1. Intégrales définies et indéfinies I. (a) Soit b > 0. Montrer que pour tout x > 0 la fonction. 2 b. F (x) = arctan bx. 1 (1 + bx) x. f(x) = x t dt.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1. Intégrales définies et indéfinies I. (a) Soit b > 0. Montrer que pour tout x > 0 la fonction. 2 b. F (x) = arctan bx. 1 (1 + bx) x. f(x) = x t dt."

Transkript

1 Chpitre 6 Clcul intégrl 6. Eercices. Intégrles définies et indéfinies I. () Soit b >. Montrer que pour tout > l fonction F () = b rctn b est une primitive de f() = ( + b). (b) Pour R clculer (c) Pour R clculer t. +π sin d, +π cos d, (d) Clculer (e) Clculer +π +π sin d, sin cos d, +π +π ( ) 9 d. sin π cos π d cos d, sin cos d. 78

2 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 79 (f) * Soit f : R R une fonction continue de période T >. Soit F définie pr F () = f(t). Montrer que F est périodique vec période T si et seulement si. Intégrles indéfinies. T f(t) =. () (b) + cos t e t+ (c) (d) (e) (f) sinh t e t + cosh t e t cosh t rctn t (g) rctn( t) (h) rcsin t (i) t (j) t cos t (k) t cos t

3 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 (l) (m). Intégrles indéfinies. () + cos t + tn t cos t + e t (b) sin(ln t) (c) t ln t (d) ( + t) ln t (e) t ln t (f) ln t (g) t ln( + t) (h) (i) (j) ln t ( + t) + sin 7 t cos t (k) (l) + + cos t

4 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 (m) (n) (o) sin t cos t + sin t t t( + t) ( + t ) t (p) t 5 t (q) (r) (s) (t) t + t + t t t(4 t) t t 4. Integrles définies pour l règle du trpèze. Soient < b et µ = +b. Donner les intégrles suivntes : µ b ( ) ( )(b ) d b (b ) d + d µ 5. Fonction primitive de l fonction réciproque. Soient f une fonction inversible, f s fonction reciproque et F une primitive de f. Montrer que l fonction G() = f () F (f ()) est une primitive de f. En déduire les primitives de ln, rcsin, rctn.

5 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 6. Intégrles définies et indéfinies II. Formules utiles. b Clculer les intégrles : () (b) (c) (d) (e) 7. Intégrles générlisées I. () (b) (c) (d) (e) (f) d = rctn b rctn + t + t + t 5 + t + t 4 t + t 5 + t + t t 4 + t 4 + t t ln t + t t + 6t + t t(4t + ) t t

6 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 8 (g) (h) (i) 8. Intégrles générlisées II. () (b) (c) (d) (e) (f) (g) t t t t t( + t) e t ln t ln t t t e t cosh t rctn t + t rctn t t 9. Intégrles générlisées III - Étude de convergence. Discuter, en fonction du nombre réel α >, l convergence des intégrles générlisées suivntes () (b) t α t α

7 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 84 (c) (d) (e) (f) t α + t t α ln t ln t t α ln t t α

8 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 85. Intégrles générlisées et l fonction Gmm. L fonction Gmm - Formules utiles. Soit > et n N : Γ() = t e t Γ() = Γ( + ), Γ(n + ) = n!, Γ( ) = π Formule de Stirling. n! π n n+ e n i.e. lim n n! π n n+ e = n Intégrle de Guss. π e d = () Soient µ, σ deu nombres réels et σ >. Clculer les intégrles générlisées i. ii. iii. ( µ) e σ d πσ ( µ) e σ d πσ ( µ) e σ d πσ (b) Soient y > et n N. Clculer les intégrles (en terme de l fonction Gmm) i. (t n + )(t n )e yt ii. ( ln t) y iii. t e t (c) Soient > et k, n N. Clculer ( ) n ( ) k ( ) n k lim n k n n ( ) n n! où = k (n k)!k!. Idée : Utiliser l formule de Stirling pour n! et (n k)! et le fit que pour tout R lim n ( + n )n = e.

9 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL Corrigés. Intégrles définies et indéfinies I. Clculer les dérivées des fonctions suivntes uniqument à l ide de l définition de l dérivée : () Soit b >. Montrer que pour tout > l fonction F () = b rctn b est une primitive de f() = ( + b). (b) Corrigé. (c) Pour R (d) (e) Vérifier que F () = f(). +π +π +π +π +π t = { si si sin d = cos cos( + π) =, cos d = sin( + π) sin =, sin d = cos cos( + π) = cos, cos d = sin( + π) sin = sin +π sin cos d = sin sin cos d = sin +π +π ( ) 9 d = ( ) 4 sin π cos π d = ln( cos π) =, =, = = ln π. (f) * Soit f : R R une fonction continue de période T >. Soit F définie pr F () = f(t). Montrer que F est périodique vec période T si et seulement si T f(t) =.

