Matematikkundervisning og problemløsning Fag: PPU4225

Transkript

1 Matematikkundervisning og problemløsning Fag: PPU4225 Studentnr: juni 2004 Sammendrag Problemløsning er et sentralt begrep i de senere års betraktninger og studier av hvordan man i best mulig grad underviser elever i matematikk. Her ser jeg litt på selve begrepet og hva det innebærer innenfor matematikk, samt diskuterer hvordan man kan bruke problemløsning for å stimulere til økt læringsutbytte i matematikken. 1 Introduksjon Learning to solve problems is the principal reason for studying mathematics. Følgende ble uttalt av National Council of Supervisors of Mathematics i USA. Jeg føler dette uttrykker en svært viktig essens i matematikk og hvordan man anvender matematikken innen problemløsning. Matematikken er ikke lagd for å løse kjedelige isolerte standardoppgaver i hopetall, men er primært konstruert for å være et verktøy for løsning av kompliserte og interessante problemstillinger. I denne oppgaven tar jeg for meg belysninger av matematisk problemløsning sett fra et undervisningsperspektiv, og ser på hvordan dette kan utnyttes til å motivere, samt øke elevers læringsutbytte. 2 Problemløsning Hva er egentlig matematisk problemløsning? Er det ikke problemløsning vi driver med når elevene løser oppgaver fra lærebøker og lærer å bruke stoffet de lærer? Dette viktige spørsmål, og det finnes nok mange definisjoner på hva problemløsning egentlig er. 1

2 Jeg fant et bra sitat da jeg gjorde litt søking på nettet om fagfeltet, hentet fra [Har67]. I have never done anything useful. No discovery of mine has made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world... Judged by all practical standards, the value of my mathematical life is nil... The case for my life, then,... is this: that I have added something to knowledge, and helped others to add more; and that these somethings have a value which differs in degree only, and not in kind, from that of the creations of the great mathematicians, or any of the other artists, great or small, who have left some kind of memorial behind them. Forfatteren anser tydeligvis teoretisk matematikk svært langt fra den virkelige verden, og ser ikke noen åpenbare forbindelser mellom den rene teoretiske matematikken og hvordan verden utenfor virker. I dag vet vi jo at det er mye av den såkalte rene matematikken som brukes i bl.a datamaskiner i form av f.eks boolsk algebra, men problemstillingen er nok i høyeste grad aktuell i dag og, spesielt innenfor skolen, der mange elever synes matematikk er virkelighetsfjernt og uten nytteverdi i deres daglige liv. Senere i denne oppgaven, se 3.1, diskuterer jeg hvordan problemløsning kan være en brobygger til å bygge opp et matematisk verdensbilde for elevene der de er i stand til å se matematikken som et viktig hjelpemiddel for hvordan verden rundt dem fungerer. Leser man litt rundt omkring i forskjellig litteratur om matematisk problemløsning, er det enighet om en del, selv om man kan finne mange forskjellige definisjoner. En av de grunnleggende kjennetegnene ved problemløsning er at man angriper problemstillinger der en løsning ikke nødvendigvis er åpenbar. En viktig del av problemløsning vil dermed være å utforske og finne en vei fram til løsningen. Forskjellen fra en rutineoppgave der man umiddelbart vet hva man må gjøre i form av en bestemt algoritme (f.eks finn 3% av 163, vil en problemstilling når vi snakker om problemstilling ofte kunne angripes fra flere innfallsvinkler, og dermed blir også en viktig heuristisk del der man må søke gjennom det man kan og bestemme seg for hva som er aktuelt å bruke for å komme fram til løsningen. En fellesnevner ved problem man bruker i forbindelse med matematisk problemløsning vil være at veien fra problemet til løsningen ikke er åpenbar, og at man må benytte seg av en god del utforsking og eksperimentering for å i det hele tatt komme fram til en vei til løsningen. Selvsagt vil nok dette avhenge av kunnskapene til den enkelte, og mange vil nok kunne løse problemer med letthet, mens andre igjen vil måtte bruke lang tid for å kunne komme fram til en løsning. 2

