Sammensatt estimering ved roterende utvalg. Matematisk - statistiske problemer knyttet til arbeidskraftundersøkelsene. av Steinar Bjerve x

Transkript

1 ) 74/ augus 1974 Sammensa esimering ved roerende uvalg. Maemaisk - saisiske problemer knye il arbeidskrafundersøkelsene. av Seinar Bjerve x INNHOLD Side Dealjer innholdsforegnelse Esimering ved roerende uvalg 5 3. Varians- og effisiensberegninger for esimaorer for nivåer og Markovkjedemodellen. Variansberegning for esimaoren 21 ij 5. Konklusjoner...,..., Appendiks 1: Noen uregninger for markovkjedemodellen Appendiks 2: Forsøk på finne BLU-esimaorer i markovkjedemodellen.når markovkjeden observeres på o idspunker Jeg vil akke Jan M. Hoem, som sae i gang denne undersøkelsen og ga verdifull bisand under arbeide. Ikke for offenliggjøring. Dee noa or e arbeidsdokumen og sieres eller refereres bare eer spesiell illaelse i hver enkel ilfelle Synspunkerog konklusjoner kan ikke uen videre as som urykk for Saisisk Senralbyrås oppfaning.

2 2 Innhold Side F orord 1. Innleiing Esimering ved roerende uvalg o.. (a) Noasjoner (b) Roasjonsmønsre (c) Opimale esimaorer... (d) Opimal roasjon.. *.. * *** (e) Andre korrelasjonsmonsre... (f) Esiaorer... (g) Generelle berakninger. o es **** * o e. 3. Varians- og effisiensberegninger for nivåer og endringer. (a) Innledende merknader... *****,. (b) Enkel esimering... (c ) Sammensa esimering.. ****** 4. Markovkjedemodellen. Variansberegninger for esimaoren = N../N (a) Modellen. w 46 (b ) Tayloruvikling av X/Y.... c ) Momenberegninger.. ***** ***** o 5. Konklusjoner... *****. (a) Hvor mye kan vinnes *****. *. 29 (b) Årsaker il reduksjon i variansgevinsen o 30 (c) Valg av konsanen C... *** e 30 * 4 ***** (d) Revidere all for nivåer... ***** Referanser.. ***** ***. 32 Appendiks 1; Noen uregninger for markovkjedemodellen Appendiks 2; Forsok på å finne BLU-esimaorer i markovkjedemodellen når markovkjeden observeres på o idspunker 35

3 3 Forord Manuskripe il dee noae ble i al vesenlig uarbeide våren De ble lag il side da forfaeren dro il Universiy of California for å sudere. De er n1 a fram igjen og slufør. De publiseres i Saisisk Senralbyrås serie av Arbeidsnoaer fordi en mener de vil komme il nye under de forsae arbeide med maemaisk - saisiske problemer knye il arbeidskrafundersøkelsene. Jan M. Hoem

4 4 1. Innleiing De norske arbeidskrafundersøkelser foreas på uvalgsbasis eer roasjonsprinsippe. De vil si a en med jamne mellomrom (kvaralsvis) rekker uvalg slik a 4n og samme uvalgsenhe er med i uvalge e viss anall ganger eer e gi roasjonsmonser. Den byes så u med en ny, som rekkes ilfeldig. Med en slik uvalgsplan viser de seg a en under visse foruseninger får e bedre grunnlag for esimering av arbeidskrafens bevegelse og sammensening enn ved uavhengige og ilfeldige uvalg. Befolkningen enkes del opp i grupper eer kjenneegn som for prakiske formal kan berakes som konsane over de akuelle idsrom (f.eks. kjønn, alder, udanning). Hver individ ilhører en arbeidskrafkaegori, eksempelvis "arbeidssøkere uen arbeidsinnek", "i arbeidssyrken", "full sysselsa". Vi vil enke oss a en ar for seg ei gruppe og en kaegori, la oss si "menn" og "arbeidssøkende uen arbeidsinnek". Ana a alle på menn som observeres er de samme il enhver id. For hver observasjon regisrerer vi om mannen er arbeidssøker uen arbeidsinnek eller ikke. For mann nummer j i undersøkelsen og for hver undersøkelsesidspunk definerer vi da en sokasisk variabel som Xj ar verdiene 1 og 0 eersom han på idspunke er arbeidssøkende uen arbeidsinnek eller ikke. Kall samlingen av undersøkelsesidspunker for T. Observasjonene {X ell er en realisasjon av en sokasisk prosess, {X ; en. La oss enke oss a en skal esimere følgende paramere: Nivår, a = EX PeX = 1), ii) Kvaralsvise endringer, (1.2) a a - a - 1 * iii) Arsgjennomsni, (1.3) a )

5 5 iv) Overgangssannsynligheer, ( 1 Li- p. pil P z i1x j); 11. (X + 1 Korrelasjonen mellom observasjoner på ulike idspunker vil i de følgende dels berakes som kjen, dels inngå som en forsyrrende parameer. Korrelasionen beegnes p h cov(x ' X )/(var X var X + h)2. dee noae vil vi bruke varians- og effisiensberegninger il a sudere egenskaper ved esimerings- og roasjonsmeoder. Vi vil særlig bygge på resulaer som finnes i lieraurreferansene E1J - [5]. Spesiel vil vi se på disse problemene når vi anar a X er en hornogenrnarkovldede,alsåslika p i.i(1.4) ovenfor er uavhengig av. j Vi anar hole ida a populasjonen er uendelig. Den mes uførlige lieraurlisa finnes i referanse. Esimering ved roerende uvalg (a) Noasjoner Vi kaller realisasjonene av prosessen {X ; ct} for sampelsier og lar {Xi ; icy være de sampelsier som observeres på idspunk. Vår observasjonsmaeriale vil da ware {X. ;ici og et}. i Klassen {1 e T1 besemmer roasjonsmønsere i undersøkelsen. Se1) n 0A (1 ) og la (for i og j = o, 1) N 1 = E X k' kei = n N1, Nij 7é{kcI ili Xk Xk, ) ffi$ (A) er anall elemener i mengden A.

