Knekklast for platefelt med aksiallast

Transkript

1 Knekklast for platefelt med aksiallast Ruen Zahlquist Bygg- og miljøteknikk (2 årig) Innlevert: juni 2013 Hovedveileder: Arne Aalerg, KT Medveileder: Per Kristian Larsen, KT Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for konstruksjonsteknikk

2

3 Institutt for konstruksjonsteknikk Fakultet for ingeniørvitenskap og teknologi NTNU- Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet TILGJENGELIGHET Åpen MASTEROPPGAVE 2013 FAGOMRÅDE: Stålkonstruksjoner DATO: ANTALL SIDER: 114 (+52) TITTEL: Knekklast for platefelt med aksiallast Buckling of stiffened Plates sujected to axial Load UTFØRT AV: Ruen Zahlquist SAMMENDRAG: Eurokodene NS-EN og NS-EN gir tre forskjellige metoder for å eregne knekklasten til en avstivet plate. Det er usikkert hvor godt disse treffer den virkelige knekklasten. I tillegg er det usikkert hvor formlene for knekklast, i EN , kommer fra. Det har litt gjennomført litteraturstudium hvor det lant annet er litt sett på Timoshenko`s plateteori. Det er litt gjennomført eregningseksempler for de forskjellige metodene, som dermed er sammenlignet med knekkspenningene fra tilsvarende elementanalyser gjort i ABAQUS. Det har også sett på programmet EBPlate, et alternativt for å finne knekklasten til avstivede plater. Gjennom litteraturstudiet er det litt sett på hvor eregningsmetodene i standardene kommer fra. Det er vist en sammenheng mellom formlene for utregning av knekklast mellom Timoshenko`s plateteori og EN for plater som knekker med en sinushalvølge i lengderetning. Det er også funnet noe som antas å være en feil i formlen for knekkfaktor i EN Ved sammenligning av knekklastene fra eregingene og elementanalysen konkluderes det med at EN metode 1 gir veldig konservative resultat mens metode 2 gir konservative resulater som stort sett avvik med 2-5%. Videre gir EN de mest nøyaktige knekklastene (0-1% avvik), men er tidvis ukonservativ. Beregningene for Timoshenko`s plateteori avviker lite (1-2%) fra elementanalysen men er ukonservative. FAGLÆRER: Førsteamanuensis Arne Aalerg VEILEDER(E): Førsteamanuensis Arne Aalerg UTFØRT VED: Institutt for konstruksjonsteknikk, NTNU

4

5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for ingeniørvitenskap og teknologi Institutt for konstruksjonsteknikk MASTEROPPGAVE VÅREN 2013 Ruen Zahlquist Knekklast for platefelt med aksiallast Buckling of stiffened plates sujected to axial load - 1. Bakgrunn Plater med stivere (platefelt) inngår i store jelker, roer, eholdere, skip og andre større konstruksjoner. Ofte er platefeltene er elastet med aksiallast i sitt plan, langs stiverene. Beregningsregler for åde elastisk knekking og kapasitet er gitt i stål- og aluminiumsstandarden, og i annen litteratur som læreøker og artikler. Formler og uttrykk for knekkmotstanden varierer etter hvilke platefelt- og stivergeometrier som er undersøkt, og hvilken teori og hvilke antakelser som er enyttet ved utviklingen. Beregning av oppførselen og den virkelige kapasitet til plater med stivere er godt egnet for simuleringer med datamaskinprogrammer. Slike simuleringer kan derfor gi god støtte til vurderinger av reglene og formlene som er stilt opp. Oppgaven omfatter litteraturundersøkelse, sammenligninger av regler, og numeriske simuleringer for utvalgte geometrier av avstivede plater. Areidet kan enytte resultater og eksempler fra tidligere studentareider for platefelt med stivere, og eksempler fra utførte konstruksjoner fra ulike prosjekter. 2. Gjennomføring Oppgaven kan gjennomføres med følgende elementer: Redegjøre kort for eregningsreglene for knekklast og kapasitet for aksialelastede uavstivede plater (spesielt NS EN ). Se spesielt på formler og prosedyrer for å eregne elastisk knekklast for plater med stivere. Her ør det sees på formlene i stålstandarden (NS EN ), aluminiumsstandarden (NS EN ) og ulike læreøker. Metoder som ør ehandles er «søyle på elastisk underlag», og ulike numeriske metoder som f.eks EBPlate. Gjøre hånderegninger for elastisk knekklast for utvalgte konstruksjonseksempler med avstivede plater (platefelt). Sammenligne knekklasten funnet med de ulike metodene. Etalere FE modeller av de samme eksemplene, og eregne knekklast. Sammenligne. Se på forskjeller, vurdere grunn for ulikheter, vurdere hvilke metoder som er mest effektive.

6 Evt utføre ikkelineære analyser for å finne platefelteksemplenes virkelige kapasitet. Sammenligne med håndregnemetodene og etydningen for den endelige kapasiteten. Kandidaten kan i samråd med faglærer velge å konsentrere seg om enkelte av punktene i oppgaven, eller justere disse. 3. Rapporten Oppgaven skal skrives som en teknisk rapport i et tekstehandlingsprogram slik at figurer, taeller og foto får god rapportkvalitet. Rapporten skal inneholde et sammendrag, evt. en liste over figurer og taeller, en litteraturliste og opplysninger om andre relevante referanser og kilder. Oppgaver som skrives på norsk skal også ha et sammendrag på engelsk. Oppgaven skal leveres igjennom «DAIM». Sammendraget skal ikke ha mer enn 450 ord og være egnet for elektronisk rapportering. Masteroppgaven skal leveres innen 10. juni 2013 Trondheim, 14. januar 2013 Arne Aalerg Førsteamanuensis, Faglærer

7 Forord Denne rapporten utgjør masteroppgaven, den avsluttende oppgaven på toårig masterpåygging ved Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (NTNU). Rapporten er utareidet av Ruen Zahlquist ved Institutt for konstruksjonsteknikk våren Rapporten tar for seg de forskjellige reglene for utregning av knekklast etter Eurokode EN og EN Det lir også tatt for seg alternative metoder for eregning av knekklast som Timoshenko s plateteori og plateprogrammet EBPlate. Det vil lir gjennomført regneeksempler hvor de resulterende knekklastene vil li sammenlignet med knekklastene eregnet ved ruk av elementmetodeprogrammet ABAQUS. Forfatteren av denne oppgaven vil takke veileder Arne Aalerg ved Institutt for konstruksjonsteknikk for god oppfølging og istand undet areidet. Trondheim 10. juni 2013 Ruen Zahlquist i

8

9 Sammendrag I denne masteroppgaven er det gjennomført litteraturstudium, eregninger og elementanalyse for avstivede plater. Eurokodene NS-EN [1] og NS-EN [2] gir tre forskjellige metoder for å eregne knekklasten til en avstivet plate. Det sees nærmere på hvor godt disse treffer sammenlignet med den virkelige knekklasten. Beregningsmetoden i EN har formler det er uklart hvor kommer fra, dette lir derfor studert. Via litteraturstudiet er akgrunnen for eregningsmetodene for knekklast i EN og EN funnet. I tillegg er det litt studert to andre metoder for eregning av knekklast, nemlig Timoshenko sin plateteori [3] og plateteorien rukt i dataprogrammet EBPlate [4]. Det er funnet sammenheng mellom eregningsmetodene i Timoshenko og EN for plater som knekker med en sinushalvølge i lengde og redderetning. Det er også funnet noe som antas å være en feil i formlen for knekkfaktor i EN Det er utført regneeksempler for de studerte eregningsmetodene hvor det er regne på knekklasten for en ensidig avstivet- og en tosidig avstivet plate. Geometriene le valgt slik at de hadde lik øyestivhet i x- og y-retning og dermed kunne sammenlignes med hverandre. Det er regnet på plater med lengde 2-20 meter. Det er utført knekkingsanalyser for platene i elementprogrammet ABAQUS. Resultatene fra elementanalysen er litt rukt til å estemme hvor stort avvik eregningsmetodene har. Ved sammenligning av knekklastene fra eregningene og elementanalysen konkluderes det med at EN metode 1 gir veldig konservative resultat, med avvik på 10-15% for de fleste platelengder. EN metode 2 gir også konservative resulater, men avviker med 2-5%, altså etydelig mindre. Videre ga EN de mest nøyaktige knekklastene med avvik på ±0-1%, men avviker ukonservativ ved enkelt platelengder. Beregningene for Timoshenko s plateteori avviker lite, rundt 1-2% fra elementanalysen, men er vist å være ukonservative for alle platelengdene. iii

10

11 Astract This master thesis consists of literature studies, calculations and finite element analysis for stiffened plates. The Eurocodes NS-EN [1] and NS-EN [2] provides three different methods for calculating the uckling load of a stiffened plate. It is,however, uncertain how accurate these methods are, compared with the real uckling load. In addition to this, there are some uncertainties regarding where some of the formulas in EN come from. The ackground for the calculation methods of the uckling load in NSEN and NS-EN is found trough the literature study. In addition, it has een looked at two other methods for calculating the uckling load, namely Timoshenko s plate theory [3] and the plate theory used in the computer program EBPlate [4]. A correlation etween the calculation methods in Timoshenko and EN for plates that uckles with one sine half wave in length and width direction is found. In addition, something that is elieved to e an error in the formula for the uckle factor in EN is identified. It has een performed uckling load calculations for the studied methods for one-sided and a two-sided stiffened plate. The geometries were selected so that they have equal flexural rigidity in the x-and y-direction, and can therefore e compared with each other. The calculations have een performed on the plates ranging from 2-20 meters. Det er utfã rt knekkingsanalyser for platene i elementprogrammet ABAQUS The geometry from the calculation examples are modeled in the element program ABAQUS and then performed uckling analysis on. The results are used to determine the deviation within the calculation methods. When comparing the uckling loads from the calculations with the finite element analysis, it is concluded that the EN Method 1 gives very conservative results that deviate around 10-15% for most plate lengths. EN Method 2 also provides conservative results, ut deviate around 2-5%, i.e. consideraly less. Furthermore, the method in EN give the most accurate uckling loads with a deviation of ±0-1%, ut are unconservative for some plate lengths. The calculations from Timoshenko plate theory does not deviate much, around 1-2% from the element analysis, ut are shown to e unconservative for all of the plate lengths. v

12

13 Innhold Forord Sammendrag Astract i iii v 1 Innledning 2 2 Teori for plater Elastisk plateknekking Differensialligningen for plateknekking Kritisk kraft for enkle rektangulære plater Plater med enaksialt trykk Kapasitet for plater uten stivere Plateoppførsel Søyleoppførsel Interaksjon mellom plate- og søyleoppførsel Teori for avstivede plater Timoshenko s Plateteori EN , plater påkjent i plateplanet Bakgrunnen for knekkspenningsformlene EN , Prosjektering av aluminiumskonstruksjoner Metode 1, Plate på elastisk underlag Metode 2, Knekklast for ortotrop plate Kapasiteteregninger for avstivet plate EBPlate, alternativ eregning av knekklaster Finite Element Method (FEM) analyse i ABAQUS Elementtyper vii

14 INNHOLD viii Skallelement Bjelkeelement Knekkingsanalyse Analyse Modellering Geometri Elementnett - Mesh Assely og constrain etingelser Last- og opplageretingelser Resultat Beregninger Geometri og materialer MathCad dokumentet Ensidig avstivet plate Tosidig avstivet plate Beregningsresultat for ensidig avstivet plate Timoshenko s plateteori Eurokode Resultat fra utledet formel for knekkspenning etter EN , metode Resultat fra EBPlate Beregningsresultat for tosidig avstivet plate Timoshenko s plateteori Eurokode Sammenligning av resultat Ensidig avstivet plate Timoshenkos s plateteori og EN Met.2-modifisert sammenlignet med ABAQUS-analyse EN og EN sammenlignet med ABAQUS-analyse Tosidig avstivet plate Sammenligning av knekkspenninger for en- og tosidig avstivet plate

15 ix INNHOLD 8 Konklusjon 96 Figurlist 98 Taelliste 100 Biliografi 103 Vedlegg A Utledninger V1 V1 A.1 Utregning av c i V1 A.2 Beregning av sinus-ledd for n = V3 A.3 Sammenligning av grenseverdier V5 A.4 Utleding av knekkspenningsformel for ortotrope plater V7 A.5 Beregning av I y fra en- til tosidig avstivet plate V9 A.6 Sammenligning av Sinus- og ABAQUS-deformasjon V11 B Analyseoversikt V13 B.1 Knekkspenning og knekkformer fra ABAQUS V13

16

17 Kapittel 1 Innledning Avstivede plater rukes åde i skips- og offshoreindustrien, som deksplater, æresystem for flyteplatformer og skipsskrog. De rukes også i andre konstruksjoner, for eksempel rojelker og rokasser. Det har vært en økende interesse for avstivede plater de siste tiårene. Dette skyldes den store aksial og momentkapasiteten disse klarer å oppnå, spesielt i forhold til deres vekt og slankhet. I dag eksisterer det en rekke framgangsmåter for å finne kapasitet til avstivede plater. I denne oppgaven vil det li sett på framgangsmåter for utregning av knekklaster/knekkspenninger for aksialelastede avstivede plater. Det vil i Kap. 3 li sett på fire teorier for utregning av knekklast, hvor det lir sett på en metode fra NS-EN [1], to metoder fra NS-EN [2] og en metode fra Timoshenko s plateteori [3]. Det vil også li sett på plateprogrammet EBPlate, som gir en alternativ metode for eregning av knekklast. For edre forståelse er det introdusert kort om teorien for plater uten stivere som utgjør Kap. 2. Videre vil det li gjennomført regneeksempler med gitte geometrier fra de forskjellige teoriene. Disse vil li sammenlignet med knekkanalyser utført i elementmetodeprogrammet ABAQUS. I Kap. 4 vil det li kort skrevet om elementmetoden. Kap. 6 og 5 tar for seg resultatene fra eregningene og analysene. I Kap. 7 vil resultatene sammenlignet og vurdert. 2

18

19 Kapittel 2 Teori for plater Teorien for enkle plater er akgrunnen for den største delen av teorien for avstivede plater. Det er derfor nødvendig å ha en forståelse for hvordan enkle plater oppfører seg. I dette kapittelet vil teorien for plater uten stivere li presentert. 2.1 Elastisk plateknekking Grunnlaget til teorien for plateknekking ligger i teorien for plateøyning. Sammenhengen mellom spenning og tøyning er gitt av Hookes lov σ x σ y = τ xy E 1 ν 2 1 ν 0 ν ν 2 ɛ x ɛ y γ xy (2.1) Bernoulli-Naviers hypotese er enyttet til å utlede uttrykk for sammenhengen mellom krumning og tøyning som er vist i Fig 2.1. u = w x z ɛ x = u x = z 2 w x 2 v = w y z ɛ y = u y = z 2 w y 2 (2.2) γ xy = u y + v x = 2z 2 w x y (2.3) 4

20 ELASTISK PLATEKNEKKING (a) Krumning om x-aksen () Skjærdeformasjoner for et element dxdydx i x-y-planet Figur 2.1: Sammenheng mellom krumning og tøyning [5] Sammenhengen mellom spenning og krumning finnes ved å sette ligning (2.2) og (2.3) inn i ligning (2.1), som gir σ x σ y = τ xy E 1 ν 2 z 1 ν 0 ν ν 2 w,xx w,yy 2w,xy (2.4) Integreres spenningene over platetykkelsen lir uttrykket for spenningsresultantene M x, M y og M xy (moment pr lengdeenhet) lik M x M y M xy = t 2 t 2 z σ x 1 ν 0 w,xx σ y dz = D ν 1 0 w,yy (2.5) τ xy ν 2w 2,xy Hvor D er platestivheten D = E t 2 z 2 dz = 1 ν 2 t 2 Et 3 12(1 ν 2 ) (2.6)

21 2.1. ELASTISK PLATEKNEKKING 6 Figur 2.2: Platens spenningsresultanter [5] Videre settes likevektsligningene opp på asis av Fig Blir det sett ort fra 2. ordens leddene gir dette følgene kraftlikevekt i z-retning og momentlikevekt om x- og y-aksen Q x x + Q y y = q M x x + M xy = Q x y M y y + M xy x = Q y (2.7) Ligning (2.7)(2) og (2.7)(3) deriveres med hensyn på henholdsvis x og y, summeres og settes inn i ligning (2.7)(1). Dette gir platens differensialligning uttrykt ved momentene 2 M x x M xy x y + 2 M y y 2 = q (2.8) Settes uttrykkene for moment-krumning fra ligning (2.5) inn i formel (2.8), kan differensialligningen uttrykkes ved nedøyningen w 4 w x w 4 x 2 y + 4 w 2 y 4 = 4 w = q D (2.9)