10 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 87 Corrigé. Si F est périodique vec période T, lors Si T = F (T ) F () = f(t) =, on note que d (F ( + T ) F ()) d T i.e. F ( + T ) F () est constnte. Donc F ( + T ) F () = F (T ) F () = f(t). = f( + T ) f() =, T pour tout, i.e. F est périodique vec période T.. Intégrles indéfinies. f(t) = () (b) = ln( + cos ) + cos t e t+ = + s e s ds = ( + )e + (c) Noter que (d) donc sinh t e t + = e t et e t + = e t sinh t + e e t = + e cosh t = + s ds = rctn(e ). (e) Noter que e = cosh + sinh donc (f) rctn t = e t cosh t = + sinh = + ln(cosh ) cosh t (t) t rctn t = rctn + t = rctn ln( + )

11 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 88 (g) (h) rctn( t) = s rctn s ds rcsin t = (t) rcsin t = (s ) rctn s ds = rctn( ) s + s ds = rctn( ) + s ds = rctn( ) + rctn( ) = rcsin t rc t (i) On voit que = rcsin ( t ) rc = rcsin + t rcsin t = rcsin + rcsin t cos = ou bien pr un chngement de vrible s = t : t = sin s ds = cos. (j) Pr une intégrtion pr prtie et l eercice précedent t cos t = t ( ) = sin t = sin + cos ou pr un chngement de vrible et une intégrtion pr prtie t cos t = = s cos s = sin ds s(sin s) ds = sin + cos sin s ds

12 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 89 (k) Pr deu intégrtions pr prtie successives : I := t cos t = t cos t() = cos sin t cos t + t sin t = cos sin t(sin t) + t ( cos t) = cos sin sin + sin t + t I = cos sin sin + sin cos vec le résultt du cours pour sin t. Pr conséquent, t cos t = cos sin sin sin cos + (l) Noter que + tn t = cos, donc (m) + cos t + tn t = cos t + cos t et pr conséquent + cos t + tn t = ln( + cos ) cos t + + I +. Les intégrnds contennts des fonctions trigonométriques R(, cos t, tn t, cot t) peuvent être trnsformê dns des intégrnds lgébriques pr le chngement de vrible En effet, nous vons z = tn t = cos t = tn t cos t = z + z, cos t = cos t t sin = z + z tn t = z z et d t d z = + z. Donc tn ( z R(, cos t, tn t, cot t) = R + z, z + z, z z, z ) z + z dz

13 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 En prticulier, tn cos t + = + z ( z) + z dz. Intégrles indéfinies. tn = z dz = ln tn () Pr deu intégrtions pr prtie (voir cours) on trouve que e t = e (sin cos ). (b) Avec le chngement de vrible s = ln t i.e. t = e s et l eercice precedent ln sin(ln t) = e s (sin(ln ) cos(ln )) sin s ds =. (c) t ln t = t ln t (t ) ln t = 4 (d) (e) = ln 4 4 = ln 8 t t ( + t) ln t = (( + t) ) ln t = ( + t) ln t ( + t) t = ( + t) ln t ln t t t t t ln t = (t ) ln t = ln = ln = ln = ln t ln t (t ) ln t 9 ln + t 9 9 ln 9 + 7

14 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 (f) ln t = (t) ln t (g) (h) = ln ln t =... = ln ln + 6 ln 6 t ln( + t) = (t ) ln( + t) = ln( + ) = ln( + ) = ln( + ) ln( + ) t + t t + + t ln t ( + t) = (( + t) ) ln t = ln + + = ln + + = ln ln( + ) t( + t) t + t (i) Soit pr le chngement de vrible de l eercice donné pr z = tn t, i.e. = z donc + z tn + = 4z ( + z) ( + z ) dz tn = + z ( + z) dz = tn + z + rctn z = + tn +

15 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 ou bien pr une intégrtion pr prtie + = ( cos t) + d ou on déduit que = cos + sin cos t ( + ) = cos + sin + = cos + sin + + cos = + + sin + et pr conséquent que + = cos = sin. (j) (k) sin 7 t cos t = sin8 8 + = cos t + = cos t 4 cos t + = sin 4 ln( + sin ) (l) En utilisnt le chngement de vrible s = cos t on trouve cos + cos t = + s ds Un deuième chngement de vrible s = z (idélment on fit les deu chngements de vrible en un temps) nous donne cos + cos t = ( + z ) dz = rctn( cos ) (m) Pr le chngement de vrible s = : sin t cos t sin + sin t = s ds = sin rctn(sin ) + s (n) Pr le chngement de vrible t = s : t t( + t) = + s ds = rctn

16 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 9 (o) ( + t ) t = (p) Pr le chngement de vrible t = s : t 5 t = s s ds = = ( ) / 9 (q) Pr le chngement de vrible t = s : t + = t (r) Pr une intégrtion pr prtie ( s) / ( s) / ds t + + = + + ( ) 5/ 5 t t + + s ds = + rctnh + + t t = ( t ) + t = + = t + rcsinh (s) (t) = = rcsin ( ) t(4 t) 4 (t ) t t = ln + 4. Integrles définies pour l règle du trpèze. Soient < b et µ = +b. Donner les intégrles suivntes : µ ( ) b ( )(b ) d = (b ). b (b ) (b ) (b ) (b ) d + d = + = µ

