og finner toppunktet. Arealet er størst når x = 1,155. Da er arealet 6,158. 5.54 ( ) = 0, 0 + 0, 48 + 9 F x x x a Vi tegner grafen til F og finner toppunktet. For at fortjenesten skal bli størst mulig, må bedriften produsere og selge 1 tuber. Aschehoug www.lokus.no Side 46 av 15

b Overskuddet = fortjenesten per limtube antall limtuber som blir produsert og solgt. Det gir Ox ( ) = xfx ( ) c ( ) Ox = x x + x+ = x + x + x 3 ( ) 0, 0 0, 48 9 0, 0 0, 48 9 Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Det største overskuddet bedriften kan få, er 3310 kr. Da blir det produsert 48 limtuber. Aschehoug www.lokus.no Side 47 av 15

5.55 Ox x x a ( ) = 0, + 190 30 000 Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-0,x^+190x-30000] b c d Det største mulige overskuddet per måned er 15 15 kr. Da blir det produsert og solgt 475 enheter. Vi finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Det største antall enheter bedriften kan produsere og selge per måned når bedriften ikke skal gå med underskudd, er 750 enheter. Når bedriften blir pålagt å betale en avgift på 0 kr per produsert enhet, blir overskuddsfunksjonen Ox ( ) = 0, x + 190x 30 000 0x Ox ( ) = 0, x + 170x 30 000 Vi tegner grafen til denne overskuddsfunksjonen. Det største antall enheter bedriften kan produsere og selge per måned når bedriften ikke skal gå med underskudd, er nå 600 enheter. Aschehoug www.lokus.no Side 48 av 15

5.56 K x x x D a [ ] ( ) = 0, 4 + 10 000, K = 50, 500 Inntekten = pris per enhet antall solgte enheter. I( x) = 100 x b Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = 100x 0, x 4x+ 10 000 Ox x x ( ) ( ) = 0, + 104 10 000 c Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. d Bedriften går med overskudd når x [ 18, 39]. Overskuddet er størst når det produseres og selges 60 enheter. Da er overskuddet 350 kr. e Når prisen senkes med 10 %, blir vekstfaktoren 0,90. Det betyr at varen selges for 100 kr 0,90 = 90 kr. Det gir I( x) = 90 x Ox ( ) = 90x 0, x 4x+ 10 000 ( ) Ox ( ) = 0, x + 94x 10 000 Vi tegner grafen til O(x) og finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Aschehoug www.lokus.no Side 49 av 15

5.57 Med ny pris går bedriften med overskudd når x [ 163, 307]. K x = x + x + x+ D = a [ ] 3 ( ) 0, 004 3, 75 5000, K 0, 10 Inntekten = pris per enhet antall solgte enheter. I( x) = 440 x b Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) 3 ( + 75x ) Ox ( ) = 440x 0,004x + 3, x + 5000 3 ( ) = 0,004 3, x + 365 5000 Ox x x Vi tegner grafen til O og finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Salget går med overskudd når x [ 16, 86 ]. c Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[O]. Bedriften må selge og produsere 5 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig. Aschehoug www.lokus.no Side 50 av 15

Da er overskuddet 4765 kr. 5.58 3 hx ( ) = 0,0075x 0,000 03x + 1,055x a b Kl. 05.15 er 5,5 timer etter midnatt. 3 h (5,5) = 0,0075 5, 5 0,000 03 5,5 + 1,055 5,5 = 4, 45 Kl. 05.15 var snødybden 4,45 cm. Vi tegner grafen til h i GeoGebra med kommandoen h(x)=funksjon[-0,0075x^3-0,000 03x^+1,055x] Løsninger til oppgavene i boka hx ( ) =,0 x= 1,95 x= 10,77 Snødybden var,0 cm ca. kl. 01.57 og ca. kl. 10.46. Vi skriver inn likningen i CAS og får x kan ikke ha negative verdier. c Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[h]. Snødybden var størst etter ca. 6,85 timer, dvs. ca. kl. 06.50. Da var snødybden ca. 4,8 cm. d All snøen var borte ca.11,86 timer etter midnatt, dvs. ca. kl. 11.5. 11,86 6,85 = 5,01 Det tok ca. 5 timer fra snødybden var størst til all snøen var borte igjen. Aschehoug www.lokus.no Side 51 av 15

Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 15

5.59 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og salgstallene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er Sx ( ) = 3,13x + 966,8. b Totale kostnader = kostnader per enhet antall enheter + faste kostnader. K( x) = 30x + 36 000 Ix ( ) = Sx ( ) x= 3,13x+ 966,8 x= 3,13x + 966,8x c ( ) Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox = x + x x+ ( ) 3,13 966,8 (30 36 000) Ox = x + x ( ) 3,13 936,8 36 000 Aschehoug www.lokus.no Side 53 av 15

d Vi tegner grafen til O og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[O] til å finne toppunktet. Pris på 150 kr gir størst overskudd. Det største overskuddet er 34 095 kr. 5.60 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall produserte enheter i kolonne A og produksjonskostnadene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Polynom og grad i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 54 av 15

Da ser det slik ut: Den andregradsfunksjonen som passer best, er K( x) =, 7x 75,9x+ 744. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 55 av 15

Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er E( p) = 0,63p + 373,4. b c Inntekten = antall solgte enheter pris per enhet I( x) = x E( x) = x 0,63x+ 373 I( x) = 0,63x + 373x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox = x + x x x+ ( ) 0, 63 373 (, 7 75,9 744) Ox ( ) =,90x + 448,9x 744 Vi tegner grafen til O og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[O] til å finne toppunktet. Aschehoug www.lokus.no Side 56 av 15

Overskuddet blir størst ved produksjon og salg av 77 enheter. E( p) = 0, 63p+ 373, 4 77 = 0, 63p + 373, 4 0, 63p = 77 + 373, 4 0,63p = 96,4 p = 470,5 Overskuddet blir størst mulig når prisen er 470 kr. 5.61 a Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen N(t)=Funksjon[0 000*1,10^t,0,10]. Aschehoug www.lokus.no Side 57 av 15

b 4 N (4) = 0 000 1,10 = 9 8 Etter 4 timer er det 9 000 bakterier. t c Vi løser likningen 0 000 1,10 = 40 000 grafisk. Vi legger inn linja y = 40 000. Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til N. Det tar litt over 7 timer før antall bakterier er fordoblet. 5.6 V( x ) = 80 000 0,85 x 0 V (0) = 80 000 0,85 = 80 000 a Maskinen kostet 80 000 kr som ny. p b 1 = 0,85 100 p 100 1 100 = 0,85 100 100 100 p = 85 p = 15 Det årlige verditapet er 15 %. c 3 V (3) = 80 000 0,85 = 49 130 Etter tre år er verdien av maskinen 49 000 kr. 5.63 x V( x) = 5000 0,95, x 0, 4 a [ ] 4 V (4) = 5000 0,95 = 407,53 Etter fire timer er det 3869 liter saft igjen på tanken. 5000 4073 = 97 De første fire timene lekker det ut 97 liter saft. Aschehoug www.lokus.no Side 58 av 15

b Vi tegner grafen til V ved å bruke kommandoen V(x)=Funksjon[5 000*0,95^x, 0,4]. c Vi løser likningen x 3 5000 0,95 = 5000 4 5000 0,95 x = 3750 grafisk. Vi legger inn linja y = 3750. Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til V. Det tar 5,61 timer = 5 timer og 37 minutter før en firedel av safta har lekket ut. 5.64 a f( x ) = 6 1, x f f f f 6 = = = 1, 1 ( 1) 6 1, 5 0 (0) 6 1, 6 = = 1 (1) 6 1, 7, = = () 6 1, 8,64 = = x 1 0 1 f(x) 5 6 7, 8,6 Aschehoug www.lokus.no Side 59 av 15

b 5.65 a År 010 011 01 013 014 x 0 1 3 4 Folketall 1 345 1 715 13 150 13 485 13 890 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og folketallet i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 60 av 15

Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er F( x ) = 1 355,7 1,03 x. b F( x ) = 1 355,7 1,03 x viser at vekstfaktoren er 1,03. Altså økte folketallet med 3 % hvert år. c Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Vi tegner linja y = 15 000. Aschehoug www.lokus.no Side 61 av 15

Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til F og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Etter modellen vil folketallet vil passere 15 000 etter ca. 6,6 år. Det vil si i løpet av 016. 5.66 Vi lar x svare til året da Johannes kjøpte bilen. År 0 5 Salgspris 80 000 165 000 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn år i kolonne A og salgspris i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 15

Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er V( x ) = 80 000 0,90 x. Vekstfaktoren er 0,90. Årlig gjennomsnittlig verditap er 10 %. 5.67 K( x ) = 40 000 1,03 x 0 K (0) = 40 000 1,03 = 40 000 a b c Jan satte inn 40 000 kr på kontoen. 4 K (4) = 40 000 1,03 = 45 00,35 Ette fire år sto det 45 00,35 kr på kontoen. Vi tegner grafen til K ved å bruke kommandoen K(x)=Funksjon[40 000*1,03^x]. Så legger vi inn linja y = 50 000. Aschehoug www.lokus.no Side 63 av 15

Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til K. Det tok ca. 7,5 år før beløpet på kontoen hadde økt til 50 000 kr. 5.68 Tt ( ) = 80 0,88 t 3 T (3) = 80 0,88 = 54,5 a Temperaturen i safta var 54,5 C etter tre timer. b Vi tegner grafen til T ved å bruke kommandoen T(t)=Funksjon[80*0,88^t]. Så legger vi inn linja y = 60. Aschehoug www.lokus.no Side 64 av 15

Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til T. Det tar,5 timer, dvs. timer og 15 minutter, før temperaturen i safta er 60 C. 5.69 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn år i kolonne A og verdien av maskinen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 65 av 15

Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er V( x ) = 179 4 0,75 x. b V( x ) = 179 4 0,75 x 5.70 a 4 V (4) = 179 4 0,75 = 56 707,60 Verdien av maskinen er 56 700 kr etter fire år. År 009 011 01 014 015 x 0 3 5 6 Antall ansatte 500 470 440 415 390 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antall ansatte i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Aschehoug www.lokus.no Side 66 av 15

Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er V( x ) = 503 0,96 x. b V( x ) = 503 0,96 x viser at vekstfaktoren er 0,96. Den årlige planlagte reduksjonen i antall ansatte var 4 %. c 8 V (8) = 503 0,96 = 363 I 017 vil det være 363 ansatte i bedriften. Aschehoug www.lokus.no Side 67 av 15

5.71 1 f x D f a ( ) = 3 = [,3] x 1 3 3 f ( ) = 3 = = = 1 1 1 4 1 1 3 3 f ( 1) = 3 = = = 6 1 1 1 1 f (0) = 3 = 3 1 3 f (1) = 3 = 1 3 f () = 3 = 4 1 3 f (3) = 3 = 8 1 0 3 x 1 0 1 3 3 f(x) 1 6 3 1, 5 = 3 0,75 4 = 3 0,38 8 = Aschehoug www.lokus.no Side 68 av 15

5.7 a b En økning på,3 % svarer til en vekstfaktor på 1,03. Vi bruker sammenhengen n N= GV 3 N = 7654 1, 03 = 8194 Folketallet var 8194 i 013. 7 N = 7654 1, 03 = 654 Folketallet var 658 i 003. c N= GV N V = G 8194 V = = 1,55 658 Vekstfaktoren er 1,55 Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra. Det betyr at i 013 var folketallet 15,5 % av folketallet i 003. Det svarer til en økning på 5,5 %. 5.73 En økning på 5 % svarer til en vekstfaktor på 1,05 og en økning på 8 % svarer til en vekstfaktor på 1,08. a Vi bruker sammenhengen n N= GV 4 N = 50 000 1,05 = 60 775,31 Etter fire år var aksjene verdt 60775,31 kr. 3 N = 60 775,31 1,08 = 76 559, 40 I dag er verdien av aksjene 76 559,40 kr. b Vi kan løse likningen med CAS i GeoGebra. Vekstfaktoren er 1,063. Den gjennomsnittlige prosentvise årlige verdiøkningen har vært 6,3 %. Aschehoug www.lokus.no Side 69 av 15

