13 Klassisk tynnplateteori

Transkript

1 13 Klassisk tnnplateteori Innhold: Forskjellige plateteorier Enveis- og toveisplater omenter og skjærkrefter i tnne plater Krumninger Platens likevektsligning og differensialligning Essensielle og naturlige randbetingelser Konsentrert hjørnekraft Litteratur: Cook & Young, Advanced echanics of aterials, kap Larsen, Dimensjonering av stålkonstruksjoner, kap. 9.1 Larsen: Konstruksjonsteknikk Laster og bæresstemer, kap. 4.7 TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

2 Plater og plateteorier En plate er et plant konstruksjonselement hvor tkkelsen er betdelig mindre enn utstrekningen i de to øvrige retningene. Belastningen virker normalt platens plan. Normalt legges koordinatsstemet slik at - og -aksene er i plateplanet, mens z-aksen er i lastretningen normalt planet (se lsark 1-). Eksempler på anvendelse av plater: Betongdekker Offshorekonstruksjoner Skipskonstruksjoner Brudekker Det foreligger flere teorier/beregningsmodeller for plater: 1. Tnnplateteori (elastisk) Tnne plater (tkkelse < 1/0 av utstrekning i -planet) hvor deformasjonene er små (mindre enn t). De tre kreftene overføres via indre skjærkrefter samt bøningsog torsjonsmomenter til platas render/opplegg.. Tnne plater med store deformasjoner (elastisk) Deformasjonene er så store at membrankrefter (skivekrefter) gjør seg gjeldende. {Se PKL kap. 9..} 3. Tkkplateteori (elastisk) å ta hensn til skjærdeformasjoner. Analogi til bjelketeori: Naviers hpotese er ikke OK for høe bjelker. Dessuten: 4. Fltelinjeteori (plastisk) Gir plastisk bruddlast (analogt flteleddberegning for bjelker og rammer). {PKL kap. 10. og Cook kap. 1.9.} 5. Elementmetoden (elastisk eller plastisk) Kan brukes på ethvert feltverdiproblem. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

3 Enveisplater og toveisplater Når en plate belastes, vil det generelt bli krumning om både - og -aksen pluss vridning (torsjon) i plateplanet. Disse krumningene er relatert til de tre indre momentene (lastvirkningene), og. I plateteorien gis disse som moment pr lengdeenhet [Nmm/mm]. I toveisplater er alle disse tre momentene signifikante. Videre kan det antas plan spenning i tnne plater, og de relevante spenningskomponentene er da, og. En plate kan betraktes som en enveisplate hvis følgende forutsetninger er oppflt: Utstrekningen i den ene retningen av platens plan betdelig større (for praktiske formål: minimum faktor 3) enn utstrekningen i den andre retningen. Belastningen er ikke funksjon av koordinaten ( eller ) i den lange retningen. I en enveisplate kan det antas at all lastvirkning overføres i den korte retningen. I området nær midten av platen blir det dermed en slinderformet krumning parallelt med de lengste sidekantene. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

4 Respons av enveisplater Når en bjelke bøes, vil tverrkontraksjonseffekten gi deformasjoner som antdet til høre: I trkksonen (øvre halvdel) oppstår positive normaltøninger og z og ekspansjon av tverrsnittet, mens det blir negative normaltøninger og kontraksjon i strekksonen. En enveisplate har lang utstrekning på tvers (i -retning), og tøningen må derfor være lik null i området nær senter av plata. Hookes lov for gir nå: E E z Hookes lov for gir en relasjon mellom og : z E E E E' Essens: Forhindret tverrkontraksjon gir en noe stivere oppførsel, faktor 1, i den korte retningen enn hva bjelketeorien forespeiler. Eksempel: Nedbøning av enveisplate med konstant last q: w ma 5 ql 5 ql 384 E' I 384 D 4 4 Platestivhet: E 1 Et D = E'I t TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

5 Eksempel 13.1: Enveisplate q z a t b Platen på figuren er rektangulær og fritt opplagt langs alle render. Platen er påkjent av en jevnt fordelt last q. Data: a = 400 mm b = 800 mm t = 16 mm q = 0.15 N/mm E = N/mm = 0.3 Estimer maksimal bøespenning og nedbøning ved å betrakte plata som en enveisplate. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