6 6 N. E N.., N..E N.., 3 i ij N' = N - N.. N" = N - N.. i i l - i i -1 Her er N' og N" anall sier som er i ilsand i på idspunk og som i i ikke er observer på eerfølgende, henholdsvis foregående observasjonsidspunk. Se videre 'irs T = {l, 2,..., Nl, X = n, + 1 in og p - X. (b) Roasjonsmønsre Vi kan ha en siuasjon der p er posiiv bare på idspunker som er mulipla av e hel all c. c kaller vi da roasjonsavsanden. DersomE p, vil vi kalle p- for roasjonsraen. Vi vil ana a hver si bare observeres i en sekvens av påfølgende idspunker. lierauren er de også suder roasjonsmønsre der hver si får "gjenbesøk", de vil si a de observeres i ekvidisane sekvenser. En kan innføre gjenbesøks,vsanden, n. I de månedlige sikkprøver som as av de amerikanske Bureau of he Census' Curren Populaion Survey (C.P.S.), er eksempelvis m = 12, p = 1/4 og c = 1. (c) Når korrelasjonsfunksjonen p er kjen, er den bese lineære h forvenningsree esimaor (Bes Linear Unbiased esimaor eller BLU esimaor) for vekoren a = (al,..., an)' gi ved (2.1) 6/ 9 = an) (ft, y1)-1 elemener, hvor Her er?1() en søylevekor sammensa av observasjonene. har K K: E he (I ). e T I) T:x7.] er de sørse helall som ikke oversiger x.

7 7 C er kovariansmarisen il X. C er gi ved korrelasjonsfunksjonen,h rko p. Y er en N x K marise med binare elemener gi ved a (2.2) E X' = a' Y. Vi har videre (2.3) var = ( X BLU-esimaoren il en vilkårlig lineær - kombinasjon av a-ene, a'a, er gi ved a's. Beregning av 0, ved hjelp av (2.1) når er kjen, inne bærer inverering av K x K marisen fy,. Siden K vanligvis er svær sor, blir dee umulig i praksis. I C:61.-] uleder Prabhu Ajgaonkar e rekursiv beregnbar urykk for an når p,h oppfyller (2.4) P,h P, + 1 P + 1, + 2 Ph - 1, h. Under foruseningen D for alle får (2.4) formen ', + h Ph (2.5) p, + h h p, der 0 1* Pl. Med en roasjonsrae på P, en konsan varians, var X = a 2 og en roasjonsavsand på 1,får rekursjonsformelen for beregning av esimaoren ân useende 1) (Des Raj, El] side 161, og Dahmsrom, DI side 36.) a = A - " + (1 A k k NI ) k k + p(a k k - T17 1. ) :11 for k 2,..., N, med a = TT 1 A l 11 og A 1 - {1 + IA 1 - p 2 VX + Ak I for k r- 2,.., N. I) En srek over en observaor indikerer a den er lik den ilsvarende observaor uen srek, divider med de anall sampelsier den er ulede av.

8 8 Vi får da (2.6) N Folgende resulaer uledes i EI -1 og var a (cl 2 /n, 1.) N AN 5 A.-z.* lim A N (21X P 2 ) I:((l p 2 ) Ei - p 2 (1 40) p2 (d) Opimal roasion En ser le lim N var N Ain minimeres med hensyn på u for p fordi denne verdien samidig minimerer elleren og maksimerer nevneren. p vil alså minimere var ON i de lange lop. Eckler F8] hevder i denne sammenheng a de beyr lie for var Ç om Ak ersaes med A i rekursjonsformelen over. Opimal p for esimering av (3 og 6 er henholdsvis 0 og 1 når p,h > O. Når en skal velge roasjonsrae ved esimering av a, a + og 6, ma en derfor forea en prioriering mellom paramerene. (e) Andre korrelas'onsmonsre Rao og Graham foreslår i [9] e anne korrelasjonsmonser som kan være mer realisisk enn (2.5) når de er sesongvariasjoner, slik vi har i arbeidskrafdaa. De seer (2.7) p 4. = p i jp 2 1 for i = 0, 1,... og j -7-0, 1, 2, 3. Rao og Graham sier a variansberegninger for korrelasjonsmonsere (2.7) er forea, men de er ennå ikke publiser. Ideen med (2.7) er a p skal represenere den årvise korrelasjon og p 2 den kvaralsvise.

9 (f) Esimaorer Dersom p er kjen, kan A. -.. ca, (S.. a og + (a.. 1 f ) brukes som esimaorer for a ß Korrelasjonene (2.5) innsees ' ' da i marisen C". Disse esimaorene er imidlerid ikke opimale, men Dahnsrom [2, s gjengir beregninger som Paerson [73 har gjor og som yd6r på a de er lie å vinne i varians ved 4 finne BLU-esimaorene for disse paramerene når a er kjen. Vi foruseer her p p fas. Vanligvis vil p være ukjen og vil da ikke være noen esimaor. vil derfor førs og frems jene som sammenlikningsgrunnlag for andre esimaorer. Vi vil da kunne si noe om hvor mye som kan vinnes ved g bruke når p er kjen. De ville være ineressan å sudere egenskapene il den esimaoren en får dersom p esimeres og verdien innsees urykke for a. Den esimaoren som vil bli vurder her, er CPS - esimaoren 1) (se e.g. DahmsrOm): N ( 2. 8 ) a k k k - I 171) + (1 - c)kl ' N hvor a 1 = 1. TT 1. C er en konsan som fassees eer nærmere sudier av Œ. En esimaor som er foreslå av Waksburj og Pearl i er (2.9) k k - 1 k k ) D (c/k k '1 7,;;1". ) + k-4 ( - CD) hvor M ij 761I3 + 4* i, X M M + M. M. + M i.- - io j j oj. M m. oq M. M n, n, + 4 1) CPS Cenral Populaion Survey.

10 10 C og D er konsaner. Denne sise esimaoren er foreslå på inuiiv grunnlag for A dra nye av evenuell høy år - il - år korrelasjon. De vil 4 si a p 4 er sor i forhold il p i. Waksburg og Pearl [41 foreslår dessuen en modifisering av (2.8) for å få en esimaor som svarer mer il (2.6). Denne esimaoren kalles A- K esimaoren. Den er gi ved o (2.10) a k = a k A(p k " A k , 1 ). A er en konsan. (g) Generelle berakninger. Esimaorer for a og 6 kan også avledes av esimaorene for gi i (2.8) o7, (2.9). Disse avledee esimaorene vil også bli vurder her. For a idenifisere esimaorene, vil de bli usyr med de samme oppsymboler som de esimaorene de er avlede fra. Den enkle (usammensae) esimaor for a er N 1 I Rao og Graham E 9 j er omfaende effisiensberegninger forea for a og W under roasjon med gjenbesøk. De opimerer effisiensen m.h.p. C og abeller opimal effisiens relaiv il -at (henholdsvis T ) for ulike verdier av p, m og C. I Waksburg - og Pearl!VI og Gurney og Daly E3-3 er noen enkle effisiensberegninger for henholdsvis "q,"-esimaorene og "EP-esimaorene forea på grunnlag av (2.3). De er desverre ikke gjor forsøk på a undersøke robushe m.h.p. avvik i korrelasjonsmønser for disse esimaorene. Av de esimaorene som er nevn, er bare (2.8) i bruk. I C.P.S. i U.S.A. brukes (2.8) med C = 0.5 for alle grupper og kaegorier og alle paramere. 1 Sverige brukes (2.8) med 0.5 for kaegorien "i arbeid" C = 0.0 i f "arbeidsløs" 0.7 if " i Arbeidskrafen C varieres ikke fra parameer il parameer. (Se Dahmsrom og Malmberg F. 10 :1-121.)

