MAT110. Statistikk 1. Løsning til øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal

Transkript

1 MAT110 Statistikk 1 Løsning til øvingsoppgaver 2017 Per Kristian Rekdal

2 2

3 Forord Løsningsforslag: Dette er en samling av løsningsforslag til øvingene i emnet MAT110 Statistikk 1 ved Høgskolen i Molde fra våren Samlingen inneholder totalt 7 løsningsforslag. Det finnes også en tilhørende samling med komplette oppgaver til disse løsningsforslagene. Samlingen med oppgaver finnes i et eget hefte, separert fra dette oppgaveheftet. Gratis: Både samlingen med oppgaver og tilhørende samling med komplette løsningsforslag kan lastes ned gratis via Høgskolen i Molde sin åpne kursportal Hvordan bruke denne samlingen av løsningsforslag?: Man blir ikke god i statistikk kun ved å se på video. Man må løse oppgaver. Videoer: Komplette sett med forelesningsvideoer fra 2014, 2015, 2016, 2017 og finnes på Per Kristian Rekdal Copyright c Høgskolen i Molde, april

4 4

5 Løsning 1 (2017)

6 LØSNING: Oppgavesett nr. 1 MAT110 Statistikk 1, 2017 Oppgave 1: ( lokaliseringsmål og spredningsmål ) a) Eksempler på statistiske størrelser som beskriver sentrum, altså lokalisering, av observasjoner: Gjennomsnitt: x 1 n n x i (1) i1 hvor n er antall observasjoner og x i er verdien til observasjon nr. i. Median: median midtre observasjonen, n odde gjennomsnitt av to midterste observasjonene, n like (2) Typetall: typetall den verdien som forekommer hyppigst (3) 1

7 b) Eksempler på statistiske størrelser som beskriver spredningen i observasjoner: Modalprosent: modalprosent %-vis andel av observasjonene som har verdi lik typetallet (4) Variasjonsbredde: variasjonsbredde differansen mellom største og minste verdi (5) Empirisk varians: S 2 x 1 n 1 n ( xi x ) 2 i1 (6) hvor x er gjennomsnittet, n er antall observasjoner og x i er verdien til observasjon nr. i. Empirisk standardavvik: hvor S 2 x er varians. S x S 2 x (7) 2

8 c) i) Empirisk kovarians: S xy 1 n 1 n ( xi x )( y i y ) (8) i1 hvor x og y er gjennomsnitt, n er antall observasjoner, x i er verdien til x-observasjon nr. i og tilsvarende for y. Korrelasjonskoeffisient: R xy S xy S x S y (9) hvor S xy er empirisk kovarians, S x standardavvik for x-obervasjonene og S y er standardavvik for y-observasjonene. ii) S xy kan ha alle mulige reelle verdier, S xy,. iii) R xy er normalisert og ligger mellom 1 og 1, R xy [ 1, 1]. iv) R xy er et mål på lineær korrelasjon mellom observasjonene x i og y i. v) R xy er enhetsuavhengig, dvs. ingen enhet. 1 1 Dette betyr at R xy har samme verdi uansett hva slags enhet man bruker for å regne ut S xy, S x og S y. 3

9 vi) R xy 1: sterk negativ korrelasjon, dvs. store x hører sammen med små y. lineær 2 sammenheng mellom x og y, med negativt stigningstall R xy 1: sterk positiv korrelasjon, dvs. store x hører sammen med store y. lineær sammenheng mellom x og y, med positivt stigningstall R xy 0: ingen korrelasjon ukorrelert 2 Lineær sammenhenger mellom x og y betyr at de kan skrives på formen: y ax + b, (a og b er konstanter). Lineær er altså det samme som en rett linje. 4

10 Oppgave 2: ( lokaliseringsmål og spredningsmål ) a) typetall den verdien som forekommer hyppigst 2 dager (10) Det er flest ansatte som jobber 2 dager overtid. Medianen som er definert som den observasjonen som inntreffer ved det midtre observasjonsnummeret. Siden det totale antall observasjoner n 1529 er odde så inntreffer medianen ved observasjonsnummer n (11) For de to første dagene (dag 0 og 1) er det observasjoner. For de tre første dagene (dag 0, 1 og 2) er det observasjoner. Medianen inntreffer derfor ved median 2 dager ( k 2 ) (12) I dette tilfellet er altså typetall median. b) modalprosent %-vis andel av observasjonene som har verdi lik typetallet (13) % 36 % (14) 1529 som er ganske høyt, dvs. en stor andel av de ansatte jobber overtid 2 dager i uken. 5

11 Første kvartil inntreffer ved observasjonsnummer 0.25 (n + 1) 0.25 ( ) 383. For de to første dagene (dag 0 og 1) er det observasjoner. Dermed: k 1 1 dag (15) Tredje kvartil inntreffer ved observasjonsnummer 0.75 (n + 1) 0.75 ( ) For de tre første dagene (dag 0, 1 og 2) er det observasjoner. Da er det akkurat innenfor. Dermed: k 3 2 dager (16) c) kvartilavvik k 3 k dag (17) 6

12 Oppgave 3: ( kovarians ) a) For å regne ut standardavviket S x trenger vi gjennomsnittet x: x 1 n n x i i (18) Standardavviket S x er da: S x S 2 x 1 n 1 (19) n (x i x) 2 (20) i1 (71 42)2 + (47 42) 2 + (23 42) 2 + (27 42) (21) For å regne ut standardavviket S y trenger vi gjennomsnittet ȳ: ȳ 1 n n y i i (22) Standardavviket S y er da: S y S 2 y (23) 1 n 1 n (y i ȳ) 2 (24) i1 (58 116)2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) (25) 7

13 Kovariansen er: S xy 1 n (x i x)(y i ȳ) (26) n 1 i1 [ 1 (71 42)(58 116) + (47 42)( ) 4 1 ] +(23 42)( ) + (27 42)( ) (27) 968 (28) Vi kjenner nå S xy, S x og S y. Dermed kan vi regne ut korrelasjonskoeffisienten R xy : R xy S xy S x S y (29) (30) 8

14 b) Siden R xy 1 er det en linær sammenheng mellom pris og etterspørsel. (Jfr. oppgave 1c vi i denne øvingen). Dermed kan vi velge to (vilkårlige) punkt x x 1, y y 1 og x x 2, y y 2 fra tabellen i oppgavesettet, f.eks. x 1 71, y 1 58 og x 2 47, y Dette innsatt i topunktformelen gir: y y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 ( x x1 ) y ( x 71 ) (31) (32) y 2x (33) c) Fra oppgave 3b vet vi at det er en lineær sammenheng mellom pris og etterspørsel. Derfor er det figur A (34) som potensielt kan beskrive sammenhengen mellom pris og etterspørsel for dataene i tabellen. 9

15 Oppgave 4: ( korrelasjonskoeffisient - et mål på lineær sammenheng ) B R AB 0.95 C R AC A A D R AD A Figur 1: Sammenhenger mellom aksjene. 10

16 Oppgave 5: ( aksjeanalyse ) a) Gjennomsnittet ā og b: ā 1 n b 1 n n a i i1 n b i i NOK NOK (35) NOK NOK (36) b) Plott av a i og b i : ( i 1, 2, 3, 4, 5 ) a, b ( aksjekurser, NOK ) b i a i ( måned nr. ) i Figur 2: Plott av a i og b i. c) Av figuren ser vi at aksjekursene til selskapet BETA (blå kurve) varierer mest. Derfor er BETA mest usikker. 11

17 d) i) Varians: S 2 a 1 n 1 n (a i ā) 2 i1 ( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) NOK 2 NOK 2 S 2 b 1 n 1 n (b i b) 2 i1 ( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) NOK 2 NOK 2 ii) Siden S 2 b > S2 a så ser vi at dette stemmer med den grafiske konklusjonen fra oppgave c i). e) i) Kovarians: S ab 1 n (a i ā)(b i n 1 b) (37) i1 [ 1 ( )( ) + ( )( ) ( )( ) + ( )( ) ] + ( )( ) NOK 2 (38) 39.4 NOK 2 (39) 12

18 ii) Dermed blir korrelasjonskoeffisienten R ab : R ab S ab S a S b 39.4 NOK NOK NOK (40) iii) Korrelasjonskoeffisienten har ingen enhet. Den er enhetsløs. Lign.(40) er et eksempel som illustrerer dette. iv) Siden R ab er positiv, dvs. R ab > 0, så er det positiv korrelasjon. Med R ab 0.62 så hører store a til en viss grad sammen med store b. Dvs., til en viss grad, er det en positiv lineær sammenheng mellom a og b. 13