22 DIFFERENSIALLIGNINGEN FOR PLATEKNEKKING 2.2 Differensialligningen for plateknekking Det er satt som forutsetning i ligning (2.7) og (2.8) at platen kun er elastet med tverrlast q og at forskyvningen w var liten. Dette gir spenningene σ x = σ y = σ xy = 0 i platens middelplan. Figur 2.3: Bøye- og skivespenninger i plate [5] Dersom platen lir utsatt for skivekrefter N x, N y og N xy i platens plan, vil det oppstå skivespenninger σ x, σ y og τ xy som er jevnt fordelt over platens tykkelse, illustrert i Fig Blir det sett på et infinitesimalt element dx dy så har N x, N y og N xy en helning relativ til xy-planet i deformert tilstand. Dette fører til komponenter i z-retning som må inkluderes i likevektsligningen for denne retningen, se Fig Neglisjeres 2.ordens ledd ser man av Fig. 2.4 at likevektsligningene for x-, y- og z-retningen skives som N x x + N yx = 0 y N y y + N (2.10) yx x = 0 N x z + N ( y z = 2 w N x x + N x w 2 x x + N 2 w y y + N y 2 y ) w y (2.11)

23 2.2. DIFFERENSIALLIGNINGEN FOR PLATEKNEKKING 8 Figur 2.4: Skivekrefter på deformert element [5] Dersom 2.ordens ledd igjen neglisjeres og z-retningens skivekrefter etraktes som en fordelt ekvivalent tverrlast lir 2 w q ekv (x, y) = N x x + N 2 w 2 y y + 2N 2 w 2 xy x y (2.12) Innsatt i ligning (2.9) fra forrige kapittel gir differensialligningen for plateknekking 4 w = 1 ( 2 w N x D x + N 2 w 2 y y + 2N 2 ) w 2 xy x y (2.13)

24 KRITISK KRAFT FOR ENKLE REKTANGULÆRE PLATER 2.3 Kritisk kraft for enkle rektangulære plater Videre lir det sett på en enkel rektangulær plate som er fritt opplagt langs alle rander. Teorien skiller mellom elastningstyper som enaksialt trykk, momentelastning, skjærelastninger og kominasjoner av disse. Ettersom oppgaven omhandler aksialelastede plater vil det kun li sett på teorien for plater påkjent av enaksialt trykk Plater med enaksialt trykk En plate utsatt for skivekraft N x i x-retning vil få følgende forenklet differensialligning 4 w + N x D 2 w x 2 = 0 (2.14) Figur 2.5: Enkel rektangulær plate med fritt opplagte rander og enaksialt trykk [5] Det lir antatt en doelt trigonometrisk sinusasert forskyvningsfunksjon, som vil si at platen deformerer seg med et gitt antall sinushalvølger i redde og lengderetning w(x, y) = w mn sin mπx a nπy sin (2.15) Her er m og n antall sinus knekkølger i x- og y-retning. Forskyvningsfunksjonen lir innsatt i differensialligningen og den ikke-trivielle løsningen, w mn 0 lir løst for N x N x = N x,cr = π2 D 2 ( m ) 2 a + n2 a (2.16) m

25 2.3. KRITISK KRAFT FOR ENKLE REKTANGULÆRE PLATER 10 Settes platestivheten D inn i formel (2.16), kan den elastiske knekkspenningen skrives som σ x,cr = N x,cr t π 2 ( ) E t 2 = k σ = k 12(1 ν 2 σ σ e (2.17) ) Hvor σ e = π 2 ( ) E t 2 (2.18) 12(1 ν 2 ) k σ = ( m ) 2 a + n2 a (2.19) m Formelen for elastisk knekkspenning inneholder to varialer, σ e og k σ. σ e er grunnleggende knekkspenning som er avhengig av materialets E-modul (E), kontraksjonstall (ν) og platens slankhet ved forholdet /t. Knekkefaktoren k σ tar hensyn til platens randetingelser og fordeling av de ytre lastene. For å finne den minste kritisk spenningen må k σ være minst mulig med hensyn på m og n. Dette krever at n=1, og etyr at platen knekker i en sinushalvølge i y-retning. Videre etraktes k σ som en kontinuerlig funksjon av a/ og ekstremalverdien lir estemt ved å løse ligningen ( k σ m (a/) = 2 a/ + 1 ) ( a m m (a/) + 1 ) = 0 (2.20) 2 m Ligningen er tilfredsstilt for m=a/ Dersom sidekantforholdet a/ er et heltall vil platen knekke ut i m=a/ sinushalvølger hvor knekktallet k σ = 4.0. For å finne et uttrykk for overgangen mellom knekkformene når m = m + 1, settes uttrykket k σ (m) = k σ (m + 1) opp. Overgangen skjer da ved som også er vist i Fig. 2.6 a = m (m + 1) (2.21)

26 KAPASITET FOR PLATER UTEN STIVERE Figur 2.6: Elastisk knekking av rektangulær plate med konstant aksiallast [5] For en fritt opplagt plate med aksialt trykk kan k σ settes lik k σ = 4 for α = a/ 1 ( k σ = α + 1 ) 2 α for α = a/ < 1 (2.22) 2.4 Kapasitet for plater uten stivere I denne oppgaven er det valgt å gå i dypden for teorien om platers knekklast. Knekklasten er ikke lik kapasiteten til platen, men en parameter som rukes til å finne platens kapasitet.

27 2.4. KAPASITET FOR PLATER UTEN STIVERE 12 Kapasiteten av en plate er hvor stor elastning den tåler. Videre følger en kort eskrivelse av hvordan kapasiteten til en uavstivet plate eregnes. Det skilles her mellom plateoppførsel og søyleoppførsel som gir forskjellig framgangsmåter for utregning av kapasitet. Til slutt lir disse kominert i en interasjonsformel som rukes til å eregne den endelige kapasiteten Plateoppførsel Framgangsmåten for utregning av aksialkapasitet ved plateoppførsel er eskrevet i NS-EN [6], delkapittel Den dimensjonerende tverrsnittskapasitet N c,rd er fastsatt som N c,rd = Af y γ M0 for tverrsnitt av klasse 1, 2 eller 3 N c,rd = A efff y γ M0 for tverrsnitt av klasse 4 (2.23) hvor γ M0 er sikkerhetsfaktor. Det effektive arealet, A eff, er definert i NS-EN [1], delkapittel 4.4 A c,eff = ρa c (2.24) Her er ρ definert som reduksjonsfaktor for plateknekking. Standarden skiller mellom trykk i interne- og utstikkende elementer. Denne oppgaven tar for seg plater som er fritt opplagt langs alle rander. Reduksjonsfaktoren ρ er da definert som ρ = 1 for λp ρ = λ p 0.055(3 + ψ) λ 2 p 1.0 for λp > 0.673, hvor (3 + ψ) 0 (2.25) hvor λ p er plateslankhet /t λ p = 28.4ɛ k σ

28 KAPASITET FOR PLATER UTEN STIVERE hvor ψ - er spenningsforholdet (taell 4.1 i standarden) - er den hensiktsmessige redden av platen (taell 5.2 i EN ) k σ - er knekkfaktoren eskrevet tidligere, formel (2.22) t - er platetykkelsen 235 ɛ = f y (N/mm 2 ) Søyleoppførsel Bakgrunnen til utregning av søyleoppførsel til en plate er at den kan deles opp i mange små deler i lengderetning. Disse vil da knekke som en søyle (utenom de nærmest randen). Dette gjelder kun for korte plater som er innenfor forholdet a/ < 1. For søyleoppførsel regnes det ut en elastisk kritisk knekkspenning for søyler, se NS- EN punkt 4.5.3(2) σ cr,c = π 2 Et 2 12(1 ν 2 )a 2 (2.26) Videre finnes den relative søyleslankheten λ c for uavstivede plater, definert i punkt 4.5.3(4) λ c = f y (2.27) σ cr,c Den relative søyleslankheten kan videre rukes til å regne ut reduksjonsfaktoren χ for søyler. Den er definert i NS-EN som χ c = 1 Φ + Φ 2 λ 2 c (2.28) der Φ = 0.5 [ ) ] 1 + α e ( λ 2 + λ2 (2.29)

29 2.4. KAPASITET FOR PLATER UTEN STIVERE 14 Her rukes det verdier for α e som for uavstivede plater. Dermed kan aksialkapasiteten for søyleoppførsel finnes ved ruk av formelen N c,rd = f yaχ c γ M1 (2.30) Interaksjon mellom plate- og søyleoppførsel Endelige reduksjonsfaktor ρ c kan dermed eregnes ved en interaksjonsformel mellom plate- og søyleoppførsel. Denne er oppgitt i NS-EN , kapittel ρ c = (ρ χ c ) ξ (2 ξ) + χ c (2.31) hvor ξ = σ cr,p σ cr,c 1 gitt at 0 ξ 1 (2.32) Her er σ cr,p den elastiske kritiske plateknekkspenningen og σ cr,c den elastiske kritiske søyleknekkspenningen. Altså er ξ en skaleringsfaktor som avgjør hvor mye som skal tas med av reduksjonsfaktoren for plate- og søyleknekking. For korte plater vil reduksjonsfaktoren for søyleknekking (χ c ) dominere, men for lange plater vil reduksjonsfaktoren for plateknekking (ρ) li dominerende. Endelig aksialkapasitet lir da N,Rd = A c,efff y γ M1 (2.33) hvor A c,eff = ρ c A c

30

31 Kapittel 3 Teori for avstivede plater Ved avstiving av en plate vil teorien for eregning av knekklast li mer komplisert. Stivere vil gi et idrag til øyestivheten i stiverretning. Det vil også oppstå torsjonsstivheter som kan gi økt knekklast. Det eksisterer flere metoder for å finne knekklasten til avstivede plater. I dette kapittelet vil det eskrives fire metodene definert i standardene EN [2], EN [1] og oken Theory of Elastic Staility av Timoshenko [3]. 3.1 Timoshenko s Plateteori Det har litt valgt å se på Timoshenko s teori for avstivede plater og videre sammenligne den med reglene i EN [1] og EN [2]. Timoshenko ruker energimetoden for å finne relasjonene mellom plate- og stiverdimensjonene og spenningene disse kan ta opp. Timoshenko tar utgangspunkt i deformasjonen av platen og stiverne hvor det antas en doelt trigonometrisk sinusasert forskyvningsfunksjonsserie w = m= m=1 n= n=1 a mn sin mπx a nπy sin (3.1) Hvor m - er antall sinushalvølger i langsgående retning av platen n - er antall sinushalvølger i tversgående retning av platen a - er lengde på platen - er redden på platen 16

32 TIMOSHENKO S PLATETEORI Videre rukes den antatte deformasjonen til å finne uttrykk for tøyningsenergien til platen U = πd 2 a 2 m= m=1 n= a 2 mn n=1 ( m 2 a 2 ) 2 + n2 (3.2) 2 Det forutsettes at det lir sett på et generelt tilfelle med flere langsgående stivere hvor hver har øyestivheten EI i med avstand c i fra den langsgående kanten av platen, altså y = 0. Siden stiveren er fast innspent i platen må en del av platen litt tatt med i utretningen av 2. arealmoment I i. Hvor stor andel av platen som lir tatt med vil være avhengig av platens geometri. For rouste plater med kort stiveravstand og/eller høy platetykkelse vil det være fornuftig å inkludere hele den tilhørende platen. Her er D øyestivheten i platen som angitt etter formel (2.6). Antas det at stiverne deformeres sammen med platen lir tøyningsenergien for stiverne U i = EI i 2 a 0 ( 2 w x 2 ) 2 = π4 EI i y=c i 4a 3 m= m=1 ( m 4 a m1 sin πc i + a m2 sin 2πc 2 i +...) (3.3) Det er viktig å presisere at c i er avstanden fra den langsgående kanten til stiver nummer i som vist på figuren under Figur 3.1: Plantegning av platefelt med stiveravstand, c i, for hver stiver

33 3.1. TIMOSHENKO S PLATETEORI 18 Uttrykket for utført areid under øyning, av trykkreftene N x på platen, lir Og trykkrefter på stiver T = N x 2 a 4 m= m=1 n= n=1 m 2 π 2 a 2 a 2 mn (3.4) T i = P i 2 a 0 ( ) 2 w dx = P i x y=c i 2 m= π a a 2 2 m=1 ( m 2 a m1 sin πc i + a m2 sin 2πc 2 i +...) (3.5) Disse uttrykkene settes så inn i den generelle formelen for energialanse U + i U i = T + i T i (3.6) Videre forenkles uttrykket ved å innføre følgende varialer β = a γ i = EI i D δ i = P i N x = A i h (3.7) Her er A i arealet av en stiver. Formelen for energialanse gir da σ cr = m= n= m=1 m= m=1 n=1 a 2 mn(m 2 + n 2 β 2 ) i γ m= i m=1 m 4 ( n= n=1 a mn sin nπc i n= n=1 m 2 a 2 mn + 2 i δ m= i m=1 m 2 ( n= n=1 a mn sin nπc i ) 2 ) 2 (3.8) Ved å sette den deriverte av uttrykket til null med hensyn på koeffisienten a mn lir den generelle formelen for knekkspenning π 2 D 2 h a mn (m 2 + n 2 β 2 ) i β 2 σ cr m 2 a 2 mn + 2 i γ i sin nπc i δ i sin nπc i p= m 2 p= m 4 p=1 p=1 a mp sin pπc i a mp sin pπc i = 0 (3.9)

34 TIMOSHENKO S PLATETEORI Her er p et heltall slik at p±m gir oddetall. Formel (3.9) kan utledes for å finne formler for gitte plategeometrier. Det antas i denne oppgaven at antall knekkølger i redderetning, n, er lik 1. Dette kommer av at det vil kreve minst energi for å øye platen i en sinushalvølge når a/-forholdet er relativt høyt, som igjen gir laveste knekkspenning. Videre utledes det formler for 6 forskjellige antatte knekkformer Antar først at n = 1 og m = 1, altså en sinushalvølge i hver retning. Dette gir knekkspenningsformel σ cr = π2 D 2 h (1 + β 2 ) i γ i sin 2 πc i β 2 (1 + 2 i δ i sin 2 πc i ) (3.10) Antar så at n = 1 og m = 2, altså to sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel σ cr = π2 D 2 h (4 + β 2 ) i γ i sin 2 πc i β 2 (4 + 8 i δ i sin 2 πc i ) (3.11) Antar så at n = 1 og m = 3, altså tre sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel σ cr = π2 D 2 h (9 + β 2 ) i γ i sin 2 πc i β 2 ( i δ i sin 2 πc i ) (3.12) Antar så at n = 1 og m = 4, altså fire sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel σ cr = π2 D 2 h (16 + β 2 ) i γ i sin 2 πc i β 2 ( i δ i sin 2 πc i ) (3.13) Antar så at n = 1 og m = 5, altså fem sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel σ cr = π2 D 2 h (25 + β 2 ) i γ i sin 2 πc i β 2 ( i δ i sin 2 πc i ) (3.14) Antar så at n = 1 og m = 6, altså seks sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekk-

35 3.2. EN , PLATER PÅKJENT I PLATEPLANET 20 spenningsformel σ cr = π2 D 2 h (36 + β 2 ) i γ i sin 2 πc i β 2 ( i δ i sin 2 πc i ) (3.15) 3.2 EN , plater påkjent i plateplanet Under Annex A - Calculations of critical stresses for stiffened plates, underpunkt A.1 Equivalent orthotropic plate i EN [1] eskrives en metode for eregning av knekkspenningen til en plate. Denne metoden kan kun rukes for plater med minimum tre langsgående stivere. Den elastiske plateknekkingen er definert som σ cr,p = k σ,p σ E (3.16) Hvor σ E = σ e, fra plateteorien Kap formel (2.18) σ E = π 2 Et 2 ( ) t 2 12(1 ν 2 ) = (3.17) 2 Her er k σ,p knekkefaktoren for gloal knekking av den avstivede panelet. Siden knekkfaktoren tar hensyn til randetingelsene, og hvordan de ytre kreftene fordeler seg, vil den ikke li lik som for enkle plater gitt i formel (2.19). Knekkfaktoren defineres som k σ,p = 2((1 + α2 ) 2 + γ 1) α 2 (ψ + 1)(1 + δ) k σ,p = 4(1 + γ) (ψ + 1)(1 + δ) if if α 4 γ α > 4 γ (3.18) Varialene γ, δ og α i formel (3.18) aserer seg på geometrien til platefeltet mens ψ