5.74 Løsninger til oppgavene i boka Tt ( ) = 180 160 1,3 t a Vi tegner grafen til T ved å bruke kommandoen T(t)=Funksjon[180-160*1,3^-t]. Så legger vi inn linja y = 170. Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til T. b Tt ( ) = 180 160 1,3 t Av funksjonsuttrykket og grafen ser vi at temperaturen nærmer seg 180 C når tiden går. Temperaturen overstiger ikke 180 C. c 5.75 a Det tar ca. 10,6 minutter før temperaturen i stekeovnen er 170 C. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og p(x) i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 70 av 15

Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er px ( ) = 1011,7 0,89 x. b 4,810 p (4,810) = 10 11, 7 0,89 = 577,8 Lufttrykket er 578 hpa 4810 meter over havet. c Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Vi tegner linja y = 800. Aschehoug www.lokus.no Side 71 av 15

Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til p og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Løsninger til oppgavene i boka Vi er ca. km over havet når lufttrykket er 800 hpa. 5.76 a År 1960 1970 1980 1990 000 005 010 x 0 10 0 30 40 45 50 Folketall 3,57 3,86 4,08 4,3 4,48 4,61 4,86 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og folketallet i millioner i kolonne B. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 15

Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Den lineære modellen som passer best, er F( x) = 0,04x+ 3,58. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 73 av 15

Da ser det slik ut: Den eksponentielle modellen som passer best, er F( x ) = 3,60 1,006 x. b I den lineære modellen er stigningstallet 0,04. Ifølge denne modellen økte folketallet med 0,04 millioner eller 4 000 per år. c I den eksponentielle modellen er vekstfaktoren 1,006. Ifølge denne modellen økte folketallet med 0,6 % per år. d F( x) = 0, 04x+ 3,58 F (54) = 0, 04 54 + 3,58 = 4,88. Med den lineære modellen vil folketallet bli 4,88 millioner. Det er noe lavere enn oppgitt folketall i 014. 54 F (54) = 3, 60 1, 006 = 4,97 Med den eksponentielle modellen vil folketallet bli 4,88 millioner. Det er også noe lavere enn oppgitt folketall i 014. Den eksponentielle modellen stemmer best. 5.77 N p p p a [ ] 0,80 ( ) = 60 000, 60,10 0,80 N(80) = 60 000 80 = 180 Salget per måned er ca. 1800 når prisen er 80 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 74 av 15

b Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen N(p)=Funksjon[60 000*p^(-0.80),60,10]. c Vi tegner linja y = 000 og finner skjæringspunktet mellom grafen til N og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Prisen må være ca.70 kr for at salget per måned skal være 000 enheter. Med CAS: 0,80 Vi løser likningen 60 000 x = 000. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. 5.78 T( x) =,0 x 0,50 0,50 a T (0,40) =,0 0,40 = 1,6 Svingetiden er 1,6 sekunder når lengden er 0,40 meter. Aschehoug www.lokus.no Side 75 av 15

b Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen T(x)=Funksjon[,0*x^(0,50)]. c Vi tegner linja y =,0 og finner skjæringspunktet mellom grafen til T og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Pendelen må være 0,5 meter for at svingetiden skal være 1,0 sekund. Med CAS: 0,50 Vi løser likningen,0 x = 1,0. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. 5.79 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Aschehoug www.lokus.no Side 76 av 15

b,1 Den potensmodellen som passer best, er V( x) = 0,30 x.,1 V (45) = 0,30 45 = 889 Vekten av et tre med diameter 45 cm er 889 kg. Aschehoug www.lokus.no Side 77 av 15