17 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL Fonction primitive de l fonction réciproque. Soient f une fonction inversible, f s fonction reciproque et F une primitive de f. Montrer que l fonction G() = f () F (f ()) est une primitive de f. En déduire les primitives de ln, rcsin, rctn. G () = f () + d f () d f () f(f ()) = f (). d d () ln : G() = ln e ln = ln. (b) rcsin : (c) rctn : G() = rcsin + cos(rcsin ) = rcsin +. G() = rctn + ln(cos(rctn )) = rctn + ln(cos (rctn )) = rctn ln( + tn (rctn )) = rctn ln( + ). 6. Intégrles définies et indéfinies II. () (b) (c) t + t + = t + t + t + = ln( + ) + rctn t 5 + t + = t + t + t + = t t t t + = t t t t + + t t + = ln( + ) + rctn ( ) t 4 t + = (t 4 + t) (t + ) + t + = t t t + + t + t t t + = t t t + + t + t t t + = rctn ( ) + ln( + ) 6 ln( + )

18 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 95 (d) (e) t 5 + t + t t 4 + = t + t t 4 + = + 4 ln(4 + ) t 4 + t = t t t + = ln() ln( + ) 7. Intégrles générlisées I. () (b) (c) t ln t = (t ) ln t = = lim + t rctn + t = 4 lim rctn = π + t + 6t + = + (t + ) + = + t = π (d) t + t(4t + ) = 4t + t + 4t 4t + = rctn(t) + ( ln t + ln(4t + )) = rctn(t) + ln ( 4t + ) t = π 4 rctn() + ln() ln(5) (e) (f) (g) t t = t = π = t t = t + t = 8

19 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 96 (h) Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s + : + t t = + s ds = π (i) Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s : 8. Intégrles générlisées II. + = t( + t) + s ds = π () Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s : (b) (c) e t = ln t = ln t t = (d) Pr deu intégrtions pr prtie se s ds = Γ() = (t) ln t = ln t( t ) = = t = t e t = 5 e (e) Pr le chngement de vrible s = e t, i.e. t = ln s : + cosh t = e t = + et + s = (π π 4 ) = π (f) (g) rctn t t rctn t + t = rctn t = rctn t t = π 8 + t( + t ) = π 4 + ln 9. Intégrles générlisées III - Étude de convergence. Discuter, en fonction du nombre réel α >, l convergence des intégrles générlisées suivntes () converge si α < est diverge sinon. t α

20 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 97 (b) (c) (d) (e) (f) converge si α > est diverge sinon. t α t α + t converge si < α < est diverge sinon. t α ln t converge si < α est diverge sinon. ln t t α converge si α < est diverge sinon. ln t t α converge si α > est diverge sinon.. Intégrles générlisées et l fonction Gmm. L fonction Gmm - Formules utiles. Soit > et n N : Formule de Stirling. Γ() = t e t Γ() = Γ( + ), Γ(n + ) = n!, Γ( ) = π n! π n n+ e n i.e. lim n n! π n n+ e = n Intégrle de Guss. π e d = () Soient µ, σ deu nombres réels et σ >. Clculer les intégrles générlisées i. ii. ( µ) e σ d πσ ( µ) e σ d πσ

21 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 98 iii. ( µ) e σ d πσ Corrigé. On utilise l intégrle de Guss π e d =. Pr le chngement de vrible y = µ σ, i.e. = σy + µ : ( µ) e σ d = πσ = ( µ) e σ d = πσ = cr l fonction intégrble σy e y R est zéro. πσ e ( µ) σ d = = πσ e y d dy dy π e y dy = πσ (σy + µ) e y π µ e y dy = µ d dy dy est impir, donc son intégrle sur πσ (σy + µ) e y π (σ y + µ ) e y d dy dy cr l fonction intégrble σy e y est impir, donc son intégrle sur R est zéro. Pr une intégrtion pr prtie dy π y e y dy = y d π dy = y e y + ( ) e y dy π e y dy =, donc (b) Soient y > et n N. πσ e ( µ) σ d = σ + µ i. Pr le chngement de vrible s = yt on (t n + )(t n )e yt = (t n )e yt = y n s n e s ds y e s ds = y n Γ(n + ) y

22 CHAPITRE 6. CALCUL INTÉGRAL 99 ii. Pr le chngement de vrible s = ln t, i.e. t = e s on ( ln t) y = = = y s ds ds s y e s ds s y e s ds = Γ(y) iii. Pr le chngement de vrible s = t, i.e. t = s +, on t e t = s e s = Γ( )e = Γ( )e = (c) Soient > et k, n N. Clculer ( ) n ( ) k ( ) n k lim n k n n ( ) n n! où = k (n k)!k!. Idée : Utiliser l formule de Stirling pour n! et (n k)! et le fit que pour tout R Corrigé. fie et Donc ( n k Avec ) ( n lim ( + n n )n = e. π e Pr l formule de Stirling nous vons pour n et k n! π n n+ e n (n k)! π (n k) n k+ e n+k ) k ( ) n k n n+ k n (n k) n k+ n k e k k! k ( = ( k n )n k+ e k k! n ( ) n k n ) n k lim ( k n n )n k+ = lim ( k n n )n = e k et lim ( n n )n k = lim ( n n )n = e nous obtenons ( ) n ( ) k ( ) n k k e lim = n k n n e k e k k! = k e. k!