3 Et viktig aspekt som karakteriserer problemløsning i forhold til standard oppgaveløsning, finner man bl.a eksempler på i [JMS85]. Forsøker vi å modellere hvordan elevene jobber med matematikk ved hjelp av flytdiagrammer, kan vi klart se et skille på standardoppgaver og oppgaver som går på problemløsning. En standardoppgave vil i stor grad kunne modelleres som en lineær prosess, der man løser et problem i en serie steg. F.eks leser man problemet, bestemmer seg for en algoritme for å komme fram til en løsning, hvorpå man produserer denne løsningen. Til slutt sjekker man om svaret er korrekt, f.eks ved å sammenligne med en fasit eller andre elever. Deretter går man videre til neste oppgave. Problemet med dette i mine øyne er at den enkelte oppgave i begrenset grad stimulerer til en dypere matematisk forståelse, samt at det lett fører til at det eneste eleven er opptatt av er å putte tall inn i en algoritme og produsere et svar. Man vil med andre ord ofte gå glipp av en dypere matematisk forståelse, og elevene vil ofte kun være i stand til å bruke stoffet, uten at de nødvendigvis er i stand til å forstå det på et slikt nivå at de er i stand til å bygge videre på det ved senere progresjon. Ser man derimot på hvordan problemløsning bør foregå, er det en annen modell enn den lineære modellen beskrevet ovenfor. Her vil ikke løsningsmetoden være kjent, så store deler av oppgaven vil gå ut på å finne selve løsningsmetoden. Først må man forstå problemet, deretter må man forsøke å finne en løsningsmetode. Først da kan man forsøke å finne en løsning på problemet, og kanskje viser det seg at valget av løsningsmetode var feil, hvorpå man må gå tilbake og se om man har forstått problemet korrekt, og deretter gjøre et nytt forsøk på å velge en løsningsmetode. Problemløsning gir med andre ord en anledning til å stimulere elevene til å reflektere over selve løsningsprosessen, samt lære av å måtte gjøre gjentatte forsøk med forskjellige løsningsstrategier på det samme problemet. Dette er også karakteristikker man kan finne igjen i f.eks [JMS85], som er veldig opptatt av det å reflektere over selve prosessen, i motsetning til en strikt matematikk der man kun er opptatt av å komme fram til et korrekt svar. Ser man på læreplaner for matematikk i videregående skole, kommer dette til uttrykk i f.eks læreplan for matematikk fordypning 2MX/3MX, der man i punkt 2f kan lese Elevene skal kunne formulere og løse problemer der de må kombinere sine matematiske kunnskaper og ferdigheter med initiativ, originalitet og innsikt. Med andre ord, vi krever ikke bare at elevene skal kunne løse oppgaver med gitte algoritmer, men de skal også kunne anvende lært stoff på nye problemstillinger der de møter ukjente problemstillinger som krever en mer utstrakt grad av matematisk utforskning. 3