36 EN , PLATER PÅKJENT I PLATEPLANET aserer seg på spenningstilstanden. Disse er definert følgende γ = I sl δ = I p Asl A p α = a 0, 5 (3.19) ψ = σ 2 σ 1 0, 5 Hvor I sl - er 2. arealmoment av hele den av stivede platen I p - er 2. arealmoment for øyning av platen (Asl ) - er summen av arealet til hver av stiverne A p σ 1 σ 2 - er arealet av platen - er den største endespenningen - er den minste endespenningen Bakgrunnen for knekkspenningsformlene Det er av interesse å finne ut hvor disse formlene for knekkspenning kommer fra siden det ikke er definert i standarden eller den undersøkte literaturen ( [1], [2], [3], [4], [7], [8], [9], [5], [10], [11], [12]). Formlene for knekkspenning etter Timoshenko s plateteori, Kap. 3, har enkelte likhetstrekk med knekkspenningsformlene i EN Settes formel (3.16) opp med innsatt uttrykk for k σ,p (3.18)(1) og σ E (3.17), for en plate som knekker i en sinushalvølge lir σ cr,p lik σ cr,p = π 2 Et 2 2((1 + α 2 ) 2 + γ 1) 12(1 ν 2 ) 2 α 2 (ψ + 1)(1 + δ) (3.20) Settes formlen for platestivheten D inn i tillegg til ψ = 1 for jevn spenningstilstand lir σ cr,p = π2 D 2 t (1 + α 2 ) 2 + γ 1 α 2 (1 + δ) (3.21)

37 3.2. EN , PLATER PÅKJENT I PLATEPLANET 22 Videre skriver formlene for parameterene γ og δ om til γ = I sl δ = I p Asl A p = 12(1 ν2 )I sl t 3 = n ia st t (3.22) her er n i antall stivere og A sl arealet av en stiver. Videre lir det sett på Timoshenko s plateteori og forsøkt å finne en sammenheng med EN Ettersom det lir sett på knekkspenning innsatt første formel for knekkfaktoren (3.18)(1) i EN , for en sinushalvølge i lengderetning, lir det sett på formlen for en sinushalvølge også for Timoshenko s plateteori, som er formel (3.10) her er σ cr = π2 D 2 h (1 + β 2 ) i γ i sin 2 πc i β 2 (1 + 2 i δ i sin 2 πc i ) β = α = a γ i = EI i D = 12(1 ν2 )I i t 3 (3.23) δ i = Ai h Dette gir at γ i n i = γ og δ i n i = δ. Det lir sett på siste ledd i formel (3.10), altså 2 i δ i sin 2 πc i og 2 i γ i sin 2 πc i. For at formel (3.10) skal kunne skrives om til formen for (3.21) må sin 2 πc i for hvilket som helst antall stivere over to (n i 2) li n i /2 altså summen av halvparten av stiverantallet. Dette påvises ved å regne ut verdiene for et par tilfeller av forskjellige geometrier, se vedlegg A.2 hvor dette er gjort. Det vil si at Timoshenko kan skrives om til σ cr = π2 D 2 h (1 + α 2 ) 2 + γ α 2 (1 + δ) (3.24) hvor γ og δ er eregnet for hele stiveren og hele platen likt som for EN

38 EN , PROSJEKTERING AV ALUMINIUMSKONSTRUKSJONER Uttrykket for knekkspenning for m = n = 1 fra Timoshenko s plateteori er dermed nesten identisk til uttrykket fra EN , formel (3.21). Den eneste forskjellen er at formel (3.21) har 1 i siste uttrykk over røkstreken. Som utledningene viser så skal den ikke være der. Det antas at dette er en regnefeil eller eventuelt en trykkfeil i standarden. Den andre formlen for knekkspenningen, innsatt (3.18)(2), etter EN er σ cr,p = π2 D 2 t 4(1 + γ) (ψ + 1)(1 + δ) (3.25) Her er knekkspenningen ikke lengre avhengig av a/-forholdet, altså påvirker ikke platelengden knekkspenningen. Det er i denne oppgaven forsøkt men ikke lyktes med å utlede Timoshenko s plateteori og kommet fram til (3.25). Det er imidlertidig sannsynlig at også den kommer av en utledning av Timoshenko s plateteori. Det er antatt at formel (3.25) er utledet ved å sette inn n=1 og finne ekstremalverdien ved å derivere formlen for knekkfaktoren k og sette den lik null k β = β ( (m 2 + β 2 ) 2 + 2γm 4 ) = 0 β 2 (m 2 + 2δm 2 ) 3.3 EN , Prosjektering av aluminiumskonstruksjoner I standard for aluminiumskonstruksjoner EN [2] er det to metoder for utregning av avstivede plater. Det er litt valgt å regne etter egge metodene for å se hvor godt disse treffer i forhold til hverandre og sammenlignet med Timoshenko s plateteori, EN og FEM analyse Metode 1, Plate på elastisk underlag Den første metoden lir eskrevet i kapitell Stiffened plates under uniform compression i EN , som ofte også lir kalt Plate på elastisk underlag. Her er det tenkt at platen er avstivet med elastisk fjær langs platen. Platens elastiske knekklast finnes ved ruk av formlen N cr = π2 EI y L 2 + L2 c if L < π 4 EIy π 2 c (3.26)

39 3.3. EN , PROSJEKTERING AV ALUMINIUMSKONSTRUKSJONER 24 N cr = 2 cei y if L π 4 EIy c (3.27) hvor c er den elastiske støtten fra platen. Formlen for c varierer etter antall stivere og geometrien til stiverne. Ettersom denne oppgaven tar for seg platefelt med en rekke stivere lir kun formlen for platefelt med flere enn to åpne stivere vist under c = π 4 Et 3 8, 9Et3 = (3.28) 12(1 ν 2 )3 3 Uttrykket for c utledes ved ruk av prinsippet for virtuelt areid, hvor det er antatt at platen deformerer seg som en sinushalvølge på grunn av en sinusformet jevnt fordelt last på hele redden. Figur 3.2: Elastisk knekking av rektangulær plate med konstant aksiallast [2] I y i ligningene (3.26) og (3.27) er eskrevet i standarden som "..the second moment of area of all stiffeners within the plate width with respect to y-axes..". Hvor y-aksen er vist i Fig Dette kan tolkes som stivheten av stiverne alene om y-aksen. Det er litt antatt at I y her er ment som stivheten til stiveren med en andel av platen. For plater med stor redde og liten platetykkelse vil det være fornuftig å legge til en liten effektiv

40 EN , PROSJEKTERING AV ALUMINIUMSKONSTRUKSJONER del av platen. For plater med stor platetykkelse og redde med kort stiveravstand vil det være fornuftig å inkludere hele den tilhørende platedelen. Dette tilsvarer det samme som stivheten I i diskutert i Kap Metode 2, Knekklast for ortotrop plate Metode 2 lir eskrevet i kapitell Buckling load for orthotropic plates i EN , [2]. Her lir den avstivede platen sett på som en ortotrop plate. Det vil si at platens egenskaper smøres utover. Her regnes stivhet til platen i x- og y-retning ut, samt torsjonsstivheten. Den elastiske ortotropiske knekklasten er definert som N cr = π2 [ ] Bx (L/) + 2H + B y(l/) 2 2 if L < Bx 4 (3.29) B y N cr = 2π2 [ B x B y + H ] if L Bx 4 (3.30) B y Formlene for B x, B y og H varierer etter den avstivede platens geometri som vist i Fig. 3.3 Figur 3.3: Elastisk knekking av rektangulær plate med konstant aksiallast [2]

41 3.3. EN , PROSJEKTERING AV ALUMINIUMSKONSTRUKSJONER 26 Det vil are li sett på plater med enkle rektangulære stivere i denne oppgaven, som gjør at det kun er Case No 1 som er av interesse, dette gir da B x = EI L 2a (3.31) B y = Et 3 12(1 ν) 2 (3.32) H = Gt3 6 (3.33) Her er I L, som eskrevet i Fig. 3.3, stivheten av stiver inkludert tilhørende plate. Dette er likt som for I i i Kap. 3.1 og I y i Kap Formel for knekklast,(3.29), kommer fra differensialligningen til en enkel plate definert i Kap For ortotrope plater med aksialt trykk vil, N y = N xy = 0 og N x = σ x t, differensialligningen (2.9) erstattes da med 4 w D x x + 2H 4 w 4 x 2 y + D 4 w 2 y y 4 = q(x, y) = σ xt 2 w x 2 (3.34) hvor D x og D y er øyestivheten lik B x og B y eskrevet over. Knekkspenningen for platen finnes ved å sette inn forskyvningsfunksjonen som tilfredsstiller opplageretingelsene etter formel (2.15) [ σ x = π2 m 2 D t 2 x (L/) + n 4 ( ) L 2 ] 2 2Hn2 + D y m 4 (3.35) For å finne ut hvilken knekkform platen får må det finnes verdier for m og n som gir lavest mulig knekkspenning. Formel (3.35) viser at n=1 gir lavest knekkspenning. Setter det inn n=1 og m=1 og multipliseres med platearealet lir knekklasten lik formel (3.29) i EN For å finne den laveste knekkspenningen for m 1 deriveres formel (3.35) og settes lik null. Dette gir m = ( Dy D x ) 14 L (3.36) Denne kritiske verdien for m settes så inn i differensialligningen (3.35) og gir formelen for

42 KAPASITETBEREGNINGER FOR AVSTIVET PLATE knekkspenninger σ cr = 2π t 2 [ D x D y + H ] (3.37) som multiplisert med plateareal gir formelen (3.30). Denne formlen gjelder som sagt for m 1 og formel (3.36) gir dermed grenseverdiene rukt i formel (3.29) og (3.30) L ( Dx D y ) 1 4 (3.38) Som formel (3.35) viser, kan knekkspenningformlen utledes for estemte knekkformer hvor m og n er kjent. Dette har litt gjort i vedlegg A.4. Det er også litt utført eregninger etter disse formlene i Kap Kapasiteteregninger for avstivet plate Likt som for plater uten stivere rukes knekkspenningene til å regne ut kapasiteten av platen. Videre følger en kort eskrivelse av hvordan kapasiteten eregnes. Den avstivede platens kapasitet N Rd er etter EN , kapittel 6.6.2, den minste av enten ruddkontroll N u,rd eller søyleknekking N c,rd. Bruddkontrollen er ment for plater med redusert tverrsnitt på grunn av oltehull eller penetrasjoner og er dermed ikke aktuell i denne oppgaven. N Rd er dermed lik N c,rd som er definert som N c,rd = A eff χf 0 /γ M1 (3.39) hvor reduksjonsfaktoren for øyning χ er definert i kapittel χ = 1 φ + φ 2 λ hvor χ < 1.0 (3.40) 2 her er φ = 0.5(1 + α( λ λ 0 ) + λ 2 ) (3.41) til tross for at formlene over kommer av aluminiumsstandarden vil det rukes verdier for imperfeksjonsfaktor α og λ 0 for stål, oppgitt i EN kapittel Relative

43 3.5. EBPLATE, ALTERNATIV BEREGNING AV KNEKKLASTER 28 slankhet er definert som λ = Aeff f 0 N cr (3.42) hvor den kritiske knekklasten N cr er den regnet ut enten etter Timoshenkos s plateteori Kap.3.1, EN Kap. 3.2 eller en av de to metodene definert i EN Kap EBPlate, alternativ eregning av knekklaster Et annet alternativ for eregning av knekklast er programmet EBPlate. Programmet løser numeriske egenverdieeregninger ved ruk av Rayleigh-Ritz Metoden. EBPlate definerer en faktor φ cr som multipliseres med spenningen platen er lastet med σ x,cr = φ cr σ x σ y,cr = φ cr σ y σ cr = φ cr τ (3.43) Den kritiske faktoren φ cr eregnes ved ruk av Rayleigh-Ritz Metoden, som er en energimetode. Knekkformen antas ved en doeltrigonometrisk sinusfunksjon, likt som for Timoshenko, formel (3.1). Videre lir prinsippet om stasjonær potensiell energi rukt til å settes opp formel for enegialanse ved instailitet U W int (S cr ) = 0 (3.44) hvor U de samlede tøyningsenergiene, W int kritiske spenningen S cr = φ cr S er det samlede indre areidet av den Dermed løses egenverdiprolemet det[r 0 φ cr R G (S)] = 0 (3.45) hvor R 0 er materialstivheten og R G er den geometriske stivheten, likt som for Kap Knekklasteregningen i EBPLate inkluderer øyning av stiver og plate i lengde og redderetning samt torsjon. Fullstendig dokumentasjon for EBPlate finnes i manualen [4].

44 EBPLATE, ALTERNATIV BEREGNING AV KNEKKLASTER NTNU-studenten Hilde Ersland har skrevet en oppgave som ser på knekklast og knekkmoder for plater ved ruk av EBPlate, se [13].

45 Kapittel 4 Finite Element Method (FEM) analyse i ABAQUS 4.1 Elementtyper I modelleringen av den avstivede platen er det tatt i ruk to forskjellige elementtyper, skallelementer og jelkeelementer Skallelement Skallelement estår av to deler, en memran- og en plate del. Memrandelen ærer skivekrefter mens platedelen ærer platemomenter, som vist i Fig Skallelementet er et todimensjonalt element med påsatt tykkelse. Skallelementets formulering er dermed ygget opp av to separate formuleringer: k m d m = r e m og k p d p = r e p (4.1) her står m for memran og p for plate. k er stivhetsmatrisen, d er frihetsgradene og r er lasten [ ] { } km 0 dm 0 k p d p = { r e m r e p } (4.2) Dette er et element med fem frihetsgrader i hver node. Det kan være hensiktsmessig å 30

46 ELEMENTTYPER innføre en frihetsgrad til, θ z, slik at elementet får seks frihetsgrader i hver node. Dette gir k m 0 0 d m r e 0 k p 0 d p = m r e p θ z 0 (4.3) Figur 4.1: Skallelementet estår av en memran- og platedel Generelt sett er det ikke knyttet noe stivhet til frihetsgraden θ z. Dette vil føre til prolemer dersom en har skallflater som danner et plan. Under implementering ordnes frihetsgradene nodevis: d T i = { u v w θ x θ y θ z } (4.4) Dette gir to vektorgrupper. De lokale stivhetsrelasjonene må transformeres til gloale koordinater for å kunne rukes i en skallanalyse: { } i du d θ l [ ] { } i T3 0 du = 0 T 3 d θ g (4.5) Hvor T 3 er transformasjonsmatrisen fra lokalt til gloalt koordinatsystem. Det kan på samme måte etaleres en transformasjonsmatrise, T, som transformerer forskyvningsvektoren for elementet d l = Td g (4.6)

47 4.2. KNEKKINGSANALYSE 32 og kan dermed etalere gloale stivhetsmatriser og lastvektorer k g = T T k l T og r e g = T T r e l (4.7) Figur 4.2: Geometri for skallelementet. Viser 20- og 16-noders volumelement og et 8-noders skallelement Bjelkeelement Bjelkeelementet er et endimensjonalt element med to noder, en i hver end av elementet. Det endimensjonale jelkeelementet har tre frihetsgrader i hver node, to translasjonsfrihetsgrader og en rotasjonsfrihetsgrad. Dette er avhengig av at aksialstivhet ikke er for stor i forhold til øyestivheten. Ved å gi jelkelementet en tverrsnittsform vil det øke antall frihetsgrader per node fra tre til seks, tre translasjonsfriheter, to rotasjonsfriheter og vridning om sin egen akse, se Fig. 4.3 Figur 4.3: Frihetsgradene til jelkeelementet 4.2 Knekkingsanalyse Stivheten estår av to deler [K m ] - den elastiske stivheten, også kalt materialstivheten [K g ] - spenningsstivheten, også kalt geometriske stivheten

48 KNEKKINGSANALYSE hvor den elastiske stivheten er avhenging av materialets egenskaper, mens spenningsstivheten er avhengig av spenningstilstanden. Knekking oppstår når tangentstivheten [K t ] lir singulær, lik null. Hvor tangentstivheten er [K t ] = [K m ] + [K g ] (4.8) Knekkanalysen lir gjennomført ved følgende egenverdiprolem ([K m ] + λ j [K g ]) { ϕ j } = {0} (4.9) her er λ j egenverdiene og {ϕ j } de tilsvarende egenvektorene for den representerte knekkingsformen. Dermed lir knekklasten et produkt av egenverdien og den påførte lasten P j = λ j P (4.10) En lineær knekkanalyse gir en knekklastfaktor (BLF ) j = λ j og de tilhørende knekkingsformene, {ϕ j }

