EKSAMENSOPPGAVE. Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator med tomt dataminne

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-0100 Generell fysikk Dato: 21. februar 2017 Klokkeslett: kl. 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator med tomt dataminne Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Rute Oppgavesettet er på 13 sider totalt inkludert forside og vedlegg Kontaktperson under eksamen: Carita E. Eira Varjola Telefon/mobil: / NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Side 2 av 13 Først noen generelle råd: Les raskt gjennom hele oppgaveteksten og lag en plan for bruken av eksamenstida. Les hver oppgavetekst nøye før du begynner på oppgaven. Tegn gode gurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler og antakelser, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Forklar overganger fra en ligning til en annen. Skriv opp mellomregninger. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet vektes likt, men vi forbeholder oss retten til justeringer. Lykke til!

3 Side 3 av 13 Oppgave 1 Vi har en liten kloss med masse M som henger i en snor med lengde L. Vi skyter et prosjektil med masse m = 3 20M mot klossen. Prosjektilet kolliderer fullstendig uelastisk med klossen. Systemet svinger så opp til en posisjon der snora danner vinkel θ = 60 med vertikalen, før det snur. 1 a) Vis at prosjektilets fart før kollisjonen var v = 23 3 gl 1 b) Hvilke betingelser må oppfylles for at dette systemet skal få en simpel harmonisk bevegelse (SHM)? 1 c) Vi antar i denne deloppgaven at betingelsene for SHM er oppfylt. Finn systemets periode når lengden av snoren er L = 0, 80m.

4 Side 4 av 13 Oppgave 2 Vi har en kule med masse M, radius R og treghetsmoment I CM om kulas massesenter. Kula plasseres på toppen av et skråplan som danner en vinkel θ med horisontalen. Kula ruller uten å gli. 2 a) Vis at kulas massesenter har en translatorisk akselerasjon ned langs skråplanet som er gitt ved a = g sin θ 1 + I CM MR 2 Vi plasserer nå to kuler på det samme skråplanet. Begge kulene har masse M og radius R. Den røde kulen er en solid(massiv) kule med uniformt fordelt masse. Den blåe kulen er en hul kule med massen fordelt uniformt langs skallet. De to kulene har følgende treghetsmoment om en akse gjennom deres respektive massesenter: I solid = 2 5 MR2 og I hul = 2 3 MR2. Kulene slippes fra ro og ruller uten å gli. 2 b) Hvilken kule har høyest translatorisk fart ved bunnen av skråplanet?

5 Side 5 av 13 Oppgave 3 En stokk med uniformt fordelt masse M og lengde L er festet til en hengsel. I stokken er det i tillegg festet et tau i en avstand 1/3L fra hengselen slik at stokken er helt i ro (i likevekt). Tauet danner en vinkel θ med vertikalen. 3 a) Vis at snordraget er gitt ved T = 3 2 Mg cos θ. 3 b) Finn den vertikale og horisontale komponenten av kraften som virker på stokken fra hengselen. Svarene skal uttrykkes ved M, g og θ. Vi klipper over tauet. Stokken kan nå rotere friksjonsfritt om hengselen. Treghetsmomentet til en stokk som roterer om sitt endepunkt er gitt ved I p = 1 3 ML2. 3 c) Vis at stokkens vinkelakselerasjon i det tauet klippes er gitt ved α = 3 2 g L. 3 d) Vis at stokkens vinkelfart i det den passerer det laveste punktet i banen er gitt ved ω = 3 g L

6 Side 6 av 13 I det stokken er i sitt laveste punkt treer den en snøball med masse m = 1 9M som ligger på isen. Snøballen blir sittende fast helt ytterst på stokken. 3 e) Hva er vinkelfarten til det sammensatte objektet rett etter kollisjonen?

7 Side 7 av 13 Oppgave 4 4 a) Hva er betingelsene for at Bernoullis ligning gjelder? Vi har en beholder som er fylt med olje med tetthet ρ = 800 kg m. Beholderen har et stempel som 3 kan gli uten friksjon. Tverrsnittsarealet til stempelet er A 1 = 0, 50m 2. Massen til stempelet er m s = 50kg. Vi legger en kasse med masse M = 450kg på dette stempelet. Det renner ut olje gjennom et hull i bunnen. Ved hullet har vi atmosfærisk trykk. Dette hullet har et tverrsnittsareal A 2 = A 1. Det er en høydeforskjell y = 1, 0m fra toppen av olja og ned til bunnen. 4 b) Finn farten til oljen som forlater hullet. 4 c) Vi observerer at olja renner saktere enn det vi beregnet i oppgave b). Hva kan dette skyldes?