4 Problem Se tilbake Finne strategi Utføre Figur 1: En enkel modell av ideell problemløsning 3 Hvorfor bør man bruke problemløsning i matematikkfaget? Innen pedagogisk vitenskap har man i de siste årene fått en stor aksept for en konstruktivistisk tilnærming til undervisning, se f.eks [Ims98], og dette har også gjort sitt inntog innenfor matematisk didaktikk. Grunnlaget for konkstruktivistisk pedagogikk er at den som skal lære selv skal være med og aktivt bygge opp sin egen kunnskap, i motsetning til den gamle skolen der man passivt mottar kunnskapen fra en lærer foreleser fra kateteret til klassen. Da er det første logiske spørsmålet, hvordan konstruerer man best sin egen forståelse av problemer? Skemp [Ske87] refererer i sin bok til de seks prinsippene som karakteriserer konstruktivisme. Begrepene konsept, struktur og ferdigheter, og andre ting som inngår i det som karakteriseres som kunnskap kan ikke bygges opp gjennom å gå fra en sender (læreren) til en mottaker (elev). De må bygges opp skritt for skritt gjennom å bruke elementer som allerede er tilgjengelig for eleven (eksisterende kunnskap). Det er nettopp her problemløsning som det er definert ovenfor kommer inn som et viktig hjelpemiddel, da elevene gjennom en utforskning, samt prøving og feiling vil kunne tilegne seg kunnskap basert på egen erfaring ut fra sine egne forutsetninger vil kunne konstruere ny kunnskap ut fra problemløsningsprosessen. 3.1 Problemløsning som en brobygger mellom matematikk og dagligliv Som nevnt tidligere, karakteriseres problemer når vi snakker om problemløsning ved at de har en tilsynelatende kompleks vei fram til en løsning, og mye av arbeidet ved å løse dem går ut på å finne løsningsstrategier som vil fungere. Dette er også karakteristikker som vi kan finne igjen når vi betrakter problemer som involverer 4

5 matematikk anvendt for praktiske formål. Derfor synes jeg også at det bør være et mål for matematikklærere rundt omkring å konstant være på leting etter bra eksempler for å illustrere bruk av matematikk i den virkelige verden. Man kan jo være kreativ, eksempler kan jo være alt fra hvordan putte mest mulig stereoutstyr inn i en bil for råning hvis man underviser matematikk på en bilinteressert klasse, til anvendelse av vektorregning innen dataspill hvis man har en datainteressert klasse. 3.2 Problemløsning som en motivasjonsfaktor Students need to view themselves as capable of using their growing mathematical knowledge to make sense of new problem situations in the world around them.. Dette kan man lese i [otom89]. Som beskrevet i 3.1 er problemløsning relatert til det virkelige liv, vitenskap og dagligliv en viktig motivasjonsfaktor som kan være med på å øke interessen for matematikken. Men det er et vesentlig problem. For at man i det hele tatt skal kunne bruke matematikk på problemer som interesserer elevene i vesentlig grad kreves det et noenlunde nivå av matematisk basiskunnskap, og dermed har man et problem med å bruke denne tilnærmingen til motivasjonsfaktorer før denne kunnskapsbasen er oppnådd. Skemp [Ske87] omtaler denne problemstillingen i kapittel sju, der han nevner begrepet intrinsic (et norsk ord kan kanskje være en intern motivasjon?), der utfordringen blir å skape en motivasjon for matematikken som et selvstendig emne. Man trakter med andre ord å gjøre selve matematikken interessant for elevene, i motsetning til en ekstern motivasjonsfaktor, der matematikken kun gjøres interessant sett ut fra at den skal anvendes for å oppnå andre motivasjonsfaktorer (f.eks løse et teknisk problem). Det er her problemløsning har kommet inn i de siste år, noe jeg selv har erfart under min praksis, elever vil ofte ha en mye mer positiv innstilling til kompliserte problemer som krever en viss kreativitet i motsetning til en samling med standardoppgaver der den største utfordringen er å trykke rett tast på kalkulatoren for å spytte ut et svar fra en allerede kjent formel. Hvordan skal man så konkret kunne tilrettelegge for en læring og motivasjonsstimulering gjennom problemløsning? Her vil det nok kunne være mange strategier. En av de mest kjente tilnærmingene vil nok kunne være den klassiske Ukens nøtt, noe som i og for seg kan være en grei tilnærming på mange måter. Jeg har en innvending mot denne framgangsmåten, og det er at det nettopp blir Ukens nøtt. Hvorfor skal vi bare ha en nøtt i uka? Skal man da resten av uken bruke tiden på rutineoppgaver der man kjører standardmølla med putte tall inn og spytte tall ut? Etter min mening vil et slikt opplegg ikke være med på å styrke elevenes motivasjon 5

