AB a donc OM = = 2 2

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1 ENP de CONSANINE CLASSE PREPARAOIRE/1 ère ANNEE/ PHYSIQUE 1/ UEF11 016/017 D SERIE : CINEMAIQUE DU POIN MAERIEL & MOUVEMEN RELAIF Exercice 1 : 1/ OM = xi + yj = (t 4t + 7)i + (t ) j x t 4t 7 t 4t 4 3 (t ) = + = + + = + 3 x = y + 3 y = t t = y + 0 y Equation de la trajectoire : y = ± x - 3 (Parabole d axe Ox, avec x 3 et y - ) dom / v = = (t 4)i + j γ dv d = ( (t 4) i j ) i = + = γ : constante en norme ( γ = ) et en direction (direction du vecteur i ). v γ = 0 (t 4)i + j i = (t 4) = 0 t = s t = s x = 3, y = 0 v(t = ) = j = 1j 3/ [ ] Exercice : 1/ rajectoire de M : OM = x i + yj OAB triangle rectangle et M milieu de l'hypoténuse, AB a donc OM = = a OM = x + y = 4 La trajectoire de M est un cercle de centre O et de rayon a de cercle. ; c est un quart 1

2 ) Composantes de OM, v et γ : OB vot x = = OM 1 y = a - vot dx vo vx = = v dy 1 1 v y = = ( vot) = a vot vot - a - v t o dvx γ x = = 0 γ = dvy vo 1/ 1 3 / a vo γ y = = (a vot ) + t ( vot) (a vot ) = - (a - v t ) Pour ces expressions, il faut que a > v t. Représentation de v et γ : v est tangent à la trajectoire en M. γ est parallèle à j et de sens contraire. 3/ v(m) en fonction de : M M o y y a v t sin = = = a / a a v o (vot) vo a vo 1 vo v = + = = v = 4 4(a vot ) 4 (a vot ) 4 sin sin v v(m) = o π car 0 < < sin o 3 o

3 Exercice 3: - 1/ ρ = ae, =ωt L équation de la trajectoire en coordonnées polaires est ici : - ρ = ae. C est une «spirale». π π 3π 5π 3π 7π 0 π π ρ a 0,456a 0,08a 0,095a 0,043a 0,019a 0,009a 0,004a 0,00a / v et γ en coordonnées polaires : * OM =ρu ρ = ae uρ dom * v = v = aωe (-u ρ + u ) v = v = aω e dv * γ = γ = -aω e u γ =γ=aω e v et γ en coordonnées cartésiennes : OM = x i + yj En utilisant les relations de transfert entre ( ρ, ) et (x, y), on trouve : *OM = xi + yj =ρcosi +ρsinj = ae (cosωti +sinωtj) dom dx dy * v = = i + j v = aωe (-(cosωt + sinωt)i + (cosωt - sinωt)j) v = v = aω e dv dv dv x y * γ = = i + j γ = aω e (sinωti - cosωtj) γ =γ= aω e 3/ v et γ et R (t) en coordonnées intrinsèques : * v = vu = aω e u dv d * γ = = (aω e ) γ = -aω e * γ =γu +γnu N, γ =γ +γ N, γ N = γ -γ 4 γ N =γ -γ = (aω e ) - (-aω e ) = a ω e γ N = aω e 3

4 * γ = aω e (-u + u N ) *Expression du rayon de courbure : v v (aω e ) aω e γ = R(t) = = = N R(t) γn aω e aω e R (t) = Donc le rayon de courbure R varie avec la position du point M au cours du mouvement. ae 4/ Le point O est-il centre des accélérations? Pour cela, il faut que O soit fixe (c est le cas) et que OM γ = 0, t. OM γ = (ae u ) (-aω e u ) = -aω e k 0 ρ Le mouvement n est pas à accélération centrale. Le point O n est pas centre des accélérations. 5/ * u en fonction de (u ρ,u ) : On connait les expressions de v en coordonnées intrinsèques et en coordonnées polaires, donc : 1 aω e u = aωe (-u ρ + u ) u = (-u ρ + u ) * u en fonction de (i, j) : A partir des expressions de v en coordonnées intrinsèques et en coordonnées cartésiennes, on a : 1 u = -(cosωt + sinωt)i + (cosωt - sinωt)j aω e u = aωe -(cosωt + sinωt)i + (cosωt - sinωt)j 6/ Abscisse curviligne s( ) et longueur totale de la trajectoire : ds ds d ds ds - ds v = = = ɺ = ω = aω e = a e s() = a e d + C = -a e + C d d d d - = 0 s = 0 C = a s() = a (1 - e ) Longueur totale de la trajectoire : L = a. Exercice 4 : 1/ Le pas est MM ' = h M(t) z = at z' z = h = a M'(t + ) z' = a(t + ) π = ωt π = ω = ω h = πa ω /OM = Ruρ + atk v = R ɺ u + ak v = Rωu + ak ste v = R ω + a = C dv ste γ = = Rɺɺ u Rɺ u ρ, ω = C ɺɺ = 0 γ = -Rω u ρ u k, γ // u γ Oz ρ ρ 4

5 v = Rω u + ak α = (v,k) v.k = vcosα = a cosα = 3/ a R ω + a = C x = R cos x = R cosωt ω x(z) = Rcos z a M y = R sin M y = R sin ωt M ω z = at z = at y(z) = Rsin z a Mouvements projetés sur Ox : x = R cos ωt : Mouvement sinusoïdal de période. Mouvements projetés sur Oy : y = R sin ωt : Mouvements projetés sur Oz : z = at : Mouvement uniforme. Mouvement projeté de M sur xoy : ste Mouvement sinusoïdal de période. x + y = R. C est un cercle de centre O et de rayon R. dv 4/ γ =, v = cste γ = 0 N γ = γ γ = γ γ = Rω v Rω + a R = = γ Rω N N ds 5/ = v = R ω + a s = v = R ω + a t + C s(t = 0) = 0 C = 0 s(t) = R ω + a t 5

6 Exercice 5 : 1/ A l instant t, la roue est en contact avec Ox au point I d abscisse vot ; la position de M est définie par l angle = (CI, CM). Le roulement sans glissement impose que IM = OI, soit : R = vot et vot =. R vot x(m) = vot R sin x(m) = R( sin ) R y(m) = R(1 cos ) y(m) = R(1 cos ) x = R( - sin) Soit finalement : y = R(1- cos) Ces équations représentent une trajectoire appelée «cycloïde». Attention! ce sont les équations paramétriques du mouvement du point M dans lesquelles est en radians. En attribuant des valeurs au paramètre, on trouve les couples (x,y). Par exemple : Pour = π : x = R( π 0) = Rπ et y = R(1 ( 1)) = R. / Calcul du module de v(t) du point M : v(t) = v(t) = vx + vy, v(t) est noté v(t), donc v(t) 0, t. dx vot vo vx = = R ɺ (1 cos ) = v o(1 cos ), (t) =, ɺ = = Cste R R dy vy = = Rɺ sin = vo sin 6

7 [ ] [ ] vot v(t) = vx + vy = v o(1 cos ) + vosin = v o(1 cos ) = 4vosin = 4vosin R vot v(t) = vo sin R 3/ Etude de la fonction v( ) pour 0 π. Cela correspond à 1 tour de la roue pendant lequel la valve M aura effectuée une arche (1 période). vot vot v(t) = vo sin et = v() = vo sin R R v() 0 pour 0 π, soit : 0 π et on a dans ce domaine : v() = +vosin * = 0 : v(0) = 0 * = π : v( π ) = vmax = vo * = π : v( π ) = 0 4/ Représentation de v( ) entre 0 4π. π π sin 0, soit pour π 4π et alors, puisque v( ) est toujours positif ou nul, v() = -v sin. Il suffit d inverser la branche du sinus dans ce domaine vers les valeurs postives. o 4/ Calcul de γ(m) et orientation : dv γ = = vxi + vyj = voɺ sin i + voɺ v ɺ ɺ cosj, soit : γ = o (sini + cosj) R MC π π = R cos( )i R sin( ) j = R(sin i + cos j) v o γ = MC γ (M) est orientée vers le point C. R Pour que C soit centre des accélérations, il faut que γ MC = 0 et C fixe. C n étant pas fixe, donc il n est pas centre des accélérations. 7

8 5/ Calcul de γ, γ N et R. dv * γ =, v = vo sin dv dv d 1 vo 0 π : v( ) = + vo sin γ = = = vo cos d R vo π 4 π : v( ) = vo sin γ = - cos R, soit : γ = o v cos R vo vo vo N cos sin γ = γ γ = = R R R vo γ N = sin R : on prend la valeur absolue car γn est toujours positif. v * R = = 4R sin : le rayon de courbure est toujours positif! γ N 6/ v et MK parallèle? v// MK v MK = 0 MK = MO + OI + IK = (x i + yj) + vo t i + Rj = (vo t x)i + (R y) j MK = (R x)i + (R y) j i j k v MK = v v 0 = v (R y) v (R x) k [ ] x y x y R x R y 0 v MK = [ v o (1 cos )(R R(1 cos )) vo sin (R R( sin )) ] k v MK = vor(1 cos )(1 + cos ) vor sin k v MK = vor (1 cos ) sin k = 0 Ou bien : v MI v.mi = 0 MI = MO + OI = (x i + yj) + vo t i = (vo t x) i yj = (R x) i yj v.mi = v x (R x) vyy = v o (1 cos )(R R( sin )) (vo sin )R(1 cos ) v.mi = Rv o (1 cos ) sin Rvo sin )(1 cos ) = 0 Conclusion : v étant tangent à la cycloïde en M, il en est de même de MK. 7/ Représentation : * v tangent à la cycloïde, porté par MK. * u : v = vu donc, u porté par MK. * u N est perpendiculaire à u, dirigé vers le centre de courbure. * γ est porté par CM et dirigé vers le point C (voir question 4). * γ et γ N sont respectivement les projections orthogonales sur les vecteurs du repère intrinsèque (u,u N). *Position du centre de courbure de la cycloïde à un instant t : A un instant, le centre de courbure C est situé sur le support de u N, donc également sur le support de MI à une distance de M égale à R. Exprimons le rayon de courbure en fonction de MI : MI = (R x) i yj = R sin i R(1 cos ) j MI = R (1 cos ) = 4R sin 8

9 MI = Rsin R = MI On en déduit que le centre de courbure C est tel que I est le milieu du segment MC. Exercice 6 : 1/ vb = v a(b) = vbi Loi de composition des vitesses (cas général) : v a (M) = v(m) ( R) = v(m) ( R') + v e( R'/ R ) = v r (M) + v(o') ( R) + ωr '/ R O'M Mobile M B O' A ( R) fixe d'origine O. ( R') Repère lié à A. ω = 0 : ( R') est en translation rectiligne / ( R). R'/ R v a (B) = v(b) ( R) = vb = v(b) ( R') + v(a) ( R) = v(b/ A) + v v(b/a) = vb - v = (vb - v)i A.N. : v(b / A) = 0,5m / s 9

10 / Mobile M C O' A ( R) fixe d'origine O. ( R') Repère lié à A. v(m) ( R) = v(m) ( R') + v(o') ( R) v(c) ( R) = v(c) ( R') + v(a) ( R) v = v(c/ A) + v v(c/a) = -v = -vi A.N.: v(c/ A) = 1m / s 3/ Mobile M B O' C ( R) fixe d'origine O. ( R') Repère lié à C. v(m) ( R) = v(m) ( R') + v(o') ( R) v(b) ( R) = v(b) ( R') + v(c) ( R) vb = v(b/ C) v v(b/c) = v + v = (v + v)i B A.N.: v(b/ C) = 1,5m /s B Exercice 7 : 1/ Vitesse angulaire des aiguilles. π La grande aiguille décrit un angle (t) = ω t avec une vitesse angulaire ω = 1tr / h = = 3600(s) Lorsque la petite auguille fait un tour complet, la grande aiguille fait 1 tours. Donc : ω1 π La petite aiguille décrit un angle 1(t) = ω 1t avec une vitesse angulaire ω 1 = = rd/s π rd/s