23 Annee A Dérivées et primitives de fonctions usuelles

24 Annee B Intégrles générlisées

Figur 2: Fortegnsskjema for g (x)

Figur 2: Fortegnsskjema for g (x) Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 998 Oppgave a) g) = e ) = e ) Figur : Fortegnsskjema for g) g) > 0 for < 0 og > og g) < 0 for 0 <

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1 Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6

Detaljer

Eksamen FSP5020/PSP5013 Fransk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen FSP5020/PSP5013 Fransk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister.  Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.11.2013 FSP5020/PSP5013 Fransk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister Nynorsk/Bokmål Oppgåve 1 Comment tu dépenses ton argent? Skriv ein liten tekst på to til fire setningar om

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Oppgåve 4 Vel éi av oppgåvene under, og skriv ein samanhengande tekst. a) «Il y a trop de sport dans les médias.» Synest du det er for mykje sport på TV og i avisene? Liker du best å sjå på sport på TV,

Detaljer

Kommunikasjonsperm. Overvåking og undersøkelser side 1. Smerter side 2. Naturlige funksjoner, eliminasjon side 3. Sengeleie og stell side 4

Kommunikasjonsperm. Overvåking og undersøkelser side 1. Smerter side 2. Naturlige funksjoner, eliminasjon side 3. Sengeleie og stell side 4 Kommunikasjonsperm Fransk Overvåking og undersøkelser side 1 Smerter side 2 Naturlige funksjoner, eliminasjon side 3 Sengeleie og stell side 4 Mat, drikke kvalme side 5 Bevegelse, syn, temperatur side

Detaljer

Alt for ofte blir problemer med avløpsrør i bygninger løst ved å bytte ut gamle defekte rør med nye. Dette innebærer tapphull- og utgravingsarbeide

Alt for ofte blir problemer med avløpsrør i bygninger løst ved å bytte ut gamle defekte rør med nye. Dette innebærer tapphull- og utgravingsarbeide Alt for ofte blir problemer med avløpsrør i bygninger løst ved å bytte ut gamle defekte rør med nye. Dette innebærer tapphull- og utgravingsarbeide med betydelig uleilighet fra bruddstykker, støv og støyforurensing,

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. FSP5020/PSP5013 Fransk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister. http://eksamensarkiv.net/

Eksamen 21.05.2013. FSP5020/PSP5013 Fransk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister. http://eksamensarkiv.net/ Eksamen 21.05.2013 FSP5020/PSP5013 Fransk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister Oppgåve 1 Vous aimez voyager? Liker du å reise? Kvifor / kvifor ikkje? Skriv ein liten tekst på to til fire

Detaljer

Nei, jeg bare tuller.

Nei, jeg bare tuller. Eksempel En medisin skilles ut fra kroppen med en hastighet proporsjonal med mengden i kroppen. Halveringstiden er timer. Anta at en dose injiseres i en pasient hver sjette time fra et visst tidspunkt.

Detaljer

Løsning til Kompleks Analyse, Øving 5

Løsning til Kompleks Analyse, Øving 5 Løsning til Kompleks Analyse, Øving 5 1. Oppgave For z = R> er z 1 z +1= z +1=R +1. Ved å innføre variabelen u = z får vi at som gir oss faktoriseringen z 4 +5z +4=u +5u +4=(u +1)(u +4) z 4 +5z +4= z +1

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)

Detaljer

Rapport annuel 2012. p. 4 Reise til Frankrike?... p. 8 Felles språkdag... p. 12 Examens du BI. p. 16 Travailler du vocabulaire. p. 20 Et plus...

Rapport annuel 2012. p. 4 Reise til Frankrike?... p. 8 Felles språkdag... p. 12 Examens du BI. p. 16 Travailler du vocabulaire. p. 20 Et plus... Rapport annuel 2012. p. 4 Reise til Frankrike?... p. 8 Felles språkdag... p. 12 Examens du BI. p. 16 Travailler du vocabulaire. p. 20 Et plus... Le bureau/ Sommaire FRANSKLÆRERFORENINGENS STYRE SOMMAIRE/INNHOLD:

Detaljer

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400 UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall

Detaljer

Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N

Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N øsningsforslag Alexander undervold Mai 22 Oppgave a Den Fouriertransformerte

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Lektion 14. Repetition

Lektion 14. Repetition Lektion 4 Repetition Naturlige eksponentialfunktion 7 6 5 4 y y=sin().5 6 4 4 6.5 y=tan() 5.5.5 y 5 y=arcsin().5.5.5.5.8.6.4...4.6.8 Naturlige logaritmefunktion 4 6 8 Standardfunktioner (cos(), sin())