8 Side 8 av 13 Oppgave 5 Vi har en innestengt ideell gass med adiabatkonstant γ i en beholder der stempelet kan bevege seg uten friksjon. Gassen starter i tilstand A med trykket p A = p 0, volum V A = V 0 og temperatur T A = T 0. Fra tilstand A føres gassen isokort til tilstand B der trykket er 2p 0 Fra tilstand B føres gassen adiabatisk til tilstand C der temperaturen er T 0. Fra tilstand C føres gassen isotermt tilbake til tilstand A. 5 a) Tegn et P V -diagram for syklusen og forklar hvorfor denne syklusen kan være en varmekraftmaskin (Heat engine). 5 b) For de ulike delprosessene skal du redegjøre for om: i) Arbeid utføres på eller av gassen ii) Varme mottas eller avgis av gassen iii) Den indre energien øker eller minker 5 c) Finn gassens temperatur i tilstand B og vis at volumet i tilstand C er gitt ved V C = V γ 1 5 d) Beregn virkningsgraden til denne varmekraftmaskinen.

9 Side 9 av 13 Vedlegg Tabell I: Spesifikk- og molar varmekapasitet Tabell II: Smelte- og fordampingsvarme

10 Side 10 av 13 Formelsamling FYS-0100 Oppdatert 29.nov 2016 Mekanikk K = 1 2 mv2 (6.5) v x = v 0x + a x t (2.8) x = x 0 + v 0x t a xt 2 (2.12) v 2 x = v 2 0x + 2a x (x x 0 ) (2.13) x x 0 = ( v 0x + v x )t (2.14) 2 v x = v 0x + x = x 0 + t 0 t v av = r 2 r 1 = r t 2 t 1 t r v = lim t 0 t = d r dt 0 a av = v 2 v 1 t 2 t 1 a x dt (2.17) v x dt (2.18) = v t v a = lim t 0 t = d v dt (3.2) (3.3) (3.8) (3.9) a rad = v2 (uniform sirkul r bevegelse) R (3.28) v P/A = v P/B + v B/A (3.36) F = m a (4.7) F AB = F BA (4.11) f k = µ k F n (5.5) f s µ s F n (5.6) F g = G m 1m 2 r 2 (13.1) W = W = F s cos φ (6.2) W = F s (6.3) P2 P 1 F d l (6.14) W tot = K 2 K 1 (6.6) P av = W t (6.15) U grav = mgy (7.2) W grav = U grav (7.3) U el = 1 2 kx2 (7.9) K 1 + U 1 = K 2 + U 2 (7.4 / 7.11) K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 (7.14) J = p = m v (8.2) J = F t (8.5) P2 r cm = m 1 r 1 + m 2 r m 1 + m P 1 F dt (8.7) P = p 1 + p p n (8.14) i m i r i = i m i (8.29) α z = dω z = d2 θ z dt dt 2 (9.6) ω z = ω 0z + α z t (9.7) θ z θ 0z = 1 2 (ω 0z + ω z )t (9.10) θ z = θ 0z + ω 0z t α zt 2 (9.11) ω 2 z ω 2 0z = 2α z (θ θ 0 ) (9.12) v = rω (9.13) a tan = dv dt = d(rω) = rα dt (9.14) a rad = ω 2 r (9.15) I = m 1 r m 2 r = i mr 2 i (9.16) K = 1 2 Iω2 (9.17)