11 11 E argumen som forer il den svake grad av fleksibilie i valg av C i eksemple over, er krave om samsvar de publisere abeller imellom. Som eksempel kan nevnes en o-dimensjonal abell med arbeidskrafkaegori kolonnevis og aldersgrupper linjevis. Med svenskenes sysem vil kolonnesummene og esimae for den ilhørende arbeidskrafkaegori falle sammen, men linjesummene vil ikke nødvendigvis falle sammen med populasjonssørrelsen i den ilhørende aldersgruppe. I de amerikanske abeller vil både linje- og kolonnesummer "semme". E liknende problem gjelder for valg av C ved esimering av f.eks. a og S. De opimale verdier for C er ulike ved esimering ay. a og 6 (sørs for 6). Dersom C-ene velges ulike, vil esimaoren for endringer i f.eks. sysselseingen fra forrige kvaral ikke semme med differansen mellom de publisere all for nivåer. De er imidlerid mulig ved forskjellige valg av C, å revidere forrige kvarals esimaer ved hjelp av esimae for 6. I de foregående er de ikke a hensyn il a uvalge er e o-rinns uvalg med forhånds- og eerhåndssraifisering. Under vurderingen av resulaene foran må en huske på a variansen er sa sammen av variansen innen de primære uvalgsenheer (p.u.e.) variansen mellom primærenheene. Dersom uvalgssørrelsen i hver D.u.e. skal bevares ma roasjonen foregå innen p.u.e.. Men da er de bare variansen innen p.u.e. som reduseres ved bruk av sammensa esimering. De er da vikig a vie noe om hva de er som bidrar mes il den oale varians, variasjonen innen p.u.e. eller variasjonen mellom dem. Dee er e emne som bør suderes nærmere. E anne vikig momen er a de er nær sammenheng mellom flying og skife av arbeidskrafkaegori, f.eks. ved a den som miser arbeid flyer for a få ny arbeid. Dersom adresse som vanlig skal være rekkeenhe, vil den nye som flyer inn, ilsvarende ofe ha arbeid. pa denne måen vil vi risikere å underesimere arbeidsløsheen. Folk som flyer, bor følges opp. Dersom dee ikke er mulig, er de kanskje bes å regne enheen som ap fra undersøkelsen. Til slu vil jeg nevne probleme med a individene ikke oppfører seg eer foruseningen om konsan klasseilhoreghe. E individ kan for eksempel gå fra en aldersgruppe il en annen under undersøkelsen. Ana dee skjer mellom idspunkene k og k - I og a vi skal esimere arbeidskrafnivåe i den sise aldersgruppen. Individe vil da være med k D* og i k-1. "ff. 1 men ikke i de andre komponenene av (2.8). En mae 4 ree dee på ville være å beregne alle foregående observaorer på ny,

12 12 under den klasseilhørighe som gjelder på idspunk k. Dermed ville korrelasjons-egenskapene bevares. Omkosningene forbyr sannsynligvis en slik framgangsm5.e. En villa da under esimeringen måe ha ilgjengelig rådaa for alle undersokelsene, mens en ellers kan nøye sea med A ha esimaorene for forrige idspunk sam rådaa fra forrige og ngværende idspunk ilgjengelige under beregningene. Svenskene har omal dee i Ell -1. De er alså svær vikig 4 gruppere slik a de blir få individer som gar fra en gruppe il den annen under undersøkelsen. En kunne la individe under hele undersøkelsen ilhore den aldersgruppen de ilhøre ved innredelsen. Dee vil imidlerid skape skjevhe i esimaene for sise idspunk. L Iaz effisiens-bere ninsrer for esimaorer for nivier oa endriner (a) Innledende merknader Jeg vil i dee avsnie søke a vise hva som kan vinnes ved bruk av roerende uvalg og sammensa esimering. Sammensae esima- _, orer i mosening il enkle esimaorer, brukes som fellesbeegnelse på esimaorer som gjør bruk av observasjoner fra flere idspunker ved esimering av parameerverdiene for e gi idspunk. Gevinsen ved sammensa esimering og ved roasjon vil jeg belyse førs og frems ved abeller over effisienser. Tallene er for en sor del hene fra ilsvarende abeller i DI [137, I:4:1 og [5]. Der hvor maemaikken ikke blir for kompliser, vil jeg ulede formler for effisienser. Dee vil gjelde esimaorer hvor observasjoner fra innil o idspunker er med. (b) Enkel esiaria La oss førs se på gevinsen ved roasjon uen bruk av sammensa esimering. En kan her åpenbar bare vinne noe ved esimering av endringer, 6. Vi har N1... I N I og

13 13 (3.1) var Tf 2 cov ( TT Ti) var var, i 2a 2 2(1 - p) Pa 2 n n 2a 2 7: ( 1 - (1 - p) p). n hvor p er roasjonshasiheen, a 2 var X og p c -2 cov(x ) X Vi vil ana a (2.5) er oppfyl. Se... op. Ts a p 1-1 "a. blir esimaoren forved uavhengige uvalg. Vi får (3.2) ea, S var (1 p) p. var "E Vi ser a ved små p oçr sore p er vinsen ved roasjon beydelig. Vi kan samidiq, se a vi fir e ilsvarende variansap ved esimering av og = aa 1 2 under roasjon: var = var ( Tf ) < (1 + (1 p) p) 2n (3.3) e,) 17. (1 (1-1.1) p), hvor NM. "f 1(a + a + 1 ). (c) Sammensa esimering La oss se pa de enklese av de sammensae esimaorer, nemlig 0.P.S-esimaoren for o idspunker, N (3.4) a -I- 11 TT. -.) -1- (1 C)kN1 k - 1lk - k -