11 Concernant les vecteurs vitesses angulaires des deux aiguilles, la règle du tournevis montre qu ils sont dirigés suivant ( k) ou ( k '), k étant parallèle à k ' au cours du mouvement de celles-ci, donc : ω 1 = -ω1k' et ω = -ω k'. / Equation de la trajectoire de M dans ( R '). O'M = x ' i ' + y' j' = O'O + OM = lj' + L(sin i ' + cos j'), = ( ω ω1)t O'M = Lsin i ' + (Lcos l) j' x' = Lsin x' + (y' + l ) = L y' = Lcos l rajectoire de M dans ( R ') : cercle (C) de rayon L et de centre O(0,- l ). 3/ Vitesse absolue de M. Loi de composition des vitesses (cas général) : v a(m) = v r(m) + v e( R'/ R) do'm d * v r (M) = = Lsin i ' + (Lcos l ) j' = L ɺ (cos i ' sin j') = L( ω ω 1 )(cos i ' sin j') ( R') ( R') car = ( ω ω1 )t ɺ = ( ω ω1). * v e = v(o') ( R ) + ωr '/ R O'M doo' d( lj') dj' v(o') ( R) = = = l = lωr '/ R j' = l( ω1k ') j' = l ω1 i ' ( R) ( R) ( R) ωr '/ R O'M = ( ω 1 k ') (Lsin i ' + (Lcos l) j') = ω 1 Lsin j' + ω 1 (Lcos l )i ') v e = lω 1 i ' ω 1 Lsin j' + ω 1 (Lcos l )i ') = ω 1 L(cos i ' sin j') Après remplacement, on trouve : v a(m) = L ω(cos i ' sin j') 11

12 Soit : v (M) = Lω (cos(ω -ω )ti' - sin(ω -ω )tj') a 1 1 4/ Accélération absolue de M. Loi de composition des accélérations (cas général) : γ a(m) = γ r(m) + γe( R'/ R ) + γc(m) dv r(m) d * γ r(m) = = L( ω ω1 )(cos i ' sin j') = L( ω ω1) ɺ (sin i ' + cosj') ( R') ( R') γ r(m) = L( ω ω1 ) (sin i ' + cosj') * γ c (M) = ωr '/ R vr = ( ω1k') ( L( ω ω1 )(cos i ' sin j') ) = L ω1 ( ω ω1 )(sin i ' + cos j') * γ e = γ (O') ( R ) + ωɺ R '/ R O'M + ωr '/ R ( ωr '/ R O'M) dv(o') ( R) d( lω1 i ') di ' γ (O')( R) = = = lω 1 = lω1 ( ωr '/ R i ') = lω1 ( ω1k ' i ') = l ω1 j' ( R) ( R) ( R) ωɺ R '/ R O'M = 0, ω R '/ R = ω 1 k' = cste ωr '/ R ( ω ɺ R'/ R O'M) = ( ω1k') ω1lsin j' + ω1 (Lcos l)i ') = ω1 Lsin i ' + (Lcos l ) j' γ e = lω 1 j' + ω1 ( Lsin i ' + (Lcos l ) j' ) = L ω1 (sin i ' + cos j') Après remplacement, on trouve : γ a (M) = L ω(sin i ' + cosj') Soit : γ (M) = -Lω (sin(ω -ω )ti' + cos(ω -ω )tj') ( ) a 1 1 5/ Facultatif : v a(m) et γa(m) par la méthode directe : dom( R) d v a (M) = = L( sin ω ti + cosωtj) ( R) ( R) v a (M) = Lω ( cos ωti sinωtj ) et dv a (M) d γ a (M) = = Lω ( cosω ti sin ω tj) = Lω ( sin ω t i + cosω tj) ( R) ( R) Exprimons ces vecteurs en fonction des vecteurs i ' et j' de la base de ( R ') : i = cosω 1ti ' + sinω1 tj' j = sin ω 1ti ' + cos ω 1tj' *Remplaçons dans l expression de v a : v a (M) = L ω(cos ω t cosω 1t + sin ω t sin ω 1t)i ' + (sin ω1 t cosω t cosω1 t sin ω t) j' v a (M) = L ω(cos ω t cosω 1t + sin ω t sin ω1 t)i ' (sin ω t cosω1 t cos ω t sinω1 t) j' Sachant que : cos(a b) = cosa cosb + sin asin b et sin(a b) = sin a cosb cosa sin b, on obtient bien : v (M) = Lω cos(ω -ω )ti' - (sin(ω -ω )tj' ( ) a 1 1 *Remplaçons dans l expression de γa : ( γ ) a(m) = Lω sin ω t(cos ω 1ti ' + sin ω 1tj') + cos ω t( sin ω 1ti ' + cos ω1 tj') γ a(m) = L ω (sin ω t cos ω1 t cos ω t sin ω 1t)i ' + (cos ω t cos ω 1t + sin ω t sin ω1 t) j' γ (M) = -Lω sin(ω -ω )ti' + cos(ω -ω )tj' ( ) ( ) a 1 1 1