6 Definisjon av tnnplateproblemet z h q(, ) z z Heretter: Toveisplater hvor alle krumninger og momenter er inkludert. Geometri og belastning: Tkkelsen h er liten sammenlignet med andre dimensjoner Tkkelsen h kan variere, men kun slik at plata er smmetrisk om plateplanet (-planet) Ytre kraft q virker normalt på plateplanet Spenningsresultanter i en toveisplate: omenter (per lengdeenhet): h / h / h / zdz; zdz; zdz h / h / h / Skjærkrefter (per lengdeenhet): h / h / V dz; V dz z z h / h / TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

7 Definisjon av tnnplateproblemet (forts) Skivekrefter i plateplanet: Det forutsettes at ingen krefter eller fastholdinger virker i plateplanet slik at skivekreftene kan settes lik null: h / h / h / N dz 0 ; N dz 0 ; N N dz 0 h / h / h / Disse kreftene må inkluderes hvis det er snakk om store deformasjoner, se teori/beregningsmodell på lsark 13-. Likevekt i z-retning: h z z q h z z 0 Tnn plate: 0 z q z 0 (Numerisk eksempel: q = 0 kn/m, som er en ganske stor fordelt last, gir kontaktspenning z = 0.00 N/mm i overflaten, dvs en meget liten spenning sammenlignet med tpiske verdier for og i en plate.) z q TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

8 Statisk likevekt av plate z V V d q(,) d V V Krefter og momenter på positiv -flate: V d; d; V V d Krefter og momenter på positiv -flate: V d; d; V V d TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

9 Statisk likevekt av plate (forts) Kraftlikevekt i z-retning: V V q 0 omentlikevekt om -aksen: V omentlikevekt om -aksen: V NB! Høere ordens ledd av d og d i likevektsligningene kan neglisjeres siden d og d er infinitesimale størrelser. Kombinasjon av de tre likevektsligningene resulterer i platas likevektsligning på formen: q 0 TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

10 Forskvningsfeltet i platen Forutsetninger: 1. Et punkt i plateplanet, z 0, opplever kun vertikalforskvning w = w(,, ) dvs. at u(,,0) 0; v(,,0) 0. En rett linje som før deformasjonen var normal til plateplanet forblir rett og normal også etter deformasjonen 3. Alle punkter beholder sin opprinnelige avstand fra plateplanet z, w w z* z* Platas forskvningsfelt: w w u(,, z) z ; v(,, z) z ; w = w(, ) Dette er analogt Naviers hpotese i elementær bjelketeori. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

11 Tøningsfeltet i platen I plateplanet: u w z z v w z z u v w z z Ut av plateplanet: w u w v w z 0 ; z 0 ; z 0 z z z Legg merke til at tøningene, og varierer lineært over platetkkelsen. Fra matematikken har vi at krumningen til en kurve, f.eks. i et plan parallelt med z-planet, er definert ved hvor 1 w w 1 3 er krumningsradius til kurven. For små verdier av w/ gjelder det tilnærmet at w/, og de andrederiverte av platas forskvning benevnes derfor platas krumninger. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

12 Elastisk materiallov Hookes lov for plan spenning: w 1 z ( ) E w 1 z ( ) E w (1 ) z E Spenningene i plateplanet: z 1 E w w z 1 E w w z E w (1 ) 1 Paradoks: z 0 men z 0 z 0 men z 0 Dette er i strid med Hookes lov(!), men skjærspenningene z kan for tnne plater med god nøaktighet antas å være og z så små i forhold til spenningene i plateplanet (,, ) at skjærtøningene z og z ut av plateplanet kan neglisjeres sammenlignet med tøningene i plateplanet (,, ). TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

13 Spenningsresultanter oment-krumningsrelasjonene: h / w w zd z D h / h / w w zd z D h / h / h / w zd z D(1 ) Platestivheten: D h / 3 E Eh z dz h / 1 1(1 ) Skjærkreftene på tvers av plateplanet: V V w w D w w D erknad: Skjærkreftene bestemmes fra likevektsligningene, og ikke ved integrasjon av skjærspenningene z og z over tkkelsen av plata. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

14 oment - spenningsrelasjoner Spenning som funksjon av krumning er gitt på lsark 13-1: z 1 E w w z 1 E w w z E w (1 ) 1 oment som funksjon av krumning er gitt på lsark 13-13: w D w D w w w D(1 ) Elimineres krumningene fås: 3 h z ; z ; z hvor : I = I I I 1 Spenningene varierer følgelig lineært over platetkkelsen på samme måte som tøningene. Dette er en direkte følge av Hookes lov. Legg merke til analogien med teknisk bjelketeori! TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