19 Oppgave 6: ( Venn-diagram ) a) A B A B Figur 3: Venn-diagram for P (A B). b) A B P( A B C ) B Figur 4: Venn-diagram for P (A B C). 14

20 Oppgave 7: ( disjunkte begivenheter ) a) Venn-diagram for disjunkte begivenheter: A B Ω Disjunkt: A B Ø. A og B inntreffer ALDRI samtidig. Ingen felles elementer. Figur 5: A og B er disjunkte. b) Oppgaven går ut på finne ut om begivenhetene A og B overlapper eller ikke. ikke overlap Den spesielle addisjonssetningen sier at dersom to begivenheter er disjunkte, dvs. A }{{} B, så gjelder P (A B) P (A) + P (B). La oss derfor regne ut denne: og }{{} eller P (A B) 0.6 P (A) P (B) 1.1 (ulovlig verdi) (41) Dette er en ulovlig verdi. Derfor må P (A B) 0 ifølge den generelle addisjonssetningen, dvs. A og B overlapper. og Konklusjon: A og B er overlapper ikke disjunkte. 15

21 Oppgave 8: ( logistikk, økonomi ) a) Sannsynligheten for at det ikke er ledig plass på ferge 2 er 0.25 : P (L 2 ) 0.25 (42) Sannsynligheten for at det er ledig plass på ferge 1 og ferge 2 er 0.70 P (L 1 og L 2 ) 0.70 (43) b) Vi skal finne eller -sannsynligheten P (L 1 L 2 ). og Vi kjenner og -sannsynligheten P (L 1 L 2 ), og vi skal finne eller -sannsynligheten. Setningen som forbinder disse sannsynlighetene er den generelle addisjonssetningen: skal finne { }} { P (L 1 L 2 ) P (L 1 ) + P (L 2 ) }{{} eller 0.70 P (L 1 }{{} L 2 ) (44) og hvor P (L 1 L 2 ) 0.70 var oppgitt i oppgaven, og hvor P (L 1 ) og P (L 2 ) finnes via kompementsetningen. Dermed: P (L 1 L 2 ) P (L 1 ) P (L 2 ) 0.70 P (L 1 L 2 ) (45) (46) Altså, det er 90 % sannsynlighet for at det er ledig plass på ferge 1 eller ferge 2 (eller begge). 16

22 c) Vi skal finne sannsynligheten P (L 1 L 2 ). Sannsynligheten P (L 1 L 2 ) 0.70 var oppgitt i oppgaven, og vi skal finne P (L 1 L 2 ). Setningen som forbinder disse sannsynlighetene er den total sannsynlighet, se formelsamlingen: P (L 1 ) }{{} P (L 1 L 2 ) }{{} skal finne P (L 1 }{{} L 2 ) (47) og som gir P (L 1 L 2 ) P (L 1 ) P (L 1 L 2 ) (48) (49) Altså, det er 15 % sannsynlighet for at det er ledig plass på ferge 1, men ikke ledig på ferge 2. 17

23 d) Sannsynligheten P (L 1 L 2 ) 0.90 fant vi i oppgave 1b, og vi skal finne P (L 1 L 2 ). Setningen som forbinder disse sannsynlighetene er en av tvillingsetningene, se formelsamlingen: og P (L 1 L 2 ) 1 P (L 1 eller L 2 ) (50) som gir og P (L 1 L 2 ) 1 P (L 1 eller L 2 ) } {{ } 0.90 (51) (52) Altså, det er 10 % sannsynlighet for at begge fergene er fulle. 18

24 Løsning 2 (2017)

25 LØSNING: Oppgavesett nr. 2 MAT110 Statistikk 1, 2017 Oppgave 1: ( revisjon ) Før man starter å løse oppgaven kan det lønne seg å visualisere A og B: Sannsynlighet for feil # feil 0 1 til 3 4 til 6 7 til 9 10 til 12 > 12 sannsynlighet A B Figur 1: Indikasjon av begivenhetene A og B. a) En gyldig sannsynlighetsfordeling må være riktig normert: 6 i1 p i (1) b) i) Sannsynligheten P (A): 1 P (A) (2) ii) Tolking: P (A) sannsynligheten for A sannsynligheten for et vilkårlig trukket Statoil-regnskap skal ha (3) bilag som inneholder minst 1 feil, dvs. 1 feil eller mer. 1 Alle tall som er innenfor for den røde linjen i tabellen, se tabellen i figur 1. 1

26 c) i) Sannsynligheten P (A): 2 P (A) 0.10 (4) siden A tilsvarer at det er 0 feil i bilaget for et tilfeldig valgt Statoil-regnskap. ii) Komplementsetningen gir: P (A) P (A) (5) iii) Tolking: P (A) sannsynligheten for ikke A sannsynligheten for et vilkårlig trukket Statoil-regnskap skal ha bilag som inneholder 0 feil, altså kun feilfrie bilag i et tilfeldig valgt Statoil-regnskap (6) d) i) Sannsynligheten P (B): 3 P (B) (7) siden B tilsvarer mindre enn 10 feil i bilaget for et tilfeldig valgt Statoil-regnskap. ii) Tolking: P (B) sannsynligheten for B sannsynligheten for et vilkårlig trukket Statoil-regnskap skal ha bilag som inneholder mindre enn 10 feil (8) 2 Alle tall som er UTENFOR den røde linjen i tabellen, se tabellen i figur 1. 3 Alle tall som er innenfor for den blå linjen i tabellen, se tabellen i figur 1. 2

27 e) i) Sannsynligheten P (B): 4 P (B) (9) siden B tilsvarer at det er 10 eller flere feil i bilaget for et tilfeldig valgt Statoil-regnskap. ii) Komplementsetningen gir: P (B) P (B) (10) iii) Tolking: P (B) sannsynligheten for ikke B sannsynligheten for et vilkårlig trukket Statoil-regnskap skal ha bilag som inneholder 10 feil eller mer f) i) Ut fra tabellen i figur 1 ser vi at A eller B inkluderer hele utfallsrommet: P (A eller B) (11) ii) Tolking: P (A eller B) sannsynligheten for A eller B sannsynligheten for et vilkårlig trukket Statoil-regnskap skal ha bilag som inneholder 0 feil eller mer, (altså det inkluderer alle mulige Statoil-regnskap) (12) 4 Alle tall som er UTENFOR den blå linjen i tabellen, se tabellen i figur 1. 3

28 og g) i) Sannsynligheten P (A B) kan finnes ved å se på når A og B i figur 1 OVERLAPPER: P (A og B) (13) ii) Siden vi kjenner P (A), P (B) og P (A B) så kan vi bruke den generelle addisjonssetningen: eller P (A og B) 0.90 P (A) P (B) 1 P (A B) (14) }{{} eller (15) iii) Uttrykke sannsynligheten P (A B) med ord: P (A og B) sannsynligheten for A og B sannsynligheten for et vilkårlig trukket Statoil-regnskap skal ha bilag som inneholder mellom 1 og 9 feil (16) Figur 1 kan være til hjelp for å innse dette (overlapp mellom A og B). 4

29 Oppgave 2: ( økonomi, fond ) a) Vi skal trekke 10 fond ut av 75. rekkefølgen spiller ingen rolle, dvs. det er ikke-ordnet utvalg når et fond er valgt så legges det ikke tilbake Alt i alt, ikke-ordnede kombinasjoner u/tilbakelegging: situasjon 3. b) Fra formelsamlingen og kompendiet vet vi at antall kombinasjoner for et ikke-ordnet utvalg u/tilbakelegging er gitt ved binomialkoeffisienten: ( N 75, s 10 ) antall mulige komb. ( ) N s ( ) ! (75 10)! 10! (17) kalkis (18) c) Prinsippskisse av ei urne som illustrerer situasjonen beskrevet i oppgaven: s 10 N 75 Figur 2: Urne. 5

30 d) i) Sannsynligheten for at et bestemt fond, f.eks. det beste (eller det 21. beste fondet), er med blant finansforetakets s 10 valg: Det er to kategorier kuler i urnen: 1) Kategori 1: ikke beste fond ( 74 kuler ) 2) Kategori 2: beste fond ( 1 kule ) P (beste fondet) antall gunstige kombinasjoner for å få det beste fondet antall mulige kombinasjoner totalt (19) kategori 1 kategori 2 totalt (20) ( )( Nikke Nbest ) s ikke ( N s s best ) (21) ( )( ) ( ) kalkis (22) ii) Sannsynligheten for at et bestemt fond, uansett hvilket fond det skulle være, er med blant finansforetakets s 10 valg finnes samme metode som i forrige deloppgave. Derfor: P (21. beste fond) P (beste fond) (23) 6

31 e) i) Sannsynligheten for at to bestemte fond, f.eks. de to beste, er med blant finansforetakets s 10 valg: Det er to kategorier kuler i urnen: 1) Kategori 1: ikke blant to beste fond ( 73 kuler ) 2) Kategori 2: to beste fond ( 2 kuler ) P (2 beste fond) antall gunstige kombinasjoner for å få de 2 beste fondene antall mulige kombinasjoner totalt (24) kategori 1 kategori 2 totalt ( )( Nikke Nbest s ikke ( ) N s ( )( ) 73 2 s best ) (25) (26) 8 2 ( ) kalkis (27) ii) Sannsynligheten for at to bestemte fond, uansett hvilke to fond det skulle være, er med blant mine s 10 valg finnes samme metode som i forrige deloppgave. Derfor: P (7. beste og 19. beste fondet) P (2 beste fondene) (28) kalkis (29) 7

32 Oppgave 3: ( revisjon ) Kommentarene på de tre neste sidene forventes ikke at man ikke å ha med på innleveringen av øving 1. Grunnen til at det er tatt med her er at vise de 4 situasjonene er sammenfallende når man har kun ett trekk, dvs.: så er s 1 situasjon 1 situasjon 2 situasjon 3 situasjon 4 (30) For strategi A i 2011: totalt 2000 stikkprøver det ble funnet gav 12 bilag med feil det er 1988 feilfrie bilag Urnemodellen for oppgaven: Trekker s1 bilag 12 bilag med feil N feilfrie bilag Figur 3: Urne. 8

33 Fra kompendiet så har vi følgende oversikt over formlene for situasjonene 1, 2, 3 og 4: trekning m/tilbakelegging u/tilbakelegging ordnet Situasjon 1: Situasjon 2: # komb. # komb. ikke-ordnet situasjon 4 (forekommer sjelden) Situasjon 3: # komb. Figur 4: Antall kombinasjoner. 1) Situasjon 1: ( antall komb. N s ) P A11 # g # m kategori 1 kategori 2 totalt (31) (32) 9

34 2) Situasjon 2: ( antall komb. N! (N s)! ) P A11 # g # m kategori 1 kategori 2 totalt (33) 12! (12 1)! 1988! (1988 0)! 2000! (2000 1)! (34) 3) Situasjon 3: ( antall komb. ( ) N ) s P A11 # g # m kategori 1 kategori 2 totalt (35) ( ) ( ) ( ) (36) 4) Situasjon 4: ( forekommer sjelden ) Formelen for situsjon 4 er ikke pensum i MAT110. Men vi hadde fått tilsvarende 10

35 a) Dette er en tellesituasjon med uniformt utfallsrom. Da kan vi bruke urnemodellen. P A11 P A12 antall gunstige utfall antall mulige utfall antall gunstige utfall antall mulige utfall (37) (38) b) Samme metode som a: P B11 P B12 antall gunstige utfall antall mulige utfall antall gunstige utfall antall mulige utfall (39) (40) c) i) P A11 > P B11 strategi A er best for ii) P A12 > P B12 strategi A er best for Altså strategi A er best for begge årene hver for seg. d) Strategi A og B når man ser begge årene under ett: P A P B antall gunstige utfall antall mulige utfall antall gunstige utfall antall mulige utfall (41) (42) Dermed: P A < P B strategi B er best når man ser begge årene under ett. 11

36 e) Dersom vi ser på 2011 og 2012 hver for seg så er strategi A best begge årene, jfr. oppgave 3c. Dersom vi ser på begge årene under ett så er strategi B best, jfr. oppgave 3d. Kommentar: Altså, selv om strategi A er best både for 2011 og 2012 hver for seg så er strategi B best begge årene sett under ett En alternativ og noe mer kompakt og matematisk formulering av dette er:. Selv om så er: (Man velge om man vil formulere seg med ord eller matematisk). 6 Dette fenomenet er velkjent i statistikk og kalles Yule-Simpsons paradoks. P A11 > P B11 (43) P A12 > P B12 (44) P A < P B (45) 12

37 Oppgave 4: ( korrelasjonskoeffisient - et mål på lineær sammenheng ) y R xy 0.9 R xy 0.5 R xy x y R xy R xy 0 R xy 0 x Figur 5: Sammenhenger mellom x og y. 13

38 Oppgave 5: ( logistikk ) a) Matematisk formulering: P (O 1 ) 0.6 (46) P (O 2 ) 0.7 (47) P (O 1 O 2 ) 0.45 (48) b) Vi skal finne eller sannsynligheten P (O 1 O 2 ). Siden den generelle addisjonssetningen gir sammenhengen mellom og og eller sannsynlighetene så er det naturlig å bruke den: P (O 1 }{{} O 2 ) og 0.6 P (O 1 ) P (O 2 ) skal finne P (O 1 O 2 ) (49) }{{} eller som gir P (O 1 eller O 2 ) 0.6 P (O 1 ) P (O 2 ) 0.45 P (O 1 }{{} O 2 ) (50) og (51) c) Vi skal finne P (O 1 O 2 ). Fra oppgave 5b vet vi at P (O 1 O 2 ) Dermed kan vi bruke komplementsetningen: 7 P (O 1 O 2 ) P (O 1 O 2 ) (52) (53) 7 Legg merke til at når man bruker komplementsetningen så må HELE uttrykket være ikke, dvs. strek over. 14

39 d) Siden P (O 1 O 2 ) P (O 1 O 2 ), så kan vi bruke den ene tvillingsetningen: P (O 1 O 2 ) P (O 1 O 2 ) tv. setn P (O 1 O 2 ) (54) (55) siden vi fra oppgave 5b vet at: P (O 1 O 2 ) Samme svar som i oppgave 5c, selvfølgelig. e) Vi skal finne P (O 1 O 2 ). Fra oppgave 5b vet vi at P (O 1 O 2 ) I tillegg er P (O 1 ) 0.6 oppgitt i oppgaven. Dermed kan vi bruke setningen om total sannsynlighet: 0.6 P (O 1 ) total skal finne P (O 1 O 2 ) P (O 1 O 2 ) (56) som gir P (O 1 O 2 ) 0.6 P (O 1 ) 0.45 P (O 1 O 2 ) (57) (58) f) Vi skal finne: P ( (O 1 O 2 ) (O 1 O 2 ) ) (59) La oss bruke den generelle addisjonssetningen på lign.(59): ( ) add. setn. P (O 1 O 2 ) (O 1 O 2 ) P (O 1 O 2 ) + P (O 1 O 2 ) (60) ( ) P (O 1 O 2 ) (O 1 O 2 ) } {{ } 0 15

40 Ut fra Venn-diagrammet i figur 6, se nederst på siden, ser vi at det ikke er noe overlapp. Derfor er og sannsynligheten lik null: ( ) P (O 1 O 2 ) (O 1 O 2 ) 0 (61) Dersom vi bruker setningen om total sannsynlighet på P (O 1 O 2 ) og P (O 1 O 2 ) i lign.(60). Da får man: ( ) Eq.(60) P (O 1 O 2 ) (O 1 O 2 ) total P (O 1 ) P (O 1 O 2 ) P (O 1 O 2 ) + total P (O 2 ) P (O 1 O 2 ) P (O 1 O 2 ) 0 (62) P (O 1 ) P (O 1 O 2 ) + P (O 2 ) P (O 1 O 2 ) (63) P (O 1 ) }{{} P (O 2 ) }{{} P (O 1 O 2 ) }{{} 0.45 (64) (65) O 1 O 2 O 1 O 2 A O 1 O 2 Figur 6: Ingen overlapp, derfor er: ( ) P (O 1 O 2 ) (O 1 O 2 ) 0. 16

41 Oppgave 6: ( oversikt, sannsynlighetsregning ) a) Når vi gjør totalt n antall stokastiske forsøk så er relativ frekvens f r (u i ) definert ved: f r (u i ) n i n (66) hvor n totalt antall stokastiske forsøk (67) n i antall stokastiske forsøk som gir utfall nr. i (68) i indeks, utfall nr. i, hvor i 1, 2, 3,..., m (69) Her er 0 n i n slik at 0 f r (u i ) 1. Tilhørende sannsynlighet p(u i ) for utfall u i er da definert ved: p(u i ) lim f r (u i ) (70) n b) Egenskapene til den diskrete sannsynligheten p i p(u i ) er: 0 p i 1, for alle i 1, 2, 3,..., m (71) m i1 p i 1 (72) 17