49 Kapittel 5 Analyse For å finne de korrekte knekkspenningene er det gjennomført FEM-analyser i programmet ABAQUS, slik at de kan sammenlignes med knekkspenningene etter NS , NS og Timoshenko s plateteori. I dette kapittelet vil det først li eskrevet detaljert hvordan modellene er ygget opp. Videre vil resultatene av analysen li presentert og vurdert. 5.1 Modellering Modelleringen er utført i ABAQUS - CAE Complete Aaqus Environment som er en applikasjon rukt til åde modellering og analyse Geometri Det le utført knekkanalyser for en- og tosidig avstivet plate, hvor den tosidige avstivede platen le modellert med tanke på at den skulle rukes til kapasitetsanalyse, dette le ikke gjort fordi det le valgt å gå dypere inn på teorien for knekkspenninger. I modellen for den tosidig avstivede platen er platen modellert som skallelement og stiverne modellert som jelkeelement med tyngdepunkt i senter av platen. Denne geometrien le valgt fordi det ved en kapasitetsanalyse er flere fordeler med å ha nøytralaksen i senter av platen. Ettersom nøytralaksen for en ensidig avstivet plate som oftes efinner seg et sted på stiverne, medfører det at lasten plassert på nøytralaksen gir lokale deformasjoner som fører til feil resultat ved en kapasitetsanalyse. Dette ungås ved å velge tosidige stivere. Målet i oppgaven er å finne de gloale knekklastene, dermed er det viktig å unngå tilfeller hvor det oppstår lokal knekking. Ved å velge jelkeelementer for stiverne hindres det eventuell lokal knekking og torsjonsknekking. 34

50 MODELLERING Forandringene fra en- til tosidige stivere gjør at geometrien ikke er lik den det er regnet på. Beholdes stiverdimensjonene vil tverrsnittet få lavere øyestivhet i lengderetning. For å oppnå samme stivhet, er stivernes høyde økt, slik at resultatene skal være sammenlignare, se vedlegg A.5. Fig. 5.1 under viser den modifiserte modellerte geometrien. Merk at det vil li doelt areal i området hvor stiver og plate krysser hverandre. Dette er tatt med i utregning av stivheten. Figur 5.1: Geometri og mål av skall og jelkemodellen I den andre modellen er åde stiver og plate modellert som skallelement, hvor stiverne er plassert under platen slik at det er lik geometrie som den det er regnet på. Figur 5.2: Geometri og mål av den rene skallmodellen Elementnett - Mesh Det er rukt et kvadratisk mesh med elementstørrelse på 50mm. Dette er rukt for egge modelltypene og for alle platelengder. Det er rukt samme meshstørrelse for plateelement og jelkeelement slik at stivernes og platenes noder lir kolet sammen ved interaksjonsegenskaper. Meshstørrelsen har neglisjerar påvirkning på tiden det tar for å kjøre en knekkingsanalyse Assely og constrain etingelser Det er rukt forskjellige interaksjonsmetoder for skall/jelke-modellen og den rene skallmodellen.

51 5.1. MODELLERING 36 Skall/jelkemodellen får samspill mellom jelkeelement og skallelement under interaksjonsmodulen i ABAQUS. Det påføres en tie-constraint hvor jelkeelementenes nodelinjer er litt knyttet til hver sin nodelinje på platen. Her er platenodene master og jelkenodene slave, altså vil jelkenodene evege seg med platenodene. Figur 5.3: Plate forundet med jelkeelement med Tie-Constraint Den rene skallmodellen får samspill under assemly-modulen i ABAQUS. Her plasseres skallelementene slik at nodene treffer hverandre. Dermed lir de slått sammen gjennom Merge/Cut Instance funksjonen.

52 MODELLERING Figur 5.4: Plateelement forundet med Merge/Cut funksjonen Last- og opplageretingelser Last og opplageretingelsene vil også variere for skall/jelke-modellen og skallmodellen. Skall/jelke-modellen er fastholdt mot forskyvning langs hele randen i z-retning, fastholdt mot forskyvning langs unnranden i y-retning og fastholdt mot forskyvning i hjørnepunktene på venstre rand i x-retning, se Fig. 5.6a. Lasten er satt på som en enhetslast i et referansepunkt (RP) et tilfeldig sted i modellen. Videre opprettes det en equation-constraint i interaction-modulen som forinder referansepunktet med den øvre platekanten, se Fig Dette gjør at deformasjon i referansepunktet vil føre til en tilsvarende deformasjon langs plateranden. Her er platekanten slave og referansepunktet master.

53 5.1. MODELLERING 38 Figur 5.5: Constraintforindelse mellom platekant og RP Skallmodellen er også fastholdt mot forskyvning langs platerandene i z-retning, og fastholdt mot forskyvning i hjørnepunktene på venstre rand i x-retning, men har ingen fastholding i y-retning. Platen er påsatt en enhetslast som linjelast på topp- og unnrand tilsvarende en areallast lik 1 N/mm 2 på åde stiver og plate, se Fig. 5.6 (a) Opplegg for skall/jelke-modellen () Opplegg for skall-modellen Figur 5.6: Opplager og lastetingelser

54 RESULTAT 5.2 Resultat Resultatene fra FEM-analysene for skall/jelke- og skallmodellen er satt opp i Ta Det er i tillegg satt opp a/-forhold, antall sinushalvølger for gjeldene knekkspenning og prosentvis forskjell mellom de to geometriene. Knekkspenningene er tatt direkte ut av ABAQUS. Antall knekkølger, altså den gjeldene knekkformen, er også tatt direkte ut av ABAQUS, se vedlegg B.1 for detaljert oversikt over de fire første knekkformene for hver platelengde, inkludert knekkspenninger. Lengde a/ Bjelkemodell Skallmodell Forskjell (m) Antall ølger Spenninger Antall ølger Spenninger (%) Taell 5.1: Resultater fra ABAQUS Knekkspenningene i Ta. 5.1 er plottet i Fig Resultatene er ikke like for de to geometriene. Knekkspenningene fra skallmodellen ligger stort sett omtrent 11-12% høyere enn for skall/jelke-modellen. Kurvene i Fig. 5.7 viser svingende egenskaper som avtar ved økende platelengde (a). Toppunktene på kurven ved 5, 9, 12, 16 og 19 meter kommer av at platen i dette område går over fra m antall sinushalvølger til m+1. Dette kan ekreftes ved å se på hvilke platelengden platen går fra m antall sinushalvølger til m+1 antall sinushalvølger i Ta. 5.1.

55 5.2. RESULTAT 40 Knekkspenninger (N/mm 2 ) Bjelk/skall-eelement Skallelement Lengde på plate (m) Figur 5.7: Knekkspenninger for Bjelke/Skall-element og Skallelement Knekkspenningene gir et feil ilde av resultatet. Ettersom egge geometriene skal ha samme øyestivhet og den tosidige avstivede platen har høyere torsjonsstivhet, se Vedlegg A.5, er det antatt at den tosidige avstivede platen skal ha høyest kritisk knekklast. Forklaringen på at knekkspenningene er høyere for den ensidig avstivede platen ligger i økningen av arealet som den tosidige stiveren får. Multipliseres knekkspenningene med den tilhørende geometriens areal lir plottet som i Fig Bjelk/skall-eelement Skallelement Knekklast (kn) Lengde på plate (m) Figur 5.8: Knekklaster for Bjelke/Skall-element og Skallelement

56 RESULTAT Som Fig. 5.8 viser, gir den tosidige avstivede platen noe høyere knekklast enn den ensidig avstivede platen. Under følger Fig. 5.9 som viser de seks første knekkformene platen knekker etter. Figur 5.9: De seks første knekkformene (m=1-6)

57 Kapittel 6 Beregninger Det er valgt å regne på de to geometriene, eskrevet i 5.1.1, for varierende platelengder. Det regnes ut knekkspenninger etter Timoshenko s plateteori [3], EN [1] og EN [2]. Resultatene vil li sammenlignet med knekkspenninger som kommer ut av analysene i ABAQUS, Kap. 5. Beregningene er gjort i regneprogrammet MathCad hvor alt av formler, data og forklaring er synlig, angitt i Kap Geometri og materialer Det vil li regnet på to forskjellige geometrier, en ensidig avstivet plate og en tosidig avstivet plate. Begge geometriene har samme stivhet, men forskjellige areal, som skyldes forskjellig stiverdimensjon. Det er litt valgt å regne på en plate med seks stivere. Dette er valgt fordi det er av interesse å undersøke teoriene som dekker platefelt med flere enn to stivere. Plateredden er satt til 1200mm og tykkelsen til 15mm. Stiverhøyden er satt til 100mm og tykkelse til 15mm for ensidig stivere og 153.9mm høyde og 15mm tykkelse for tosidig stivere. Se Fig. 6.1 og Fig Dette lir i egge tilfeller sett på som en solid avstivet plate og er litt valgt for å unngå tverrsnittsklasse 4, lokal knekking og ueffektivt areal. Det er litt rukt vanlig S 355 stål (tatt fra Taell 3.1 i NS-EN [6]) med E-modul på N/mm 2 og tverrkontraksjonstall på

58 MATHCAD DOKUMENTET Figur 6.1: Ensidig avstivet plate Figur 6.2: Tosidig avstivet plate 6.2 MathCad dokumentet Videre følger eregningene gjort i regneprogrammet MathCad. Teorien eskrevet i Kap. 3.1, 3.2 og 3.3 lir rukt til å eregne knekkspenninger for geometrien eskrevet i kapittelet over, Kap For EN vil det ikke li regnet på de nye utledede formelen, men formlene eskrevet i standarden (se Kap ). MathCad-regnearket viser are utregninger for en gitt platelengde for å vise hvordan det er gjort. Merk at det er eregnet knekkspenninger for platelengdene 2-20m med intervaller på 1m. Disse resultatene lir representert i Kap Ensidig avstivet plate I MathCad-dokumentet vil det også finnes utregninger for tverrsnittsklasse, effektivt materiale, nøytralakser og mer.

59 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 44 Material Bruker S355 stål for åde platen og stiverene Flytespenningen: NS-EN :Taell 3.1 f y := 355 N f 0 := f y mm 2 Bruddfasthet: f u := 510 N mm 2 E - modul: E := N mm 2 Poisson - tallet ν := 0.3 Skjærmodul E G := G N = 2 ( 1 + ν) mm 2

60 MATHCAD DOKUMENTET Geometri og Areal Plate: pl := 1200mm t pl := 15mm l pl := 10000mm Stivere: h sti := 100mm t sti := 15mm Antall stivere: n sti := 6 Platelengde per stiver: pl s := s = 200 mm n sti Areal til en stiver: A sti := h sti t sti A sti = mm 2 Totalareal av alle stiverne: A sti.tot := A sti n sti A sti.tot = mm 2 Areal til hele platen: A pl.tot := pl t pl A pl.tot = mm 2 Plateareal av en seksjon: A pl.sek := s t pl A pl.sek = mm 2 Totalareal av plate med stivere: A tot := A sti.tot + A pl.tot A tot = mm 2 Totalareal av en seksjon: A tot.sek := A sti + A pl.sek A tot.sek = 4500 mm 2

61 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 46 Tverrsnittsklasse NS-EN :Taell N mm 2 ε := ε = f y Plate: c p := s c p = 200 mm c p Klasse p := 4 if > 42ε Klasse t p = 1 pl 3 if c p t pl 42ε 2 if c p t pl 38ε 1 if c p t pl 33ε Stiver: c s := h sti c s = 100 mm c s Klasse s := 4 if > 14ε Klasse t s = 1 sti 3 if c s t sti 14ε 2 if c s t sti 10ε 1 if c s t sti 9 ε

62 MATHCAD DOKUMENTET Effektivt Areal Regnet ut etter EN kap 4.4 t := t pl t = 15 mm := s = 200 mm Ta. 4.1 Interne elementer (plate): Jevn spenningsfordeling gir følgende parameter etter Ta 4.1: ψ := 1 k σ := 4 Plateslankhet: t λ p := λ p = ε k σ ( ) Reduksjonsfaktor: ρ pl := 1 if λ p ρ pl = 1 λ p ( 3 + ψ) 2 λ p if λ p > Eksterne elementer (stiver): := h sti = 100 mm t := t sti t = 15 mm Jevn spenningsfordeling gir følgende parameter etter Ta 4.2 k σsti := 0.43 Stiverslankhet: t λ psti := λ psti = ε k σsti ρ sti := 1 if λ psti ρ sti = 1 λ psti λ psti 2 if λ p > Konklusjon : Ingen reduksjon i arealet

63 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 48 Nøytralakse og Stivheter Tyngdepunkt til platen med stiver: t pl h sti s t pl h sti + + h 2 sti t sti 2 e y := e s t pl + h sti t y = mm sti Stivheten til stivere: 3 2 h sti tsti h sti I sti := + h 12 sti t sti e y I 2 sti = mm 4 I sti.tot := I sti n sti I sti.tot = mm 4 Stivheten til platen: 3 2 s t pl t pl I pl.sek := + s t 12 pl + h 2 sti e y I pl.sek = mm 4 I pl.tot := I pl.sek n sti I pl.tot = mm 4 Totalstivheten til platefeltet med stivere: I tot := I pl.tot + I sti.tot I tot = mm 4 Totalstivehet til en stiver med effektiv plateredde: I tot.sek := I sti + I pl.sek I tot.sek = mm 4 Platestivheten: 3 E t pl D := D = N mm 12 1 ν 2 ( )

64 MATHCAD DOKUMENTET Knekkspenning etter EN Beregningene er gjort etter EN Annex A.1 - Equivalent orthotropic plate. Beskrevet i Kap. 3.2 i denne oppgaven := pl t := t pl a := l pl 2. arealmoment til kun platen: t 3 I p := I p = mm ν 2 ( ) 2.arealmoment til hele platen inkludert stiver: I sl := I tot I sl = mm 4 Totalareal av stiverene: A sl := A sti.tot A sl = mm 2 Totalareal av plate: A p := A pl.tot A p = mm 2 Største og minste kantspenninger settes til 1. Ettersom det er jevnt trykk i platen så lir spenningene likt over hele: σ 1 := 1 σ 2 := 1 Parametere rukt for å regne ut knekk koeffisienten for ortotrope plater: σ 2 ψ := ψ = 1 σ 1 I sl γ := γ = I p A sl δ := δ = 0.5 A p a α := α = 8.333

65 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 50 Knekkoffisienten for for ortotropiske plater lir da: 2 ( 1 + α 2 ) γ 1 (A.2) 4 k σ.p := α 2 if α γ k σ.p = ( ψ + 1) ( 1 + δ) 4( 1 + γ) ( ψ + 1) ( 1 + δ) 1 4 if α > γ π 2 E t 2 N σ E := 12 1 ν 2 2 σ E = mm 2 ( ) Den elastiske kritiske plateknekkingsspenningen lir da: N (A.1) σ cr.p.ec3 := k σ.p σ E σ cr.p.ec3 = mm 2 Knekklast: N cr.ec3 := σ cr.p.ec3 A tot N cr.ec3 = kn

66 MATHCAD DOKUMENTET Knekkspenning etter Timoshenko s plateteori Framgangsmåte og formler er eskrevet i Kap. 3.1 i oppgaven c 1 := 100mm c 2 := 300mm c 3 := 500mm c 4 := 700mm c 5 := 900mm c 6 := 1100mm π c 1 π c 2 sin sum := sin + sin... sin sum = 3 + sin + sin 2 π c 3 π c sin + sin 2 π c 4 π c h := t pl h = 15 mm Arealet av en stiver: A i := A sti A i = mm 2 I i := I tot.sek I i = mm 4 Parameteret : a β := β = E I i γ i := γ D i = A i δ i := δ h i = 0.083

67 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 52 Kritisk spenning for knekking med 1 ølge i lengderetning: ( ) 2 2 γ i π 2 D 1 + β 2 + sin sum N σ cr.m1 := σ cr.m1 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 2 ølger i lengderetning: ( ) 2 32γ i π 2 D 4 + β 2 + sin sum N σ cr.m2 := σ cr.m2 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 3 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 9 + β 2 + sin sum N σ cr.m3 := σ cr.m3 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 4 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 16 + β 2 + sin sum N σ cr.m4 := σ cr.m4 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 5 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 25 + β 2 + sin sum N σ cr.m5 := σ cr.m5 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 6 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 36 + β 2 + sin sum N σ cr.m6 := σ cr.m6 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2

