FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk

Transkript

1 FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk Formelsamling (bokmål) Våren Analytisk mekanikk Lagrangefunksjonen L = L(q, q, t), (1) er en funksjon av systemets generaliserte koordinater q = {q i ; i = 1, 2,..., d} og deres tidsderiverte q = { q i ; i = 1, 2,..., d}. Lagrangefunksjonen kan også ha en eksplisitt tidsavhengighet t. Lagranges ligninger d L L = 0, i = 1, 2,.., d. (2) dt q i q i Det er én ligning for hver generalisert koordinat, og dermed én ligning for hver av systemets frihetsgrader. Generalisert bevegelsesmengde p i = L q i, i = 1, 2,.., d. (3) oftest refererert til som kanonisk konjugert bevegelsesmengde. Det er en generalisert bevegelsesmengde p i for hver generalisert koordinat q i. Hamiltonfunksjonen H(p, q) = d q i p i L (4) i=1 blir vanligvis uttrykt som en funksjon av de generaliserte koordinatene q i og deres konjugerte bevegelsesmengder p i. Hamiltons ligninger q i = H p i, ṗ i = H q i, i = 1, 2,.., d (5) (6) Standarduttrykk for L og H L = T V H = T + V (7) 1

2 med T som kinetisk energi og V som potensiell energi. I noen tilfeller er H ikke den totale energien. Ladet partikkel i elektromagnetisk felt (ikke-relativistisk) 2 Relativitetsteori Tidrom-koordinater Generell Lorentz-transformasjon L = L(r, v) = 1 2 mv2 eφ + ev A H = H(r, p) = 1 2m (p ea)2 + eφ (8) (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (ct, x, y, z) = (ct, r) (9) Spesiell Lorentz-transformasjon med hastighet v i x retningen x µ x µ = L µ νx ν + a µ (10) x 0 = γ(x 0 βx 1 ) med β = v/c, γ = 1/ 1 β 2. Koordinatene x 2 og x 3 er uendret. Betingelse på Lorentz-transformasjonens matriseelementer Invariant linje-element x 1 = γ(x 1 βx 0 ) (11) g µν L µ ρl ν σ = g ρσ (12) s 2 = r 2 c 2 t 2 = g µν x µ x ν = x µ x µ (13) Metrisk tensor 0, µ ν g µν = 1, µ = ν = 0 1, µ = ν 0 Hevet og senket indeks x µ = g µν x ν, (x µ ) = (ct, r), (x µ ) = ( ct, r) x µ = g µν x ν, g µρ g ρν = δ ν µ (14) 2

3 Egentid - tidsdilatation dτ = 1 ds c 2 = 1 dt, (15) γ dτ: egentidsintervall = tid målt i det momentante hvilesystemet (på en tenkt klokke som beveger seg med legemet) ds 2 : invariant linje-element for en infinitesimal del av legemets verdenslinje dt: koordinattid-interval = tidsintervall målt i et vilkårlig valgt inertialsystem Lengdekontraksjon Lengden til et legeme som beveger seg, målt i bevegelsesretningen. L 0 : lengden målt i legemets hvilesystem L: lengden målt (ved samtidighet) i et vilkårlig valgt inertialsystem Firerhastighet L = 1 γ L 0 (16) Firerakselerasjon U µ = dxµ dτ = γ (c, v), U µ U µ = c 2 (17) A µ = du µ dτ = d2 x µ dτ 2, Aµ U µ = 0 (18) Egenakselerasjon a 0 Akselerasjon målt i det momentane hvilesystem, A µ A µ = a 0 2 (19) Firer-bevegelsesmengde p µ = m U µ = mγ(c, v) = ( E, p) (20) c med m som (hvile-) massen til legeme i bevegelse. Relativistisk energi E = γmc 2 (21) γm blir av og til omtalt som den relativistiske massen. 3

