TMA435 Matematkk 4D Foureranalyse Fourerrekker på reell form En funksjon ses å ha perode p > dersom f(x + p) = f(x) () for alle x defnsjonsmengden tl f. Den mnste p slk at () holder, kalles fundamentalperoden tl f. Standardeksemplet er f(x) = sn x, som har peroder π, 4π, 6π osv, fundamentalperode π. Eksempel a f(x) = cos(3x) Hva er perodene tl f? Hva er fundamentalperoden tl f? Dersom f(x) har perode p, har g(x) = f(kx) perode p/k, for g(x) = f(kx) = f(kx + p) = f(k(x + p/k)) = g(x + p/k). Altså har cos 3x peroder p = nπ/3 for alle n N. Fundamentalperoden er p = π/3. En fourerrekke er en rekke på formen a + a n cos + b n sn. Merk at fourerrekken har fundamentalperode. a f være en funksjon med defnsjonsmengde (, ). Foureranalyse handler om å skrve f som en fourerrekke: f(x) = a + a n cos For å bestemme koeffsentene a n ganger v () med cos mπx + b n sn. () ntegrerer fra tl f(x) cos mπx dx = V beregner så (a cos mπx + cos mπx a n cos dx = { for m = for m, mπx cos + b n sn cos mπx ) dx. (3)
TMA435 Matematkk 4D cos cos mπx dx = cos (n + m)π x + cos (n m)π x dx = { for n = m for n m sn cos mπx dx = sn Dersom v bruker dsse resultatene (3), står v gjen med (n + m)π x + sn (n m)π x dx =. a = f(x) dx a n = for n. keledes kan v utlede formelen b n = l l l f(x) cos f(x) sn dx dx ved å gange () med sn mπx ntegrere fra tl. Teorem Dersom f er stykkvs kontnuerlg derverbar på (, ), konvergerer fourerrekken f(x) for alle punkter der f er kontnuerlg. I punkter der f har sprang, konvergerer fourerrekken tl mdt spranget. Eksempel V fnner fourerrekken tl Her er = π. V beregner f(x) = x der x (, π). a = π π x dx =, a n = π π x cos nx dx =. b n = π π x sn nx dx = n ( )n+ Merk at symmetr gr a a n, mens b n må beregnes. Fourerrekken tl f blr ( ) n+ f(x) = sn nx. n
TMA435 Matematkk 4D Eksempel V fnner heavsdefunksjonen sn fourerrekke på (, π). V beregner Altså kan v skrve a = π π for x H(x) = { for x <. H(x) dx = π π dx =, a n = π π H(x) cos nx dx = π π cos nx dx =, b n = π π H(x) sn nx dx = π π for n oddetall sn nx dx = { nπ for n partall. H(x) = + sn(n + )x π n + Her er plot av et par partalsummene for n =,,, 5, 5. Jeg har plottet på ntervallet [, π] for å llustrere hvordan fourerrekken oppfører seg utenfor ntervallet der man approksmerer funksjonen. Merk at H er en odde funksjon. Denne strukturen kommer tl syne fourerrekken tl H, se neste avsntt.
TMA435 Matematkk 4D Odde jevne utvdelser V ser at en funksjon er odde dersom jevn dersom f( x) = f(x) f( x) = f(x). for alle x defnsjonsmengden tl f. Grafen tl en odde funksjon blr dentsk dersom du dreer den π radaner om orgo, mens grafen tl en jevn funksjon blr dentsk dersom du speler den om y-aksen. En rask kkk på fgur overbevser oss om at for odde funksjoner, for jevne funksjoner. f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx Eksempel Man kan vse at produktet av to jevne eller to odde funksjoner blr en jevn funksjon, at produktet av en jevn en odde funksjon blr en odde funksjon. a f være odde g være jevn. Sden f( x) = f(x), g( x) = g(x), får v f( x)g( x) = f(x)g(x), altså er fg en odde funksjon. De andre tlfellene bevses på samme måte. V merker oss at dersom f er odde, er a n = for alle n, mens dersom f er jevn, er b n = for alle n. Fourerrekken tl en odde funksjon nneholder følgelg kun snusfunksjoner, mens fourerrekken tl jevne funksjoner nneholder kun cosnusfunksjoner. Dersom en funksjon f har defnsjonsmengde (, ), kan v defnere den odde utvdelsen f o = { f(x) for x = (, ) f( x) for x = (, ) den jevne utvdelsen f j = { f(x) for x = (, ) f( x) for x = (, ).