68 MATHCAD DOKUMENTET Knekkspenninger etter EN , metode 1 Beregningene er gjort etter EN Kao Teorien er eskrevet i Kap i denne oppgaven A eff := A sti ρ sti + A pl.sek ρ pl A eff = mm 2 A net := A tot.sek A net = mm 2 := pl = 1200 mm t := t pl t = 15 mm L := a L = mm I y := I tot I y = mm 4 Den elastisk støtten fra platen: (6.97) 8.9 E t c := c = 3.65 N 3 mm 2 Knekkraften og knekkspenningen lir: (6.95)- (6.96) N cr.ec9.1 := π 2 E I y L 2 + L 2 c π 2 if 4 E Iy L < π c 4 E Iy ( 2 c E I y ) if L π c N cr.ec9.1 = kn N cr.ec9.1 N σ cr.ec9.1 := σ A cr.ec9.1 = tot mm 2

69 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 54 Knekkspenninger etter EN , metode 2 Beregningene er gjort etter EN Kao Teorien er eskrevet i Kap i denne oppgaven I L := I tot.sek I L = mm 4 s a := a = 100 mm 2 Bøynings- og torsjonsstivheten lir: E I L Ta B x := 2 a B x = kn m 3 E t pl B y := 12( 1 ν 2 ) B y = kn m H := 3 G t pl 6 H = kn m Knekkraften og knekkspenningen lir da: (6.102)- (6.103) π 2 N cr.ec9.2 := B x L 2 L + 2 H + B y 2 if L < 4 Bx B y 2π 2 ( B x B y + H) if L 4 Bx B y N cr.ec9.2 = kn N cr.ec9.2 N σ cr.ec9.2 := σ A cr.ec9.2 = tot mm 2

70 MATHCAD DOKUMENTET Videre følger utregning av knekkspenninger for gitte knekkformer etter teorien i EN , se Kap , med samme knekkformer som for Timoshenko`s plateteori D x := B x D x = m kn D y := B y D y = m kn Kritisk spenning for knekking med 1 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.21 := π 2 A tot D x L + 2H + D 2 y L N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 2 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.22 := π 2 A tot 4D x L 2 + 2H + D y 4 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 3 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.23 := π 2 A tot 8D x L 2 + 2H + D y 8 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 4 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.24 := π 2 A tot 16D x L 2 + 2H + D y 16 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 5 ølge i lengderetning:

71 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 56 σ cr.ec9.25 := π 2 A tot 25D x L 2 + 2H + D y 25 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 6 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.26 := π 2 A tot 36D x L 2 + 2H + D y 36 L 2 N = mm 2 Knekkspenninger for de forskjellige metodene: σ samlet := ( σ cr.p.ec3 σ cr.m1 σ cr.m2 σ cr.m3 σ cr.m4 σ cr.m5 σ cr.m6 σ cr.ec9.1 σ cr.ec9. N σ samlet = ( ) mm 2

72 MATHCAD DOKUMENTET Tosidig avstivet plate

73 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 58 Material Bruker S355 stål for åde platen og stiverene Flytespenningen: NS-EN :Taell 3.1 f y := 355 N f 0 := f y mm 2 Bruddfasthet: f u := 510 N mm 2 E - modul: E := N mm 2 Poisson - tallet ν := 0.3 Skjærmodul E G := G N = 2 ( 1 + ν) mm 2

74 MATHCAD DOKUMENTET Geometri og Areal Plate: pl := 1200mm t pl := 15mm l pl := 10000mm Stivere: h sti := 100mm t sti := 15mm Antall stivere: n sti := 6 Platelengde per stiver: pl s := s = 200 mm n sti Areal til en stiver: A sti := h sti t sti A sti = mm 2 Totalareal av alle stiverne: A sti.tot := A sti n sti A sti.tot = mm 2 Areal til hele platen: A pl.tot := pl t pl A pl.tot = mm 2 Plateareal av en seksjon: A pl.sek := s t pl A pl.sek = mm 2 Totalareal av plate med stivere: A tot := A sti.tot + A pl.tot A tot = mm 2 Totalareal av en seksjon: A tot.sek := A sti + A pl.sek A tot.sek = 4500 mm 2

75 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 60 Tverrsnittsklasse NS-EN :Taell N mm 2 ε := ε = f y Plate: c p := s c p = 200 mm c p Klasse p := 4 if > 42ε Klasse t p = 1 pl 3 if c p t pl 42ε 2 if c p t pl 38ε 1 if c p t pl 33ε Stiver: c s := h sti c s = 100 mm c s Klasse s := 4 if > 14ε Klasse t s = 1 sti 3 if c s t sti 14ε 2 if c s t sti 10ε 1 if c s t sti 9 ε

76 MATHCAD DOKUMENTET Effektivt Areal Regnet ut etter EN kap 4.4 t := t pl t = 15 mm := s = 200 mm Ta. 4.1 Interne elementer (plate): Jevn spenningsfordeling gir følgende parameter etter Ta 4.1: ψ := 1 k σ := 4 Plateslankhet: t λ p := λ p = ε k σ ( ) Reduksjonsfaktor: ρ pl := 1 if λ p ρ pl = 1 λ p ( 3 + ψ) 2 λ p if λ p > Eksterne elementer (stiver): := h sti = 100 mm t := t sti t = 15 mm Jevn spenningsfordeling gir følgende parameter etter Ta 4.2 k σsti := 0.43 Stiverslankhet: t λ psti := λ psti = ε k σsti ρ sti := 1 if λ psti ρ sti = 1 λ psti λ psti 2 if λ p > Konklusjon : Ingen reduksjon i arealet

77 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 62 Nøytralakse og Stivheter Tyngdepunkt til platen med stiver: t pl h sti s t pl h sti + + h 2 sti t sti 2 e y := e s t pl + h sti t y = mm sti Stivheten til stivere: 3 2 h sti tsti h sti I sti := + h 12 sti t sti e y I 2 sti = mm 4 I sti.tot := I sti n sti I sti.tot = mm 4 Stivheten til platen: 3 2 s t pl t pl I pl.sek := + s t 12 pl + h 2 sti e y I pl.sek = mm 4 I pl.tot := I pl.sek n sti I pl.tot = mm 4 Totalstivheten til platefeltet med stivere: I tot := I pl.tot + I sti.tot I tot = mm 4 Totalstivehet til en stiver med effektiv plateredde: I tot.sek := I sti + I pl.sek I tot.sek = mm 4 Platestivheten: 3 E t pl D := D = N mm 12 1 ν 2 ( )

78 MATHCAD DOKUMENTET Knekkspenning etter EN Beregningene er gjort etter EN Annex A.1 - Equivalent orthotropic plate. Beskrevet i Kap. 3.2 i denne oppgaven := pl t := t pl a := l pl 2. arealmoment til kun platen: t 3 I p := I p = mm ν 2 ( ) 2.arealmoment til hele platen inkludert stiver: I sl := I tot I sl = mm 4 Totalareal av stiverene: A sl := A sti.tot A sl = mm 2 Totalareal av plate: A p := A pl.tot A p = mm 2 Største og minste kantspenninger settes til 1. Ettersom det er jevnt trykk i platen så lir spenningene likt over hele: σ 1 := 1 σ 2 := 1 Parametere rukt for å regne ut knekk koffisienten for ortotrope plater: σ 2 ψ := ψ = 1 σ 1 I sl γ := γ = I p A sl δ := δ = 0.5 A p a α := α = 8.333

79 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 64 Knekkoffisienten for for ortotropiske plater lir da: 2 ( 1 + α 2 ) γ 1 (A.2) 4 k σ.p := α 2 if α γ k σ.p = ( ψ + 1) ( 1 + δ) 4( 1 + γ) ( ψ + 1) ( 1 + δ) 1 4 if α > γ π 2 E t 2 N σ E := 12 1 ν 2 2 σ E = mm 2 ( ) Den elastiske kritiske plateknekkingsspenningen lir da: N (A.1) σ cr.p.ec3 := k σ.p σ E σ cr.p.ec3 = mm 2 Knekklast: N cr.ec3 := σ cr.p.ec3 A tot N cr.ec3 = kn

80 MATHCAD DOKUMENTET Knekkspenning etter Timoshenko s plateteori Framgangsmåte og formler er eskrevet i Kap. 3.1 i oppgaven c 1 := 100mm c 2 := 300mm c 3 := 500mm c 4 := 700mm c 5 := 900mm c 6 := 1100mm π c 1 π c 2 sin sum := sin + sin... sin sum = 3 + sin + sin 2 π c 3 π c sin + sin 2 π c 4 π c h := t pl h = 15 mm Arealet av en stiver: A i := A sti A i = mm 2 I i := I tot.sek I i = mm 4 Parameteret : a β := β = E I i γ i := γ D i = A i δ i := δ h i = 0.083

81 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 66 Kritisk spenning for knekking med 1 ølge i lengderetning: ( ) 2 2 γ i π 2 D 1 + β 2 + sin sum N σ cr.m1 := σ cr.m1 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 2 ølger i lengderetning: ( ) 2 32γ i π 2 D 4 + β 2 + sin sum N σ cr.m2 := σ cr.m2 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 3 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 9 + β 2 + sin sum N σ cr.m3 := σ cr.m3 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 4 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 16 + β 2 + sin sum N σ cr.m4 := σ cr.m4 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 5 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 25 + β 2 + sin sum N σ cr.m5 := σ cr.m5 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2 Kritisk spenning for knekking med 6 ølger i lengderetning: ( ) γ i π 2 D 36 + β 2 + sin sum N σ cr.m6 := σ cr.m6 = h β 2 ( δ i sin sum) mm 2

82 MATHCAD DOKUMENTET Knekkspenninger etter EN , metode 1 Beregningene er gjort etter EN Kao Teorien er eskrevet i Kap i denne oppgaven A eff := A sti ρ sti + A pl.sek ρ pl A eff = mm 2 A net := A tot.sek A net = mm 2 := pl = 1200 mm t := t pl t = 15 mm L := a L = mm I y := I tot I y = mm 4 Den elastisk støtten fra platen: (6.97) 8.9 E t c := c = 3.65 N 3 mm 2 Knekkraften og knekkspenningen lir: (6.95)- (6.96) N cr.ec9.1 := π 2 E I y L 2 + L 2 c π 2 if 4 E Iy L < π c 4 E Iy ( 2 c E I y ) if L π c N cr.ec9.1 = kn N cr.ec9.1 N σ cr.ec9.1 := σ A cr.ec9.1 = tot mm 2

83 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 68 Knekkspenninger etter EN , metode 2 Beregningene er gjort etter EN Kao Teorien er eskrevet i Kap i denne oppgaven I L := I tot.sek I L = mm 4 s a := a = 100 mm 2 Bøynings- og torsjonsstivheten lir: E I L Ta B x := 2 a B x = kn m 3 E t pl B y := 12( 1 ν 2 ) B y = kn m H := 3 G t pl 6 H = kn m Knekkraften og knekkspenningen lir da: (6.102)- (6.103) π 2 N cr.ec9.2 := B x L 2 L + 2 H + B y 2 if L < 4 Bx B y 2π 2 ( B x B y + H) if L 4 Bx B y N cr.ec9.2 = kn N cr.ec9.2 N σ cr.ec9.2 := σ A cr.ec9.2 = tot mm 2

84 MATHCAD DOKUMENTET Videre følger utregning av knekkspenninger for gitte knekkformer etter teorien i EN , se Kap , med samme knekkformer som for Timoshenko`s plateteori D x := B x D x = m kn D y := B y D y = m kn Kritisk spenning for knekking med 1 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.21 := π 2 A tot D x L + 2H + D 2 y L N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 2 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.22 := π 2 A tot 4D x L 2 + 2H + D y 4 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 3 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.23 := π 2 A tot 8D x L 2 + 2H + D y 8 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 4 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.24 := π 2 A tot 16D x L 2 + 2H + D y 16 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 5 ølge i lengderetning:

85 6.2. MATHCAD DOKUMENTET 70 σ cr.ec9.25 := π 2 A tot 25D x L 2 + 2H + D y 25 L 2 N = mm 2 Kritisk spenning for knekking med 6 ølge i lengderetning: σ cr.ec9.26 := π 2 A tot 36D x L 2 + 2H + D y 36 L 2 N = mm 2 Knekkspenninger for de forskjellige metodene: σ samlet := ( σ cr.p.ec3 σ cr.m1 σ cr.m2 σ cr.m3 σ cr.m4 σ cr.m5 σ cr.m6 σ cr.ec9.1 σ cr.ec9. N σ samlet = ( ) mm 2

86 BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE 6.3 Beregningsresultat for ensidig avstivet plate I dette kapittelet vil resultatene fra MathCad-eregningene for den ensidige avstivede platen li presentert. I Kap. 7 vil resultatene li sammenlignet og kommentert Timoshenko s plateteori Resultatene for Timoshenko s plateteori [3] (Kap. 3.1) er satt opp i Ta Knekkspenninger etter Timoshenko s plateteori Lengde m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) Taell 6.1: Knekkspenninger for Timoshenko s Plateteori Taellen viser at knekkspenningene spriker. Ettersom det regnes knekkspenninger for hver av de antatte knekkformene, m=1, 2, 3, 4, 5 og 6 for avstander fra 2-20 meter, vil det oppstå høye knekkspenninger for de urealistiske knekkformene. Som for eksempel at en plate på 20m knekker med en knekkølge (m=1), eller at en plate på 2m knekker med

87 6.3. BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE 72 seks knekkølger (m=6). Dette vil kreve mye energi og dermed gi en høy og urealistisk knekkspenningen. Resultatene i Ta. 6.1 er litt plottet i Fig Her lir det vist hvordan resultatene spriker for de urealistiske knekkformene m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 1.4 Knekkspenninger (N/mm 2 ) Lengde på plate (m) Figur 6.3: Knekkspenninger for Timoshenko s plateteori

88 BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE I Fig. 6.4 er det mest interessante området fra Fig. 6.3 forstørret opp. Grafen viser at de seks kurvene når et tilnærmet likt unnpunkt rett over 380 N/mm 2. Figuren viser tydelig overgangen mellom antall sinushalvølger. Overgangen skjer i område rundt krysningspunktet for to kurver. Settes σ cr (m) = σ cr (m + 1), det vil si ligning (3.10) = (3.11), (3.11) = (3.12) og (3.12) = (3.13) osv, så lir krysningspunktet mellom de to kurvene funnet. Her går m = 1 m = 2 når a = 5004mm m = 2 m = 3 når a = 8668mm m = 3 m = 4 når a = 12258mm m = 4 m = 5 når a = 15825mm m = 5 m = 6 når a = 19382mm Knekkspenninger (N/mm 2 ) m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m= Lengde på plate (m) Figur 6.4: Knekkspenninger for Timoshenko s plateteori forstørret Merk at Fig. 6.3 og 6.4 ligner på Fig. 2.6 fra plateteorien i Kap. 2. Begge teoriene antar en doeltrigonometrisk forskyvningsfunksjon og kalkulerer resultatet for et gitt antall knekkølger i lengderetning av platen. Den avstivede platen skifter knekkform ved et høyere a/-forhold, som etyr at den avstivede platen vil ha en høyere lengde før den skifter knekkform. Figurene 6.3 og 6.4 inneholder mye informasjon og kan virke uoversiktlig, derfor lages det et mer oversiktelig plot. Verdiene i Fig. 6.3 som har høyere knekkspenning enn den laveste knekkspenning for en estemt platelengde, er ikke av stor interesse, ettersom disse ikke er realistiske. Dermed kan det plottes en kurve som inneholder den laveste knekkspenningen for hver platelengde. Resultatet lir kurven plottet i Fig Denne kurven rukes videre ved sammenligning av resultat for ABAQUS-analysen.

89 6.3. BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE 74 Knekkspenninger (N/mm 2 ) Tilpasset Timoshenkokurve Lengde på plate (m) Figur 6.5: Laveste knekkspenninger for Timoshenko s plateteori Det er mulig å forenkle plottet for knekkspenningen fra Fig Beholdes den laveste knekkspenningen funnet etterhvert som platelengden økes, lir resultatet som plottet i Fig Denne kurven er laget fordi den gjør sammenligningen med knekkspenningene fra Eurokoden lettere. Knekkspenninger (N/mm 2 ) Timoshenko s plateteori konservativ tilpasset Lengde på plate (m) Figur 6.6: Konservativ tilpassing av knekkspenningskurven for Timoshenko s plateteori

90 BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE Eurokode Regneresultatene fra EN og EN , eskrevet i Kap. 3.2 og 3.3, er satt opp i taellen under, Ta Lengde EN EN Met 1 EN Met 2 (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) Taell 6.2: Knekkspenninger fra Eurokode Taellen viser at knekkspenningene for de tre regnemetodene går mot hver sin minimumsverdi. Resultatene er plottet i Fig I Kap. 3 er det vist at de tre eregningsmetodene fra Eurokodene har to formler for utregning av knekklaster, hvor den først eregner knekklaster gjelder for plater som knekker med en sinushalvølger (m=1) og den andre gjelder for plater som knekker med to eller flere sinushalvølger (m 2). Formlen for knekklast når m 2 er ikke avhengig av platelengden. Ta. 6.2 og Fig. 6.7 viser at denne overgangen mellom formlene skjer ved en platelengde mellom 3 og 4 meter, siden knekkspenningene er konstant fra 4 meter.