5.80 hx ( ) = 1, 3 x a 0,5 Vi tegner grafen til h ved å bruke kommandoen h(x)=funksjon[1,3*x^(0,5),1,6]. b h(3) h() =, 5 1,84 = 0, 41 Treet vokste 0,41 m, dvs. 41 cm, fra det var år til det var 3 år. c h (5) =,91 Etter fem år var treet,91 meter. 5.81 V( x) = 0,0065 x a b 3,10 V = = Vekten er 140 gram. 3,10 (5) 0, 0065 5 140,1 Vi tegner grafen til V ved å bruke kommandoen V(x)=Funksjon[0.0065*x^(3.10),0,45]. Aschehoug www.lokus.no Side 78 av 15

c Med CAS: Vi løser likningen 3,10 0, 0065 x 60 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. 5.8 a Lengden av en fisk som veier 60 gram er 40,4 cm. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 79 av 15

Da ser det slik ut: b 3,0 Den potensmodellen som passer best, er V( x) = a x = 0,53 x. Da ser vi at a = 0,53 og b = 3,0. b c 3 V (44) = 0,53 44 = 44 551 Volumet er Med CAS: Vi løser likningen 3 3 3 44 551 cm = 44,55 dm = 0,0446 m. 3 0,53 x 0, 060 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. Diameteren må minst være 48,6 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 80 av 15

d Vi antar at liten ball har diameter lik x cm. 0 Diameteren til den store ballen blir da x 1+ cm = 1, 0xcm. 100 Da kan vi sette opp ( ) 3 3 3 V 0,53 1, 0 x Stor 1, 0 x 3 = = = 1,0 = 1,78 3 3 VLiten 0,53 x x Vekstfaktoren er 1,78. Det viser at Stor har 7,8 % større volum enn Liten. 5.83 f( x) = 1, 3 x a b 0,4 0,4 f (3) = 1, 3 3 =, 0 Etter modellen vil omsetningen det tredje året være,0 millioner kroner. Med CAS: Vi løser likningen 0,4 1,3 x,5 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. 5.84 Bedriften vil oppnå en omsetning på,5 millioner etter 5,1 år, dvs. det sjette året. Ex ( ) = 0, 0 x 1,8 1,8 a E (40) = 0,0 40 = 153,0 Den årlige produksjonen er 153 kwh. Aschehoug www.lokus.no Side 81 av 15

b Med CAS: Vi løser likningen 1,8 0, 0 x 00 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. c 5.85 a Vingelengden må være 46,4 cm for at produksjonen skal være 00 kwh. Vi antar en vanlig vindmølle har vingelengde lik x cm. 0 Hvis vingelengden øker med 0 %, blir vingelengden x 1+ cm = 1, 0xcm. 100 Da kan vi sette opp ( ) 1,8 1,8 1,8 E 0, 0 1, 0 x Stor 1, 0 x 1,8 = = = 1, 0 = 1,39 1,8 1,8 ELiten 0, 0 x x Vekstfaktoren er 1,39. Det viser at hvis vingelengden øker med 0 %, øker den årlige produksjonen med 39 %. f x x gx x x x ( ) = og ( ) = (6 8) Vi løser likningen f( x) = gx ( ) x x x = (6x 8) x x x = (6x 8) x x = 6x 8 6x+ 8= 0 f ± x = 1 ( 6) ( 6) 4 1 8 6 ± 36 3 x = 6± 4 x = 6± x = 6 6+ x= x= x= x= 4 = = = = 0 () 1 ( ) 4 4 4 4 4 4 0 f (4) = 4 = = = = = 1 Skjæringspunktene er (,1) og( 4,1 ). Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 15

b Vi tegner grafen til f ved å bruke kommandoen f(x)=funksjon[x^*^(-x),0,6]. Vi tegner grafen til g ved å bruke kommandoen g(x)=funksjon[(6x-8)*^(-x),0,6]. c Vi finner skjæringspunktet mellom grafene til f og g med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Skjæringspunktene er (,1) og( 4,1 ). Med CAS: Vi løser likningen f( x) = gx ( ) x x = (6x 8) x. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. Skjæringspunktene er (,1) og( 4,1 ). Aschehoug www.lokus.no Side 83 av 15

