Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture

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1 //5 Aee A Equatios fodaetales de la écaique liéaie de la uptue A. Zeghloul MMAE appels d élasticité plae octio d Ai e vaiables coplees epésetatio des déplaceets et des cotaites Epessio du toseu des effots Potetiels coplees das u doaie oé et ultipleet oee Potetiels coplees das u doaie ifii et ultipleet oee Plaque copotat u petit tou ciculaie Méthode utilisat l itégale de auch Plaque copotat u petit tou elliptique Méthode de Westegaad pou les fissues

2 //5 f appels d élasticité Equatios de copoteet Equatios d équilibe Equatios de copatibilité olutios véifiat les L Equatios de copoteet (loi de Hooe) υ υ E E ( tace ) µ λ( tace) E µ v λ Ev v v λ v bλ µ g v λ 3 E E µ λ µ µ b3λ µ g λ µ Etats plas : : L NM L NM µ λ λ µ µ λ λ µ c h QP c h QP µ λ λ e défoatios plaes λ µ λ e cotaites plaes λ µ Pa la suite, état de défoatios plaes : :

3 //5 ésolutio pa la éthode d Ai - Equatios d équilibe div f f X Y,,,, X Y H G K J b Vg,,, V, f gad V où V V (, ) V A V A A,,, V X V Y A foctio dai - Equatios de copatibilité i, l l, i il,, il ( il ) ( ),( 3) P EA PLAN,,,,,, µ b Αg λ µ V oces de volue foces de la pesateu µ b Αg λ µ V f ρ g ρ g b Αg V (, ) V ( ) g V ρ olutio d u poblèe d élasticité plae octio bihaoique A oces de volue égligées Α Α, Α, b Αg 3

4 //5 Eeple : Etude d u baage poids α H γ e γ b ol A alcule le chap de cotaites e foctio de γ e, γ b et α Pou quelles valeus de α le baage e se soulève pas e supposat : a- pas d ifiltatio sous le baage b- ifiltatio sous le baage α H ol A

5 //5 octio d Ai e vaiables coplees - octios holoophes (ou aaltiques) M(,) i i i (, ) Pla g g(, ) (, ) (, ) g g(, ) P P(, ) Q Q(, ) g g g,,, g i( g g ),,, g P iq g g, g, ig, g, g, ig, g est holoophe si E g g g( ) i Popiétés des foctios aaltiques dg g g g P iq i d P Q P Q i i Les paties éelle et iagiaie due foctio aaltique, sot haoiquesw U V E P Q P Q P Q veseet, si P(, ) et Q(, ) véifiet les coditios de auch g P iq est aaltique - i g est aaltique, sa déivée et so itégale le sot aussi 5

6 //5 - Epessios de la foctio d Ai i P A alos P P est haoique Α f P iq est aaltique P Q P Q alcul de Q(, ) Q dq d Q d P Q dq d P d p q ϕ f d p iq est aaltique P i p Α p q alos p χ( ) p iq est aaltique A p q p Α e ϕ χ Α ϕ χ ϕ χ Epessio des déplaceets λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ du iu i b p iqg dα, iα, i p q A P µ λ µ λ µ µ U iu λ µ ϕ λ µ µ U p Α, α λ µ λ µ µ U q Α, β λ µ λ µ µ Α Α, λ µ λ µ µ Α Α, λ µ g, g, ig, g, g, ig, di di d i di di µ U iu ϕ ϕ ψ Α λ µ λ µ ϕ ϕ ϕ ψ α c d β c d A Α, iα, λ 3µ 3 v e DP λ µ ψ () χ() 6

7 //5 Α Α,, Α, Epessio des cotaites g g g,,, g i( g g ),,, c h c h di di di c,, h c,,, h di di di i Α iα i Α iα i Α Α Α,,,,,,,, i ϕ ϕ ϕ ψ g, g, ig, g, g, ig, ( ) ( ) Α ϕ χ ϕ χ i Α iα Α iα Α Α Α,,,, i ϕ ϕ ϕ ψ e di c h i d ϕ ψ i ϕ ϕ e ϕ e Φ i Φ Ψ ch d i Φ() ϕ() Ψ() ψ () e hageet de epèe e e cos. si. e si. cos. H G e e H G K J P P : u cos u si u si u cos cos si i u iu e ( u iu ) µ u iu i e ϕ ϕ ψ h h t P P e, e, u u u u P b g di di e i i e i d i i i i e ϕ ψ e Φ Ψ d i d i si cos 7

8 //5 P Epessio du toseu des effots α P X Y H, K, P α α d ds d H G cosα K J : et siα d cosα ds d siα ds t X.. cosα si α Α, cos α Α, siα t Y.. cosα si α Α, cos α Α, siα Vecteu cotaite ésultate pa uité d épaisseu su H P, K ds X Y X ds Y ds Y X d H G d H G Α ds Α ds X Y X ds Y ds Α ϕ χ ϕ χ Α Α Α Α Α X iy X iy ds d i i i i QP ( ) ( ) L NM X iy i ϕ ϕ ψ di di Moet pa uité d épaisseu e u poit M P P ds M H, K (,, ) M Y X ds L d Α b g M H G Α Α Α Α e i i L NM Α Α PP M Α L N M Q P L Α N M e QP e { ϕ ψ ϕdi } QP N L N M Q P d H G Α Q P M e χ ψ ϕ 8

