Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008

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Mona Jørgensen
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1 Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 8 EXERCICE 1 séries de FOURIER 1 si t α f t)= si α<t < α avec <α< et f paire et périodique de période 1 si α t 1 Représentation de f sur ; ] lorsque α= 1 si t Pour α= on a f t)= si < t < 1 si α t a Calcul de a D après le formulaire a = 1 a = 1 α 1dt+ α b Valeur de b n pour tout entier n 1 D après le formulaire b n = 1 α f t)dt et comme f est paire, a = 1 f t)dt, d où : ] dt+ 1)dt = 1 α α))]= 1 α + α)= α f t) sinnt)dt Comme f est paire, t f t)sinnt) est impaire donc b n = c Calcul de a n pour tout entier n 1 D après le formulaire a n = 1 donc a n = f t)cosnt)dt On a : a α n = f t)sinnt)dt =, d où, pour tout entier n 1, f t)cosnt)dt et comme f est paire, t f t)cosnt) est également paire α 1cosnt)dt+ 1 ] α 1 ] = n sinnt) + n sinnt) α α cosnt)dt+ 1) cosnt)dt α = 1 n sinnα) sin ) 1 n sinn) sinn nα)) = 1 n sinnα)+sinn nα)) Or sinn nα) = sinn)cosnα) cosn)sinnα) = 1) n sinnα) donc, pout tout entier n 1, a n = 1 n sinnα) 1)n sinnα)), soit a n = n 1 1)n ]sinnα) Valeur α de α pour laquelle a = a = 1 1) ] sinα)= 4 sinα) a = si et seulement si α=k avec k Z d où α= k, comme <α< on a k = 1 donc α =

2 CAPLP externe 1 A P M E P 4 a Calcul de F F = 1 f t)dt = 1 f t)dt car f est paire puisque f l est également, = 1 ] 1 dt+ dt+ 1) dt = 1 ] dt+ dt = 1 ) + )] = 1 + ) donc F = b Calcul de g t) g t)= a + a 1 cost)+b 1 sint)+ a cost)+b sint) avec t R Or a = b 1 = b =, a 1 = 1 1) 1 ] sin 1 ) = 4 ) 1 sin = et a = 1 1) ] sin ) = donc, pour tout t R, g t)= cost) c Calcul de G g est périodique de période, d où : G = 1 = 1 = 1 = 1 g t)dt g t)dt car g est paire puisque g l est également, ) cost) dt cos t)dt = 1 1+cost) dt = 6 1+cost)]dt = 6 t+ sint) ] = 6 donc G = 6 d Calcul de G G F = 6 F = 9 =,91 à 1 près

3 CAPLP externe 1 A P M E P EXERCICE équations différentielles et transformation de LAPLACE Partie A résolution de E 1 ) : y t)+4yt)= 8 1 a Solution particulière constante de E 1 ) La fonction x ϕt)=k avec k une constante réelle) est solution de E 1 ) si et seulement si, pour tout t R, ϕ t)+4ϕt)=8 soit 4k = 8 donc k = Une solution particulière constante de E 1 ) est la fonction t ϕt)= b Solution générale de E 1 ) La solution générale de l équation sans second membre y t)+4yt) = est la fonction t A cost)+ B sint), avec A et B deux constantes réelles car l équation caractéristique est r + 4= qui a pour solutions i et i La solution générale de E 1 ) est la somme de la solution générale de l équation sans second membre et d une solution particulière de E 1 ), donc la solution générale de E 1 ) est la fonction y définie sur R par yt)= + A cost) + B sint), A et B étant deux constantes réelles a Solution f de E 1 ) qui vérifie f )= et f )= f est solution de E 1 ) donc, pour tout t R, f t)=+ A cost)+b sint) f )= si et seulement si + A= soit A= f est dérivable sur R et, pour tout t R, f t)= A sint)+b cost) f )= si et seulement si B = soit B = Donc, pour tout t R, f t)= cost)=1 cost)] b Période, minimum et maximum de f La pulsation de f est ω= donc sa période est T = ω = = Pour tout t R, 1 cost) 1 d où, 1 cost) 1, soit 1 cost), donc f t) 4 La fonction f a donc pour minimum et pour maximum 4 mod ) Le minimum est atteint en mod ) et le maximum est atteint en Partie B résolution de E ) : g t)+4g t)=8 U t) U t ) +U t ) U t 1 a Représentation sur ; ] de t et)=8 U t) U si t < ou On obtient facilement et)= t < ou t > 8 si t < ou t < b Calcul de E p) Pour tout p >, L U t))= 1 p, L U t )] t ) +U t ) U t )] )) 1 p 1 = p e, L U t ))= D après la linéarité de la transformation de LAPLACE, E p)= 8 p a Calcul de Gp) L g t) ) = p Gp) pg ) g )= p Gp) car g )= g )= L g t)+4g t) ) = p Gp)+4Gp)= p + 4 ) Gp), d après la linéarité Or, g t)+4g t)= et) donc p + 4 ) Gp)=Ep) soit Gp)= 1 p + 4 E p) Finalement, pour tout p>, Gp)= b Transformée de LAPLACE H de h 8 p p + 4 ) 1 e p + e p e p p e p et L U t ] 1 e p + e p e p Pour tout t R, ht)=1 cost)]u t)=u t) cost)u t) En utilisant la linéarité : Hp)= p p p + = p + 4 ) p p p + 4 ), donc, pour tout p>, Hp)= 8 p p + 4 ) ] )) 1 p = p e

4 CAPLP externe 1 A P M E P c Expression de g Pour tout p > : Gp)= Hp) 1 e p + e p e p ]= Hp) Hp)e p + Hp)e p Hp)e p, donc, pour tout t R, g t)=ht) h t ) + ht ) h t ) a Expressions de g t) sur ; et sur ; Pour tout t ;, ht)=1 cost)] et h t ) = ht )= h t ) = Donc, pour tout t ;, g t)=1 cost)] Pour tout t ; 1 cost)] et h, ht)=1 cost)], h ) = t Donc, pour tout t ; : t ) = 1 cost )]=1+cost)], ht )=1 cost )]= g t)=1 cost)] 1+cost)]+1 cost)]= cost) cost)+ cost) Finalement, pour tout t ;, g t)= 6cost) On peut donc écrire : si t < g t)= cost) si t < 4cost) si t < 8cost) si t < 8cost) si t

5 CAPLP externe 1 A P M E P Représentations graphiques EXERCICE 1 Représentation de f sur ; ] f t) 1 t 1 EXERCICE Partie A représentation de f sur ; ] 4 f t) t Partie B représentation de e sur ; ] 8 et) 4 t

6 CAPLP externe 1 A P M E P Partie B représentation de g sur ; 5 ] 8 g t) t 4 6 8

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