42 c) Uniform sannsynlighetsmodell en modell hvor alle mulige utfall er like sannsynlige. d) 1) Den spesielle addisjonssetningen: P (A eller B) P (A) + P (B) (73) Gyldighet: Gjelder kun dersom A og B disjunkte. }{{} ikke overlapp 2) Den generelle addisjonssetningen: eller P (A B) P (A) + P (B) P (A og B) } {{ } overlapp (74) Gyldighet: Gjelder alltid. 3) Komplementsetningen: P (A) 1 P (A) (75) Gyldighet: Gjelder alltid. 18

43 4) Total sannsynlighet: P (A) P (A B) + P (A B) (76) Gyldighet: Gjelder alltid. 4 og 5) Tvillingsetningene: og eller P (A B) 1 P (A B) (77) og eller P (A B) 1 P (A B) (78) Gyldighet: Gjelder alltid. 19

44 Oppgave 7: ( logistikk, prognostisering, korrelasjon ) a) Ved å bruke at logistikerne på Lefdal bestemte seg for at y skal være en periode forskjøvet: y i x i+1 (79) så blir de 7 parvise observasjoner av x og y: ( husk: y 8 ikke er definert ) (x 1, y 1 ) (x 1, x 2 ) (3500, 3300) (80) (x 2, y 2 ) (x 2, x 3 ) (3300, 3150) (81) (x 3, y 3 ) (x 3, x 4 ) (3150, 3000) (82) (x 4, y 4 ) (x 4, x 5 ) (3000, 2800) (83) (x 5, y 5 ) (x 5, x 6 ) (2800, 2750) (84) (x 6, y 6 ) (x 6, x 7 ) (2750, 2900) (85) (x 7, y 7 ) (x 7, x 8 ) (2900, 3100) (86) b) Gjennomsnittet x: ( n 7 ) x 1 n n x i i (87) (88) Gjennomsnittet y: ( n 7 ) ȳ 1 n n y i i (89) 3000 (90) 20

45 c) Korrelasjonskoeffisienten R xy er dermed: R xy S xy S x S y (91) (92) d) Siden R xy er positiv (> 0) så kan vi konkludere med at det finnes en positiv lineær samvariasjon mellom påfølgende observasjoner i datasettet til Lefdal. Dette innebærer at dersom en observasjon x i ligger over gjennomsnittet x så er det en tendens for at også neste observasjon x }{{} i+1 ligge over gjennomsnittet. neste uke Tilsvarende: Dersom en observasjon x i ligger under gjennomsnittet x så er det en tendens for at også neste observasjon x }{{} i+1 ligge under gjennomsnittet. neste uke Kommentarer: ( som man ikke behøver å ha med på innleveringen ) 1) Man kan innse at tolkningen som nevnt ovenfor er fornuftig ved å se nærmere på definisjonen av R xy. 2) Den rette linjen i figur 10 i oppgaven viser gjennomsnittene x. Se gjerne tolkningen som nevnt ovenfor i lys av dette. 3) Men er ikke R xy et mål på graden av lineær sammenheng mellom x og y? Jo, det stemmer. Får vårt tilfelle betyr det, til en viss grad tilsvarende R xy , at det er en linær sammenheng mellom x og y, dvs. y i ax i + b }{{} eller x i+1 ax i + b (93) siden y i x i+1 21

46 Oppgave 8: ( Monty Hall problem - stick or switch? ) a) Siden vi skal velge en tilfeldig dør blant tre dører så er sannsnynligheten P (rett dør) 1 3 (94) for å velge rett dør. 8 b) Sannsynligheten for at Anne har valgt rett dør er 1/3. Sannsynligheten for at bilen er bak en av de to andre dørene er 2/3: P (bilen bak en av de andre dørene) 2 3 (96) 1/3 2/3 Figur 7: Sannsynligheter. 8 Vi kan også løse denne oppgaven via urnemodellen: P (rett dør) antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt 1 3 (95) 22

47 Men siden Monty Hall åpner den døren, av de to gjenværende, som det skjuler seg ei geit bak, så er sannsynligheten for at bilen er bak dør 3: P (bilen bak dør nr. 3) 2 3 (97) 1/3 2/3 Figur 8: Sannsynligheter. Konklusjon: Anne bør bytte seg av tilbudet og bytte dør. ( Switch ) 23

48 Løsning 3 (2017)

49 LØSNING: Oppgavesett nr. 3 MAT110 Statistikk 1, 2017 a) Kombinatorikk er et område innen matematikken som går ut på å telle kombinasjoner av objekter i mengder som deles etter gitte regler. b) Sammenhengen mellom antall kombinasjoner for begivenheten A og tilhørende sannsynlighet er: P (A) antall gunstige kombinasjoner for A antall mulige kombinasjoner totalt (1) c) Formelen i lign.(1) gjelder generelt for et diskret utfallsrom, uansett om utfallrommet er uniformt eller ei, og uansett om utfallene er uavhengige eller ei. d) Urnemodellen gjelder dersom: uniformt utfallsrom uavhengige utfall At utfallsrommet er uniformt i forbindelse med urnemodellen betyr at samme sannsynlighet for å trekke kulene i urnen. Altså kulene er like store. At valgmulighetene er uavhengige i forbindelse med urnemodellen betyr at kulene i urnen er uavhengige. Altså kulene er ikke koplet på noen måte. 1

50 e) 4 situasjoner i urnemodellen: situasjon 1 trekking fra urnen med tilbakelegging og hvor rekkefølger betyr noe (2) situasjon 2 trekking fra urnen uten tilbakelegging og hvor rekkefølger betyr noe (3) situasjon 3 trekking fra urnen uten tilbakelegging og hvor rekkefølger ikke betyr noe (4) situasjon 4 trekking fra urnen med tilbakelegging og hvor rekkefølger ikke betyr noe (5) f) Antall kombinasjoner for 3 av de 4 situasjonene: # ordnede komb. med tilbakelegging, dvs. situasjon 1 N s (6) # ordnede komb. uten tilbakelegging, dvs. situasjon 2 # ikke-ordnede komb. uten tilbakelegging, dvs. situasjon 3 N! (N s)! ( ) N s }{{} binomialkoeff. (7) (8) # ikke-ordnede komb. med tilbakelegging, dvs. situasjon 4 ikke pensum (9) 2

51 Oppgave 2: ( økonomi ) a) Situasjon 1: ( antall komb. N s ) P (vinnerlodd) # g # m kategori 1 kategori 2 totalt (10) (11) b) Situasjon 2: ( antall komb. N! (N s)! ) P (vinnerlodd) # g # m kategori 1 kategori 2 totalt (12) 7! 993! (7 1)! (993 0)! 1000! (1000 1)! (13) 3

52 c) Situasjon 3: ( antall komb. ( ) N ) s P (vinnerlodd) # g # m kategori 1 kategori 2 totalt (14) ( ) ( ) ( ) (15) d) Ja, situasjonene 1, 2 og 3 sammenfallende når vi kun har ett trekk s 1. 4

53 Oppgave 3: ( økonomi, fond ) Når vi trekker et fond så legger vi ikke fondet tilbake igjen. Rekkefølgen som fondene trekkes i, spiller heller ingen rolle. Dermed tilsvarer dette situasjon 3, dvs. antall mulige kombinasjon er gitt ned binomialkoeffisienten # mulige komb. ( ) N s (16) a) Sannsynligheten for at alle s 10 fondene er god eller svært god er: P ( god eller svært god ) antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt ( )( ) (17) 10 0 ( ) (18) 10 Summeregelen : og

54 b) Sannsynligheten for å trekke 4 er: 15 totalt 10 totalt middels fond, 3 gode fond og 3 5 totalt svært gode fond, P (mix) antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt (19) ( )( )( )( ) ( ) (20) 10 Summeregelen : og Kommentar: 1) Legg merke til at ELLER er assosiert med pluss, +. 2) Legg merke til at OG er assosiert med gange,. ( ) N 3) Binomialkoeffisienten 1 i ligningene over er strant tatt ikke nødvendig å ha med. 0 Grunnen til at de likevel er tatt med er tatt med er at vi se at summeregelen er ivaretatt. 6

55 c) Sannsynlighet for at alle de s 10 tilfeldig valgte fondene skal oppnå resultater som er middels eller dårligere: }{{} P (middels eller dårligere) antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt ( )( ) (21) 10 0 ( ) ( 9.1%) (22) 10 Summeregelen : og