14 1 14 Vi får,med X 1 - p: F 21 1 p 1 p - (3.5) var a n nx + n n n fix ( 1 C ) 2 i-( 1 - C) ( ) cr2 n n n n 02 r C ( pp) + (1C) (1 - Cpp) i. 11 CPS-esimaoren for endringer blir: (3.6) 1(;; (1 - C) ( ). Ni merker vi oss a x + i l -11 og a N' og er uavhengige. Tilsvarende spales -I\Ï' opp i uav- 1 1 hengige addender: Vi får N = X if '1?f (3.7) var var( 2 (C X(1 - C)) ( - ) (1 - C) n - 1 N I )) - 2a 2 - x n L(1 - (1 - C) 0 2p ( "" C) 2 p x.1. Når en skal vurdere en esimaor, er de vikig både a se på hvor mye en vinner og hvor mye en kan oppnå ved 4 forbedre den. Eer Ill], s. 157 og 158, har vi (3.8) var p- p 2 2 a._ n A (3.9) var -7: 1 - p 2q2 1 - pp n

15 15 Effisiensene av de opimale relaiv il CPS-esimaene blir: (3.10) e(a s P P (1 p 2 p) X (2 pp.) + (1 C ) X (1 - (pli) (3.11) e(8, X(1 - P) - PP L. (X PC) 2 (1 - p) px For i se hvor mye som kan oppnås i forhold il de enkle esimaorer, ser vi på effisiensen il de opimale relaiv il de enkle. Av (3.8) og (3.9) får vi (var 2/n): (3.12) e(&, F) 2 - p 11 - P 2 11Z$ (3.13) e0s', 75) 1 PApp -1 - PP) (1 - Ap) (I 4' E-- ) -p Av (3.12) kan vi finne den opimale roasjonsrae ved esimering av a (se F- 1T] s. 157): 1 - (3.14) p (1 I, (1 - p 2 ) 2 ) op 1 > 1/2. De som vinnes ved 4 bruke CPS-esimaorer isedenfor enkle, urykkes ved n (3.14a)e(Œ, a) 11. var a -07, n (3.14b) 6) = var De viser seg a ved opimal valg av r i C.P.S.-esimaoren, si blir 'L Er vi alså heldig med valg av C, vil esimaoren W ikke kunne forbedres når vi begrenser oss il bruk av daa fra o observasjonsidspunker. Se r' 1 - C: d var j C. dc' - 211(1 - C'p) - p) + 2 C 2 -I Seer vi dee urykke likoog losermhpcfår vi: C' 1 - p op p(1 p)

16 16 eller (3.15) C op 1 - C'0 Ap 31(1 p) + Seer vi inn i urykke for var çc's', så finner vi a (3.16) mf (var var A noe som bekrefer påsanden over. Tabell 1 og 3 gir effisienser for CPS-esimaorene, a og 6, relaiv il 61, g, a og "E for ulike verdier av C, p og p. Ved å lese loddre, vil rcbushe overfor variasjon i p for ulike C og p kunne avleses. Rao og Graham L 5 j, s. 498 og s. 503, J sar formler for var a og var 6 når alle observasjoner fra en løpende undersøkelse brukes. a og 6 beregnes da eer formel (2.8). I abell... r, 1 og 3 er også e(a, a) og e(6, -6") beregne på griinn1ag av Rao og Grahams formler. Disse allene kan også brukes il i se hvor mye som vinnes ved å a med observasjoner fra fler enn o idspunker. Ana a C velges separa for esimering av a og 6. Som nevn i avsni 2 (g), vil en da kunne revidere foregående esima for a ved (3.17) a a. De foreligger lie om kvalieen av esimaorene med oppsymbol o og s. (Se (2.9) og (2.10).) Tabell 5 i gir effisienser for 0 o ooqd relaiv il -ciog Tabell 2 i 4-i viser a de er bare for r- esimering av årlige endringer en vinner noe særlig ved bruk av esimaoren ga i ( 2.6). 1 disse abellene er folgende korrelajsonsmonser ana å gjelder Korrelasjon mellom påfølgende observasjoner År lig korrelasjon "Civilian 0.8 labour force" "Agriculural employmen" "Unemployed" OOOOO O

17 17 1:12, abell 1, side 9, går de fram a den sørse gevinsen de regner med a oppnå ved bruk av sammensa esimering, er ved esimering av kvaralsvise endringer i arbeidskrafen. Der er gevinsen 11 prosen i forhold il -67. For de o førse norske undersøkelsene okober og d3sember 1971) ville de var lie jenlig å bruke sammensa esimering av paramerene for desember. En ve nemlig lie eller ingening om korrelasjonsmonsre for observas7lonene. De er imidlerid vikig a de blir lag vek på esimeringen av korrelasjonene slik a disse esimaene kan danne grunnlag for å avgjøre evenuel hvordan de sammensae esimaorer bor se u.

18 1 H 4-JO) 00 Cf) NI" r-i Cn r r) oo c CV CV C 1 oo 0 q:) Lf) Cn (31 NI 18 CO r OC) CNI r-i Q0 c,..1 r, o ID cp,.1-r Nr Cq CO L').10 V) 0 LI4 co 01 r-1 Co) CY) r-i Cn CY) Cn (r) 00 CP) 00 (NI CV 01 C%1 0\ 1-1 r-i Cr) U')...1" CV 01.. CV! CV Lf) if) r.-1. r--1 r-1 0O I Q. %io F C11 VD CV CV (Y) CT\ ON mc o mo rn ON CV CV / CO C'") r-i N 00 CO 1/40 o 00 r. 00 cn m e-4 ON 01 N rh ON 1/40 1/40 Ce) Cf.) 0 00 r In.1- cal if) r oo r--4 1/40 Lf) CV CN 0 r, CO V) CO CO e \C) CO CN 00 C'n (NI V0 CO C) rlrq r3/4, Cn e Crl CY) r-1 Cr) v-4 Cn r--1 CV mm. 01 C.4 0 O'N CO Ce) 01 r-1 CV 00 1/ r - Q CO 1/40 ON 4" CV CV r-1 c4 c4 CV CV 4) 0 H,./* ci P (I) CV > i-1-4 PCV O 0 CU 0)4_i CN S.0 00 L-.1 \JD H 0 r-i r-i 01 r CT\ 1-4 O r- r W C!) CO 0.) 10I 4-) (I) Cn 4_J In 0 m (NI %.o 01.0 O'N Lf (1) C'n o " s 00 Ln.0 P 41Q) r-1 CY) r-..1 1" CY) I-4 P 0 CD 0) 0 Ln 0,4:) If) O CV el) in 0 f", r - P CO 1/ I",Lf o.4 Cr CO CU (/) 0. N,C) 1 ). CV r-1 N CV C4 CN1 (NI c,4 Cri 4.) C4 4-1 H Lf) Ln CO Cr) r I 1' Lr) c c\1 4/1 0 $.4 (:) r I 4-) 01 ON 00 CT\ T-4 r,-- 00 L1-1 r-i ocd 4-4 Q) CV CV r-i CV CV r-i r4 (0 O T-4 04 P E 0 ri 4-1 ^ 'O P ON-r, Q) oo Ln 0 Q) Q) 00\0\ 0 01 ON 0 'i 0 in r--4 r-i 4-4 Ca 00 c1 E T-4 r I CO 4-1 P 00 1`, Cr) n mo 0.) idc) r4 4-4 CV CV Cr) CO) C1/41 Cr'l O OD 04 g r-1 01 C) 0 01 CD Ch. m 0 00 ON CV CO 111 C 41 1/40 ON 1/ CD 0\ 0 r-i CV 1/40 1/40 1/40 CV Cy) CV CV CV P ^ O 0 CV i") 1/40 LnO col r -,01/40 r. m W OO) r r r r-i CO " 4) CI) C\1 Lf) r--i Ir,1* CY) r-i (0 H..1 C CO P > P r4 0 CO 0r--4 r-i 4-4 4J rl g 0 an I", 00 r4 r-..4 r C1/41 0 CO Q) ) 1.1 CO Q) CO r-i H W 4) 00 0'1 ON m 00. C1/41 L.41 CJ r-.4 C1/41 Ln oo C111 Cfl o O 00 I", v.-4 1/40 CV N 0 1/ CO CA CO N CV 00 CV CO 1/40 00 C1/ CV 00,..1" CNI O\ mo o- 0 0 r--i ce) 0:) C'n 00 U1 Cvl ON 1 CV CV 0 m CV r C-41 CN1 OC).. in 0 C.41 0\ a, Cf44 r-.4 CV 00 ON CNI 01 r-) 00 1/40 1/4C) 111 1/40 c I m o Ln cr ON CV CV CO ON ON ON CO ON 0 CO CO 1-4 r, 0 00 oo. 4 in Ce) r4 00 CO Q) 11 n U 11 Lel CO Q. 0

19 19 Tabell 2. Opimale verdier for konsanen C, i CPS-esimaoren for nivåer, baser på observasjoner på o idspunker T 1/2 1/3 1/ 4 1/5 1/6 1/7 1/

20 4 ) I C") 1/40 I %.(:) CV an C N cf.) (NI (-NI oo (NI cn CN CN.0 r-1 CNC4 CN CD n4 0 %JO 1 1%- cs, a, 1 44.) 1 CN r f) CN Co Q Ln. r-!.4 r-i 1/40 1/40 I s.0 r...1 I.1" CV 0 n4 1-4 r-i 01 1/40 I COI CNI 0 r-i CO r.-4 0 I 0 r- 0 r- C") Pi I r cn 1 0 ON r, " /". N- N. 1 CV 1/40 I CO if) r-1 cn N e mp cn,/' ON CV 11) C) r..4 I QCo I L LrcNLr c:n 1,4 r-,4 CO 1/40 I CV C) 1/40 1 C,)0 I VI 1/40 i 1-4 CO 0 1/40 0 o Cl o 01 I 0 CY) CO 1C1 4,o 1,1 vri r-i r-i 4, 4, a) 4, w I bi) 1" Lf1 01 N. I CV,1 CV 01 0, eu P-4 C() Lf) s CV 1/40 I-4 P C..) r r-i r--1 r-iq P,G) 0 Ci CO 1/40 i r". I N CO I CV 01 I C") CO I 4.-) 4) in 0 cn P r,4 1,4 vr4 P c (I) P E CO 4) s r4.4" In 0 ri cn) I C) 1 C.1 Ln r4 Ci) n4 0 P Q) 1,4 rrl rei 44 P 4-4 CL) 4) I 0 0 i cni R QCO Q I,- 0 11)..1" fil O r -1 L4-1 Ca. Ci) a) P 4) " ba cd r--) 0 n v-4 Crl $.4 r4 $.4 04-J bo s-1 o o co. Ln 0 I CV 0 %0 I cœ. C C') I r-1 c,r, r. 1 r. L.) I 0 Ch I r--4 C0 QIc-4 QI Q O r-.4 r,1 r-1 1 r 1 lf) 4.) e r--4 C31 1 1/40...1" Cri 1 r 1/40 i N- C 11 1/40 f", 1/ I r-1 C") 0 O N-0 1/40 l' n4 0 cn (NI In 0r--1 0 _ r) L11 om m Q 0 QI in 1 0 Ln en I-1 r-1 4-) o ;NI Ln r..4 4) ri Ca P `,^1 0 (n 'CI 4.1 mim i CC) ON-0 1/40 r ) 7)4 I 0C.1 v-4 Cfl ill I r4,0 014 CO ON-CO 4) c9 U) 4) co 4-4 I-4 0 E-4.4 ci) c-4 1 r 1,4 m oi r-1 f) C) 1 Cf) rs, 1 rl se 1/40 N. I 0 Cf) 1 CT 0 1 1/41 ) rs. "-A N Cr/ rrl 0 vri CV li WI 40 N CO cr,.... 0_O en".1

21 21 Tabell 4. Opimale verdier for konsanen C i CPS-esimaoren for endriner baser p observasjoner på o idspunker Markovkjedemodellen. Variansber,71inger for esimaoren p. = N../N. (a) Modellen Vi skal ni se på følgende modell: X er en oilsands homogen markovprosess som observeres eer en roasjonsplan på idspunkene T = {0, 1,..., N}'. Som for, se X i 7- observasjonen av i-e sampelsi på idspunk ; i e ' e T. Sampelsiene er nummerer slik a 1) I = {J i- 1,... n},j = n 0 er roasjonsavsanden og p er roasjonsraen. 1) Ex.] de sørse hele all < x.

22 22 En har videre (4.1) a E T; 4-1 = a (P11 p01 ) P01 hvor a -7: EX P(X 7-7 1) og X har overgangsmarise, P P 0 01 P P34. Eer appendiks 1 har den lineære differenslikning (4.1), generell løsning ( Pol P 4.2) a (10 P 1' Pll - P 01 Med noasjonen fra avsni 2 og under forusening av a sampelsiene observeres uavhengig av hverandre, kan Iikelihooden for observasjonene nå skrives: N N" N (4.3) A a - i (1 a, )0N.0 H u 1 N. 0 ki - a ) N.. ij hvor N.. - E, N... ij T 13 Vi har N.7. n - ol o N" orn. li N" - 1 e T' fo, , N - 11, og (E {0, 1 }) N (4.4) E Nii E {1 (N ) 'n 1- I i, j e E e T' N - I) n X N hvor X 1 - Å. Vi anar a er e hel all. Vi har (4.5) n når - n 4 {I n X ellers. 1 ' c T'.

23 23 E suffisien observaorse er (4.6) ( o N 1,1 1Ṇ" T', Noo, N ol' N 11 ). Vi seer N E N = N. N.. J. i 11 lo T' (b) Taylor-uvikling av X/Y. - La oss uvikle funksjonen f(x, y) x/y i en Taylorrekke om (EX, EY). X og Y er sokasiske variable: X EX 1 EX Ey (x - Ex) - Ty5-172 (Y EY) {EY-- 1 2{EX 1-0 (X - EX)} 2 (Y EY) (X - EX) ( EY)1 iey i- 0 1 EY) (Y EY), 2 der 0 I, 0 2 c E:o, I]. Hvis vi nå ser bor I) fra de o sise leddene, får vi ilnærme: X EX Y EY (4.7) XXEX,2 var - Y EY 1 EX 2 EX Ey2 var X i- var Y - 2coy (X, Y). EY Dersom vi skal bruke dee il a finne e ilnærme urykk for var(n 11/ N 1.) så får vi alså a beregne var N var N o g coy N ). 11' 1, ' (N11' 1 1) Vi vil mae vende ilbake il disse leddene for å finne graden av nøyakighe i ilnærmingene.

24 24 (c) Momnbereniner Vi har, (4.8) EN.. = E E N.. = E P.. n a np.. a, T' T' (4.9) EN 1. E E N 1. = E n a = na, T' T' hvor a E 1; a. T, n Folgende resulaer 1) uledes le av resulaene i appendiks I: var N 1. = n a (1 - a ), (4.10) coy (X r9 X s ) = a k (i - a k )4) lr sl k r v s. Når vi skal beregne var N 11, var N 1. g coy (N 11, N1. ), er folgende urykk mer bekvemme: N r. E '11 Xk. X k + I e Tv KeI r 1 o7, N 1 E E X k. T' k E I ni + I Vi fir (4-11) var N.=E z Ecoy (X, X ). 1* k- is r, s e To k e I r AI 12+11E1441 s s + 1 1) avb = sup(a, b), a A b = mf (a, b)

25 P 25 Seer vi K for den indeksmengden som horer il summen over, si kan vi videre skrive: (4.12) var N 11 = E cov(x X X kr kr ls1s + 1 (4.13) coy (N11, N 1.) = E coy (X X X 13 kr kr + ). 1 Se så m rs = # {1 r AI 41 r + 1 AI s s Siden siene er uavhengige og idenisk fordele fa, vi ni: (4.14) var N 1. E m coy (X, X), r, s e T' rs s (4.15) var N II = E mcoy (X., X. X s + 1 ), rs r r + 1 s r, s T' (4.16) coy (N 1, N 11 ) r- E mcoy (X r X r + 1, x s ). rs r, s e T' La oss beregne de o sise kovariansene over. Vi har E (X. X1 ) = P(X = X + 1 = 1) = P(X = 1 I X = 1) P(X = 1) L.: a 11 Ana a r < s. Da blir.x.x. X= I) r r + 1 s + 1 ) = P(X r = X r + 1 = X S = X STI

26 26 P(X. = 1 I X ::: 1) P(X r. 1 1 X + 1 Tfl k + 1 1) P(X k + 1 1! Xk1) P(X k 1). 2 (111 - k - 1) p P r f s, ar p r 11' r s, IlvorPk =fp il (k) },k=ras og m=rv s. Ni er (k) (k) k (4.17) P - P p i Dee kan vises slik ved induksjon: (4.17) er rikig for k Ana a den er rikig for k. Da er (k + 1) + (k) (k) (k) (4.18) p 11 - P01 = P10 P 01 4* Pll p 00 P 01 - P 01 (k) p 11 (k) (k) (k) (k) = P 01 - Pll P01 Pll Pll - P01 4. P01 P01 - P01 P11 (k) (k) k k + 1 = (P 11 - P -01 ) (P 11 - P01 )*P 17.1) =P Analog med (4.1), har vi når s r: (s r) (s r), (s r) s - r (s r) (4.19) a s a r (1) 11 Pol pol arp Pol Vi fir ni ved å bruke (4.18) og (4.19), (4.20) coy (X r + 1 X, 2 (s r 1)2 + 1 X s ) -= a rp11 p 11 ar as P ll T) k - 2, (nik 1) m k - 1 1) (m k 1), - k + 1p 01 og.1: a k (1 - a k + 1) P112 pl m -k- 1,k=rAs<rvs: m (4.21) var (X X + 1 ) 74 a p 11 (1 - a p 11 ).

27 27 Videre har vi E X r (s-r-1) a r P 11 P11 (r s) sir, as. PllPll s + 1, 'a p e P 11 r s-r-1 EX X r i. 1 EX s ar. a s. p 11 \ ], sr i ap [CC.p s-r (s-r) s 11 s +p01 J, s < r. Dee gir a (1 - ar + 1) pll p s-r-1, s r + 1, (4.22) coy (X r X r + 1 ' ) s a (1 -as r s )pp s < r. 11 (4.7) - (4.9), (4.14) - (4.16), (4.10) og (4.20) - (4.22) gir oss nå: N var 11 A, m 1 N. cov (X X X X ) + r, s c T' rse7;737 r + 1 r' s + 1 s n 2 p 2 (1, 2.n w. coy (X X ) s, r npia n a cov (X r X r + 1, x s ) E rs 2 F-ap (1 -ap )+p a (1 -as)-p11 2 as(1 -c s )] s,... s 11 e T' T1 2 Œ2 s s Emrs 2ak(1a s f r 2a2 n E: p11 k + 1) P Ir sl-1 2 P 11 a k (1 - a k ) Ir si - 2 p li 2 a (1 - a k + 6(r, s) ) P lr s! - 6( r, s):1, k = ras,

28 28 ifl rs 2 s T' n a 2 s p( a p ) s 11 in I + E rs 2 2 strna si [p - a ras + 1 ) + (1 - a ras ) 2 s) (1 - a ras + gr,50 ). PI Pll aras. Vi har for r < s: -1 (4.23) p (1 - a )(1 - a rhs) - 2p-6(r, s) (1 - a ras + 1 ras + 6(r, s P a r + + 1cc- 2p / (1 - a r + -1(- L ( I r p(1 ar )]. Ved å anvende resulaer fra appendiks 1 på den kjeden vi får når ilsandene 0 og 1 byes om, ser vi a vi får folgende urykk for (4.23) når r < s: For r s kan (4.23) skrives slik: -1 A (1 - a s + ) + (1 - a s ) 2(1 - a s ) p[1 - a s + 1 ) P (1 - p11 ). Vi får nå: Nu N - 1 np (1 - a p N p 2 (1 - r 1 ) r-s1 (4.24) van-- = E a + E m r P qa -a ). N 1. r 1 r < s m rs2 s r a p 1 Her er jo m rs r. 0 når fir sl -- c, hvor c er roasionsavsanden. Med c 7.1 og roasjonsrae p blir (1 - rs 0 m { a )n for Ir s < ellers 1