Detaljer

Mise à jour des marges requises

Mise à jour des marges requises Mise à jour des marges requises Table des matières 1. Mise en place... 2 1.1 Chronologie des évènements... 2 2. Marges requises... 3 2.1 Marges requises pour les comptes dénominés en USD... 3 2.2 Marges

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

LES VERBES. Forme de base. C'est celle trouvée dans le dictionnaire. Exemple : parler : snakke

LES VERBES. Forme de base. C'est celle trouvée dans le dictionnaire. Exemple : parler : snakke LES VERBES I- Forme de base : C'est celle trouvée dans le dictionnaire. parler : snakke II Infinitif : L'infinitif se forme en plaçant "å" devant la forme de base Forme de base Infinitif Payer Betale å

Detaljer

u 4 du = 1 5 u5 + C = 1 5 (x2 +4) 5 + C u 1/2 du = 1 2 u1/2 + C = 1 2

u 4 du = 1 5 u5 + C = 1 5 (x2 +4) 5 + C u 1/2 du = 1 2 u1/2 + C = 1 2 4 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. Fasit, Sbstitsjon. Oppgave a) Med = +4er = slik at d d = d =d. Dermed kan faktorene d i integralet erstattes med d, mens + 4 inne i parentesen erstattes med

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 KVANTEFYSIKK Tirsdag 4. desember 2007 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 KVANTEFYSIKK Tirsdag 4. desember 2007 kl ENGLISH TEXT and also in NORWEGIAN Page of 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250

Detaljer

Forslag til årsplaner LINGUA PLANET fransk Se lærerveiledningen for tips til klasseromsaktiviteter.

Forslag til årsplaner LINGUA PLANET fransk Se lærerveiledningen for tips til klasseromsaktiviteter. Forslag til årsplaner LINGUA PLANET fransk Se lærerveiledningen for tips til klasseromsaktiviteter. 9. trinn Musique Læringsmål Her lærer eleven Uke 33 Ecouter 1: Mon Pays, une vidéo magique! - å kjenne

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042 Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfg Mtemtikk Ukeoppgver uke 43 I løpet v uken blir løsningsforslg lgt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/llmennfg/emnesider/re4

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

UNIVERSITETET I AGDER

UNIVERSITETET I AGDER UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sin(π ) sinh (π) 4 + log(log ) log(log ) + C cos( ) + sin( ) π s e Γ(s) n n s Γ(s)ζ(s) π ( ( + sin ) +cos log + cos ) i Del I. Innledning.................................

Detaljer

FRANSKLÆRERFORENINGENS STYRE

FRANSKLÆRERFORENINGENS STYRE NR. 2-2007 2 Adresses/bureau 3 Infos 4 Le mot du président 5 Grete Kleppen, traduite 7 La littérature norvégienne, en français 8 Article : Enseigner à des débutants 17 Adresses internet 18 Marte i Paris!

Detaljer

Notice Originale Opprinnelig anvisning Oprindelig note

Notice Originale Opprinnelig anvisning Oprindelig note Notice Originale Opprinnelig anvisning Oprindelig note A LIRE ATTENTIVEMENT AVANT D UTILISER LA MACHINE VENNLIGST LES DENNE BRUKSANVISNINGEN NØYE FØR BRUK LÆS DENNE BRUGSANVISNING OMHYGGELIGT, FØR MASKINEN

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

www.philips.com/avent

www.philips.com/avent Register your product and get support at www.philips.com/avent SCD505 EN User manual 3 DA Brugervejledning 13 DE Benutzerhandbuch 23 ES Manual del usuario 47 SV Användarhandbok 121 AR 141 Innholdsfortegnelse

Detaljer

Formelark for eksamen i TE 559 Signaler og systemer Kontinuerlig tid Diskret tid Beskrivelse Dierensialligning Dieranseligning y(t) =y (t) +3u(t) +5u (t) y[k] =,y[k, ] + u[k] Beskrivelse Impulsrespons,

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Uke Hovedemne Delemne Arbeidsmåte Læremidler Annet. Lese, lytte, snakke, synge og gjøre arbeidsoppgaver. Samtale om tema.

Uke Hovedemne Delemne Arbeidsmåte Læremidler Annet. Lese, lytte, snakke, synge og gjøre arbeidsoppgaver. Samtale om tema. HARALDSVANG SKOLE Årsplan 8.trinn 2011-12 FAG: Fransk Språklæring: Grammatikk, egenvurdering, hjelpemiddel, digitale verktøy Kommunikasjon: Formidle, forstå, uttale, finne relevant stoff, tilpasse språk

Detaljer

Tanker fra nye kjøkken - en kulturstudie av 20 nye kjøkken i Oslo i et forbruksperspektiv

Tanker fra nye kjøkken - en kulturstudie av 20 nye kjøkken i Oslo i et forbruksperspektiv Fagrapport nr. 1-2004 Virginie Amilien, Tone Bergh, Sigrid K. Helstad Tanker fra nye kjøkken - en kulturstudie av 20 nye kjøkken i Oslo i et forbruksperspektiv Fagrapport nr. 1-2004 Tittel Tanker fra

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 21. desember 21 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator ottmanns formelsamling