6 i forhold til matematikkfaget i vesentlig grad, da man fortsatt jobber med et faglig opplegg som i all hovedsak prioriterer memorisering og rutinedrilling. En annen måte jeg kanskje har mer sansen for er å tvinge elevene til å reflektere over mer enn svaret sitt, gjennom å prioritere og stimulere til en refleksjon over løsningsmetoder på oppgavene de har utført. En måte å realisere dette på kan være å bruke en slags logg i matematikken. Her kan elevene bl.a skrive følgende; Løsningen på problemet de har løst Beskrive hvordan de kom fram til løsningen Finnes det alternative måter å komme fram til løsningen på? En eller flere alternative løsninger på problemet Man kan ha mange flere alternativer, f.eks kan man be elevene finne ut noe om hvordan en bestemt løsningsmetode ble utviklet, hvorfor ble den utviklet osv. Dette kan opplegget kan også kjøres både i forbindelse med rutineoppgaver og mer kompliserte problemer, og er læreren på samme tid en oppegående pedagog vil jeg tro at elevene i det minste kan få tidvise glimt inn i det som er kjernen i matematisk forståelse og vitenskap i form av kreativitet og utforskning i tillegg til anvendelse av matematiske algoritmer. 4 Konklusjon Det er på tide at man begynner å la elever få et tidligere innblikk i matematikkens anvendelser og kjernestoff. Tradisjonell skolematematikk med rutineoppgaver som kan kjede hvem som helst har nok skremt vekk mange potensielle store matematikere fra å fordype seg i matematikk. Det er på tide at man tenker nytt, ta vare på energirike elever som viser initiativ ved å gi dem utfordrende oppgaver som gir utfordringer utover det å kunne lete opp korrekt formel i en formelsamling. Selvsagt vil nok tradisjonelle drillingsoppgaver også ha en plass i matematikk for å trene på basisferdigheter, men å basere vår vurdering av matematisk forståelse ut fra denne type oppgaver blir i mine øyne ofte feil. Basert på min egen erfaring fra undervisning i skolen, vil jeg påstå at det ikke er nødvendigvis de elevene med best karakterer som nødvendigvis er de beste matematiske personlighetene. Ofte vil det være den eleven som av andre lærere kan oppfattes som litt bråkete, full av energi og lite villig til å utføre store mengder enkle oppgaver, men som kan glimte til og vise stor interesse hvis man sørger for riktig stimuli. Og ofte vil denne stimulien kunne være et opplegg 6

7 basert på problemløsning, da denne typen elever ofte vil se på titalls like oppgaver som en fornærmelse mot sin egen intelligens, og ikke gidder å gjøre dem. Hvorfor sier jeg så at man fortsatt må ha rutineoppgaver med i pensum? Jo, basert på egne erfaringer og annen dokumentasjon kan man med sikkerhet fastslå at kunnskapsnivået på elever vil være høyst forskjellig. Derfor er det også nødvendig med et opplegg som samtidig ivaretar de elevene som har behov på å trene på de grunnleggende ferdighetene, da de ofte ikke vil være i stand til å se på kompliserte problemstillinger og få det samme utbytte i form av motivasjon og mestring av problemløsning. Konklusjonen må være at man bør tilstrebe et differensiert tilbud, der man kan tilby utfordringer til alle typer elever, uten å stagnere på en type elever. Sørg for i størst mulig grad ha kontakt med klassen og tilby elevene utfordringer som kan stå i stil med deres egne ferdigheter og motivasjon. Referanser [Har67] Harold G. Hardy. A mathematician s apology [Ims98] Gunn Imsen. Elevens Verden,Innføring i pedagogisk psykologi. Universitetsforlaget, [JMS85] Leone Burton John Mason and Kaye Stacey. Thinking Mathematically. Prentice Hall, [otom89] National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and evaluation standards for school mathematics, [Ske87] Richard R. Skemp. The Psychology of Learning Mathematics. Lawrence Erlbaum Associates, Inc,