56 d) i) Sannsynlighet for at minst 1 av de 10 tilfeldig valgte fondene skal være svært god : 70 totalt P (minst 1 fond svært godt ) 1 P ( ingen fond svært god ) (23) 1 antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt ( )( ) 70 5 (24) ( ) ( 52%) (25) 10 ii) I oppgave 3a skal man finne sannsynligheten for at: alle s 10 trekkene (26) skal være i 15-kategorien, godt eller svært god, som er Altså alle s 10 trekkene skal være fra den lille 5-kategorien. I oppgave 3d i skal man derimot finne sannsynligheten for at: minst en av de s 10 trekkene (27) skal være i 5-kategorien, svært god. Altså det er nok at bare ett (eller flere) av de s 10 trekkene er ei kule fra 15-kategorien. s10 s Oppgave 3a Oppgave 3d i Figur 1: Urner. 8

57 Oppgave 4: ( investering ) a) Sannsynlighetstre som beskriver situasjonen for investering: norske aksjer 30 % utenlandske aksjer 70 % norske oblig. 80 % utenlandske oblig. 20 % aksjer obligasjoner 60 % 40 % fond Figur 2: Sannsynlighetstre som beskriver situasjonen for investering i fond. La oss definere: N norske fond F aks aksjefond F obl obligasjonsfond b) i) Metode 1: ( grafisk ) Sannsynlighetstreet i figur 2 er en visuell fremstilling av opplysningene. Med en slik fremstilling er det lettere å se at: P (N) (28) 9

58 ii) Metode 2: ( ved regning ) Sannsynlighetsrommet er altså delt i to, aksjer og obligasjoner. 1 Ω: F aks aksjer F obl obligasjoner Figur 3: Oppsplitting av Ω. Man kan bruke setningen om oppsplitting av utfallsrom Ω: P (N) P (N F aks ) P (F aks ) P (N F obl ) 0.40 P (F obl ) (29) (30) 1 Man behøver ikke tegne opp figur 3. Grunnen til at det er gjørt er i løsningsforslaget er bare av pedagogiske grunner. 10

59 c) Fra oppgave 4b kjenner vi P (N) I tillegg ser vi f.eks. fra figur (2) at: P (N F aks ) (31) Dermed kan vi benytte multiplikasjonssetningen: 2 P (F aks N) 0.18 P (F aks N) P (N) }{{} (32) 2 Husk at: P (F aks N) P (N F aks ) 11

60 Oppgave 5: ( økonomi ) a) Informasjonen oppgitt ovenfor skrevet på matematisk form: P (objekt K) 0.80 (33) P (objekt K) 0.95 (34) b) Komplementsetningen for P (objekt K): P (objekt K) P (objekt K) (35) c) Formelen for total oppsplitting: ( se formelsamling/kompendiet ) P (objekt) P (K)0.90 P (objekt K) P ( K) P (objekt K) P (K) (36) (37) 12

61 objekt d) i) Antall bedrifter som klassifiseres som konkursobjekt ifølge modellen til KPMG: # objekter i 2009 ifølge KPMG P (objekt) (# bedrifter i M&R) }{{} (38) (39) ii) Antall bedrifter som forventes å gå konkurs ifølge modellen til KPMG: # konkurser i 2009 ifølge KPMG P (K) (# bedrifter i M&R) }{{} (40) (41) e) Bayes lov: P (K objekt) 0.80 P (objekt K) 0.10 P (K) P (objekt) } {{ } (42) Konklusjon: Det er 64 % sannsynlighet for at en bedrift som av KPMG-modellen klassifiseres som konkursobjekt, faktisk går konkurs. 13

62 Oppgave 6: ( korrelasjonskoeffisient, teori ) a) Den empiriske kovariansen S xy kan, i prinsippet, ha alle mulige reelle verdier. 3 b) To faktorer som er med på å skape tolkningsproblemer for kovariansen S xy : størrelsen S xy gir en verdi som er vanskelig å avgjøre om den er stor eller liten siden S xy ikke sammenligner med størrelser som er naturlig å sammenligne med S xy er enhetsavhengig og verdien på S xy er derfor avhengig av om man f.eks. regner med timer, minutter eller sekunder c) Korrelasjonskoeffisienten R xy er en normalisert 4 versjon av S xy. Verdimengde for korrelasjonskoeffisienten R xy er: 1 R xy 1 (43) d) At R xy er enhetsuavhengig/dimensjonsløs betyr at man får samme numeriske verdi for R xy uansett hva slags enhet/benevning man bruker for å regne ut S xy, S x og S y. e) R xy er et mål på grad av lineær sammenheng. 3 Matematisk kan man skrive S xy R. 4 Legg merke til begrepet normalisert. R xy har en endelig og begrenset verdimengde. Den kan ikke ha hva slags verdier som helst. For R xy sitt tilfelle er den begrenset til 1 R xy 1. 14

63 f) Når R xy har sin største verdi, dvs. R xy 1, så er det en eksakt lineær sammenheng mellom x og y. Stigningstallet til denne rette linjen 5 er positivt. g) Dersom R xy 0 så er det ingen lineær korrelasjon mellom x og y. De er lineært ukorrelerte. 6 h) Når R xy har sin minste verdi, dvs. R xy 1, så er det en eksakt lineær sammenheng mellom x og y. Stigningstallet til denne rette linjen er negativt. 5 En lineær funkjon er på formen: y ax + b. 6 I mange sammenhenger i statistikken er det svært viktig å vise at R xy 0 for å påvise såkalte irregulære mønster, dvs. helt tilveldig mønster. De vil de fleste av dere komme borti senere i studiene. 15

64 Løsning 4 (2017)

65 LØSNING: Oppgavesett nr. 4 MAT110 Statistikk 1, 2017 Oppgave 1: ( økonomi, bonus ) a) Siden X har et tellbart antall verdier så er den en diskret stokastisk variabel. b) i) Tolkning: E[X] forventet antall mål som scores av Tufte IL i løpet av tilfeldig valgt kamp (1) ii) Forventning: E[X] def. 7 x i P (X x i ) (2) i (3) (4) c) i) Tolkning: V ar[x] forventet variasjon/spredning av antall mål som scores av Tufte IL i løpet av tilfeldig valgt kamp (5) 1

66 ii) Varianssetningen gir: 1 V ar[x] var.setn. E[X 2 ] E[X] 2 (6) Vi kjenner E[X] fra oppgave 1b, men mangler E[X 2 ]. Den må vi regne ut: E[X 2 ] def. 7 x 2 i P (X x i ) (7) i (8) 10.3 (9) Dette innsatt i variasjonssetningen : V ar[x] E[X 2 ] E[X] (2.6) (10) Alternativt kunne vi også bruke definisjonen av varians direkte. Det gir selvfølgelig samme svar. d) Standardavviket er: σ[x] def. V ar[x] (11) 1 Se formelsamling. 2

67 e) Sannsynligheten for at Tufte IL scorer mindre enn 4 mål i en kamp P (X < 4): P (X < 4) P (X 0) + P (X 1) + P (X 2) + P (X 3) (12) P (X < 4) er en kumulative sannsynligheten. f) i) Siden antall mål som scores i ulike kamper er uavhengige så er: sanns. for at det scores mindre enn 4 mål i både kamp nr. 7 og kamp nr. 24 (13) sanns. for at det scores mindre enn 4 mål i hvilke som helst to bestemte kamper La A <4 være begivenheten at det scores mindre enn 4 mål i en hvilken som helst bestemt kamp. La videre A 7 <4 være begivenheten at det scores mindre enn 4 mål i kamp nr. 7. Siden, per antagelse, antall mål som scores i ulike kamper er uavhengige så gjelder den spesielle multiplikajonssetningen 2. Alt i alt: ( og ) ( ) P A 7 <4 A 24 lign.(13) <4 P (A <4 A <4 ) spes. mult. P (A <4 ) P (A <4 ) (14) ii) Pga. lign.(13) så gjelder lign.(14) for hvilken som helst to bestemte kamper. Spesielt så gjelder det for to kamper på rad: ( n 1, 2, 3..., 28 ) ( ) P A n <4 A n+1 < (15) 2 Se formelsamling! 3

