DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y = 8 x+ 4y = 6 Nå tr vi den øverste likningen og trekker fr den nederste. Dette gir oss 10x+ 4 y (x+ 4 y) = 8 ( 6) 10x x+ 4y 4y = 8 + 6 Dermed får vi 7x = 14 x = Vi setter inn i for x i 5x+ y = 4. 5 + y = 4 10 + y = 4 y = 4 10 y = 6 y = (x, y) = (, ) er løsning v likningssystemet ovenfor. Oppgve x 10 = 000 10 x = 1000 10 x = 10 x = Aschehoug www.lokus.no Side 1 v 1
Oppgve 6 6 6 1 11 (0,5 10 ) 0,5 (10 ) 0, 5 10 0, 5 10,5 10 = = = = = 0,5 10 = 5 10 4 5 5 5 5 5 0, 10 + 10 10 (0, 10 + ) 10 ( + ) 10 5 5 10 Oppgve 4 15 5 48 = 5 5 16 = 5 16 = 5 4 = (5 4) = Oppgve 5 5 lg1000 lg 10 lg 10 lg 0, 000 01 = 1 5 5 lg10 lg10 lg10 lg10 Ved å ruke regelen lg10 x = x får vi t 1 5 5 1 lg10 lg10 lg10 lg10 = ( 5) = 1 ( 5) = 5 5 Oppgve 6 xx ( + )( x 4) = xx ( 4x+ x 8) = xx ( x 8) = x x 8x 16 15 x x x 8 = 0 Siden x x 8 x= xx ( + )( x 4), kn likningen ovenfor skrives om til xx ( + )( x 4) = 0. Ved å ruke produktregelen følger det nå t x= 0 x+ = 0 x 4= 0 x= 0 x= x= 4 Dermed er 0, og 4 løsninger v likningen. Oppgve 7 Fr forrige oppgve hr vi t x x x x 8 = ( + )( 4). Av fortegnsskjemet ser vi t ( x+ )( x 4) 0 når x og når x 4. Aschehoug www.lokus.no Side v 1
Oppgve 8 Skjæringspunktene til grfen til f med x-ksen er det smme som nullpunktene til smme funksjon. Derfor skl vi estemme for hvilke verdier v k som gir oss ingen, ett eller to nullpunkter til f. Vi finner derfor nullpunktene til f: f( x ) = 0 Siden x f ( x) = x + kx + 4, får vi nå likningen + kx + 4= 0. Hvis vi løser denne likningen ved c-formelen, får vi ( ) 414 k± k x = 1 k± k x = Likningen x 16 + kx + 4= 0 hr ingen løsninger når: k 16 < 0 én løsning når: =16 to løsninger når: 16 0 k k > Hvis vi løser disse ulikhetene, så får vi t ingen løsninger når : 4 < k < 4 én løsning når: k = ± 4 to løsninger når: k < 4 k > 4 x + kx + 4= 0 hr Derfor hr likningen f( x ) = 0 ingen løsninger når 4 < k < 4, én løsning når k = ± 4, og to løsninger når k < 4 k > 4. For smme verdier v k hr grfen til f ingen, ett eller to skjæringspunkter med x-ksen. Oppgve 9 1 1 1 x+ + x ( x+ + ) x x+ x + x x x x x + 6x+ x + 6x+ = = = = 1 1 1 1 x x x x ( ) x x x x x x x x x 1 x + + x x + 6x+ ( x + x+ 1) ( x+ 1) ( x+ 1) = = = = 1 1 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x+ x x Aschehoug www.lokus.no Side v 1
Oppgve 10 Vi regner ut den gjennomsnittlige vekstfrten til f i intervllet [, ]: ( ) 1 ( ) ( ) 1 f() f ( ) + + + + = ( ) 4 8+ 8+ 1 ( 8+ 8+ 1) = 4 17 1 = 4 16 = = 4. 4 Den gjennomsnittlige vekstfrten til f i intervllet [, ] er ltså 4. f x x x ( ) = + + 1 = + = + 1 1 f () x x x x 4x Vi skl finne likningen til tngenten til grfen i punktet ( 1, f (1) ). y y = ( x x ) 1 1 Her er punktet ( x, y ) = ( 1, f(1) ). Stigningstllet til tngenten til grfen i ( 1, (1) ) 1 1 f (1). Vi hr t x1 = 1, y1= f(1) og = f (1). y f(1) = f (1)( x 1) ( ) 1 f x = x + x + f (1) = 1 + 1 + 1 f (1) = 4 y 4 = 7( x 1) y 4= 7x 7 Likningen til tngenten er y = 7x = + f ( x) x 4x f = + (1) 1 4 1 f (1) = 7 f er Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 1
Oppgve 11 Vi innfører de to hendelsene A: Like mnge øyne B : Sum øyne lik 5 eller mindre Siden vi kster to terninger, er det 6 6 = 6 mulige utfll. Snnsynlighetene P(A) og P(B) er gitt ved følgende formler: ntll gunstige utfll for A ntll gunstige utfll for A PA ( ) = = ntll mulige utfll 6 ntll gunstige utfll for A ntll gunstige utfll for B PB ( ) = = ntll mulige utfll 6 Gunstige utfll for A: (1,1), (,), (,), (4,4), (5,5) og (6,6) Gunstige utfll for B: (1,4), (,), (,), (4,1), (1,), (,), (,1), (1,), (,1), (1,1) Dermed hr hendelsen A 6 gunstige utfll, og hendelsen B hr 10 gunstige utfll. 6 PA ( ) = 6 10 PB ( ) = 6 Vi ser t det er hendelsen B som er mest snnsynlig. Oppgve 1 AD + DC = AC DC = AC AD DC = AC AD. Siden AC = s og s AD =, så er s s s s DC = AC AD = s ( s / ) = s = = = 4 4 4 DC sin A= AC Fr forrige oppgve hdde vi t s DC sin A = = = AC s s DC =. I tillegg er AC = s. Dermed er Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 1