29 29 Bruken av denne markovmodellen krever a (4.2) er en god ilpassing il virkeligheen for de idsrom som vi bruker under esimeringen. De esimaorene vi vil komme fram il, vil kunne kalles glidende esimaorer i de de bruker observasjonene fra idspunkene s I,..., - 1,. s kan kalles esimaorens lengde.. Konklusjoner LalLimjajaa.:21.1mag Ved g a i bruk den sammensae esimaor a slik den er gjengi ' i (2.8), kan sorre presisjon oppnås ved esimering av kvaralsvise endringer og nivåer. Gevinsen kan bli sor ved esimering av endringer, mens de er mindre å vinne ved esimering av nivåer. Tabell 1 og 3 gir oss de gevinsene som kan oppnås. Avvik fra foruseningene for beregningen av effisiensene svekker imidlerid fordelene ved sammensa esimering noe. Slike avvik vil bli behandle nedenfor. De er ikke dokumener ilsrekkelige fordeler ved de andre esimaorer som ble foreslå i avsni 2 (se (2.9) og (2.10)) il a de vil bli foreslå bruk. Nærmere sudier av disse esimaorer anbefales. Ved fasseing av roasjonsraen er de idligere nevn a de rengs en prioriering av de ineressane paramerene. Dersom en vil ha observasjoner av en og samme sampelsi med e års mellomrom, ma imidlerid roasjonsraen være mindre enn 1/4. Dee er nødvendig hvis en vil beregne den årvise korrelasjon for å kunne a hensyn il sesongvariasjonene under esimeringen. Esimaoren (2.9) vil ikke kunne brukes uen a observasjonen av samme si foreas med e års mellomrom. ArVIse endringer vil kunne esimeres sikrere med en roasjonsrae mindre enn 1/4. Fasseing av roasjonsraen påvirkes også av momener som ligger uenfor rammen av dee noae. Selv uen sammensa esimering, er de en beydelig gevins ved selve roeringen når endringer skal esimeres. Effisiensen il den enkle esimaor for endringer ved roering relaiv il samme esimaor uen roering er gi ved (5.1) 1 - (1 - P) P Av abell 1 ser vi a gevinsen ved sammensa esimering av nivåer aldri er beydelig unnagen ved en så høy korrelasjon som 0.9 og roasjon 1/2. Dee vil neppe oppre i praksis. Derimo kan gevinser ) Som nevn er opimal roasjonsrae 1/2 for sammensa esimering av nivåer, 0 for endringer og 1 for årsgjennomsni.

30 30 på opp il 40 prosen oppnås allerede ved korrelasjon 0.5 under esimering av endringer. Siden de bare er ved esimering av endringer sørre gevinser oppnås, er de rimelig a roasjonen ilpasses esimering av endringer. Ana a en vil esimere endringer i arbeidssokken. La oss si a korrelasjonen er 0.7 og a en har besem seg for en roasjonsrae på 1/6. Gevinsen som da kan oppnås, er 60 prosen dersom en velger konsanen C lik 0.7. Dersom en bruker sammensa esimering av nivåe, med denne konsanen, ser en a en risikerer variansap. (C.7: 0.6 gir en effisiens på 0.96 og C 7: 0.8 gir 1.26). (b) Arsaker il reduksjon i varians evinsen Fra avsni 2 husker vi a følgende momener vil gjøre variansgevinsen mindre enn de som ble nevn i avsni 5(a). 1) Roeringen skjer innafor de p.u.e. (primære uvalgsenheer). Dersom variansen mellom p.u.e. dominerer, vil de bli lien variansgevins. 2) Frafall. (Individer som flyer, mg følges opp.) 3) Endring av gruppeilhørighe under undersøkelsen. (Individer kan grupperes eer kjenneegn ved innredelsen dersom dee ikke skaper for sor forvenningsskjevhe). 4) Opimal valg av konsanen C begrenses av krave om konsisens i de publisere abeller. Virkningene av punkene 1 il 3 ovenfra vil svare il a korrelasjonen, p, vil reduseres. En vil derfor av abellene kunne se hvordan effisiensene påvirkes. Variansgevinsen beholdes for endringer mens de for oppsår variansap for nivåer. (c) Valgav konsanen C Endringer esimeres ved ak a hvor a er gi ved k k l k (2.8). C i (2.8) box, kunne velges fleksibel eer beregning av korrelasjoner for de ulike grupper og kjenneegn. Svenskene har funne a korrelasjonen førs og frems varierer eer kjenneegn. De er nesen ingen korrelasjon for kjenneegne "arbeidslos", men høy korrelasjon for kjenneegne "i arbeid". (Se r.) De lar derfor C variere med disse kjenneegnene, mens konsanen ikke varierer mellom de ulike alders- og udanningsgrupper. På denne måen vil kolonnesummene semme i de publisere abellene, mens linjesummene ikke vil semme med oalen. (Jeg iv

31 31 enker meg her a vi har "arbeidsløs" osv. kolonnevis og "15-20 år" osv. linjevis.) (d) Revidere all for nivåer En kan gi avkall på sammensa esimering av nivåer og publisere revidere all for forrige o kvaral ved formelen Œ k 1, revider r. a k k 6. På denne måen unngår en a de publisere endringer ikke semmer med differansen mellom de publisere nivåer. Dessuen vil åk 1, revider sannsynligvis ware e sikrere esima enn a k 1* I [123 er de beregne a merkosnadene ved innføring av esimaoren gi ved (2.8) er S.kr pr. år, mens en reduksjon av variansen på 2-3 prosen ved å øke uvalgssørrelsen med individer, vil kose S.kr pr. gr. De må nevnes a svenskene bruker månedsvise undersøkelser. Overgangssannsynligheer vil mae esimeres med esimaoren N1./N.. De er vanskelig, av (4.24) 4 si hvordan variansen påvirkes av 3 a. roasjonsplanen.