Detaljer

Yves Jamait. 6 Regning i fremmedspråk. 8 Didactique.. 14 Jeux de vocabulaire 18 Statistiques. 30

Yves Jamait. 6 Regning i fremmedspråk. 8 Didactique.. 14 Jeux de vocabulaire 18 Statistiques. 30 Yves Jamait. 6 Regning i fremmedspråk. 8 Didactique.. 14 Jeux de vocabulaire 18 Statistiques. 30 Le bureau/ Sommaire FRANSKLÆRERFORENINGENS STYRE SOMMAIRE/INNHOLD: André Avias epost: andre.avias@hiof.no

Detaljer

Kp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt

Kp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt Bjørn H. Auestad Kp. 11: Regresjonsanalyse 1 / 57 Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt 11.1 Introduction to Linear Regression 11.2 Simple Linear Regression 11.3 Least Squares and the Fitted Model 11.4 Properties

Detaljer

Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M

Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Aveling for ingeniørutnning FAG : FOA192 Vieregåene nlyse og iskret mtemtikk KLASSAR : Mnge DATO : 21. mi 212 TAL PÅ OPPGÅVER 5 TAL PÅ SIDER 2 VEDLEGG Hjelpesetningr HJELPEMIDDEL Csio

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALFICACIÓN IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI M04/208/H(1)M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALFICACIÓN May / mai / mayo 2004 NORWEGIAN / NORVÉGIEN / NORUEGO B Higher

Detaljer

Primtallsteoremet og zetafunksjonen

Primtallsteoremet og zetafunksjonen Primtallsteoremet og zetafunksjonen Henrik Sommer Lektorutdanning med master i realfag Innlevert: Mai 203 Hovedveileder: Lars Peter Lindqvist, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt

Detaljer

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040? OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Norwegian A: literature Higher level Paper 2 Norvégien A : littérature Niveau supérieur Épreuve 2 Noruego A: literatura Nivel superior Prueba 2

Norwegian A: literature Higher level Paper 2 Norvégien A : littérature Niveau supérieur Épreuve 2 Noruego A: literatura Nivel superior Prueba 2 M 15 /1/AXNOR/HP2/NOR /TZ0/XX Norwegian A: literature Higher level Paper 2 Norvégien A : littérature Niveau supérieur Épreuve 2 Noruego A: literatura Nivel superior Prueba 2 Monday 11 May 20 1 5 (morning

Detaljer

a) Vis at startvolumet er V 0 = 1, 04m 3 Gassen presses deretter sammen til et volum på V 1 = 0, 80m 3 mens temperaturen i gassen holdes konstant.

a) Vis at startvolumet er V 0 = 1, 04m 3 Gassen presses deretter sammen til et volum på V 1 = 0, 80m 3 mens temperaturen i gassen holdes konstant. NB: Alle deloppgavene teller like mye i vurderingen. Dvs. oppgave 1a teller like mye som oppgave 4. Oppgave 1 I en beholder er 50,0 mol luft avstengt av et stempel som kan bevege seg uten friksjon mot

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

Geogebra hjelp - S2. Funksjonsanalyse. Innhold. Kommando. Funksjonsanalyse 1. Undersøke om dataene er normalfordelt 1.

Geogebra hjelp - S2. Funksjonsanalyse. Innhold. Kommando. Funksjonsanalyse 1. Undersøke om dataene er normalfordelt 1. Geogebra hjelp - 4. mai 2012 Innhold Funksjonsanalyse 1 Komandoer 1 Undersøke om dataene er normalfordelt 1 Finne sannsynlighetsfordeling 2 Binomisk fordeling...........................................

Detaljer

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN M08/2/ABNOR/SP1/NOR/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2008 NORWEGIAN / NORVÉGIEN / NORUEGO B Standard Level Niveau Moyen Nivel Medio Paper / Épreuve / Prueba

Detaljer

OFFICE NORVÉGIEN DE LA PROPRIÉTÉ INDUSTRIELLE

OFFICE NORVÉGIEN DE LA PROPRIÉTÉ INDUSTRIELLE PCT Guide du déposant Phase nationale Chapitre national NO Page 1 OFFICE NORVÉGIEN DE LA PROPRIÉTÉ INDUSTRIELLE EN TANT QU OFFICE DÉSIGNÉ (OU ÉLU) TABLE DES MATIÈRES L OUVERTURE DE LA PHASE NATIONALE RÉSUMÉ

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

Assemblée générale 2008... p. 4 De l immeuble à mon alter ego p. 16 DIXIT (l interculturel) p. 20 Faglig pedagogisk dag p. 26 Felles konferanse med

Assemblée générale 2008... p. 4 De l immeuble à mon alter ego p. 16 DIXIT (l interculturel) p. 20 Faglig pedagogisk dag p. 26 Felles konferanse med Assemblée générale 2008... p. 4 De l immeuble à mon alter ego p. 16 DIXIT (l interculturel) p. 20 Faglig pedagogisk dag p. 26 Felles konferanse med LMS, spanskforeningen og tyskforum p. 30 Le bureau/ Sommaire