91 6.3. BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE 76 Knekkspenninger (N/mm 2 ) EN EN Met 1 EN Met Lengde på plate (m) Figur 6.7: Knekkspenninger fra Eurokodene; EN og EN

92 BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE Resultat fra utledet formel for knekkspenning etter EN , metode 2 Som eskrevet i Kap kan det utledes formler for knekkspenningen hvor knekkformen er angitt i form av knekkølger i lengde, og redderetning. Disse er litt utledet i vedlegg A.4 og inkludert i MathCad-eregningene. Ta. 6.3 inneholder resultatet fra disse eregningene. Her oserveres det at knekkspenningene varierer etydelig, på samme måte som resultatene fra Timoshenko s plateteori. Knekkspenninger etter EN , modifisert Metode 2 Lengde m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) Taell 6.3: Knekkspenninger fra EN , modifisert Metode 2 Resultatene fra Ta. 6.3 er plottet i Fig Her legges det merke til likheten mellom kurven plottet i Fig. 6.8 og Fig. 6.3.

93 6.3. BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 1.4 Knekkspenninger (N/mm 2 ) Lengde på plate (m) Figur 6.8: Knekkspenninger fra EN , modifisert Metode 2 Her går m = 1 m = 2 når a = 4991mm m = 2 m = 3 når a = 8384mm m = 3 m = 4 når a = 11875mm m = 4 m = 5 når a = 15758mm m = 5 m = 6 når a = 19350mm altså går m m + 1 ved omtrent den samme platelengden som for Timoshenko s plateteori.

94 BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE Som for resultatene fra Timoshenko s plateteori er det laget et plott som viser området av interesse hvor de laveste knekkspenningene for hver platemeter er inkludert, dette gir Fig. 6.9 Knekkspenninger (N/mm 2 ) EN , Mod Met Lengde på plate (m) Figur 6.9: Modifisert EN laveste knekkspenninger

95 6.3. BEREGNINGSRESULTAT FOR ENSIDIG AVSTIVET PLATE Resultat fra EBPlate Det er valgt å regne ut knekkspenningene i EBPlate [4] for ensidig avstivede plater for å se hvor godt programmet treffer i forhånd til eregningsmetodene og ABAQUS-analysen. EBPlate anefaler å ruke eregningsmetoden for ortotrope plater hvis stiverantaller er høyere enn tre. Resultatet for knekkspenningene er vist i Ta. 6.4 og plottet i Fig Lengde EBPlate (m) (N/mm 2 ) Taell 6.4: Knekkspenninger fra EBPlate Knekkspenninger (N/mm 2 ) EBPlate, ortotrope plater Lengde på plate (m) Figur 6.10: Knekkspenninger fra EBPlate for ortotrope plater

96 BEREGNINGSRESULTAT FOR TOSIDIG AVSTIVET PLATE 6.4 Beregningsresultat for tosidig avstivet plate Resultatene fra den tosidige avstivede platen er relativt like resultatene fra den ensidig avstivede platen, derfor vil dette kapittelet li presentert i korthet. Resultatene er eregnet på samme måte som for den ensidige avstivede platen, forskjellen er forandringen av geometrien som gir forskjellige parametre Timoshenko s plateteori Resultatene for utregningene etter Timoshenko s plateteori er satt opp i taellen under. Spredningen framstår som omtrentlig lik den for ensidig avstivet plate. Knekkspenninger etter Timoshenko s plateteori Lengde m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) Taell 6.5: Knekkspenninger for Timoshenko s Plateteori for tosidig avstivet plate I Fig er de laveste knekkspenningene for hver platelengde plottet. Kurvene har samme form som kurven for ensidig avstivede plater i Fig Knekkspenningene er

97 6.4. BEREGNINGSRESULTAT FOR TOSIDIG AVSTIVET PLATE 82 likevel lavere enn for tosidig avstivet plate, sammenlignet med ensidig avstivet plate. Reduksjon av knekkspenningen skyldes at den tosidig avstivede platen vil få en økning av arealet. Knekkspenninger (N/mm 2 ) m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m= Lengde på plate (m) Figur 6.11: Knekkspenninger etter Timoshenko s plateteori for tosidig avstivet plate Eurokode Knekkspenningene for den tosidige avstivede platen for regnemetodene i EN og EN er satt opp i Ta Som for ensidig avstivede plater går knekkspenningene for de tre regnemetodene raskt mot en gitt konstant verdi på grunn av at knekklastene regnes etter formlen for m 2, forklart i Kap

98 BEREGNINGSRESULTAT FOR TOSIDIG AVSTIVET PLATE Lengde EN EN Met 1 EN Met 2 (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) Taell 6.6: Knekkspenninger fra Eurokode for tosidig avstivet plate Grafen under viser knekkspenningene for de tre eregningsmetodene. Her kommer det frem at forholdet mellom de forskjellige eregningsmetodene er tilnærmet lik som for ensidig avstivet plate, se Fig Knekkspenninger (N/mm 2 ) EN EN Met 1 EN Met Lengde på plate (m) Figur 6.12: Knekkspenninger fra EN og EN for tosidig avstivet plate

99 Kapittel 7 Sammenligning av resultat Det er av interesse å sammenligne hvor godt knekkspenningene for de forskjellige eregningsmetodene treffer knekkspenningene fra FEM-analysene gjennomført i ABAQUS. Det er også av interesse og se hvor stor forskjell det er mellom resultatene for en- og tosidig avstivet platefelt med samme øyestivhet. I dette kapittelet vil disse sammenligningene li fremstilt systematisk, hvor først resultatene fra ensidig avstivede plater vil li sammenlignet. Videre følger sammenligning for tosidig avstivet plate, og avslutningsvis vil forskjellen mellom disse to geometriene li sammenlignet. Det vil li kommentert og forklar hvorfor disse resultatene lir som de lir. 7.1 Ensidig avstivet plate Timoshenkos s plateteori og EN Met.2-modifisert sammenlignet med ABAQUS-analyse Timeshenko s plateteori tar hensyn til antallet sinushalvølger den avstivede platen knekker med, og det vil være av interesse å se hvor ra resultatene fra Timoshenko s plateteori, Kap , stemmer med resultatene fra ABAQUS-analysen i Kap. 5.2 samt eregningsresultatene for de modifiserte knekkspenningsformlene fra EN gitt i Kap I Fig. 7.1 er disse tre resultatene plottet sammen. Det oserveres at formen på kurvene er nærmest identiske. Dette tyder på at antagelsen for når platen skifter knekkform,m m + 1, er riktig for Timoshenko s plateteori og EN modifisert metode 2. 84

100 ENSIDIG AVSTIVET PLATE Knekkspenninger (N/mm 2 ) Skallelement Timoshenko EN Mod Lengde på plate (m) Figur 7.1: Knekkspenninger fra ABAQUS-analysen, eregninger etter Timoshenko s plateteori og EN modifisert metode 2 for ensidig avstivet plate Figur 7.1 viser at knekkspenningene fra Timoshenko s plateteori er høyere enn knekkspenningene fra ABAQUS-analysen. Knekkspenningene etter EN Mod er stort sett lavere en enn ABAQUS-analysen. Forskjellen i prosent er litt eregnet og satt inn i Ta. 7.1, negativ prosent etyr at knekkspenningen ligger høyere enn for ABAQUSanalysen. Resultatene fra Timoshenko s plateteori avviker stort sett med 1-3%, sett ort fra et par platelengder som gir noe større avvik (2m med 4.7% og 9m med 4.3%). At knekkspenningene for Timoshenko ligger over ABAQUS-analysen er overraskende, siden teorien eskrevet i Kap. 3.1 kun inkluderer øyning om redde og lengderetning. ABAQUSanalysen inkluderer i tillegg til øyningen åde et torsjons- og skjæridrag som skulle tilsi at knekkspenningen urde vært høyere enn de eregnet etter Timoshenko s plateteori. Det er i vedlegg A.6 studert om avviket kan forklares med at platen i ABAQUS-analysen ikke knekker ut i en perfekt sinusformet deformasjon i lengde og redderetning, slik det antas i Timoshenko s plateteori. I vedlegg A.6 er deformasjonen til platen i ABAQUS plottet mot en sinuskurve. Det viser seg at deformasjonen i ABAQUS-analysen er nært eksakt lik som en sinuskurve. Dermed kommer ikke knekkspenningenes avvik av feil antatt deformasjonsform.

101 7.1. ENSIDIG AVSTIVET PLATE 86 Ensidig avstivet plate Lengde ABAQUS Timoshenko Forskjell EN Mod Forskjell (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (%) (N/mm 2 ) (%) ,7% 613-4,7 % ,7% 387 1,0 % ,0% 380 2,6 % ,5% 453-1,1 % ,5% 387 1,3 % ,3% 369 2,4 % ,0% 380 2,6 % ,5% 376 4,3 % ,8% 369 2,7 % ,0% 375 1,3 % ,0% 387 0,8 % ,8% 373 2,1 % ,3% 369 2,4 % ,0% 371 3,0 % ,8% 375 2,1 % ,6% 370 2,2 % ,3% 369 2,7 % ,0% 373 2,7 % ,8% 371 2,2 % Taell 7.1: Prosentvis forskjell mellom ABAQUS-Timoshenko og ABAQUS-EN Mod Avviket mellom knekkspenningene fra EN Mod og ABAQUS-analysene ligger stort sett mellom 1-3%. Også her oppstår det noen unntak hvor avviket er større (2m med -4.7% og 9m med 4.3%). Knekkspenningene fra EN Mod ligger lavere enn knekkspenningene fra ABAQUS-analysen, noe som er fornuftig. Som teorien for utregning av knekkspenning etter EN viser, Kap. 3.3, inkluderes øyning i lengde og redderetning i tillegg til et torsjonsidrag. Dermed er det kun skjæridrag metoden ikke tar hensyn til, som kan forklare hvorfor knekkspenningene avviker 1-3%. En forskjell som kan gi avvikende knekkspenninger er at eregningsmetoden i EN metode 2 ruker ortotrop plateteori. Det etyr at stivernes plassering ikke lir tatt hensyn til i eregningene for knekklast. Det vil føre til et avvik sammenlignet med ABAQUSanalyser hvor stivernes plassering vil påvirke knekklasten. Beregningsresultatene viser at å ruke ortotrop plateteori gir presise resultater for den valgte geometrien.

102 ENSIDIG AVSTIVET PLATE EN og EN sammenlignet med ABAQUSanalyse Resultatene fra eregningene gjort etter EN og EN er presentert i Kap Det vil li sett på hvor godt knekkspenningene fra Eurokodene treffer i forhold til ABAQUSanalysene. I Fig. 7.2 er knekkspenningene fra Eurokodene og ABAQUS-analysen plottet. Knekkspenninger (N/mm 2 ) Skallelement EN EN Met 1 EN Met Lengde på plate (m) Figur 7.2: Knekkspenninger for Skallelement og Eurokodene for ensidig avstivet plat Inkluderes resultatene fra Timoshenko s plateteori hvor den tilpassede konservative kurven plottes, se Fig. 6.6, gir det en oversikt over alle de eregnede knekklastene for den ensidige avstivede platen, Fig Knekkspenninger (N/mm 2 ) EN EN Met 1 EN Met 2 Timoshenko, tilpasset Lengde på plate (m) Figur 7.3: Alle eregnede knekkspenninger for ensidig avstivet plate

103 7.1. ENSIDIG AVSTIVET PLATE 88 Timoshenko s plateteori og EN får nærmest identiske knekkspenninger sett ort fra område mellom 4-6m hvor variasjonen er høyere. Denne variasjonen kan sees ort ifra, fordi den sannsynlig skyldes for høye lengdesteg ved utregning av knekkspenningene for m = 1 etter Timoshenko s plateteori. Dersom lengdestegene reduseres vil denne variasjonen forsvinne. I Kap le det utledet og diskutert sammenhengen mellom Timoshenko s plateteori og teorien for knekklaster i EN At knekkspenningene fra eregningseksemplet avviker så lite, støtter antagelsen om at eregningsmetoden i EN kommer fra Timoshenko s plateteori. Samtidig er ikke knekkspenningene identiske, det tyder på at teoriene ikke kan utledes direkte, men at den kan være asert på noen antagelser.

104 ENSIDIG AVSTIVET PLATE EN Som Ta. 7.2 viser, vil EN sammenlignet med ABAQUS-analysen gi ukonservative knekkspenninger for korte plater (2-3 meter) hvor differansen ligger på opptil -6.7%, samt for platelengder på 7, 10, 11, 14, 17, 18 og 20 meter hvor differansen er under 1%, altså etydelig lavere. EN gir de mest presiste knekkspenningene av de fire eregningsmetodene det er sett på. De eregnede knekkspenningene er som nevnt ukonservative for enkelte platelengder. Selv om avviket for geometrien i denne oppgaven er på ±0-1%, som er lavt, er det usikkert i hvilke retning avviket tar ved andre geometrier. I masteroppgaven til Grue [7] er det vist i Figur 49 at knekklasten etter EN har et høyere ukonservativt avviker fra ABAQUS-analysen enn 0-1% for geometrien som le testet. I masteroppgaven til Kleppe [9] er det vist at knekklasten er tydelig konservativ for geometrien som le testet. Det vil si at metoden for eregning av knekklast etter EN er ustail, altså ikke konservativ for alle geometrier. Ensidig avstivet plate Lengde ABAQUS EN Forskjell (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (%) ,7 % ,0 % ,4 % ,6 % ,9 % ,8 % ,4 % ,9 % ,5 % ,3 % ,4 % ,0 % ,8 % ,3 % ,5 % ,8 % ,5 % ,5 % ,5 % Taell 7.2: Prosentvis forskjell mellom ABAQUS og EN

105 7.1. ENSIDIG AVSTIVET PLATE 90 Det le i Kap utledet en formel (3.24) for knekkspenning som antar at den første formlen (3.18) for utregning av knekkfaktoren i EN er feil. Den første formlen gjelder så lenge platen knekker med en sinushalvølge. Det er dermed av interesse å se hvor stor forskjellen er mellom disse to formlene. I Fig. 7.4 er verdiene for de to formlene plottet, etter 4 meter knekker platen med to eller flere sinushalvølger, og dermed kan ikke formlen rukes videre Knekkspenninger (N/mm 2 ) EN EN utledet Lengde på plate (m) Figur 7.4: Sammenligning av knekkspenninger for m=1 Som Fig. 7.4 viser avviker ikke knekkspenningene mye mellom de to formlene. Dette skyldes at den valgte geometrien gir høy α og γ. For plater med lavere α- og γ-verdier kan avviket alikevel lir større.