c Vi ruker sinussetningen på treknten QPR og får 1 A = PQ PR sin 60 Vi hr t PQ = 8, PR =. Fr oppgve hdde vi t 1 A = 8 = 4 = 1 Arelet v treknten er 1. sin A =. Derfor får vi d Treknten PSR er en 0, 60, 90 treknt. Derfor er: 1 1 PS = PR = = QS = PQ PS = 8 Siden PR = og PS =, får vi t RS PR PS = = = = = Av dette får vi RS tn Q = = QS 8 ( ) ( ) 1 9 Oppgve 1 px ( ) = 0 x x= 0 xx ( ) = 0 x= 0 x = 0 x= 0 x= 0 og er nullpunktene til p. Grfen til p må være grf E, siden det er den eneste grfen som går igjennom origo (og dermed er det den eneste grfen som hr nullpunktet 0). Vi ser på funksjonen q som er gitt ved qx x x ( ) = + Hvis x = 0, så er q (0) = 0 + 0 =. Dermed går grfen til q gjennom punktet ( 0, q (0)) = (0, ). Vi finner også nullpunktene til q: Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 1
qx ( ) = 0 x + x = 0 ± x = 1 x = x = ( ) 4 1( ) ± 1 ± x = 1±. Dermed hr funksjonen q nullpunktene 1, 7 og 1+ 1+ 1,7 = 0,7. I tillegg hr vi funnet ut t grfen til q går igjennom (0, ). Disse tre opplysningene stemmer overens med grf C. Funksjonen r er gitt ved rx ( ) = 4 x. Dermed er = 1, som er negtiv. Grfen til r må derfor være grf F, som er den eneste grfen med toppunkt. sx ( ) = q( x) Dermed er grfen til s speilildet v grfen til q om x-ksen. Siden grfen til q er grf C, må grfen til S være grf D. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 1
DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tilltt, med unntk v Internett og ndre verktøy som tillter kommuniksjon. Oppgve 1 Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 1
c Vi skriver inn y = 16 og ruker Skjæring mellom to ojekt til å finne skjæringspunktet mellom linj y og grfen til f (se nedenfor). Skjæringspunktet (4,0, 16) frmkommer. Prisen på en krone-is vr derfor 16 kr 4 år etter 1970, ltså i 004. d Vi regner ut gjennomsnittlig vekstfrt mellom x = 0 og x = 45: Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 1
Oppgve Snitt > 4 Snitt < 4 Sum Før klokken 18 160 Etter klokken 160 0 480 88 5 640 L A være hendelsen «krktersnitt over fire». Av krysstellen ovenfor ser vi derfor 88 elever hr et krktersnitt på over 4. Hendelsen A hr derfor 88 gunstige utfll. Antll mulige utfll for A er 640 siden det er 640 elever totlt. Dermed får vi t 88 9 PA= ( ) = = 0,45 = 45 % 640 0 c Vi innfører hendelsen B «eleven legger seg før klokk». 18 4 PBA ( ) = = = 0, 444 = 44, 4 % 88 9 Oppgve To v vinklene i treknten er 75 og 45. Den tredje vinkelen er derfor 180 (45 + 75 ) = 60. Vi ruker nå sinussetningen for å estemme s. Oppgve 4 Vi ruker definisjonen v cos på trekntene ADC og BDC, og får CD cosu = AC CD cos v = BC Siden CD = h, AC = og BC =, får vi t h cosu = h cos v = Av disse to likningene får vi t h= cosu h= cos v som vr det vi skulle vise. Aschehoug www.lokus.no Side 10 v 1
Siden h= cosu og h= cos v, kn vi skrive c1 h c h T = + c1 cos v c cos u = + Hvis vi ruker definisjonen v sinus på trekntene ADC og BDC, får vi c1 sin u = c sin v = Av disse likningene får vi c1 = sin u c = sin v Hvis vi enytter oss v de siste likningene, kn uttrykket vårt for T nå skrives som c1 cos v c cos u T = + sin u cos v sin v cosu = + som vr kkurt det vi skulle vise. c 1 Vi hr uttrykket for T fr forrige oppgve, og uttrykket T= sin( u+ v). sin u cos v sin v cosu 1 + = sin( u+ v) Vi multipliserer først denne likningen med på egge sider: sin u cos v+ sin v cosu = sin( u+ v) Vi dividerer egge sidene v denne likningen med : sin u cos v+ sin v cosu = sin( u+ v) som vr det vi skulle vise. Aschehoug www.lokus.no Side 11 v 1
Oppgve 5 Tngenten i punktet ( 4, (4)) punktene (, f ()) og ( 6, (6)) smme stigningstll, er de prllelle. f hr likningen y = x 8, mens linj som går igjennom f, hr likningen y = x 4. Siden disse to linjene hr Stigningstllet til tngenten til grfen i punktet p + q M, g p + q er p+ q g ( ). p+ q Vi hr dermed t g = ( p+ q) +, som ltså er stigningstllet til tngenten til grfen i punktet p + q M, g p + q. Aschehoug www.lokus.no Side 1 v 1
c Likningen til linj som går gjennom punktene P( p, g( p )) og Qqgq (, ( )) y = x ( p + q + ) pq + c y = ( p + q + ) x pq + c Denne linj hr ltså stigningstll p + q + = ( p + q) +, og dette er likt med er ltså gitt ved stigningstllet til tngenten til grfen i punktet p + q M, g p + q, som også er ( p+ q) +. Dermed er denne linj prllell med tngenten. Aschehoug www.lokus.no Side 1 v 1