Detaljer

Forslag til årsplaner LINGUA PLANET fransk Se lærerveiledningen for tips til klasseromsaktiviteter. 10. trinn. vurdering

Forslag til årsplaner LINGUA PLANET fransk Se lærerveiledningen for tips til klasseromsaktiviteter. 10. trinn. vurdering Forslag til årsplaner LINGUA PLANET fransk Se lærerveiledningen for tips til klasseromsaktiviteter. 10. trinn Célébrités Uke 33 Læringsmål Her lærer eleven Ecouter 1: Célébrités françaises et francophones

Detaljer

Mars 2014. Assemblée générale 2013 La Norvège pays exotique? La oss skravle.. Kurs i Frankrike.. Frankrig og den koloniale arv

Mars 2014. Assemblée générale 2013 La Norvège pays exotique? La oss skravle.. Kurs i Frankrike.. Frankrig og den koloniale arv Mars 2014 Assemblée générale 2013 La Norvège pays exotique? La oss skravle.. Kurs i Frankrike.. Frankrig og den koloniale arv p. 4 p. 8 p. 12 p. 15 p. 22 Le bureau/ Sommaire FRANSKLÆRERFORENINGENS STYRE

Detaljer

M01/108/S(2) NORWEGIAN A1 STANDARD LEVEL PAPER 2 NORUEGO A1 NIVEL MEDIO PRUEBA 2

M01/108/S(2) NORWEGIAN A1 STANDARD LEVEL PAPER 2 NORUEGO A1 NIVEL MEDIO PRUEBA 2 INTERNATIONAL BACCALAUREATE BACCALAURÉAT INTERNATIONAL BACHILLERATO INTERNACIONAL M01/108/S(2) NORWEGIAN A1 STANDARD LEVEL PAPER 2 NORVEGIEN A1 NIVEAU MOYEN ÉPREUVE 2 NORUEGO A1 NIVEL MEDIO PRUEBA 2 Friday

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Sensorveiledning: MET 11803

Sensorveiledning: MET 11803 Sensorveiledning: MET 11803 Matematikk Eksamensdato: 08.05.2014 kl. 09.00-14.00 Totalt antall sider: 8 Se oppgavesettet for tillatte hjelpemidler Se oppgavesettet for vekting av oppgavene Ansvarlig institutt:

Detaljer

Oppgaver og fasit til kapittel 6

Oppgaver og fasit til kapittel 6 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.

Detaljer

M14/2/ABNOR/HP1/NOR/TZ0/XX/Q

M14/2/ABNOR/HP1/NOR/TZ0/XX/Q M14/2/ABNOR/HP1/NOR/TZ0/XX/Q 22142291 NORWEGIAN B HIGHER LEVEL PAPER 1 NORVÉGIEN B NIVEAU SUPÉRIEUR ÉPREUVE 1 NORUEGO B NIVEL SUPERIOR PRUEBA 1 Examination code Code de l examen Código del examen 2 2 1

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Løsningsforslag til øving 13

Løsningsforslag til øving 13 Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 13 Oppgave 1 a) Sløyfas magnetiske dipolmoment: m = IA ˆn = Ia 2 ˆn Sløyfa består av 4 rette ledere med lengde

Detaljer

Informations sur le VIH et le SIDA

Informations sur le VIH et le SIDA Informations sur le VIH et le SIDA Fransk/norsk Fakta om hiv og aids Aids er en alvorlig sykdom som siden begynnelsen av 1980-tallet har spredd seg over hele verden. Aids skyldes et virus, hiv, som overføres

Detaljer

Charte d utilisation de l informatique au lycée René CASSIN d Oslo

Charte d utilisation de l informatique au lycée René CASSIN d Oslo Cliquez sur la version souhaitée klikk på ønsket versjon Charte d utilisation de l informatique au lycée René CASSIN d Oslo IKT-REGLER FOR DEN FRANSKE SKOLEN I OSLO Charte d utilisation de l informatique

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

DC 3800c. instruktion user instruction Betriebsanleitung manuel d instruction gebruikers handleiding brukermanual. serial no: Part No 94124

DC 3800c. instruktion user instruction Betriebsanleitung manuel d instruction gebruikers handleiding brukermanual. serial no: Part No 94124 DC 3800c Part No 94124 instruktion user instruction Betriebsanleitung manuel d instruction gebruikers handleiding brukermanual serial no: Innholdsfortegnelse NORSK Sikkerhetsforskrifter 25 Tekniske data

Detaljer

LYCÉE FRANÇAIS RENÉ CASSIN D OSLO Skovveien 9 0257 Oslo Norvège Tél. 47/22 92 51 20 Fax : 47/22 56 06 99 E-mail : secretariat@rcassin.

