Probema di Marek. (Problema dei quattro punti inaccessibili).

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1 ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI "In Meoria dei Morti per La Patria" Viale Enrico Millo, Chiavari Laboratorio di Topografia - G.P.S. - G.I.S Anno scolastico Soario Classe: 4^ "A" L.T.C. Sono noti 4 punti in coordinate cartesiane Allievo:... Probea di Marek. (Problea dei quattro punti inaccessibili). Il problea che risale al 1875 è tratto da: Technischen anleitung zur ausfuhrung der trigonoetrischen operationen des kataster i auftrage des konigl. Ungarischen Finanz Ministerius verfasst von I. Marek Budapest 1875, pag. 259 X A X B X C X D Y A Y B Y C Y D Da un punto chiaato P, stazionabile, è possibile eseguire letture angolari di direzione colliando con un teodolite i punti A, B e un terzo punto chiaato R, anch'esso stazionabile e dal quale è possibile la colliazione dei punti C, D oltre che P. θ PA deg θ PB deg θ PR deg θ RC deg θ RD deg θ RP deg La soluzione del problea fornisce le coordinate cartesiane dei due punto P, R La figura si disegna tenendo conto dell'ubicazione dei punti "P" rispetto ad "A" e "B" e "R" rispetto a "C" e "D". Nel caso in questione si hanno i punti "A", "B", "C" e "D" tutti a sinistra della congiungente i punti "P" ed "R" per un osservatore che da "P" guarda verso "R". Last saved 20/06/2010 at Page 1 of 8

2 Riportando su un sistea cartesiano approssiativaente le posizioni reciproche di punti sopra richiaati, è possibile tracciare le circonferenze che passano per "A", "B", "P" e "C", "D", "R": 1) si tracciano gli assi dei segenti AB, AP, CD e CR; 2) l'intersezione dei prii due fornisce l'ubicazione del centro della pria circonferenza e l'intersezione dei secondi due fornisce l'ubicazione del centro della seconda circonferenza; 3) la retta passante per i punti "P" ed "R" individua i punti "Q" ed "S" sulla rispettive circonferenze (punti di Collins); 4) i segenti BP, AQ, BQ, DR, CS e DS; 5) l'indicazione degli angoli perette di seguire la procedura risolutiva proposta del problea. A B C D P Q R S RISULTATI X P X R Y P Y R Last saved 20/06/2010 at Page 2 of 8

3 PROCEDURA DI CALCOLO (CASO ILLUSTRATO IN FIGURA) 1) Calcolo degli angoli in "P" e in "R" α θ PA θ PR α deg β θ PB θ PR + 2π β deg φ θ RC θ RP + 2π φ deg ψ θ RD θ RP + 2π ψ deg 2) Calcolo degli eleenti del triangolo ABQ 2 + ( Y B Y A ) 2 AB X B X A AB Φ AB atan X B X A Y B Y A Φ AB deg Φ BA Φ AB + π Φ BA deg γ 2π β γ deg uguali perchè insistono sulla stessa corda ε β α ε deg uguali perchè insistono sulla stessa corda AQ BQ AB sin ε + γ sin ε AB sin γ sin ε AQ BQ Last saved 20/06/2010 at Page 3 of 8

4 3) Calcolo degli aziut e dei controaziut dei lati Φ AQ Φ AB + γ Φ AQ deg Φ QA Φ AQ + π Φ BQ Φ BA π γ + ε Φ QA deg Φ BQ deg Φ QB Φ BQ π Φ QB deg 4) Calcolo delle coordinate del prio punto di collins "Q" e per verifica: X Q X A + AQ sin Φ AQ Y Q Y A + AQ cos Φ AQ X Qv X B + BQ sin Φ BQ Y Qv Y B + BQ cos Φ BQ X Q Y Q 9.09 X Qv Y Qv ) Calcolo degli eleenti del triangolo CDS 2 + ( Y D Y C ) 2 CD X D X C CD Φ CD atan X D X C Y D Y C + π Φ CD deg Φ DC Φ CD + π Φ DC deg ζ π ψ ζ deg uguali perchè insistono sulla stessa corda ξ ψ φ ξ deg uguali perchè insistono sulla stessa corda Last saved 20/06/2010 at Page 4 of 8

5 DS CS CD sin ζ sin ξ CD sin ξ + ζ sin ξ DS CS ) Calcolo degli aziut e dei controaziut dei lati Φ CS Φ CD + ζ Φ CS deg Φ SC Φ CS + π Φ DS Φ DC π ζ + ξ Φ SC deg Φ DS deg Φ SD Φ DS + π Φ SD deg 7) Calcolo delle coordinate del secondo punto di collins "S" X S X C + CS sin Φ CS Y S Y C + CS cos Φ CS e per verifica: X Sv X D + DS sin Φ DS Y Sv Y D + DS cos Φ DS X S Y S X Sv Y Sv NOTA: si osserva che essendo state calcolate le coordinate di "Q" e di "S", la figura potrebbe essere ora eseguita in scala e utilizzata coe disegno. Si ricorda inoltre che dal disegno possono essere lette, in scala, le coordinate dei punti "P" ed "R". Qualora il disegno fosse eseguito ediante procedura CAD allora potrebbero essere letti su di esso i risultati del problea con precisine adeguata. Last saved 20/06/2010 at Page 5 of 8

6 8) Calcolo dell'aziut e del controaziut della retta passante per i punti "P" "Q", "R" e "S" Φ QS atan X S X Q Y S Y Q + π Φ QS deg Φ SQ Φ QS + π Φ SQ deg 9) Calcolo degli eleenti del triangolo QAP Φ QP Φ SQ Φ QP deg δ Φ QA Φ QP δ deg ρ 2π α AP QP AQ sin δ sin ρ AQ sin( ρ + δ) sin ρ ρ deg AP QP ) Calcolo degli eleenti del triangolo QBP η Φ QB Φ QP + 2π η deg ν 2π β BP BQ sin η sin ν ν deg BP e per verifica BQ sin η + ν QP v sin ν QP v Last saved 20/06/2010 at Page 6 of 8

7 11) Calcolo degli aziut dei lati AP e BP Φ AP Φ AQ + π δ + ρ Φ BP Φ BQ + π η + ν Φ AP deg Φ BP deg 12) Calcolo delle coordinate del punto "P" X P X A + AP sin Φ AP Y P Y A + AP cos Φ AP X P Y P e per verifica X Pv X B + BP sin Φ BP Y Pv Y B + BP cos Φ BP X Pv Y Pv ) Calcolo degli eleenti del triangolo SCR Φ SR Φ SQ Φ SR deg σ Φ SC Φ SR σ deg λ π φ λ deg CR RS CS sin σ sin λ CS sin( λ + σ) sin λ CR RS Last saved 20/06/2010 at Page 7 of 8

8 14) Calcolo degli eleenti del triangolo SDR μ Φ SD Φ SR + 2π μ deg ω π ψ DR DS sin μ sin ω ω deg DR e per verifica DS sin ω + μ RS v sin ω RS v ) Calcolo degli aziut dei lati CR e DR Φ CR Φ CS + π σ + λ Φ DR Φ DS + π μ + ω Φ CR deg Φ DR deg 16) Calcolo delle coordinate del punto "R" X R X C + CR sin Φ CR Y R Y C + CR cos Φ CR X R Y R e per verifica X Rv X D + DR sin Φ DR Y Rv Y D + DR cos Φ DR X Rv Y Rv Last saved 20/06/2010 at Page 8 of 8