11 Side 11 av 13 I p = I cm + Md 2 (9.19) τ = rf sin θ (10.2) τ = r F (10.3) τz = Iα z (10.7) K = 1 2 Mv2 cm I cmω 2 (10.8) ω = mgd I (14.38) x = Ae (b/2m)t cos(ω t + φ) (14.42) k ω = m b2 4m 2 (14.43) Fluidmekanikk Rulling uten glidning: ρ = m V (12.1) v cm = Rω (10.11) W = θ2 θ 1 τ z dθ (10.20) L = r p = r m v (10.24) L = I ω (10.28) dl τ = (10.29) dt Likevektsbetingelser: F = 0, τ = 0 (11.1 / 11.2) Y = F /A = F l 0 l/l 0 A l (11.10) B = p (11.13) V/V 0 S = F /A x/h = F h A x f = ω 2π = 1 2π f = ω 2π = 1 2π (11.17) f = 1 T (14.1) ω = 2πf (14.2) F x = kx (14.3) k (14.11) m g (14.33) L E = 1 2 mv2 x+ 1 2 kx2 = 1 Monoatomisk ideel gass: 2 ka2 = konstant (14.21) p = F A (12.3) p = p 0 + ρgh (12.6) A 1 v 1 = A 2 v 2 (12.10) p 1 + ρgy ρv2 1 = p 2 + ρgy ρv2 2 (12.17) Termodynamikk L = αl 0 T (17.6) V = βv 0 T (17.8) Q = mc T (17.13) Q = nc T (17.18) Q = ±ml (17.20) H = dq dt = kat H T C L H = A T H T C R (17.21) (17.23) R = L k (17.24) H = AɛσT 4 (17.25) H net = Aɛσ(T 4 T 4 s ) (17.26) m total = nm (18.2) pv = nrt (18.3) pv = NkT (18.3) K tr = 3 nrt (18.14) 2

12 Side 12 av m(v2 ) av = 3 kt 2 (18.16) v rms = 3kT (v 2 ) av = m (18.19) C v = 3 R punktpartikler (18.25) 2 C v = 5 R diatomisk gas (18.26) 2 C v = 3R monoatomisk fast sto (18.7) V2 W = p dv (19.2) V 1 Dersom p = konstant: W = p V = p(v 2 V 1 ) (19.3) U = Q W (19.4) Q = nc V T (19.12) U = nc V T (19.13) Q = nc p T (19.14) C p = C V + R (19.17) γ = C p C V (19.18) C V = R γ 1 Adiabatisk prosess - ideel gass: T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ 1 2 (19.22) p 1 V γ 1 = p 2V γ 2 (19.24) W = nc V (T 1 T 2 ) (19.25) W = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ) (19.26) e = W Q H = 1 Q C Q H (20.4) Virkningsgrad Otto-syklus: e = 1 1 r γ 1 (20.6) K = Q C W (20.9) e carnot = 1 T C T H (20.14) T C K Carnot = (20.15) T H T C S = 2 1 dq T (20.19) S = k ln w (20.22)

13 Side 13 av 13 Tabell 1: Prekser Symbol Navn Verdi p piko n nano 10 9 µ mikro 10 6 m milli 10 3 k kilo 10 3 M mega 10 6 G giga 10 9 T terra Tabell 2: Konstanter Atommasseenhen u = 1, kg Avogadrokonstanten N A = 6, mol 1 Boltzmannkonstanten k = 1, J/K Element rladningen e = 1, C Elektronvolt 1eV = 1, J Elektronmassen m e = 9, kg Protonmassen m p = 1, kg Gravitasjonskonstanten G = 6, Nm 2 /kg 2 Lyshastigheten i vakuum c = 2, m/s Molar gasskonstant R = 8, 314 J/(mol*K) Planckkonstanten h = 6, Js Permitiviten i vakuum ɛ 0 = 8, C 2 /Nm 2 1 4πɛ 0 = k = 8, Nm 2 /C 2 Permeabiliteten i vakuum µ 0 = 4π 10 7 Wb/Am Normalt lufttrykk p 0 = 1, Pa = 1atm Stefan-Boltzmannkonstanten σ = 5, W/m 2 K 4 Tabell 3: Sammenheng translasjon og rotasjon Translasjon Rotasjon Sammenheng x θ x = rθ v x ω z v x = rω z a x α z a x = rα z F τ r m I I = m i r2 i K = 1 2 mv2 K = 1 2 Iω2 W = F s W = τ θ W = F d s W = τdθ W tot = K 2 K 1 W tot = K 2 K 1 p = m v L = I ω L = r p F = m a τz = Iα z F = dp dt τ = dl Dersom F = 0 p =konstant Dersom dt τ = 0 L =konstant i=1