TMA435 Matematkk 4D Sden både f o f j er dentske med f på (, ), vl fourerrekkene deres konvergere tl f(x) på (, ). Man kan således velge mellom snus eller cosnus når man skal fourerutvkle f på (, ). Dsse kalles henholdsvs snus- cosnusrekkene tl f på (, ). V ser på fourerutvklngen tl f o. For den har v at a n = for alle n, at b n = f o (x) sn For fourerutvklngen tl f j, har v tlsvarende at dx = f(x) sn dx. samt a n = f j (x) cos dx = f(x) cos a = f j (x) dx = f(x) dx. Eksempel V beregner cosnusrekken tl f(x) = x på (, π). Koeffsentene blr dx slk at på ntervallet [, ]. a = π π x dx = π/ a n = π π for odde n x cos nx dx = { πn for for jevne n. 4 x = π 4 cos(n + )x π (n + ) Fourerrekker på kompleks form Fra den komplekse analysen husker v Eulers formel Denne er lett å utlede. V har e x = cos x + sn x. cos x = x + x4 (x) +... = + + (x)4 +... 4! 4! sn x = (x x3 3 + x5 (x)3 +...) = x + + (x)5 +... 5! 3 5! Dsse rekkene konvergerer for alle x. Altså er cos x + sn x = + x + (x) + (x)3 3! + (x)4 4! + (x)5 5! +... = e x.
TMA435 Matematkk 4D Substtuerer v nn nx for x, får v de Movres formel e nx = cos nx + sn nx. V skal dette avsnttet skrve f(x) = n= c n e. (4) Denne formen gr ut det samme, men er mer praktsk å jobbe med enn snus- cosnusfunksjoner. For å bestemme koeffsentene c n, ganger v (4) med e mπx, ntegrerer fra tl Dersom n = m, får v Dersom n m, får v mπx f(x)e dx = e (n m)π n= x dx = c n e (n m)π dx =. x dx. Altså er slk at e (n m)π x dx = (n m)π (e(n m)π e (n m)π ) = e (n m)π x dx = { for n m for n = m, f(x)e dx = c n. sn(n m)π =. (n m)π V kan utlede formler for overgangen mellom fourerrekker på reell kompleks form. Substtuerer v x for x de Movres formel får v e nx = cos nx sn nx. V kan legge dem sammen trekke dem fra hverandre Hvs v skrver a n cos + b n sn cos nx = enx + e nx, sn nx = enx e nx. = a n ( e + e ) + b n ( e e ) = e ( a n + b n ) + e ( a n b n ) sammenlgner v () (4), ser v at c n = (a n b n )
TMA435 Matematkk 4D c n = (a n + b n ). V kan selvfølgelg så snu om på dsse formlene, skrve a n = c n + c n b n = (c n c n ). Merk tl slutt at dersom f er reell, er c n = c n. Eksempel V beregner den komplekse fourerrekken tl heavsdefunksjonen på [, ]. Koeffsentene blr c n = f(x)e dx = for n = e dx = { for odde n slk at Merk at slk at H(x) = + π H(x) = + π n = n n = n nπ (n + ) e(n+)πx. c n e + c n e = sn, nπ (n + ) e(n+)πx = + π for jevne n, sn(n + )x. n + Parsevals denttet For funksjoner med konvergente fourerrekker gjelder Parsevals denttet a + a n + bn = f (x) dx. Denne er lettest å bevse om man starter på kompleks form V ganger denne lkheten med seg selv f (x) = n= c n e m= mπx c n me = f(x) = n= n= c n e c n e. m= mπx c m e = n= m= (n m)πx c n c m e
TMA435 Matematkk 4D ntegrerer f (x) dx = Det går lett å vse at n= m= (n m)πx c n c m e n= dx = π n= c n = a + a n + bn. c n c n = π n= c n c n = π n= c n. Fourertransform Hva gjør v dersom v ønsker å fourerutvkle en funksjon som kke er perodsk? En magefølelse for hvordan dette skal gjøres, kan man få ved å skrve f(x) = n= c n e = n= = π ( n= ( π f(y)e nπ y dy) e f(y)e nπ y dy) e. Nå kan man tolke dette som en remannsum på aksen der n telles fra tl. Gtteravstanden er π, punktene er gtt ved nπ. Hvs v lar, vfter v det v kan med armer ben får f(x) = π ( f(y)e wy dy) e wx dw. Det nnerste ntegralet kalles fourertransformen tl f, v skrver f(w) = F(f) = f(x)e wx dx. Det ytterste ntegralet kalles den nverse fourertransformen, v skrver Sden f(x) = F ( f) = f(x)e wx dw. f() = f(x) dx, ser v at det gr ngen menng å stappe nn en funksjon som kke lar seg ntegrere på hele x-aksen. Det er vanlg å kreve at f er absolutt ntegrerbar, altså at f(x) dx <. Fourertranformasjonen er en lneær operasjon. Dersom a b er relle tall, f g er funksjoner, er F(af + bg) = af(f) + bf(g). a f være absolutt ntegrerbar på x-aksen, anta at f(x) når x ±. V kan vse at F(f ) = wf(f).
TMA435 Matematkk 4D V tar en delvs ntegrasjon, regner ut F(f ) = f (x)e wx dx = f(x)e wx V defnerer kovolusjon mellom to funksjoner f g som f g = f(v)g(x v) dv. + w f(x)e wx dx = wf(f). Det kan vses at F(f g) = π F(f) F(g).