106 ENSIDIG AVSTIVET PLATE EN , Metode 1 Knekkspenningene fra eregninsmetoden i EN metode 1 er de mest konservative og med størst avvik i forhold til ABAQUS-analysen. Kun for platelengde på 2 meter vil knekkspenningen være for høy, med 0.3%. Dette er overraskende resultater siden det tidligere i oppgaven le vist at denne metoden også ygger på en antatt sinusformet forskyvning. Det le antatt at denne metoden skulle gi knekkspenninger lavere enn ABAQUS-analysen og nært resultatene fra EN og Timoshenko s plateteori. Selv om metoden inkluder åde øyning av plate og stivere, vil ikke metoden ved å se på platen som en søyle med elastisk støtte fra underlaget representere virkeligheten godt. I masteroppgaven til Grue [7] er det vist i Figur 49 at knekklasten etter EN Metode 1 har konservativt avviker fra ABAQUS-analysen. I masteroppgaven til Kleppe [9] er det vist i Figur 5-18 at knekklasten er tydelig konservativ for geometrien som le testet. Det vil si at metoden for eregning av knekklast etter EN generelt sett er konservativ. Ensidig avstivet plate Lengde ABAQUS EN , Met 1 Forskjell (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (%) ,3 % ,9 % ,4 % ,4 % ,0 % ,9 % ,4 % ,0 % ,1 % ,4 % ,4 % ,7 % ,9 % ,0 % ,3 % ,9 % ,1 % ,3 % ,1 % Taell 7.3: Prosentvis forskjell mellom ABAQUS og EN metode 1

107 7.1. ENSIDIG AVSTIVET PLATE 92 EN , Metode 2 Sett ort fra knekkspenningene for to meter platelengden er resultatene etter EN de som treffer est uten å være tidvis ukonservative. Knekkespenningene varierer noen prosent fra ABAQUS-analysen pga den svingende kurven ABAQUS-analysen har. I motsetning til de andre eregningsmetodene inkluderes det et torsjonsidrag via variaelen H, eskrevet i Kap I masteroppgaven til Kleppe [9] er det vist i Figur 5-18 at knekklasten er konservativ for geometrien som le testet. Ensidig avstivet plate Lengde ABAQUS EN , Met 2 Forskjell (m) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (%) ,9 % ,0 % ,7 % ,4 % ,2 % ,4 % ,7 % ,2 % ,7 % ,0 % ,7 % ,3 % ,4 % ,5 % ,8 % ,4 % ,7 % ,8 % ,7 % Taell 7.4: Prosentvis forskjell mellom ABAQUS og EN metode 2

108 TOSIDIG AVSTIVET PLATE EBPlate, ortotrop plate Resultatene for eregningene utført med programmet EBPlate er gitt i Ta Disse er plottet i Fig. 7.5 sammen med resultatene fra ABAQUS-analysen og eregningsmetodene etter Timoshenko s plateteori og modifisert EN metode 2. Knekkspenninger (N/mm 2 ) Skallelement Timoshenko Tilpasset kurve for EN EBPlate Lengde på plate (m) Figur 7.5: Knekkspenninger fra EBPlate sammenlignet med ABAQUS, Timoshenko og modifisert EN Figuren viser at EBPlate gir lite avvikende knekkspenninger sammenlignet med ABAQUS, Timoshenko s plateteori og EN met 2 Mod. Formen på kurven følger stort sett formen på de sammenlignede kurvene. Til tross for nærmest identisk kurveform så varierer resultaten mer for EBPlate enn for ABAQUS og eregningsmetodene. Knekkspenningene varierer fra å være lavere enn ABAQUS-analysen for enkelte platelengder til å være høyere enn knekkspenningene fra Timoshenko. Altså er ikke knekkspenningene fra EBPlate for den valgte geometrien konservative for alle platelengder. 7.2 Tosidig avstivet plate Resultatene for de eregnede knekkspenningene for den tosidig avstivede platen er gitt i Kap. 6.4, knekkspenningene fra ABAQUS-analysen er gitt i Kap I Fig. 7.6 er knekk-

109 7.3. SAMMENLIGNING AV KNEKKSPENNINGER FOR EN- OG TOSIDIG AVSTIVET PLATE 94 spenningene fra eregningene samt analysene for den tosidig avstivede platen plottet. Sammenlignes Fig. 7.6 med Fig.7.3 og Fig. 7.2 for ensidige avstivede plater, vises det at de eregnede knekkspenningene ligger lavere for tosidig avstivet plate. Formen på kurvene samt forholdet mellom dem ser likt ut for en- og tosidig avstivet plate. Knekkspenningene fra ABAQUS-analysen vil derimot ligge høyere i forhold til de eregnede. Dette fører til at for den tosidig avstivede platen vil alle eregningsmetodene gi konservative knekkspenninger. Knekkspenninger (N/mm 2 ) Bjelk/skall-element EN EN Met 1 EN Met 2 Tilpasset Timoshenkokurve Lengde på plate (m) Figur 7.6: Knekkspenninger for Bjelke/Skall-element og Eurokodene for tosidig avstivet plate Bøyestivheten i redde og lengderetning vil være lik for den en- og tosidig avstivede platen. Økningen av knekkspenning for ABAQUS-analysen må dermed skyldes økningen av torsjonsstivhet stiverne får for den tosidig avstivede platen. 7.3 Sammenligning av knekkspenninger for en- og tosidig avstivet plate Knekkspenningene funnet for en- og tosidig avstivet plate gitt i Kap. 6 sammenlignes. For de fire eregningsmetodene lir knekkspenningen 18% høyere for ensidig avstivet plate. Den totale økningen i areal for tosidig avstivet plate er også 18%. Dette etyr at eregningsmetodene ikke lir påvirket av om stiverne er en- eller tosidige, som etyr at knekklasten er den samme for en- og tosidig avstivet plate. Resultatene for knekklasten fra ABAQUS-analysene lir derimot ikke like. Dette er vist og kommentert i Kap. 5.2, og skyldes at større stiverdimensjon vil gi større torsjonsstivhet.

110 SAMMENLIGNING AV KNEKKSPENNINGER FOR EN- OG TOSIDIG AVSTIVET PLATE Det etyr at den tosidig avstivede platen er mindre effektiv ettersom knekkspenningen synker, men har høyere knekkapasitet ettersom knekkraften øker. Beregningsmetoden eskrevet i EN metode 2 er den eneste som tar med torsjonsidrag i kalkulering av knekkspenningene. Som formel (3.33) viser, så lir det kun inkludert torsjonsstivhet fra platen. En økning av stiverdimensjonen vil derfor ikke ha innvirkning på knekklasten. Dermed lir knekklasten for den en- og tosidig avstivede platen lik.

111 Kapittel 8 Konklusjon Ettersom de eregnede knekklastene rukes videre i kapasitetseregningene for platefeltet er det viktig at disse er så korrekt som mulig. De korrekte knekklastene i denne oppgaven er de fra ABAQUS-analysene. Beregningsmetodene i Eurokoden kommer fra forskjellige akgrunner og gir dermed knekklaster som ikke alltid er like presise. Det er vanskelig å sitte en endelige konklusjon for hvilke eregningsmetoder som gir de mest presise knekklastene når det i oppgaven lir sett på to forskjellige plategeometrier. Beregningsmetoden Plate på elastisk underlag etter EN Metode 1 gir de mest avvikende knekkpenningene. Den gir veldig konservative knekkspenninger. For den ensidig avstivede platen avviker knekkspenningene stort sett med 10-15%. For den tosidig avstivede platen er avvikene enda større. Ettersom det ønskes å finne en så presis knekklast som mulig vil denne metoden være den minst kvalifiserte. Ettersom metoden gir konservative resultat så kan den selvsagt rukes. Beregningsmetoden Knekklast for ortotrop plate fra EN Metode 2 gir også konservative knekkspenninger, men avviker lite. Avviket er stort sett plassert rundt 2-5%, noe høyere for den tosidig avstivede platen. At formlene i metode kan utledes, slik at det lir tatt hensyn til knekkform er positivt. Det gir muligheter for å kontrollere at resultatene gjelder for samme knekkformer som for ABAQUS-analysen. Det gir også muligheter for å lage plott som tar hensyn til platens økning av knekklast i overgangen mellom knekkformene. At det kan settes inn antall sinushalvølger i redderetning gir teorien større fleksiilitet og kan dermed dekke et større område av geometrier og knekkformer. Metoden inkluderer et idrag for torsjonsstivheten, dette gjør at vil gi mer presise svar for plategeometrier med høy torsjonsstivhet. Beregningsmetoden etter EN er den mest presise av de fire som er litt regnet på. Her avviker knekkspenningene lite fra ABAQUS-analysen, rundt 0-1%, sett ort fra økningen knekkspenningene fra ABAQUS får når platen skifter knekkform (m m+1). Til tross for god treffsikkerhet varierer avvikene åde positivt og negativt. Dermed er ikke 96

112 97 knekkspenningene konservative for alle platelengdene. Siden knekkspenningen ligger nært de korrekte verdien kan det negative avviket antas å være neglisjerart. Men tidligere masteroppgaver hvor andre geometrier er rukt, viser at denne metoden kan gi veldig ukonservativ knekklaster. Dette er ikke ønsket siden knekklasten rukes til å kalkulere platens kapasitet. Beregningsmetoden etter Timoshenko s plateteori gir de høyeste knekkspenningene av de fire som er regnet på. Metoden avviker lite fra ABAQUS-analysen, rundt 1-2% for de fleste platelengdene. Knekkspenningene ligger derimot over ABAQUS-analysen for alle platelengdene og er dermed ukonservativ. Dette er ikke ønsket siden knekklasten rukes til å kalkulere platens kapasitet. Det er funnet en sammenheng mellom teorien for eregning av knekklast etter EN og Timoeshenko s plateteori for plater som knekker med en sinushalvølge i redde og lengderetning. Det er konkludert med at formel (3.18) er feil.

113 Figurer 2.1 Sammenheng mellom krumning og tøyning [5] Platens spenningsresultanter [5] Bøye- og skivespenninger i plate [5] Skivekrefter på deformert element [5] Enkel rektangulær plate med fritt opplagte rander og enaksialt trykk [5] Elastisk knekking av rektangulær plate med konstant aksiallast [5] Plantegning av platefelt med stiveravstand, c i, for hver stiver Elastisk knekking av rektangulær plate med konstant aksiallast [2] Elastisk knekking av rektangulær plate med konstant aksiallast [2] Skallelementet estår av en memran- og platedel Geometri for skallelementet. Viser 20- og 16-noders volumelement og et 8-noders skallelement Frihetsgradene til jelkeelementet Geometri og mål av skall og jelkemodellen Geometri og mål av den rene skallmodellen Plate forundet med jelkeelement med Tie-Constraint Plateelement forundet med Merge/Cut funksjonen Constraintforindelse mellom platekant og RP Opplager og lastetingelser Knekkspenninger for Bjelke/Skall-element og Skallelement Knekklaster for Bjelke/Skall-element og Skallelement De seks første knekkformene (m=1-6) Ensidig avstivet plate Tosidig avstivet plate Knekkspenninger for Timoshenko s plateteori Knekkspenninger for Timoshenko s plateteori forstørret Laveste knekkspenninger for Timoshenko s plateteori Konservativ tilpassing av knekkspenningskurven for Timoshenko s plateteori Knekkspenninger fra Eurokodene; EN og EN Knekkspenninger fra EN , modifisert Metode Modifisert EN laveste knekkspenninger

114 99 FIGURER 6.10 Knekkspenninger fra EBPlate for ortotrope plater Knekkspenninger etter Timoshenko s plateteori for tosidig avstivet plate Knekkspenninger fra EN og EN for tosidig avstivet plate Knekkspenninger fra ABAQUS-analysen, eregninger etter Timoshenko s plateteori og EN modifisert metode 2 for ensidig avstivet plate Knekkspenninger for Skallelement og Eurokodene for ensidig avstivet plat Alle eregnede knekkspenninger for ensidig avstivet plate Sammenligning av knekkspenninger for m= Knekkspenninger fra EBPlate sammenlignet med ABAQUS, Timoshenko og modifisert EN Knekkspenninger for Bjelke/Skall-element og Eurokodene for tosidig avstivet plate A.1 Geometrien til en seksjon av den ensidig avstivede platen V9 A.2 Geometrien til en seksjon av den tosidig avstivede platen V10 A.3 Sammenligning av knekkform i lengderetning V12 A.4 Sammenligning av knekkform i redderetning V12

115 Taeller 5.1 Resultater fra ABAQUS Knekkspenninger for Timoshenko s Plateteori Knekkspenninger fra Eurokode Knekkspenninger fra EN , modifisert Metode Knekkspenninger fra EBPlate Knekkspenninger for Timoshenko s Plateteori for tosidig avstivet plate Knekkspenninger fra Eurokode for tosidig avstivet plate Prosentvis forskjell mellom ABAQUS-Timoshenko og ABAQUS-EN Mod Prosentvis forskjell mellom ABAQUS og EN Prosentvis forskjell mellom ABAQUS og EN metode Prosentvis forskjell mellom ABAQUS og EN metode B.1 Knekkspenninger og knekkform for 2 meters plate modelers med skall og jelke V14 B.2 Knekkspenninger og knekkform for 3 meters plate modelers med skall og jelke V15 B.3 Knekkspenninger og knekkform for 4 meters plate modelers med skall og jelke V16 B.4 Knekkspenninger og knekkform for 5 meters plate modelers med skall og jelke V17 B.5 Knekkspenninger og knekkform for 6 meters plate modelers med skall og jelke V18 B.6 Knekkspenninger og knekkform for 7 meters plate modelers med skall og jelke V19 B.7 Knekkspenninger og knekkform for 8 meters plate modelers med skall og jelke V20 B.8 Knekkspenninger og knekkform for 9 meters plate modelers med skall og jelke V21 B.9 Knekkspenninger og knekkform for 10 meters plate modelers med skall og jelke V22 B.10 Knekkspenninger og knekkform for 11 meters plate modelers med skall og jelke V23 100

116 101 TABELLER B.11 Knekkspenninger og knekkform for 12 meters plate modelers med skall og jelke V24 B.12 Knekkspenninger og knekkform for 13 meters plate modelers med skall og jelke V25 B.13 Knekkspenninger og knekkform for 14 meters plate modelers med skall og jelke V26 B.14 Knekkspenninger og knekkform for 15 meters plate modelers med skall og jelke V27 B.15 Knekkspenninger og knekkform for 16 meters plate modelers med skall og jelke V28 B.16 Knekkspenninger og knekkform for 17 meters plate modelers med skall og jelke V29 B.17 Knekkspenninger og knekkform for 18 meters plate modelers med skall og jelke V30 B.18 Knekkspenninger og knekkform for 19 meters plate modelers med skall og jelke V31 B.19 Knekkspenninger og knekkform for 20 meters plate modelers med skall og jelke V32 B.20 Knekkspenninger og knekkform for 2 meters plate modellert med skallelementv34 B.21 Knekkspenninger og knekkform for 3 meters plate modellert med skallelementv35 B.22 Knekkspenninger og knekkform for 4 meters plate modellert med skallelementv36 B.23 Knekkspenninger og knekkform for 5 meters plate modellert med skallelementv37 B.24 Knekkspenninger og knekkform for 6 meters plate modellert med skallelementv38 B.25 Knekkspenninger og knekkform for 7 meters plate modellert med skallelementv39 B.26 Knekkspenninger og knekkform for 8 meters plate modellert med skallelementv40 B.27 Knekkspenninger og knekkform for 9 meters plate modellert med skallelementv41 B.28 Knekkspenninger og knekkform for 10 meters plate modellert med skallelement V42 B.29 Knekkspenninger og knekkform for 11 meters plate modellert med skallelement V43 B.30 Knekkspenninger og knekkform for 12 meters plate modellert med skallelement V44 B.31 Knekkspenninger og knekkform for 13 meters plate modellert med skallelement V45 B.32 Knekkspenninger og knekkform for 14 meters plate modellert med skallelement V46 B.33 Knekkspenninger og knekkform for 15 meters plate modellert med skallelement V47

117 TABELLER 102 B.34 Knekkspenninger og knekkform for 16 meters plate modellert med skallelement V48 B.35 Knekkspenninger og knekkform for 17 meters plate modellert med skallelement V49 B.36 Knekkspenninger og knekkform for 18 meters plate modellert med skallelement V50 B.37 Knekkspenninger og knekkform for 19 meters plate modellert med skallelement V51 B.38 Knekkspenninger og knekkform for 20 meters plate modellert med skallelement V52

118 Biliografi [1] NS-EN :2006+NA:2009 prosjektering av stålkonstruksjoner. del 1-5 plater påkjent. [2] NS-EN :2007+A1:2009+NA:2009 prosjektering av aluminiumskonstruksjoner. del 1-1: Allmenne regler. [3] Stephen P. Timoshenko James M. Gere. Theory of Elastic Staility. Dover Pulication, Inc, second edition, [4] CTICM. Presentation Manual of EBPlate, [5] Per Kr. Larsen. Dimensjonering av stålkonstruksjoner. Tapir Akademisk Forlag, second edition, [6] NS-EN :2005+NA:2008 prosjektering av stålkonstruksjoner. del 1-1: Allmenne regler og regler for ygninger. [7] Marius Vengnes Grue. Kapasitet av avstivede platefelt i stål. Master s thesis, NTNU, [8] Tsuyoshi Hayashi. Handook of Structural Staility. Corona Pulishing Company, LTD. Tokyo, [9] Svein-Rune Kleppe. Kapasitet av platefelt. Master s thesis, NTNU, [10] Stephen P. Timoshenko. Üer die Stailität versteifter Platten. EisenBau, [11] D.Sc M. S. Troitsky. Stiffened Plates Bending, Staility and Virations. Elsevier Scientific Pulishing Company, [12] Lars Rønning. Analytical solutions to prolems of plate uckling. Technical report, NTNU, [13] Hilde Ersland. Beregning av knekklast og knekkmoder for plater. Technical report, NTNU,