5.86 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Løsninger til oppgavene i boka Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: b,81 Den potensmodellen som passer best, er V( x) = a x = 0,000 x. Da ser vi at a= 0,000 og b=,81. b Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Vi tegner linja x = 155. Aschehoug www.lokus.no Side 84 av 15

Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til V og linja x med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Løsninger til oppgavene i boka 5.87 a Vekten er 313 kg. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn vekten i kolonne A og koketid i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 85 av 15

Da ser det slik ut: Den potensmodellen som passer best, er T( x) 17,3 0,68 = x. b c 0,68 T (50) = 17,3 50 = 47,3 Den perfekte koketiden for et egg på 50 gram er 47 sekunder. 0,68 T (55) = 17,3 55 = 63,9 0,68 T (45) = 17,3 45 = 30,3 63,9 30,3 = 33, 6 Egget på 55 gram må koke 34 sekunder lenger enn egget på 45 gram. 5.88 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn solavstand i km i kolonne A og omløpstid i år kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Aschehoug www.lokus.no Side 86 av 15

Da ser det slik ut: Den potensmodellen som passer best, er f( x) 17,3 1,49 = x. b 1,49 T (5,91) = 17,3 5,91 = 44, Etter modellen er omløpstiden for Pluto 44 år. 5.89 x + 1 a f( x) = x 3 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. x+ 1 x f( x) = = x 3 x Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x = 3, men ikke telleren. Linja x = 3 er en loddrett asymptote. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. x + 1 = 0 x 3 x + 1= 0 x = 0,5 Nullpunktet er 0,5. Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut f (0). Aschehoug www.lokus.no Side 87 av 15

0 + 1 1 f (0) = =. 0 3 3 1 Skjæringspunktet med andreaksen er 0, 3. x 10 1 0 1 4 5 6 10 f(x) 1,5 0,6 0,3 0,3 1, 5 5 9 5,5 4,3 3 b 4 x gx ( ) = x For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 4 x x gx ( ) = = x x Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x = 0, men ikke telleren. Linja x = 0 er en loddrett asymptote. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen gx= ( ) 0. Aschehoug www.lokus.no Side 88 av 15

4 x = 0 x 4 x = 0 Løsninger til oppgavene i boka x = Nullpunktet er. x = 0 som er y-aksen, er en loddrett asymptote og det viser at grafen går gjennom origo. x 10 5 1 1 4 6 10 g(x), 4,8 4 6 0 1 1, 3 1, 6 c 4x hx ( ) = x + 4 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 4x 4x hx ( ) = x+ 4 x = Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x =, men ikke telleren. Aschehoug www.lokus.no Side 89 av 15

Linja x = er en loddrett asymptote. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen hx ( ) = 0. 4x = 0 x + 4 4x = 0 x = 0 Nullpunktet er 0. Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut h(0). 40 h(0) = = 0. 0 + 4 Grafen går gjennom origo. Løsninger til oppgavene i boka x 10 6 4 3 1 0 6 10 h(x),5 3 4 6 0 1 1,5 1,7 5.90 a x 3 f( x) = 1 x Vi skriver inn f(x)=(x-3)/(1-x) Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet. Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f]. Aschehoug www.lokus.no Side 90 av 15

b Vi ser at linja y = er vannrett asymptote og linja x = 1 er loddrett asymptote. Nullpunktet er 1,5. 3000 + 15x gx ( ) = x Vi skriver inn g(x)=(3000+15x/x) Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet. Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f]. Aschehoug www.lokus.no Side 91 av 15