LYCÉE FRANÇAIS RENÉ CASSIN D OSLO Skovveien 9 0257 Oslo Norvège Tél. 47/22 92 51 20 Fax : 47/22 56 06 99 E-mail : secretariat@rcassin. LYCÉE FRANÇAIS RENÉ CASSIN D OSLO Skovveien 9 0257 Oslo Norvège Tél. 47/22 92 51 20 Fax : 47/22 56 06 99 E-mail : secretariat@rcassin.no Oslo, le 15 octobre 2010 La proviseure Aux parents d élèves Chers

Detaljer

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN M12/2/ABNOR/SP1/NOR/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2012 NORWEGIAN / NORVÉGIEN / NORUEGO B Standard Level Niveau Moyen Nivel Medio Paper / Épreuve / Prueba

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE nstitutt for mtemtiske relfg og teknologi EKSAMEN FYS135 - ELEKTROMAGNETSME Eksmensdg: 12. desember 2003 Tid for eksmen: Kl. 14:00-17:00 (3 timer) Tilltte hjelpemidler: B2 - Enkel

Detaljer

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler

Detaljer

Innledende riter. Rite d'entrée. Préparation pénitentielle. Syndsbekjennelse. I Faderens og Sønnens og Den Hellige Ånds navn.

Innledende riter. Rite d'entrée. Préparation pénitentielle. Syndsbekjennelse. I Faderens og Sønnens og Den Hellige Ånds navn. Norsk Den hellige Messe Innledende riter I Faderens og Sønnens og Den Hellige Ånds navn. Vår Herres Jesu Kristi nåde, Guds kjærlighet og Den Hellige Ånds samfunn være med dere alle. Og med din ånd. Français

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring.

Harald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring. Haral Bjørnesa: Variasjonsregning en enkel innføring. Tiligere har vi løs oppgaven me å finne eksremalveriene ( maks./min. veriene) av en gi funksjon f () når enne funksjonen oppfyller beseme krav. Vi

Detaljer

electronic DEHUMIDIFIER

electronic DEHUMIDIFIER pure indoor living Holmes Products (Europe) Ltd. England Fax: +44 (0)20 8947 8272 Email: enquirieseurope@jardencs.com - Filter Sales Order Line - 0870 759 9000 Website address: www.bionaire.com/europe

Detaljer

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN IB DIPLOMA PROGRAMME c PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI M07/2/ABNOR/SP1/NOR/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2007 NORWEGIAN / NORVÉGIEN

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I FRANSK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I FRANSK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I FRANSK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Utnytte egne erfaringer med språklæring i tilnærmingen til det nye språket Kommunisere med

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Ekstraoppgave 11.6.1. with plots. Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut.

Ekstraoppgave 11.6.1. with plots. Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut. Ekstraoppgave 11.6.1. a) with plots Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut. P1 d plot3d x, sqrt 1 K x 2, z, x = 0..4, z = 0..4, color = blue, style

Detaljer

No. 1 2009. Siden 1986

No. 1 2009. Siden 1986 Siden 1986 No. 1 2009 3. Redaksjonelt 4. Intervju med Gahr Støre 7. Infos culturelles, Jean-Louis 8. Skoleutveksling i Larvik 11. La réforme de l orthographe. Pierre 14. Enseigner avec TV5Monde, André

Detaljer

EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG NORGES TEKNISK-NATURITENSKAPELIGE UNIERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG Mandag 11. august 2014 kl. 0900-1300 Ogave 1. 25 flervalgsogaver. (Poeng: 2

Detaljer

Legemiddeløkonomiske retningslinjer - videreutvikling

Legemiddeløkonomiske retningslinjer - videreutvikling Legemiddeløkonomiske retningslinjer - videreutvikling Morten Aaserud Helseøkonomisk fagdag 2.des. 2014 Hvorfor videreutvikling? Fortsettelse fra forrige runde Nye temaer Presiseringer Norheim-utvalget

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

BEFOLKNINGSFORHOLDENE

BEFOLKNINGSFORHOLDENE TILLEGGSHEFTE TIL «MEDDELELSER FRA DET STATISTISKE CENTRALBYRÄ» 1920 Journal du Bureau Central de Statistique du Royaume de Norvège 1920. Appendice. BEFOLKNINGSFORHOLDENE NORD-NORGE MED SÆRLIG HENSYN TIL

Detaljer

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon Inferens for regresjon 10.1 Enkel lineær regresjon 11.1-11.2 Multippel regresjon 2012 W.H. Freeman and Company Denne uken: Enkel lineær regresjon Litt repetisjon fra kapittel 2 Statistisk modell for enkel

Detaljer

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Kinematikk i to og tre dimensjoner Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1 v [m/s] [m] Eksempel:

Detaljer

Lycée français René Cassin Oslo - Norvège BIENVENUE A L ECOLE MATERNELLE QUELQUES (BONS) CONSEILS POUR UNE RENTRÉE RÉUSSIE

Lycée français René Cassin Oslo - Norvège BIENVENUE A L ECOLE MATERNELLE QUELQUES (BONS) CONSEILS POUR UNE RENTRÉE RÉUSSIE BIENVENUE A L ECOLE MATERNELLE QUELQUES (BONS) CONSEILS POUR UNE RENTRÉE RÉUSSIE VELKOMMEN TIL FØRSKOLEN HER ER NOEN (GODE) RÅD FOR EN VELYKKET SKOLESTART M.a.j. / Oppdatert septembre 2014 VOTRE ENFANT

Detaljer