119 Tillegg A Utledninger A.1 Utregning av c i Uttrykket for c i kommer fra prinsippet for virtuelt areid, hvor det er antatt at platen deformerer seg som en sinushalvølge på grunn av en sinusformet jevnt fordelt last på hele redden. q = q 0 sin πx (A.1) Den sinusaserte lasten gir w o = q o π 4 D 4 (A.2) Som omformulert gir q o = π4 D 4 w 0 (A.3) Videre settes platestivheten D inn D = Et 3 12(1 ν 2 ) (A.4) V1

120 A.1. UTREGNING AV C I V2 Dermed lir uttrykket q o = π4 Et 3 w o 12(1 ν 2 ) 4 = 8, 9Et3 w 4 0 (A.5) Ganget med redden lir (q o ) = 8, 9 Et3 3 w 0 (A.6) Som gir uttrykket for stivheten c c = 8, 9 Et3 3 (A.7)

121 V3 A.2. BEREGNING AV SINUS-LEDD FOR N = 3 6 A.2 Beregning av sinus-ledd for n = 3 6 Siden reglene gjelder for plater med tre eller flere stivere lir det først sett på plate med 3 stivere 2 i γ i sin 2 πc i = 2γ i (sin 2 π/6 + sin 2 π/2 2γ i 1.5 = 3γ i = nγ i + sin 2 π5/6 ) = (A.8) 2 i δ i sin 2 πc i = 2δ i (sin 2 π/6 + sin 2 π/2 2δ i 1.5 = 3δ i = nδ i + sin 2 π5/6 ) = (A.9) Plater med 4 stivere 2 i γ i sin 2 πc i = 2γ i (sin 2 π/8 + sin 2 π3/8 2γ i 2 = 4γ i = nγ i + sin 2 π5/8 + sin 2 π7/8 ) = (A.10) 2 i δ i sin 2 πc i = 2δ i (sin 2 π/8 + sin 2 π3/8 2δ i 2 = 4δ i = nδ i + sin 2 π5/8 + sin 2 π7/8 ) = (A.11) Plater med 5 stivere 2 i γ i sin 2 πc i = 2γ i (sin 2 π/10 + sin 2 π3/10 2γ i 2 = 4γ i = nγ i + sin 2 π5/10 + sin 2 π7/10 + sin 2 π9/10 ) = (A.12)

122 A.2. BEREGNING AV SINUS-LEDD FOR N = 3 6 V4 2 i δ i sin 2 πc i = 2δ i (sin 2 π/10 + sin 2 π3/10 2δ i 2.5 = 5δ i = nδ i + sin 2 π5/10 + sin 2 π7/10 + sin 2 π9/10 ) = (A.13) Plater med 6 stivere 2 i γ i sin 2 πc i = 2γ i (sin 2 π/12 + sin 2 π3/12 2γ i 3 = 6γ i = nγ i + sin 2 π5/12 + sin 2 π7/12 + sin 2 π9/12 + sin 2 π11/12 ) = (A.14)

123 V5 A.3. SAMMENLIGNING AV GRENSEVERDIER A.3 Sammenligning av grenseverdier Under følger en utledning og sammenligning av grenseetingelsene for EN og EN Disse grenseetingelsene finnes i formel (3.16), (3.18) og (3.29). EN Grenseverdien etter EN , formel (3.16) er α 4 γ (A.15) innsatt uttrykkene for α og γ lir formlen a Isl 4 I p (A.16) I sl er her totalstivheten for den avstivede platen og lir kalt for I tot i denne utledingen. Setter også inn for I p og får a 4 I tot t 3 12(1 ν 2 ) (A.17) som lir a Itot t 3 (A.18) EN , metode 1 Grenseverdien etter EN metode 1, formel (3.18) L < π 4 EIy c (A.19) For å få formel (A.19) på samme form som formel (A.18), deles uttrykket på på hver side. På høyre side trekkes og π inn i kvadratroten. I y er her totalstivheten til den

124 A.3. SAMMENLIGNING AV GRENSEVERDIER V6 avstivede platen, altså I tot. Uttrykket lir da L < 4 π4 I tot 4 c (A.20) settes uttrykket for c inn, formel (3.20), lir grenseverdien L < Itot t 3 (A.21) EN , metode 2 Grenseverdien etter EN metode 2, formel (3.29) L < Bx 4 B y (A.22) Satt inn i uttrykkene for B x og B y lir L < IL t 3 2a (A.23) Her er I L eskrevet som stivheten til en seksjon av platen hvor 2a er redden av seksjonen, altså avstanden fra stiver til stiver, se Fig Dermed multipliseres disse med antall stivere (6) for å få total stivhet og total redde som da gir L < Itot t 3 (A.24) Formel (A.18) og (A.24) lir identiske og formel (A.21) varierer minimalt. Dette etyr at de tre eregningsmetodene i Kap , og 3.2 får formler for knekkspenning som ytter ved samme a/-forhold ((L/)-forhold). Altså at de ytter over fra en formel som er avhengig av platelengden (formel (3.29), (3.26) og (3.18)(1)) til en som ikke er det (formel (3.27), (3.30) og (3.18)(2)). Dermed lir knekkspenningene ved en gitt platelengde konstant.

125 V7A.4. UTLEDING AV KNEKKSPENNINGSFORMEL FOR ORTOTROPE PLATER A.4 Utleding av knekkspenningsformel for ortotrope plater Formel for knekkspenninger for den ortotrope plateteorien (3.35) i Kap er avhengig av antall sinushalvølger m on n. Formel (3.35) kan derfor utledes til uttrykk for estemte knekkdeformasjoner likt som for Timoshenko formlene (3.10) til (3.15). Det utledes først uttrykk der n = 1 og m = 1, altså en sinushalvølge i hver retning. Dette gir knekkspenningsformel [ ( ) σ x,1 = π2 Dx L 2 ] t 2 (L/) + 2H + D 2 y (A.25) Utleder så uttrykk der n = 1 og m = 2, altså to sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel [ σ x,2 = π2 4Dx t 2 (L/) + 2H + D ( ) y L 2 ] 2 4 (A.26) Utleder så uttrykk der n = 1 og m = 3, altså tre sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel [ σ x,3 = π2 8Dx t 2 (L/) + 2H + D ( ) y L 2 ] 2 8 (A.27) Utleder så uttrykk der n = 1 og m = 4, altså fire sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel [ σ x,4 = π2 16Dx t 2 (L/) + 2H + D ( ) y L 2 ] 2 16 (A.28) Utleder så uttrykk der n = 1 og m = 5, altså fem sinushalvølger i lengderetning. Dette gir knekkspenningsformel [ σ x,5 = π2 25Dx t 2 (L/) + 2H + D ( ) y L 2 ] 2 25 (A.29) Utleder så uttrykk der n = 1 og m = 6, altså seks sinushalvølger i lengderetning. Dette

126 A.4. UTLEDING AV KNEKKSPENNINGSFORMEL FOR ORTOTROPE PLATERV8 gir knekkspenningsformel [ σ x,6 = π2 36Dx t 2 (L/) + 2H + D ( ) y L 2 ] 2 36 (A.30)

127 V9 A.5. BEREGNING AV I Y FRA EN- TIL TOSIDIG AVSTIVET PLATE A.5 Beregning av I y fra en- til tosidig avstivet plate Ved et skift fra en- til tosidig avstivet plate vil geometrien forandre seg. For å kunne sammenligne resultatene må øyestivheten for egge geometriene være lik. Figur A.1: Geometrien til en seksjon av den ensidig avstivede platen Stivheten for den ensidig avstivede platen er tatt fra MathCad, se Kap under overskriften Nøytralakse og Stivheter, og er I y = Stiver- og platetykkelsen lir satt til å være lik som før, altså t = 15mm. Høyden på stiveren må dermed settes lik en estemt verdi for å få et tverrsnitt med samme øyestivhet I y,ny = I stiver + I plate = 15 h = = h = 153.9mm (A.31) Dermed lir den nye høyden 153.9mm og den nye geomtrien for tosidig avstivet plater lir da som vist i Fig. A.2 Dette vil derimot gi en forskjell i areal som må tas hensyn til når det regnes om fra knekklaster til knekkspenninger A ensidig = h s t s + p t p = 100mm 15mm + 200mm 15mm = 4500mm 2 A tosidig = h s t s + p t p = 153.9mm 15mm + 200mm 15mm = mm 2 (A.32)

128 A.5. BEREGNING AV I Y FRA EN- TIL TOSIDIG AVSTIVET PLATE V10 Figur A.2: Geometrien til en seksjon av den tosidig avstivede platen dette tilsvarer en økning på ( ) ( ) Atosidig mm % = 1 100% = 17.97% (A.33) A ensidig 4500mm 2 Til tross for at øyestivheten for den avstivede platen lir den samme, vil økt areal gi økt torsjonsstivhet. Torsjonsstivheten til stiverne har ingen påvirkning på eregningene gjort etter Eurokode og Timoshenko s plateteori. Den vil imidlertidig påvirke knekklasten som kommer ut av ABAQUS-analysen ettersom torsjon lir tatt med. Det vil kun regnes på St. Venants torsjon. Torsjonsstivheten lir da I T,ensidig = 1 i t 3 i = 1 ( 200mm (15mm) mm (15mm) 3) = mm 4 3 i 3 I T,tosidig = 1 i t 3 i = 1 ( 200mm (15mm) mm (15mm) 3) = mm 4 3 i 3 (A.34) dette tilsvarer en økning på ( ) ( ) IT,ensidig mm % = I T,tosidig mm 1 100% = 17.97% (A.35) 4 naturlig nok likt som for arealet.

129 V11 A.6. SAMMENLIGNING AV SINUS- OG ABAQUS-DEFORMASJON A.6 Sammenligning av Sinus- og ABAQUS-deformasjon Som eskrevet tidligere antas det i teorien for åde Timoshenko s plateteori og EN Metode 2 at platen deformerer seg som en sinus kurve. Om platen i ABAQUS-analysen ikke deformerer likt en sinuskurve vil dette kunne være en av grunnene til at knekkspenningene ikke stemmer med hverandre. Det er derfor litt undersøkt hvordan platen i åde skall- og skall/jelkemodellen deformerer seg. I knekkingsanalysen lir ikke den virkelige deformasjonen funnet. Derimot gir knekkingsanalysen en enhetsdeformasjon. En deformasjon som på det høyeste har verdi 1 og eskriver deformasjonsformen. For å finne denne deformasjonen har det litt opprettet en Path, en sti, på midten av platen hvor alle nodene i lengderetningen er inkludert. Dermed kan deformasjonen langs denne stien plottes. Det har litt valgt å ta ut plot fra deformasjonen for 10 meters platelengde. I Fig. A.3 er det plottet deformasjoner fra skall- og skall/jelkemodellen sammen med kurven for en sinusdeformasjon: ( ) mπx w(x) = w m sin a ( = sin 3πx 10000mm ) (A.36) Som Fig. A.3 viser så ligger de tre kurvene oppå hverandre. Det vil si at deformasjonen i FEM-analysen for åde skall- og skall/jelke-modellen har tilnærmet lik deformasjon som en sinuskurve. Det etyr at å anta en sinusdeformasjonsfunksjon vil gi gode resultater sammenlignet med FEM-analyse. Det er litt gjort det samme for platens deformasjon i redderetningen. Her vil sinusfunksjonen som lir sammenlignet med deformasjonen fra FEM-analysen følgende ( ) nπx w(x) = w n sin ( = sin πx 1200mm ) (A.37) Som Fig. A.4 viser så ligger de tre kurvene også her oppå hverandre. Som igjen etyr at platen deformerer seg som en sinuskurve.

130 A.6. SAMMENLIGNING AV SINUS- OG ABAQUS-DEFORMASJON V12 Relativ deformasjon (mm) Skall-modell Skall/Bjelke-modell Sinusfunksjon Bredde på plate (mm) 10 4 Figur A.3: Sammenligning av knekkform i lengderetning Relativ deformasjon (mm) Skall-modell Skall/Bjelke-modell Sinusfunksjon ,000 1,100 1,200 Bredde på plate (mm) Figur A.4: Sammenligning av knekkform i redderetning

131 Tillegg B Analyseoversikt B.1 Knekkspenning og knekkformer fra ABAQUS V13

132 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V14 2 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) x x Taell B.1: Knekkspenninger og knekkform for 2 meters plate modelers med skall og jelke.

133 V15 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 3 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) x Taell B.2: Knekkspenninger og knekkform for 3 meters plate modelers med skall og jelke.

134 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V16 4 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) x Taell B.3: Knekkspenninger og knekkform for 4 meters plate modelers med skall og jelke.

135 V17 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 5 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.4: Knekkspenninger og knekkform for 5 meters plate modelers med skall og jelke.

136 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V18 6 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.5: Knekkspenninger og knekkform for 6 meters plate modelers med skall og jelke.

137 V19 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 7 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.6: Knekkspenninger og knekkform for 7 meters plate modelers med skall og jelke.

138 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V20 8 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.7: Knekkspenninger og knekkform for 8 meters plate modelers med skall og jelke.

139 V21 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 9 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.8: Knekkspenninger og knekkform for 9 meters plate modelers med skall og jelke.

140 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V22 10 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.9: Knekkspenninger og knekkform for 10 meters plate modelers med skall og jelke.

141 V23 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 11 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.10: Knekkspenninger og knekkform for 11 meters plate modelers med skall og jelke.

142 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V24 12 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.11: Knekkspenninger og knekkform for 12 meters plate modelers med skall og jelke.

143 V25 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 13 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.12: Knekkspenninger og knekkform for 13 meters plate modelers med skall og jelke.

144 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V26 14 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.13: Knekkspenninger og knekkform for 14 meters plate modelers med skall og jelke.

145 V27 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 15 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.14: Knekkspenninger og knekkform for 15 meters plate modelers med skall og jelke.

146 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V28 16 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.15: Knekkspenninger og knekkform for 16 meters plate modelers med skall og jelke.

147 V29 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 17 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.16: Knekkspenninger og knekkform for 17 meters plate modelers med skall og jelke.

148 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V30 18 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.17: Knekkspenninger og knekkform for 18 meters plate modelers med skall og jelke.

149 V31 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 19 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.18: Knekkspenninger og knekkform for 19 meters plate modelers med skall og jelke.

150 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V32 20 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.19: Knekkspenninger og knekkform for 20 meters plate modelers med skall og jelke.

151 V33 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS Her egynner skallmodellen:

152 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V34 2 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) x x Taell B.20: Knekkspenninger og knekkform for 2 meters plate modellert med skallelement

153 V35 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 3 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) x x Taell B.21: Knekkspenninger og knekkform for 3 meters plate modellert med skallelement

154 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V36 4 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) x Taell B.22: Knekkspenninger og knekkform for 4 meters plate modellert med skallelement

155 V37 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 5 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.23: Knekkspenninger og knekkform for 5 meters plate modellert med skallelement

156 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V38 6 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) / mod Taell B.24: Knekkspenninger og knekkform for 6 meters plate modellert med skallelement

157 V39 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 7 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.25: Knekkspenninger og knekkform for 7 meters plate modellert med skallelement

158 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V40 8 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.26: Knekkspenninger og knekkform for 8 meters plate modellert med skallelement

159 V41 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 9 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.27: Knekkspenninger og knekkform for 9 meters plate modellert med skallelement

160 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V42 10 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.28: Knekkspenninger og knekkform for 10 meters plate modellert med skallelement

161 V43 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 11 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.29: Knekkspenninger og knekkform for 11 meters plate modellert med skallelement

162 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V44 12 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) /5 2/4 588 Taell B.30: Knekkspenninger og knekkform for 12 meters plate modellert med skallelement

163 V45 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 13 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.31: Knekkspenninger og knekkform for 13 meters plate modellert med skallelement

164 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V46 14 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.32: Knekkspenninger og knekkform for 14 meters plate modellert med skallelement

165 V47 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 15 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.33: Knekkspenninger og knekkform for 15 meters plate modellert med skallelement

166 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS V48 16 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.34: Knekkspenninger og knekkform for 16 meters plate modellert med skallelement

167 V49 B.1. KNEKKSPENNING OG KNEKKFORMER FRA ABAQUS 17 meters plate Figur Knekkform Antall Knekkspenninger nr ølger (N/mm 2 ) Taell B.35: Knekkspenninger og knekkform for 17 meters plate modellert med skallelement