68 g) i) Som nevnt i forrige oppgave, å se på kamp nr. 15 og 19 er det samme som å se på hvilken som helst to bestemte kamper. At summen av antall mål skal bli 4 kan fås på 5 forskjellige måter: 5 måter (4, 0), (0, 4), (3, 1), (1, 3), (2, 2) (16) Dersom vi definerer A m begivenheten at det scores m antall mål en bestemt kamp, så er lign.(16) det samme som: ( og ) 5 måter A 4 A 0, A 0 A 4, A 3 A 1, A 1 A 3, A 2 A 2 (17) Sannsynligheten av denne er: ( eller ) [ ] P (A 4 A 0 ) (A 0 A 4 ) (A 3 A 1 ) (A 1 A 3 ) (A 2 A 2 ) (18) Siden ingen av de 5 begivenhetene i Eq. (17) kan inntreffe samtidlig, så er de disjunkte. Dermed kan vi bruke den spesielle addisjonssetningen: [ ] P (A 4 A 0 ) (A 0 A 4 ) (A 3 A 1 ) (A 1 A 3 ) (A 2 A 2 ) add. P (A 4 A 0 ) + P (A 0 A 4 ) + P (A 3 A 1 ) + P (A 1 A 3 ) + P (A 2 A 2 ) (19) Siden, per antagelse, antall mål som scores i ulike kamper er uavhengige så gjelder den spesielle multiplikajonssetningen 3. Dermed: [ ] P (A 4 A 0 ) (A 0 A 4 ) (A 3 A 1 ) (A 1 A 3 ) (A 2 A 2 ) mult. P (A 4 ) P (A 0 ) + P (A 0 ) P (A 4 ) + P (A 3 ) P (A 1 ) + P (A 1 ) P (A 3 ) + P (A 2 ) P (A 2 ) (20) 3 Akkurat slik som vi gjorde i oppgave 1e. 4

69 Alle disse sannsynlighetene på høyre side av lign.(20) er oppgitt i tabellen. Dermed: [ ] P (A 4 A 0 ) (A 0 A 4 ) (A 3 A 1 ) (A 1 A 3 ) (A 2 A 2 ) (21) ii) Urnemodellen forutsetter at det er samme sannsynlighet (uniform sanns.fordeling) for å trekke de forskjellige kulene (begivenhetene) fra urnen. Her, i vår oppgave, så har våre 5 mulige måter å oppnå en 4-målsbegivenhet på forskjellige sannsynligheter 4 Derfor kan vi ikke bruke formelen P (A) antall gunstige kombinasjoner for A antall mulige kombinasjoner totalt (22) fordi den kun gjelder når samme sannsynlighet. 4 F.eks. P (A 4 A 0 ) , mens P (A 2 A 2 )

70 h) B er en stokastisk variabel fordi den er en funksjon av X, hvor X er en stokastisk variabel. 5 i) i) Tolkning: E[B] forventet utbetalt bonus for en tilfeldig valgt kamp ii) Forventet bonus per kamp: E[B] E[c X 3 ] (23) c E[X 3 ] (24) hvor vi har brukt regnregelen E[aX] ae[x] fra kompendiet/formalsamlingen. Finner E[X 3 ]: E[X 3 ] 7 x 3 i P (X x i ) (25) i (26) (27) Dette setter vi inn i lign.(24): E[B] c E[X 3 ] (28) NOK NOK (29) siden c 500 NOK. 5 En funksjon av en tilfeldig variabel er bare en ny tilfeldig variabel. 6

71 Oppgave 2: ( økonomi ) a) Fortjeneste for studenten (loddarrangøren): fortjeneste ( ) NOK NOK (30) b) Siden uniformt utfallsrom ( samme sannsynlighet for å trekke de forskjellige kulene ) avhengige utfall ( kulene er ikke koplet ) så gjelder urnemodellen. c) Loddkjøperen kjøper 2 lodd av totalt 1000 lodd. rekkefølgen spiller ingen rolle, dvs. det er ikke-ordnet utvalg når et lodd er trukket så legges det ikke tilbake Alt i alt, ikke-ordnede kombinasjoner u/tilbakelegging: situasjon 3. d) Sannsynligheten for at loddkjøperen 993 lodd ikke vinner: (2 taperlodd og 0 vinnerlodd) P ( ikke vinner X 0 ) antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt ( ) ( ) ( ) (31)

72 e) Sannsynligheten for at loddkjøperen trekker 1 (1 taperlodd og 1 vinnerlodd) 7 lodd vinnerlodd og lodd ikke vinnerlodd: P ( 2 kategorier X 1 ) antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt ( ) ( ) ( ) (32) f) Sannsynligheten for at begge loddene til kjøperen 7 lodd vinner: vinner P ( X 2) antall gunstige kombinasjoner antall mulige kombinasjoner totalt ( ) ( ) ( ) (33) s 2 7 vinnerlodd N taperlodd Figur 1: Urne. 8

73 g) Gyldig sannsynlighetsfordeling: 2 i0 P (X x i ) P (X 0) + P (X 1) + P (X 2) (34) Dette kan også vises eksakt: 2 i0 P (X x i ) P (X 0) + P (X 1) + P (X 1) (35) 9

74 h) i) Forventet fortjeneste til loddkjøperen: 6 E[ F ] E[ g X s p ] g E[X] s p (36) Vi mangler bare forventningen E[X]. Denne må vi finne: E[X] def. 2 x i P (X x i ) i0 x 0 P (X 0) + x 1 P (X 1) + x 2 P (X 2) ( ) + 2 ( ) (37) Dette innsatt i lign.(36): E[F ] g E[X] s p ( ) NOK 16.5 NOK (38) ii) Tolkning: At forventet fortjeneste for loddkjøperen er negativ betyr at loddkjøperen taper på å kjøpe lodd i det lange løp. 6 Her bruker vi regnereglene: ( a er en konstant ) E[a + X] a + E[X] E[a X] a E[X] 10

75 i) Samlede tapet for loddkjøperne: Loddkjøperens forventede tap er 16.5 NOK ved kjøp av 2 lodd, dvs. det forventede tapet per lodd er 8.25 NOK. Når alle loddene er solgt så er det forventede samlede tapet for lodd kjøperne: forventet samlet tap for loddkjøperne antall lodd forventet tap per lodd NOK (39) NOK (40) dvs. samme svar som i oppgave 2a, lign.(30). Konklusjon: Det forventede samlede tapet til loddkjøperne er lik loddarrangørens fortjeneste. 7 7 Dette kan man si stemmer med ordtalket den enes brød den andres død. 11

76 Oppgave 3: ( logistikk ) a) Siden p i (41) i dvs. sannsynlighetene summerer seg opp til 1, så er den oppgitte sannsynlighetsfordelingen en gyldig fordeling. b) i) Tolkning: E[X] forventet antall leveringsdager, dvs. forventet leveringstid ii) Forventet leveringstid: E[X] def. 5 x i P (X x i ) i (42) c) i) Tolkning: V ar[x] forventet spredning/varians av antall leveringsdager 12

77 ii) Variasjon i leveringstid: V ar[x] def. 5 (x i E[X]) 2 P (X x i ) i1 (1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3) (43) iii) Istedet for definisjonen av variansen kan man bruke varianssetningen. 8 Da trenger vi E[X] og E[X 2 ]. Vi kjenner E[X] fra oppgave b, men mangler E[X 2 ]. Den må vi regne ut: E[X 2 ] 5 x 2 i P (X x i ) i1 (definisjon av forventning) (44) Dette innsatt i variasjonssetningen : V ar[x] var. setn. E[X 2 ] E[X] (45) som selvfølgelig gir samme svar som ved bruk av definisjonen. d) Standardavviket er: σ[x] def. V ar[x] 1 1 (46) 8 Se formelsamling. 13

78 Oppgave 4: ( økonomi ) a) Sannsynlighetstre som viser kursutviklingen til aksjen: 50 % 60 % 30 % 50 % 40 % 20 % 50 % 20 % 10 % 50 % 80 % 40 % X X X X % 40 % 20 % 80 % X X % 50 % X Figur 2: Sannsynlighetstre. b) Forventet verdi av aksjen etter 2 dager: E[X 2 ] def. 4 (x 2 ) i P ( ) X (x 2 ) i i1 ( ) NOK 388 NOK (47) 14

79 c) Forventet verdi av formuen E[F 2 ]: ( a 1000 aksjer ) E[F 2 ] a ( forventet verdi ved t 2 stiger + forventet verdi ved t 1 synker ) ( verdi ved t2 Se fig verdi ved t ) NOK (48) verdi ved t2 50 % 60 % 30 % 50 % 40 % 20 % 50 % 20 % 10 % 50 % 80 % 40 % X X X X % 40 % 20 % 80 % X X verdi ved t1 50 % 50 % X Figur 3: Sannsynlighetstre. 15

80 d) Tolkning: E[F 2 ] forventet totalverdi av formuen ved dag nr. 2 når hun følger strategien som angitt (49) 16

