Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelie fakultet Eksamen i: FYS4-Matematiske metoder i fysikk Dato: juni 9 Tid for eksamen: 9- Oppavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektronisk kalkulator, odkjent for videreående skole To A4-ark med ene notater (kan beskrives på bee sider) Rottmann: Matematisk formelsamlin Ørim o Lian: Fysiske størrelser o enheter Kontrollér at oppavesettet er komplett før du beynner å besvare spørsmålene Oppave a) Bestem de komplekse interalene = cos z dz, o ( z ) z = sin z = dz z 4 z = b) Bruk residyteoremet til å berene interalet cos mx = dx (m reell) 4 4x + 5x + Oppave Den Laplace-transformerte av funksjonen f(t) er [ ] st Fs () = e f () tdt = L f() t a) Vis følende relasjoner for Laplace-transformasjonen: L at e f() t = Fs ( + a), d Fs () = L [ tf () t ], ds a L = [ sinat atcos at] ( s + a )

2 b) Bruk Laplace-transformasjon til å finne løsninen y(t) av differensiallininen y''( t) + y'( t) + yt () = 6e sint, med betinelsene y()=, y ()= [Hint: s +s+=(s+) +9 Du kan få bruk for resultater fra a)] c) Bruk resultatet fra b) til å finne den enerelle løsninen av differensiallininen itt i b) Oppave Du skal i denne oppaven bruke Fouriertransformasjon til å løse bølelininen uxt (,) uxt (,) = x c t a) La x være variabel o t en parameter, o vis at den Fouriertransformerte U( ω,) t av uxt (,) er itt ved (,) ( ) i ω ct iωct U ω t = A ω e + B( ω) e uxt (,) b) Som initialbetinelser er itt u(x,) o vx (,) = = t t= Finn A(ω) o B(ω) uttrykt ved u(x,) i x c) Vi antar nå at ux (,) = e ω, der ω er en reell konstant Bestem løsninen u(x,t) Kommenter resultatet Oppave 4 Vi har en ruppe G med 6 elementer (=6) o tre klasser C, C o C, slik at det er to elementer i C o tre i C a) Hvor mane ikke-reduserbare representasjoner har ruppen, o hva er deres dimensjoner? b) Karaktertabellen for ruppen kan skrives: G C C C D () D () - D () a b D 5 - Bestem tallene a o b i karaktertabellen c) En reduserbar representasjon D har karakterene 5, o - for de respektive klassene, som vist i karaktertabellen Vis hvordan D kan reduseres

3 Eksamen FYS4/44 juni 9 Kortfattet løsnin Oppave a) = πire sz ( = ) = πicos = πire sz ( = ) = πi b) Starter med interalet imz R imx imz e e e dz = dx+ dz, z + 5z + 4x + 5x + 4z + 5z + R Γ der det siste interalet er over en halvsirkel i øvre halvplan Dette år etter Jordans lemma mot null når R for m nteralet er uavheni av fortenet for m, så vi kan anta m positiv o erstatte m med m i svaret nteranden har poler av første orden i øvre halvplan for z=i o z=i/ Residyene er: m i m i i Re sz ( = i) = e, Re sz ( = ) = e, o resultatet blir 6 The imae cannot be displayed Your computer may not have enouh memory to open the imae, or the imae may have been corrupted Restart your computer, and then open the file aain f the red x still appears, you may have to delete the imae and then insert it aain Oppave as a a) L[ acos at] =, L [ sin at] =, s + a s + a d [ cos ] [ cos ] as L a at = L at at = a, ds s a a L = [ sinat atcos at] ( s + a ) ( + ) b) Den Laplace-transformerte av løsninen blir Y() s = ( s+ ) + 9 ( ) s+ + 9 fra a) inverteres: yt () = e tcost, som ved hjelp av resultatene c) Løsninen funnet ovenfor er en partikulær løsnin av diff lininen Løsninene av den homoene lininen (konstante koeffisienter) er y () t = e e, y () t = e e, eller på trionometrisk form it it () t y t = Ae sint+ Be cost h Den enerelle løsninen blir da til slutt

4 yt () = Ae sint+ Be cost+ e tcost Oppave a) Differensiallininen for den Fouriertransformerte blir d U t c ω ω U ω t (,) + ( ) (,) =, med løsnin dt (,) ( ) i ω ct iωct U ω t = A ω e + B( ω) e b) nitialbetinelser: iωx U( ω,) = ux (,) e dx= A( ω) + B( ω) π uxt (,) d U i ct i ct (,) t i c A ( ) e ω B ( ) e ω F = ω = ω ω ω t dt, t= ir A( ω) = B( ω), o dermed er A( ω) o B( ω) bestemt iωx iω x π c) A( ω) = e e dx δω ( ω) π =, π iωct iωct iωx uxt (,) = δω ( ω) e + e e dω π iω( x+ ct) iω( x ct) = e + e Løsninen er dermed en superposisjon av to plane bøler som år hver sin vei lans x-aksen med hastihet c Oppave 4 a) Antall ikke-reduserbare representasjoner er lik antall klasser, dvs nα = = 6, dvs n =n =, n = α= b) Ortoonalitet for karakterene: ( α) ( β) * χ ( Ga) χ ( Ga) = δ αβ a= Ortoonalitet for o rad i karaktertabellen samt o rad: +a+b= +a-b=, dvs a=-, b= c) Reduksjon av en representasjon: ( α ) * mα = χ( Ga) χ ( Ga), som ir m =m =, m =, o a= () () () = + +, der summen som vanli er over de ikke- D D D D reduserbare representasjonene lans diaonalen i D 4

5 5