9 //5 Epessios des foctios ϕ( ) et ψ ( ) das u doaie boé et ultipleet coee Doaie sipleet coee D D Doaie ultipleet coee D L Doaie doubleet coee Doaie ultipleet coee - Le chap des cotaites est solutio de e Φ i Φ Ψ ch d i - L uifoité de la solutio ipose su tout cotou feé de D eφ - ette coditio est satisfaite si o ped Φ() de la foe : Φ Α log Φ A, les poits situés à litéieu de et Φ ( ) uifoe das D _ coee Véificatio su la coube feée L - e i Φ πiα e Φ L L L Doaie ultipleet coee 9

10 //5 Φ Α logb g Φ Φ() ϕ() Φ d logb g foctio uifoe das D ϕ Α logb g b A glogb g b g ϕ Φ d cste Α log Φ d cste foctio uifoe das D ialeet ϕ Α γ log ϕ A γ b A g ϕ b g f. u. e Φ i Φ Ψ ch d i Ψ() ψ () - La coditio d uifoité de la solutio ipose Ψ() uifoe, c.a.d. ψ() de la foe : ψ γ log ψ ψ oséqueces su le chap des déplaceets? di di γ uifoe das D λ 3µ µ U iu ϕ ϕ ψ e DP λ µ µ U iu πi γ γ L Α ϕ Α γ log ϕ Α γ γ,

11 //5 alcul de la ésultate du toseu des effots su L ésultate des effots su L X iy i ϕ ϕ ψ di di L L oietée ves litéieu du cotou X iy i π iγ π iγ X iy πdγ γ i Α chageet de sige γ γ Doaie ultipleet coee X iy γ π X iy γ J π ialeet, les epessios de ϕ() et ψ() seot : ϕ X iy log ϕ π ψ X iy ψ πb g b glogb g Epessios des foctios ϕ( ) et ψ ( ) das u doaie ifii et ultipleet coee se place à l etéieu d u cecle de ao tès gad tel que :, < < log log log log K J H G K J X iy ϕ log ϕ π X iy ψ b g log ψ π uifoe das ( D- ) Développeet e séie de Lauet ϕ X iy log ϕ π ψ X iy ψ πb g b glogb g ϕ et ψ uifoes das D - X X et Y Y ϕ ψ a a

12 //5 ϕ ϕ i ϕ ψ e di d i X iy ϕ log ϕ π X iy ψ b g log ψ π ϕ ψ a a Les cotaites doivet este fiies à l ifii L N M X iy X iy π π a e i ϕ ψ i ϕ boée ψ boée a pou d a Q P e a a a a pou L epessio fiale des foctios ϕ() et ψ() est doc : X iy ϕ log Γ ϕ πb g X iy ψ log Γ ψ π d d Γ ϕ et Γ i d d ψ alcul des éels, et e foctio du chageet à l ifii α α α ϕ Li e Γ i Li ϕ ψ d i Γ - E foctio des cotaites o picipales - E foctio des cotaites picipales ϕ e Γ i i e Lid ϕ ψ i e Γ Γ c he α α i α c h

13 //5 Applicatio : plaque copotat u petit tou ciculaie de ao Au voisiage du tou coodoées polaies X iy d d ϕ log Γ πb g X iy d d ψ log Γ π X iy Φ a a Γ, a, π ϕ ϕ i i e ϕ ψ X iy d d Φ Γ 3 πb g X iy d d Ψ Γ 3 π X iy Ψ a a Γ, a, a d π a d di i - u le tou () o a : i Φ Φ e Φ Ψ e e i i i a e a e a e a a i i i i i e e - i le chageet su le tou () est cou, le tee de gauche est cou i Α e i a a ( ) Α a a a a a Γ ees e e ees e e i i a a Α a a ees e e i a Α a a Γ a i pou 3 Α ees e e pou a a Α a Γ ; a Γ ; a Γ Α ; a A Γ A Α a ; a a A ( pou 3) ; a a Α ( pou ) 3

14 //5 Eeple : chageet de tactio siple - oditios Liites (L) à l ifii - L su le tou (tou libe) Α d i Γ Γ a Γ ; a Γ ; a Γ Α ; a A Γ A Α a ; a a A ( pou 3) ; a a Α ( pou ) a Γ, a Γ, a a a Γ, a Γ, a3 a3 a 3 a b ga a - Déteiatio des foctios ϕ() et ψ() a, a, a a a, a, a3 a3 a 3 a Φ Ψ 3 ϕ ψ 3 - alcul des cotaites au voisiage du tou e Φ i i e Φ Ψ c h Au bod du tou, o a d i a π 3 K J 3 cos 3 cos 3 si a Le coefficiet de cocetatio des cotaites K Τ 3

15 //5 - alcul du chap des déplaceets di di i e du iu i µ ϕ ϕ ψ ϕ ψ 3 u cos 8µ u L NM U V W si µ QP U V W Eeple : chageet de tactio équibiaiale - oditios Liites (L) à l ifii - L su le tou (tou libe) Α d i Γ Γ a Γ ; a Γ ; a Γ Α ; a A Γ A Α a ; a a A ( pou 3) ; a b ga Α ( pou ) a Γ, a Γ, a a a Γ, a Γ, a a, a a 3 3 5

16 //5 - Déteiatio des foctios ϕ() et ψ() a, a a a a a a a a 3 3 Φ, Ψ ϕ, ψ - alcul des cotaites au voisiage du tou e Φ i i e Φ Ψ c h d i et Au bod du tou, o a a a KΤ Eeple 3 : ou sous pessio hdostatique P P - oditios Liites (L) à l ifii Γ Γ - L su le tou P, A P et A Φ d où ϕ Ψ i Α e i P d où ψ a Γ ; a Γ ; a Γ Α ; a A Γ A Α a ; a a A ( pou 3) ; a a Α ( pou ) P u a P a a a a a a a a 3 3 P P ; ; P ; u µ 6