81 Oppgave 5: ( produksjonsplanlegging, økonomi ) a) Sannsynligheten for at malingen ikke er defekt etter 1 time er: P (D 1 ) 1 P (D 1 ) (50) hvor vi har brukt komplementsetningen. b) Sannsynligheten for at malingen ikke er defekt etter 2 time dersom vi vet at den var defekt etter 1 timer, er: P (D 2 D 1 ) 1 P (D 2 D 1 ) (51) hvor vi har brukt komplementsetningen igjen. c) Uttrykket P (D 2 D 1 ) er sannsynligheten for at malingen er defekt etter 1 time og ikke defekt etter 2 timer, sannsynligheten for at malingen er OK etter etter 2 timer. d) Den generelle multiplikasjonssetningen gir: P (D 2 D 1 ) P (D 2 D 1 )P (D 1 ) (52) , q.e.d. (53) 17

82 e) Vi sannsynlighetstreet som oppgitt i oppgaven finner vi at: P (D 4 D 3 D 2 D 1 ) P (D 4 D 3 D 2 D 1 )P (D 3 D 2 D 1 )P (D 2 D 1 )P (D 1 ) (54) , q.e.d. (55) f) Bruker resulatene fra tidligere deloppgaver samt den oppgitte sannsynligheten P (D 3 D 2 D 1 ) til å finne forventet antall timer som Jotun bruker på blanding og justeringer av malingen: E[X] 4 x i P (X x i ) (56) i P (D 1 ) + 2 P (D 2 D 1 ) + 3 P (D 3 D 2 D 1 ) }{{} P (D 4 D 3 D 2 D 1 ) }{{} (57) ( ) timer timer (58) 18

83 g) Siden 4 P (X x i ) P (X x 1 ) + P (X x 2 ) + P (X x 3 ) + P (X x 4 ) (59) i1 P (D 1 ) + P (D 2 D 1 ) + P (D 3 D 2 D 1 ) + P (D 4 D 3 D 2 D 1 ) (60) (61) 1 (62) så er sannsynlighetsfordelingen P (X x i ) en gyldig fordeling. 19

84 Oppgave 6: ( oversikt over formler, kap. 2, 3 og 4. ) Se vedlegg bakerst i løsningssettet. 20

85 Oppgave 7: ( empiriske størrelser vs stokastiske variabler, teori ) a) Fra kompendiet eller internett: 9 stokastisk variabel en størrelse X som kan ha ulike verdier x med ulike sannsynligheter (63) b) Gjennomsnittet x for observasjoner x 1, x 2,..., x n : x 1 n n x i (64) i1 Forventning E[X] av en diskret stokastisk variabel X: E[X] n x i P (X x i ) (65) i1 9 En mer teknisk (matematisk) versjon av definisjonen av en stokastisk variabel, som ikke kreves å ha med på øvingen, er: Med en tilfeldig variabel mener vi en funksjon X som til ethvert mulig utfall definerer et bestemt reelt tall. 21

86 Kommentarer: 1) Likhet: begge formlene har den matematiske oppbygningen: x n verdi i vekt i (66) i1 hvor vekt i 1/n for verdiene til x, og E[X] n verdi i vekt i (67) i1 og vekt i P (X x i ) for de mulige utfallene til X. 2) Ulikhet: x har lik vekt, 1/n, mens E[X] kan generelt ha ulik vekt P (X x i ). 22

87 c) Den empiriske variansen S 2 x for observasjoner x 1, x 2,..., x n : S 2 x 1 n 1 n ( xi x ) 2 i1 (68) Varians V ar[x] av en diskret stokastisk variabel X: V ar[x] n ( xi E[X] ) 2 P (X xi ) (69) i1 Kommentarer: 1) Likhet: begge formlene har den matematiske oppbygningen: S 2 x n avvik 2 i vekt i (70) i1 hvor vekt i 1/(n 1) for verdiene til x, og V ar[x] n avvik 2 i vekt i (71) i1 og vekt i P (X x i ) for de avvikene til utfallene til X. 2) Ulikhet: S 2 x har lik vekt, 1/(n 1), mens V ar[x] kan generelt ha ulik vekt P (X x i ). 23

88 3) Legg også merke til at avvik i x i x (72) for S 2 x, og avvik i x i E[X] (73) for V ar[x], altså helt analogt, men med substitusjonen x E[X]. 24

89 d) Avstanden mellom punkter i rommet er gitt ved Pythagoras læresetning: d (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (74) (avvik) 2 x + (avvik) 2 y (75) avstanden mellom punkter (76) På samme måte som Pythagoras måler avstander, så ønsker vi også at standardavvikene S x og σ[x] skal måle avstander. Men avstander mellom avvik istedet for avstander mellom punkter i rommet. Derfor, i tråd med Pythagoras, ikke unaturlig at avvikene opphøyes i andre : Standardavviket S x : ( observasjoner ) S x S 2 x 1 n 1 n ( xi x ) 2 i1 (77) (78) (avvik) 2 1 vekt 1 + (avvik) 2 2 vekt 2 + (avvik) 2 3 vekt (79) avstanden mellom avvik (80) Standardavviket σ[x]: ( stokastiske variabler ) σ[x] V ar[x] (81) n ( xi E[X] ) 2 P (X xi ) (82) i1 (avvik) 2 1 vekt 1 + (avvik) 2 2 vekt 2 + (avvik) 2 3 vekt (83) avstanden mellom avvik (84) 25

90 Tolkning: V ar[x]: Dersom verdiene x i til den stokastiske variablen X har, f.eks., benevningen NOK, så vil V ar[x] ha benevningen NOK 2. I dette tilfellet har ikke V ar[x] noen direkte umiddelbar tolkning. σ[x]: Det tilhørende standardavviket σ[x] V ar[x], derimot, har benevningen benevning for σ[x] NOK 2 NOK (85) Standardavviket σ[x] har derfor samme benevning som den stokastiske størrelsen X selv, med tilhørende tolkning, et mål på avstand mellom avvik/usikkerhet mellom utfall og forventningsverdi av den stokastiske variabelen. Kommentar: I analogi med Pythagoras læresetning i lign.(76) så har anstanden d mellom punktene (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) en umiddelbar tolkning, mens tolkningen d 2, altså avstanden i andre, er mindre åpenbar. 26

91 Oppgave 6

92 Setn. Formel Kommentar Ark nr. 1: Øving 4, Oppgave 6 Den spesielle add. setn. 1) A og B er disjunkte 2) eller sannsynlighet Den generelle add. setn. 1) sammenh. mellom og og eller 2) gjelder ALLTID Den spesielle mult. setn. 1) A og B er uavh. 2) uavh. TEST 3) og sannsynlighet Den generelle mult. setn. 1) sammenh. mellom og og betinget sanns. 2) gjelder ALLTID

93 Setn. Formel Kommentar Ark nr. 2: Øving 4, Oppgave 6 Komplement setn. A ikke A Total sannsynlighet mix Tvilling setn. og og eller med NOT

94 Setn. Formel Kommentar Ark nr. 3: Øving 4, Oppgave 6 Kombinatorisk sannsynlighet 1) urnemodellen 2) kombinatorisk sannsynlighet Bayes lov 1) speilbrødre 2) gjelder ALLTID Oppsplitting av Ω og

95 Løsning 5 (2017)

96 LØSNING: Oppgavesett nr. 5 MAT110 Statistikk 1, 2017 Oppgave 1: ( logistikk ) a) Dersom vi har uniformt utfallsrom uavhengige utfall så gjelder urnemodellen. La oss nummerere lastebilene fra i Sannsynlightene for at lastebil nr. i ankommer varemottaket er 1 for alle i 1..10, 10 altså uniformt utfallsrom. 1 I oppgaveteksten står det at lastebilene ankommer varemottaket uavhengige av hverandre. Dermed: Ja, urnemodellen gjelder for våret tilfelle med lastebilene også. 1 Men grunnen til at sannsynlighetene P 1, P 2 og P 3 er forskjellige er at det er forskjellig antall av de tre typene lastebiler. 1

97 b) For situasjon 2 er antall komb. N! (N s)! (1) som gir sannsynligheten ( tre kategorier ) P 1 # g # m kategori 1 kategori 2 kategori 1 totalt (2) 5! (5 1)! 3! (3 0)! 2! (2 0)! 10! (10 1)! (3) altså samme svaret som i oppgaveteksten. c) For situasjon 3 er antall komb. ( ) N s (4) som gir sannsynligheten ( tre kategorier ) P 1 # g # m kategori 1 kategori 2 kategori 1 totalt (5) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) altså samme svaret som i oppgaveteksten og oppgave 1b. 2