15 Transformasjon av momenter d θ ds t n d Transformasjonsregler: For en snittflate gjennom plata der n-retningen er normalt på snittflaten og t-retningen er tangentielt med snittflaten, kan momentene og og skjærkraften V bestemmes ved: n nt n n cos sin nt sin cos Vn V cos V sin hvor er vinkelen mellom -aksen og n-aksen. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

16 Hovedmomenter og ekstremalt vridningsmoment aksimal- og minimalverdier av bøemomentet bestemmes av formelen: = 1 Vinkelen p (mellom - og n-aksen) som gir ekstremalverdi av bøemomentet, er gitt ved tan p aksimal- og minimalverdier av vridningsmomentet er på tilsvarende vis gitt ved nt,ma nt,min Vinkelen s (mellom - og n-aksen) som gir ekstremalverdi av vridningsmomentet, er lik tan s TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

17 Platas differensialligning Platas likevektsligning (se lsark 13-9): q 0 oment-krumningsrelasjonene (se lsark 13-13): w D w D w w w D(1 ) Innsetting av moment-krumningsrelasjonene i likevektsligningen gir platas differensialligning: w w w q 4 4 D eller på kompakt" form: w D 4 q TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

18 Randbetingelser Det er hensiktsmessig å definere lokalt nt-koordinatsstem: n t n n enhetsvektor normalt på platas rand t enhetsvektor tangentielt til platas rand t n t indikerer fore- To tper randbetingelser (strek over smbol skrevet verdi): Essensielle randkrav: forskvning: w w helning: w t n t Naturlige randkrav: bøemoment: vridningsmoment: skjærkraft: w w n D n t w nt D(1 ) nt nt w w Vn D V n n t n n TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

19 Essensielle randbetingelser På samme måte som bjelker kan det for plater defineres tre ulike grensebetingelser for en rand: Fast innspenning Fritt opplegg Fri ende e w 0 ; t 0 w 0 ; n 0 0 ; V 0 n n Randskjærkraften V e n behandles på lsarkene 13-0 og Ofte benttes følgende smboler for de tre tpene render, hvor figuren illustrerer en plate i grunnriss : Innspent rand Fri rand Fritt opplagt rand TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

20 Naturlige randbetingelser Kirchhoff (1850) viste at to naturlige randkrav er tilstrekkelig langs en sidekant for å bestemme forskvningen til plata slik at differensialligningen tilfredsstilles. Bøemomentet n er det ene av disse kravene. Videre kan randkravene på vridningsmomentet og skjærkraften erstattes med én betingelse for den såkalte randskjærkraften (Kirchhoffs skjærkraft). z d d d d R = Platerendene inndeles i infinitesimale celler med dimensjoner d og d langs - og -aksen. Vridningsmomentene og erstattes med vertikale kraftpar med avstand lik d og d. Siden resulterende vridningsmoment ikke endres, vil dette i følge St. Venants prinsipp kun medføre lokale endringer i spenningsfordelingen langs plateranden. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

21 Naturlige randbetingelser (forts) Resulterende vertikalkraft i overgangen mellom cellene blir dermed d og d Vridningsmomentene langs randen er følgelig statisk ekvivalente til de distribuerte skjærkreftene V * og V * Randskjærkraften: e e V V ; V V I tnnplate-teorien benttes følgende modifiserte naturlige randbetingelser (uttrkt i det lokale koordinatsstemet på plateranden): Bøemoment: n n Randskjærkraft: e nt V V V t e n n n TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori

22 Konsentrerte hjørnekrefter Transformasjonen av vridningsmomentet langs randen leder ikke bare til distribuerte skjærkrefter, men også til konsentrerte krefter i hjørnene med absoluttverdi gitt ved R =, c hvor (, ) (, ) er koordinatene til hjørnepunktet. c c Resulterende kraft i hjørnet kan også uttrkkes i det lokale koordinatsstemet: w R nt D(1 ) c, c nt c, Dette betr at en rektangulær plate som er opplagret langs randen og belastet av tverrlaster, vanligvis vil ha distribuerte reaksjonskrefter langs randen og konsentrerte krefter i hjørnene. c c Disse hjørnekreftene er høst reelle. Tankeeksperiment: En kvadratisk plate er fritt opplagt langs alle fire render, og belastet med en jevnt fordelt flatelast q(,). Platen vil da deformere seg i henhold til randbetingelsen som er skissert på lsark en i hjørnene vil platen ha en tendens til å løfte seg fra underlaget. Skal platen holdes på plass, slik randbetingelsen w 0 foreskriver, vil lagerreaksjonen i hjørnet tilsvare den konsentrerte hjørnekraften R. TKT414 ekanikk 3, høst Klassisk plateteori