Gauss og konforme kartprojeksjoner

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Gauss og konforme kartprojeksjoner"

Baard Borgen
7 år siden
Visninger:

1 Gauss og konforme kartprojeksjoner Hvor kommer km-rutenettet på kartet fra? Harald Hanche-Olsen 12. januar 2004 Gauss / Ski og matematikk

2 En flat jord? Gauss / Ski og matematikk

3 En konform avbildning Gauss / Ski og matematikk

4 Gerardus Mercator ( ) Gauss / Ski og matematikk

5 Stereografisk projeksjon Gauss / Ski og matematikk

6 Skrå stereografisk projeksjon Gauss / Ski og matematikk

7 Ekvatoriell stereografisk projeksjon Gauss / Ski og matematikk

8 Carl Friedrich Gauss ( ) Gauss / Ski og matematikk

9 Konforme avbildninger mellom flater ALS BEANTWORTUNG DER VON DER KÖNIGLICHEN SOCIETÄT DER WISSENSCHAFTEN IN COPENHAGEN FÜR MDCCCXXII AUFGEGEBNEN PREISFRAGE. (Werke, Vierter Band, ) Gauss / Ski og matematikk

10 Lokale avstandsmål i flater Parametrisert flate i rommet: x, y, z gitte funksjoner av t, u. dx = a dt + a du dy = b dt + b du dz = c dt + c du Dette leder til et linje-element ds = q (aa + bb + cc)dt 2 + 2(aa + bb + cc )dt du + (a a + b b + c c )du 2 Kortere, og i moderne språkbruk: g = E dt 2 + 2F dt du + G du 2. (Riemann-metrikk, første fundamentalform.) Gauss / Ski og matematikk

11 Isoterme koordinater Når er g = 0? Kun for dt = du = 0. Men om vi regner komplekst, blir det annerledes: Eg = E 2 dt 2 + 2EF dt du + EG du 2 = (E dt + F du) 2 + (EG F 2 ) du 2 = `E dt + (F + i p EG F 2 ) du `E dt + (F i p EG F 2 ) du Vi løser differensialligningen(e) E dt + (F ± i p EG F 2 ) du og finner en generell løsning p ± iq = konstant. [... ] und die Natur der Sache wird es mit sich bringen, dass (dp + i dq) (dp i dq) oder dp 2 + dq 2 ein Factor von g, oder g = n(dp 2 + dq 2 ) werden muss, [... ] Nullpunktene til et polynom bestemmer polynomet opp til en multiplikativ konstant. Gauss / Ski og matematikk

12 Generelle konforme avbildninger To flater, parametrisert ved (t, u) og ( t, ũ); metrikker g, g, og isoterme koordinater (p, q) og ( p, q): En avbildning mellom flatene er konform dersom g = mg. Ekvivalent: d p 2 + d q 2 er et (variabelt) multiplum av dp 2 + dq 2. Alternativt: d p ± i d q er delbar med dp ± i dq eller d p ± i d q er delbar med dp i dq. I det første tilfellet: d p ± i d q = 0 når dp ± i dq = 0. Det vil si, p + i q er konstant der p + iq er konstant. Altså: hvor f er en vilkårlig [analytisk] funksjon. p + i q = f(p + iq), Hiedurch ist die vorgegebene Aufgabe ganz allgemein und vollständig aufgelöst. Kommentar: Når (p, q) er isoterme koordinater, er p + iq en konform avbildning til det komplekse plan. Og vi vet at de konforme avbildningene i det komplekse plan er presist de analytiske. Gauss / Ski og matematikk

13 Eksempel: Kuleoverflate Vi ser på enhetssfæren. λ er lengdegrad, ϕ er breddegrad regnet fra nordpolen. x = cos λ sin ϕ, y = sin λ sin ϕ, z = cos ϕ, g = sin 2 ϕ dλ 2 + dϕ 2. Den ene av de to løsningene til g = 0 er gitt ved dλ i dϕ sin ϕ = 0. Løsningen blir λ + i ln cotg 1 2 ϕ = konstant. Alle konforme avbildninger av sfæren i planet er på formen z = x + iy = f(λ + i ln cotg 1 2 ϕ). Gauss / Ski og matematikk

14 Eksempel: Kuleoverflate Alle konforme avbildninger av sfæren i planet er på formen z = x + iy = f(λ + i ln cotg 1 2 ϕ). Med f = identitetsavbildningen får vi Mercatorprojeksjonen λ + iq, q = ln cotg 1 2 ϕ. Med f(υ) = e iυ får vi stereografisk projeksjon exp`i(λ + i ln cotg 1 2 ϕ) = e iλ tg 1 2 ϕ. Men jorden er ingen kule. Den er flattrykt, med form som en rotasjonsellipsoide. Gauss / Ski og matematikk

15 Litt geometri for en ellipsoide 1 ε 2 Ellipsoiden r 2 + z2 1 ε 2 = 1: r = sin ψ = ν sin ϕ ψ ϕ 1 z = p 1 ε 2 cos ψ = (1 ε 2 )ν cos ϕ ν = 1 1 ε 2 cos 2 ϕ. ψ kalles geosentrisk breddegrad. ϕ kalles geodetisk breddegrad, og er gitt ved vinkelen mellom den lokale vertikalen og polaksen (vanligvis ekvatorplanet). Det er den som brukes i praksis. 0 = r dr + z dz = ν(cos ϕ dr + sin ϕ dϕ) 1 ε2 p 1 ε2 tg ψ = tg ϕ Gauss / Ski og matematikk