98 d) Som vist i oppgave 1b, 1c og i oppgaveteksten så er sannsynligheten P 1 gitt ved P 1 n 1 n (7) Tilsvarende finner vi: P 2 n 2 n P 3 n 3 n (8) 0.2 (9) e) Sannsynlighetene P 1, P 2 og P 3 utgjør en gyldig sannsynlighetsfordeling fordi de summeres opp til èn: P 1 + P 2 + P (10) 3

99 Oppgave 2: ( logistikk ) a) Den spesifikke sannsynlighetfordelingen P (X x i ) er oppgitt. Dermed bruker vi definisjonen av forventning: E[X] def. 3 i1 x i P (X x i ) (11) 10 P (X 10) }{{} P (X 20) }{{} P (X 30) }{{} (12) Forventet behandlingstid E[X] for å laste av lasten til en tilfeldig valgt lastebil er 17 minutter. b) Den spesifikke sannsynlighetfordelingen P (X x i ) er oppgitt. Dermed bruker vi definisjonen av varians: V ar[x] def. 3 i1 ( x i E[X] ) 2 P (X xi ) (13) ( ) 2 P (X 10) }{{} ( ) 2 P (X 20) }{{} ( ) 2 P (X 30) }{{} 0.2 ( ) ( ) ( ) (14) med tilhørende standardavvik σ[x]: σ[x] def. V ar[x] (15) 4

100 c) Fortventet ventetid E[V ]: E[V ] E[X 1 + X 2 + X 3 ] (16) E[X 1 ] + E[X 2 ] + E[X 3 ] (17) E[X] + E[X] + E[X] (18) 3 E[X] (19) Forventet behandlingstid E[V ] dersom det står 3 tilfeldige lastebiler foran deg i kø, er 51 minutter. d) Fortventet varians V ar[v ]: V ar[v ] V ar[x 1 + X 2 + X 3 ] (20) uavh. V ar[x 1 ] + V ar[x 2 ] + V ar[x 3 ] (21) V ar[x] + V ar[x] + V ar[x] (22) 3 V ar[x] (23) med tilhørende standardavvik σ[v ]: σ[v ] def. V ar[v ] (24) 5

101 e) Siden lastebildene ankommer varemottaket uavhengige av hverandre så er den simultane sannsynligheten bare produktet av sannsynlighetene: p(30, 30, 30) P ( X 1 30 og X 2 30 og X 3 30 ) (25) uavh. P (X 30) P (X 30) P (X 30) (26) ( ) 3 P (X 30) }{{} (27) 0.2 f) Tolkning: p(30, 30, 30) sannsynligheten for at alle 3 lastebilene som står foran deg i kø, er store lastebilder som tar 30 minutter hver å laste av g) Den eneste måten at ventetiden kan bli 90 minutter på er at alle 3 lastebildene som er foran deg i kø, er store: P (V 90) p(30, 30, 30). Dermed: P (V 80) 1 p(30,30,30) P (V 90) (28) (29) Sannsynligheten for at du må vente 80 minutter eller mindre er P (V 80)

102 h) Igjen bruker vi det faktum at lastebilene ankommer uavhengige av hverandre. Da er de simultane sannsynlighetene bare produktet av sannsynlighetene. Dermed: P (V 50) disse tre sanns. er like p(10, 10, 30) + p(10, 30, 10) + p(30, 10, 10) + p(20, 20, 10) + p(20, 10, 20) + p(10, 20, 20) }{{} disse tre sanns. er like (30) 3 p(10, 10, 30) + 3 p(20, 20, 10) (31) ( ) 3 p(10, 10, 30) + p(20, 20, 10) (32) ( ) (33) Sannsynligheten for at du må vente 50 minutter er P (V 50)

103 Oppgave 3: ( økonomi ) a) i) Marginalsannsynlighetene for prisen X: marginalfordeling P (X 1000) p(1000, y) (34) y p(1000, 90) + p(1000, 150) + p(1000, 210) (35) (36) marginalfordeling P (X 1500) p(1500, y) (37) y p(1500, 90) + p(1500, 150) + p(1500, 210) (38) (39) marginalfordeling P (X 2000) p(2000, y) (40) y p(2000, 90) + p(2000, 150) + p(2000, 210) (41) (42) 8

104 ii) Marginalsannsynlighetene for etterspørselen Y : marginalfordeling P (Y 90) p(x, 90) (43) x p(1000, 90) + p(1500, 90) + p(2000, 90) (44) (45) marginalfordeling P (Y 150) p(x, 150) (46) x p(1000, 150) + p(1500, 150) + p(200, 150) (47) (48) marginalfordeling P (Y 210) p(x, 210) (49) x p(1000, 210) + p(1500, 210) + p(200, 210) (50) (51) 9

105 b) i) Forventet pris på iphone 7: E[X] def. 3 i1 x i P (X x i ) (52) 1000 P (X 10) }{{} P (X 15) }{{} 0.40 ( P (X 20) }{{} 0.30 (53) ) NOK 1500 NOK (54) Forventet pris er altså 1500 NOK for iphone 7. ii) Forventning av etterspørselen Y : E[Y ] def. 3 i1 y i P (Y y i ) (55) 90 P (Y 90) }{{} P (Y 150) }{{} P (Y 210) }{{} 0.30 (56) (57) Det forventes å selge 150 enheter av iphone 7 den første uken etter lansering. 10

106 c) Siden omsetning pris }{{} X antall solgte varer }{{} Y X Y (58) så er forventet omsetning: E[X Y ] 3 3 i1 j1 x i y j p(x i, y j ) (59) ( p(1000, 90) p(1000, 150) p(1000, 210) p(2000, 90) }{{} p(1500, 90) p(2000, 150) }{{} p(1500, 150) p(1500, 210) (60) ) p(2000, 210) NOK }{{} NOK (61) Forventet omsetning er NOK den førske uken etter lansering. d) Vi kjenner både E[X] og E[Y ] fra oppgave 3b. Produktet av disse er: E[X] E[Y ] NOK NOK (62) Fra forrige oppgave vet vi at E[X Y ] NOK. Dermed innser vi at: E[X Y ] E[X] E[Y ] (63) Konklusjon: Nei, X og Y er ikke uavhengige. De er avhengige. 11

107 e) i) Den simultane sannsynlighetsfordelingen P (X og Y ) P (X Y ) er kjent. Se tabell. De ubetingede sannsynlighetene P (X x), for X 1000, X 1500 og X 2000, ble beregnet i oppgave 3a. Sammenhengen mellom betinget og utbetinget sannsynligheter er gitt via den generelle multiplikasjonssetningen. P (Y 90 X 1000) tabell 0.05 P (X 1000 Y 90) P (X 1000) (64) P (Y 150 X 1000) tabell 0.10 P (X 1000 Y 150) P (X 1000) (65) P (Y 210 X 1000) tabell 0.15 P (X 1000 Y 210) P (X 1000) (66) ii) Forventet omsetning når prisen er fastsatt til X 1000 NOK er dermed: E[1000 Y ] 1000 E[Y ] (67) 1000 [ y i P (Y y i X 1000) (68) i /6 1/3 P (Y 90 X 1000) P (Y 150 X 1000) 1/2 P (Y 210 X 1000) ] NOK (69) NOK (70) Forventet omsetning den første uken etter lansering når prisen er fastsatt til X 1000 NOK er NOK. 12

108 f) i) Denne oppgaven løses på akkurat samme måte som den foregående. Sammenhengen mellom betinget og utbetinget sannsynligheter er gitt via den generelle multiplikasjonssetningen. P (Y 90 X 1500) tabell 0.10 P (X 1500 Y 90) P (X 1500) (71) P (Y 150 X 1500) tabell 0.20 P (X 1500 Y 150) P (X 1500) (72) P (Y 210 X 1500) tabell 0.10 P (X 1500 Y 210) P (X 1500) (73) ii) Forventet omsetning når prisen er fastsatt til X 1500 NOK er dermed: E[1500 Y ] 1500 E[Y ] (74) 1500 [ y i P (Y y i X 1500) (75) i /4 1/2 P (Y 90 X 1500) P (Y 150 X 1500) 1/4 P (Y 210 X 1500) ] NOK (76) NOK (77) Forventet omsetning den første uken etter lansering når prisen er fastsatt til X 1500 NOK er NOK. 13

109 g) Nei, det behøver ikke være slik at høyeste pris gir høyest omsetning. Dersom prisen settes for høy så kan etterspørselen gå så mye ned at det går ut over omsetningen. (Se tegneserien nedenfor.) Figur 1: As price goes up, demand may go down in such a way that turnover goes down as well. 14