32 Referanser 32 El: Des Raj (1968): ".ȧmlia " Mo. Graw-Hill, New York. [2] Dahmsrom, P. (1971): "Sampling and esimaion for Surveys on several occaions - a review." Saisisk idskrif, 9 (1), Gurney, M. and Daly, J. F. (1965): "A mulivariae approach o esimaion in periodic sample surveys." Proceedinp of he Social Saisics Secion, Amer. Sais. Assoc. 1965, [4] Waksberg, J. and Pearl, R. B. (1964): "The Curren Populaion Survey: A case hisory in panel operaions." Proceedings of he Social Saisics Secion, Amer. Sais. Assoc. 1964, E Rao, J. N. K. and Graham, J. E. (1964): "Roaion designs for sampling on repeaed occaions." J. Amer. Sais. Assoc E:6:3 Prahbu-Ajgaonkar, S. G. (1968): "The heory of univariae sampling on successive occaions under he general correlaion paern." Ausral. J. _Sais., 10, [7] Paerson, H. D. (1950): "Sampling on successive occaions wih parial replacemen of unis." Sa. B, 12, 241,255. E*-"J 8 Eckler, A. R. (1955): "Roaion sampling." Ann. Mah. Sais., 26, [92 Dahmsrom, P. og Malmberg, S. (1970): "Forsok med sammensaa skaningar i A.K.U." P. M. från Saisiska Cenralbyrån Uredningsinsiue, [103 Malmberg, S. (1970): "Korrelasjonsberäkningar i arbeskrafundersäkningarna (A.K.U.) 1970." Resularedovisnin,F fifiajl.2 E MIE, 6. 11' Lii : Dahmsr5m, P. og Malmberg, S. (1971): "Uredningsarbee r3rande sammensaa skaningar i A.K.U. "P. M. från Cenraibyrån, Uredniusinsiue, [12 ] Kulldorf, G. (1963): "Some problems of opimum allocaion for sampling on wo occaions." Rev. of he Inerna. Sais. Ins., 31,

33 33 Appendiks 1. Noen urepilinpr for markuhjeidemodellen. X er en o - ilsands markovkjede med overgangsmarise P og ilsandsrom, E = 11. Vi har EX = a = P(X = 1) var X = a (1 (A.1,1) a I = EX 1 = EE(Xpy = a E(X 1-1 K = 1) (1 - a ) E(X I- 1 X :0) = a Pll (1 - a ) P 01 = a (P11 - p01 ) P ol, EX X I- 1 = P(X = X = 1) i- 1 "Piv coy (XX i- 1 ) =al) - a a 11 1 "4 a (1 - a ) (p 11 - p 01 ), p(x 1 ) (p 11 l a (i - a ) 'a +1 (1-a +1 ) Differenslikningen (A.1,1) kan loses. Se P 01 P. Differens - likningen blir da (A.112) a I..7" a P P01. Den homogene likning a 1 = a p har losning a a p. Dersom f() er 0 en parikulær losning av (A.1,2), ve vi nå a den generelle losning av (A.1,2) er a = a o p f().

34 34 Ng er f() 1 - pol 1 - P en parikulær losning. Den generelle losning blir derfor 1 - p a o p + p p Når p < 1, blir P lim Œ l p

35 35 Appendiks Forsok a finne BLU-esimaorer i markov rosessmodellen når a21. 21LEyeres_2111LIilmIm Vi skal se pa modellen i avsni 4 med T {1, 2 }. Av (4.3) ser vi a likelihooden for observasjonene kan skrives ( (A.2,1) A a (1 - a )INO N11 n NO0 1 ( )2 () 1 P N10 Pola 1-e 11 L-10 '01 ' Rif Eer appendiks I ve vi a a2 a 1 (P11 P 01 ) 4. 1)01. Vi kan see opp følgende sammenhenger mellom de observaorene som går inn i urykke for A: 1 N 1 1 N 0 7. N + N' 1.Il' r. n - N - N' 1* 1 l' N 10 N 1* N 11' (A.2,2) N -7- N N 11' N 00 - N11 - NO1 - N10' N"im 021 Som for er p roasjonsraen, og X 1 - p. Vi har ved (A.2,2) uryk alle observaorer i likelihooden (A.2,1) ved observaorsee (A.2,3) ( N N N N. N"). 1 l' 1., 11' 1, 2 1 (A.2,3) er derfor e suffisien observaorse for paramerene i modellen. På grunn av de re lineær uavhengige releasjonene: p. 4- p. io 0, 1, (A.2,4) a2 a 1 (1311 p 01 ) p01, så kan våre seks paramere uledes av re vilkårlige av dem. Vi skal se på BLU-esimering av a op a. De mg nevnes a esimaer for 1) l' p og p oo ulede av BLU-esimaorer for al pog ikke nødvendigvis ' a2' selv er BLU-esimaer fordi sammenhengen (A.2,4) er ikke- lineær.

36 36 En BLU-esimaor for en parameer eller en lineær kombinasjon av paramere i modellen mg were en lineær kombinasjon av observaorene i de - suffisiene see. La oss se på BLU-esimae & av a. a ma ha formen: &2 r: al 1N1 ai2n1. + b Nll 1- CI 2 N 1 C 2N *1 A 61 2 skal were forvenningsre, beyr a (A.2,5) Ea 2 r. una 1 a 1 + Xna 2 a 1 + Xnba 1 p a 2 + unc 2 d 2 = n(pal al 1- Xa 2a1 XiDal Pll XCla2 XC 2a2 ) a2. Her har I g jcr bruk av: EN11 %. ;]:(N 11 1 N 1, ) E(N ) Xa I p 11. Dersom (A.2,5) skal gjelde far alle al, a2 og. pll' ser vi a vi må ha ua 1 = -Xa 2' XC uc 2 og b O. Koeffisienene a 1 og C 1 kan le besemmes ved hjelp av en kjen sening som sier a en BLU-esimaor er null-korreler med enhver ikkeriviell forvenningsre esimaor av O. N - N og N N. er slike ikkerivielle esimaorer. Regningen for besemmelse av a og C er gjor * 2 1 " 1 1 i f.eks. L.: 1 :1, s. 156 ff. Av (A.2,5) ser vi også a de ikke finnes noen BLU-esimaor for By nemlig u P11* Ea med E P og a på høyre side og berner]< a vi da mg ha Xbal -7= 1 for alle a1,noe som er umulig medp11, for fas p. Ved lineær esimering kan vi alså ikke nyiggjøre oss den informasjonen son ligger i N II il å forbedre esimaorene. Dee skulle yde på en vesenlig uilsrekkelighe ved lineære esimaorer. Resulaene over kan yde på a dee gjelder når de er en ikke-lineær sammenheng mellom paramerene.