16 Eksempel: Ellipsoide x = cos λ sin ψ, y = sin λ sin ψ, z = p 1 ε 2 cos ψ, g = sin 2 ψ dλ 2 + (1 ε 2 sin 2 ψ) dψ 2. Den ene av de to løsningene til g = 0 er gitt ved p 1 ε2 sin 2 ψ dλ = i dψ sin ψ = i 1 ε 2 (1 ε 2 cos 2 ϕ) sin ϕ dϕ Løsningen blir 1 ε cos ϕ ε/2 «λ + i ln cotg 1 2 ϕ 1 + ε cos ϕ = konstant. Gauss / Ski og matematikk

17 Eksempel: Ellipsoide Alle konforme avbildninger av ellipsoiden i planet er på formen z = x + iy = f 1 ε cos ϕ ε/2 «! λ + i ln cotg 1 2 ϕ. 1 + ε cos ϕ Med f = identitetsavbildningen får vi Mercatorprojeksjonen λ + i ln cotg 1 2 ϕ 1 ε cos ϕ 1 + ε cos ϕ ε/2 «. Med f(υ) = e iυ får vi stereografisk projeksjon 1 ε cos ϕ ε/2. e iλ tg 1 2 ϕ 1 + ε cos ϕ Gauss / Ski og matematikk

18 Transversal Mercator Vi kan uttrykke buelengden langs en meridian på ellipsoiden ved s(ϕ) = (1 ε 2 ) Z π/2 ϕ dϕ (1 ε 2 cos 2 ϕ) 3/2. s er et elliptisk integral, og har en naturlig analytisk utvidelse. Vi skriver opp Mercatorprojeksjonen på ny: m(λ, ϕ) = λ + iµ(ϕ), µ(ϕ) = ln Vi kan også oppfatte µ som en analytisk funksjon. cotg 1 2 ϕ 1 ε cos ϕ 1 + ε cos ϕ ε/2 «. Den transversale mercatorprojeksjonen basert på nullmeridianen kan nå skrives som is µ 1` im(λ, ϕ) = is µ 1`µ(ϕ) iλ. Den er en sammensetning av konforme avbildninger, og er således konform. For λ = 0 reduseres den til is(ϕ), så nullmeridianen avbildes på den imaginære aksen, og buelengden er bevart. Dette sammen med konformiteten karakteriserer den transversale Mercatorprojeksjonen. Gauss / Ski og matematikk

19 Litt historikk Carl Friedrich Gauss, Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodaesie. Erste Abhandlung (1843). (Transversal Mercator på ellipsoiden?) Louis Krüger, to arbeider 1912 og 1922: Gjør denne projeksjonen mer praktisk tilgjengelig. Norges geografiske oppmåling har brukt transversal Mercator under navnet Gauss Krüger, med åtte forskjellige sentermeridianer for forskjellige deler av landet (NGO1948). Disse koordinatene er fortsatt i bruk i mange eldre kartdata. Gauss / Ski og matematikk

20 UTM: Universal Transverse Mercator Brukes over hele jordkloden unntatt i polområdene. 60 UTM-soner dekker 6 hver, starter ved datolinjen. Vi befinner oss i sone 32, som går fra 6 øst til 12 øst, og med sentermeridian 9 øst. Projeksjonen skaleres med en faktor langs nullmeridianen. Skalafaktoren blir omtrent i ytterkantene av UTM-sonen. Den første koordinaten kalles easting. Den skulle vært null på nullmeridianen, men man legger til 500 km for å unngå negative tall. Den andre koordinaten kalles northing. Den er null på ekvator, og vokser mot nord. For sørlige halvkule legger man til km. Min GPS-mottager gir denne posisjonen for hotellet: 32 V Det er sone 32; V-en angir en ytterligere sone i en inndeling som går i nord-sør-retning, men denne informasjonen er redundant. Easting er , så vi er rundt meter øst for nullmeridianen. Om denne målingen hadde vært gjort på nullmeridianen, var vi /0.996 meter nord for ekvator. Gauss / Ski og matematikk

21 Gauss / Ski og matematikk

22 MGRS Military Grid Reference System Dette er en alternativ notasjon for UTM. Hver UTM-sone deles inn i kvadrater med sidekant 100 km. Hver undersone tildeles en tobokstavskode etter et nokså komplisert system. Vi befinner oss her: 32 V NP Det vil si, i MGRS-sone NP, m fra vestre kant og m fra sydkanten. Dette er de siste fem sifrene i easting og northing fra UTM-koordinatene. MGRS lar en oppgi posisjoner med presijon på 1 m (som over), eller 10 m, 100 m etc., ved å trunkere like mange siffer fra easting og northing: 32 V NP ville passe bra om vi hadde lest av posisjonen fra kartet. Siden easting og northing alltid har like mange siffer, er det trygt å slå alt sammen til 32V NP Gauss / Ski og matematikk

23 WGS-84 World Geodetic System 1984 WGS-84 er et eksempel på et datum: En referanse-ellipsoide som kartdata forholder seg til. Bruk av feil datum kan lett føre til posisjonsfeil på flere hundre meter. Alle nyere norske kart er laget etter WGS-84. Ekvatorradius (store halvakse): a = m. Flattrykningen f = 1 1 ε 2 = 1/ Polradien er b = (1 f)a = m. (Og nullmeridianen er nå nesten 100 m øst for sin opprinnelige posisjon i Greenwich.) Gauss / Ski og matematikk

Like dokumenter

Navigasjon. Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015. Tom Hetty Olsen

Navigasjon. Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015. Tom Hetty Olsen Navigasjon Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015 Tom Hetty Olsen Kartreferanse Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn