Fagdag Plan: Instruks: Innledning: Hva mener man med "numerisk matematikk"? Fd 4 - Numeriske metoder

Transkript

1 Fagdag Plan: Innledning om numeriske metoder Areidsoppgaver med numeriske metoder Instruks: Areid 3 og 3 i grupper. Velg en gruppeleder til å styre tidsruken. Gruppen skal areide seg gjennom alle oppgavene. Det ør li tid til overs til å trene på delvis integrasjon og integrasjon med variaelskifte. Innledning: Hva mener man med "numerisk matematikk"? Mange utregninger i matematikken kan ikke løses eksakt, eller er så tidkrevende å løse eksakt, at man heller ruker taeller, lommeregner eller datamaskin til utregningene. Taeller og lommeregner er asert på det vi kaller numeriskmatematikk,somerenegengrenav matematikken, der man istedenfor å ruke eksakte utregninger ruker tilnærmingsmetoder. Ofte er det omtrent slik: Istedenfor å regne eksakt og vanskelig i en operasjon regner man tilnærmet og enkelt i flere omganger. "Enkelt" vil vanligvis ety at alt reduseres til gjentagne addisjoner og multiplikasjoner, altså de fire regningsarter. For oss kan dette virke tungvindt p.g.a. alle gjentagelsene, men for lommeregnere og datamaskiner går gjentagelser raskt! (Lommeregnere og datamaskiner kan ikke integrere, potensere, regne ut logaritmer, regne ut trigonometriske funksjoner o.s.v. direkte, alt lir redusert til gjentagne addisjoner og multiplikasjoner!) Eksempler: Istedenfor å regne ut 6 7 direkte, i en "vanskelig" operasjon (multiplikasjon), kan man regne ut i 6 deloperasjoner med en enklere operasjon (addisjon). Istedenfor å regne ut 6 3 direkte, i en vanskelig operasjon (potensregning), kan man regne ut i deloperasjoner med en enklere operasjon (multiplikasjon), eller dele opp i enda flere deloperasjoner med addisjon: av 7 fd4.tex

2 Istedenfor å regne ut I x dx eksakt, direkte og vanskelig; x 3 3 kan man regne tilnærmet, med flere enklere deloperasjoner, f.eks. summere rektangler, som i definisjonen av integral i MX:, x i i I i x i i i 0. i 0. i (are addisjon og multiplikasjon:) (flere ledd ville gitt edre nøyaktighet) (For å spare litt tid kunne vi kunne vi gjort dette på lommeregner: sum(seq(y*d,x,,-d,d), der vi først har lagret idmed/ STO D.) Konklusjon: Numerisk matematikk er å erstatte kompliserte regneoperasjoner med enklere regneoperasjoner som gir gode tilnærmingsverdier. I 3MX er det aktuelt å ta for seg numeriske metoder i forindelse med disse prolemstillingene: Finne nullpunkter til funksjoner og løse ligninger Regneutestemteintegraler Interpolere (Finne en funksjonsverdi mellom to kjente funksjonverdier) Bruke logartimer til å forenkle regneoperasjoner. (Historisk årsak til at vi fikk logaritmer!) På denne fagdagen konsentrerer vi oss om de to første: - Tilnærmet utregning av nullpunkter til funksjoner og løsning av ligninger: Løsing av ligninger med Newtons metode: x n x n f n f n Nullpunkter og løsning av ligninger. Å løse ligninger og å finne nullpunkter til en funksjon er i grunnen det samme: Ligningen g h kan alltid omformes til g h 0 altså å finne nullpunkter til funksjonen f g h Eksempelvis: Ligningen e x x kan for eksempel gjøres om til e x x 0 Å finne en løsning av ligningen er derfor det samme som å finne nullpunkter til funksjonen f e x x Grafer vi f e x x fårvi: av 7 fd4.tex

3 y x Når vi ruker CALC,:zero på lommeregneren finner vi løsningene: x og x.4693 Vi må angi et punkt til venstre og høyre for skjæringene med x-aksen. Halveringsmetoden En enkel algoritme, som kanskje lommeregneren ruker, er "halveringsmetoden":. Start med x-verdier til venstre og høyre for nullpunktet: x v og x h. Regn ut funksjonsverdien midt i mellom x v og x h : f xv h. 3. Hvis denne funksjonsverdien har samme fortegn som f v ruker vi xv h som ny x v, men hvis funksjonsverdien har samme fortegn som f h ruker vi xv h som ny x v. 4. Hvis funksjonsverdien er nærme nok null avslutt, ellers gå til. - Prosessen kan illustreres slik: x v x h xv h f xv h E 8 Newton-Raphson metoden Denne konvergerer raskere, men ulempen er at den krever at vi regner ut den deriverte av funksjonen. På en datamaskin kan utregningen av den deriverte ta lenger tid enn alle gjentagelsene i halveringsmetoden. Men for Newton og andre som ikke har datamaskiner/lommeregner tilgjengelig, fungerer Newton-Raphson metoden ra, da den konvergerer raskt. Enklest å forstå grafisk; vi går fra en startverdi loddret kurven, tangentialt til x-aksen, loddrett til kurven, tangentialt til x-aksen, o.s.v. 3 av 7 fd4.tex

4 Algoritmen er: x startverdi, x n x n f n f n Eksempel: Vi prøver å løse x N, d.v.s. det samme som å finne N. f x N f x x n x n x n N x n x n x n N x n x n N x n n x N n som faktisk er identisk med Herons metode. (Se også oppgave 4.6.) Ligningen over løser vi slik: f e x x f e x x n x n ex n n e x n Ved å legge inn Y e ^(X)-X- og Y e ^(X)-, kan vi illustrere prosessen: Ans-Y(Ans)/Y(ans) ENTER ENTER.4648 ENTER ENTER.4693 ENTER.4693 Fikspunktmetoden En annen metode som kan rukes for å løse ligninger er å skrive dem på formen: f x 4 av 7 fd4.tex

5 og ruke selve funksjonen f som algoritme: x startverdi, x n f n Hvorfor dette virker er lettest å se grafisk. (Se illustrasjoner lengre ned.) Det å ruke hver funksjonsverdi, f, som ny x-verdi, tilsvarer grafisk å gå fra x-aksen til grafen,deretter vannrett inn til linjen y x, deretter loddrett til grafen, deretter vannrett til linjen y x, o.s.v. Enten får vi da et sikksakkmønster inn mot den søkte verdien, eller så får vi et sikksakkmønster mot. (Dette er prolemet med fikspunktmetoden, den konvergerer ikke alltid, og vi finner ikke alltid den løsningen vi skal ha, slik som i eksemplet som følger, der vi are finner løsningen til venstre ikke den til høyre.) Eksempel: Ligningen e x x, som vi så på under Newton-Raphson metoden, kan f.eks. skrives som e x x Vi legger inn Y e ^(X)-, og taster: Y(Ans) ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER Tilnærmet utregning av estemte integraler av 7 fd4.tex

6 Integrasjon med: Vanlig summering: f dx n i 0 f i,der a a n og x i a i (Se side 49.) Trapesmetoden: f dx f a 0 f f... f n f n,der a n (Se side.) Simpson(Paraelmetoden): f dx f a 3 0 4f f... 4f n f n der a n (Se side 3.) (4 og annenhver gang.) Eksempel: Integralet I 0 x dx.6 (som dukket opp senere ifm. uelengde, d.v.s. lengen av en funksjonsgraf mellom to punkter) lir med vanlig summering over intervaller tilnærmet med: 0. 66, x i 0 i I f 0 f 0 f 0 f 0 3 f (Litt juks å ruke lommeregner da vi egentlig skal vise hvordan vi klarer oss uten, men for enkelthets skyld: /STO D og sum(seq(y*d,x,0, -D,D)) Trapesmetoden: f dx f a 0 f f... f n f n,der a n gir for vårt eksempel, med I 0 x dx f 0 f 0 f 0 f 0 3 f (Vi jukser litt igjen og ruker lommeregner for enkelthets skyld) /4 STO D og D/*sum(seq(Y,X,0,,D)*{,,,,}) Simpson: Simpson er neste steg han rukte andregradspolynom innenfor hvert intervall og fikk formelen: a a a a f a 4f a f a 4f a 3 f (der ) Da får vi: 0 x dx (Med lommeregner: 6 av 7 fd4.tex

7 D/3*sum(seq(Y,X,0,,D)*{,4,,4,}) Areidsoppgaver: I- 7 Vi skal finne 7 med numeriske metoder og setter derfor x 7. a) Bruk halveringsmetoden til å finne 7 ) Bruk Newton-Raphson metoden til å finne 7 c) Bruk Fikspunktmetoden til å finne 7 Gjør dette manuelt med papir og lyant for å lære metodene, are ruk lommeregner til mellomregninger. II - Oppgave 4.8, 8 og 83 i oken. III i oken. a) Finn integralet ved regning. ) Finn en tilnærmet verdi av integralet vha. rektangelmetoden og 4 delintervaller. c) Finn en tilnærmet verdi av integralet vha. trapesmetoden og 4 delintervaller. d) Finn en tilnærmet verdi av integralet vha. Simpsonmetoden og 4 delintervaller. 7 av 7 fd4.tex