4 3 Elektrodynamikk Maxwells ligninger Maxwells ligninger på kovariant form Elektromagnetisk felttensor E = ρ ɛ 0 B 1 c 2 t E = µ 0j B = 0 E + t B = 0 (22) ν F µν = µ 0 j µ, ν x ν ν F µν = 0, F µν 1 2 ɛµνρσ F ρσ (23) F 0k = 1 c E k, F ij = ɛ ijk B k F 0k = B k, F ij = 1 c ɛ ijke k (24) Firer-strømtetthet (j µ ) = (cρ, j) (25) Ladningsbevaring Elektromagnetiske potensialer µ j µ = 0, t ρ + j = 0 (26) E = φ t A, B = A (27) Firerpotensialer F µν = µ A ν ν A µ, (A µ ) = ( 1 φ, A) (28) c Lorentz-kraften Kraft fra elektromagnetisk felt på punktpartikkel med ladning q Potensialer fra ladnings- og strømfordelinger i Lorentz-gauge, µ A µ = 0: F = q(e + v B) (29) φ(r, t) = 1 ρ(r, t ) 4πɛ 0 r r dv A(r, t) = µ 0 4π 4 j(r, t ) r r dv (30)

5 Retardert tid t = t 1 c r r (31) Electrisk dipolmoment p = rρ(r)dv (32) Elektrisk dipolpotensial (dipol i origo) Kraft og kraftmoment (om origo) φ = n p 4πɛ 0 r 2, n = r r (33) F = (p )E, M = p E (34) Magnetisk dipolmoment m = 1 2 r j(r) dv (35) Magnetisk dipolpotensial (dipol i origo) Kraft og kraftmoment (om origo) A = µ 0 m n 4πr 2, n = r r (36) F = (m B) (strømsløyfe), M = m B (37) Lorentz-transformasjon av de elektromagnetiske feltkomponentene Lorentz-invarianter Spesielle Lorentz-transformasjoner F µν = L µ ρl ν σf ρσ (38) E 2 c 2 B 2 = c2 2 F µνf µν E B = c 4 F µν F µν (39) E = E, E = γ(e + v B) B = B, B = γ(b v E/c 2 ) (40) Feltene er dekomponert i en parallelkomponent ( ), langs retningen til transformasjonshastigheten v, og en ortogonalkomponent ( ), vinkelrett på v. Eletromagnetisk feltenergitetthet u = 1 2 (ɛ 0E µ 0 B 2 ) = ɛ 0 2 (E2 + c 2 B 2 ) (41) 5

6 Elektromagnetisk energi-strømtetthet (Poyntings vektor) S = 1 E B (42) µ 0 Monokromatisk planbølge, planpolarisert E(r, t) = E 0 cos(k r ωt), E 0 = E 0 e 1 B(r, t) = B 0 cos(k r ωt) ; B 0 = B 0 e 2 E 0 k = B 0 k = 0, B 0 = 1 c n E 0, n = k k (43) Monokromatisk planbølge, sirkulærpolarisert Polarisasjonsvektorer Firer-bølgevektorer E(r, t) = Re (E 0 exp[i(k r ωt)]), E 0 = E (e 1 ± ie 2 ) B(r, t) = Re (B 0 exp[i(k r ωt)]), B 0 = B (e 2 ie 1 ) (44) e 1 k = e 2 k = 0, e 1 e 2 = 0, e 2 1 = e 2 2 = 1 (45) (k µ ) = ( ω, k), ω = ck (46) c Strålingsfelt, i bølgesonen (r >> r, λ) B(r, t) = µ 0 n 4πc r d dt j(r, t )dv, n = r r Elektrisk dipolstråling E(r, t) = cb(r, t) n (47) B(r, t) = µ 0 n p(t r/c), E(r, t) = cb(r, t) n (48) 4πc r Stråling fra akselerert, ladet partikkel B(r, t) = µ 0q 4πcr [a n] ret, med r(t) som partikkelens posisjonsvektor. Strålingseffekt, Larmors formel E(r, t) = cb(r, t) n ret n = R/R, R(t) = r r(t) (49) P = µ 0q 2 6πc a2 (50) 6