Vi ser at linja y = 15 er vannrett asymptote og linja x= 0 ( y-aksen) er loddrett asymptote. Nullpunktet er 00. c 00 + 0, 4x hx ( ) = 0,08x Vi skriver inn h(x)=(00+0,4x/0,08x) Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet. Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f]. 5.91 Vi ser at linja y = 5 er vannrett asymptote og linja x= 0 ( y-aksen) er loddrett asymptote. Nullpunktet er 500. a Totale kostnaden blir: leie av lokalet + pris per deltaker antall deltakere Det gir K( x) = 5000 + 150 x Utgifter per person blir da K( x) 5000 + 150x Ex ( ) = = x x Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 15

b Vi skriver inn E(x)=(5 000+150x/x) c 5000 + 150 103 E(103) = = 198,54 103 Prisen per person blir 199 kr. d Vi tegner linja y = 00 og finner skjæringspunktet mellom grafen til E og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Det må minst komme 101 personer på festen for at prisen per person skal bli lavere enn 00 kr. 5.9 ax + b f( x) = x+ c Vi finner loddrett asymptote ved å sette nevneren lik null, og den loddrette asymptoten er x = 1. Det gir 1+ c = 0 c = 1 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. ax + b ax f( x) = = a x 1 x Linja y = 4 er vannrett asymptote. Da har vi at a = 4. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. Grafen har nullpunkt for x =. Aschehoug www.lokus.no Side 93 av 15

4 + b = 0 1 8+ b = 0 b = 8 Det gir a= 4, b= 8 og c= 1. 5.93 4x + 3 f( x) = x 4 a Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. 4x + 3 = 0 x 4 4x + 3= 0 b x = 3 4 3 Nullpunktet er. 4 Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut f (0). 40 + 3 3 f (0) = =. 0 4 4 3 Skjæringspunktet med andreaksen er 0, 4. For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 4x+ 3 4x f( x) = = x 4 x Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x =, men ikke telleren. Linja x = er en loddrett asymptote. Aschehoug www.lokus.no Side 94 av 15

c x 10 4 1 0 1 3 4 5 6 10 f(x) 1,5 1,1 0, 0,8 3,5 7,5 4,8 3,8 3,4,7 d D = \ {} og V = \ {} f f 5.94 ax + b a f( x) =, Df = \ {4} x 4 Grafen skjærer førsteaksen i punktet (, 0). Det gir f () = 0 a + b = 0 4 a+ b= 0 Grafen skjærer andreaksen i punktet (0,1,5). Det gir f (0) = 1, 5 a 0 + b = 1, 5 0 4 b = 1, 5 ( 4) = 6 Aschehoug www.lokus.no Side 95 av 15

b a+ b= 0 a 6= 0 a = 3 a= 3 og b= 6. 3x 6 f( x) = x 4 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 3x 6 3x f( x) = = 3 x 4 x Linja y = 3 er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x = 4, men ikke telleren. Linja x = 4 er en loddrett asymptote. x 10 4 0 3 5 8 10 15 f(x),6,3 1,5 3 9 4,5 4 3,5 Aschehoug www.lokus.no Side 96 av 15

5.95 a b c 30 Vekstfaktoren blir 1 = 0,70 100 Ny verdi = gammel verdi vekstfaktor Det gir 80 0,70 = 56 Hvis du har kundekort, koster en tur 56 kr. Totale kostnader = prisen for kundekort + pris per tur antall turer. Det gir K( x) = 400 + 56 x Utgifter per tur blir da når Sigrid tar x turer: K( x) 400 + 56x 400 Px ( ) = = = + 56 x x x Løsninger til oppgavene i boka Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=funksjon[400/x+56,5,30]. d 400 P (15) = + 56 = 8, 67 15 Hvis Sigrid kjører 15 turer, blir prisen 83 kr per tur. Aschehoug www.lokus.no Side 97 av 15

e 400 + 56 < 80 x 400 < 80 56 x 400 < 4 x 400 x < 4 x x> 0 x 400 x > 4 x > 16,7 Sigrid må kjøre minst 17 turer for at kundekortet skal lønne seg. I GeoGebra åpner vi CAS og skriver inn ulikheten. Så trykker vi på og får 5.96 Vi lar x m være lengden og y m være bredden i rektanglet. Arealet er l b= x y = 4 Vi får da x y = 4 4 y = x a Prisen for gjerdet blir da f( x) = 400 x+ 00 x+ 00 y 4 f( x) = 600x+ 400 x 9600 f( x) = 600 x+, x> 0 x Aschehoug www.lokus.no Side 98 av 15