P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ.

Transkript

1 P ±Ê Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ ˆ Œ ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ dnd@jinr.ru

2 ±Ê.. P ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ï Éμ μ μ Ö ± Éμ³ É Î ± ³ μ Ê ³ Ê ²μ ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² ²μ± ²Ó μ μ ³ É ²Ö ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í Ï Éμ μ μ Ö ± μ ²ÖÕÉ Ö μ Î Ö³ ËÊ ±Í - μ μ μ μ É Ì Ê ² Ì μ É ²Ö. ³± Ì μ ²μ μ μ ³ - Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í Éμ ²μ ËÊ ±Í μ É Ö³ (x x ) É ÌÉμÎ Î μ É±. μé ² μ É³ - Éμ³ É Î ±μ μ μ Ê Ö Ê ²μ. ² Ò Î ÉÒ μ É ÉμÎ μ É Ê ÒÌ É É Ì μ± ² Ò μ±êõ ÔËË ±É μ ÉÓ ³μ ² ² Ê Éμ Î μ É ÒÎ ² -, ÉμÎ μ É ² ±μ É μ± ³ Í. μé Ò μ² μ Éμ Ëμ ³ Í μ ÒÌ É Ì μ²μ ˆŸˆ. É Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ. Ê, 22 Dikusar N. D. P Piecewise Polynomial Approximation of the Sixth Order with Automatic Knots Detection Coefˇcients of a local segment model for piecewise polynomial approximation of the sixth order are evaluated using values of the function and of its ˇrst derivative at three knots of the support. Formulae for coefˇcients of the function expansion in degrees of (x x ) on a three-point grid are obtained within the framework of the recently proposed basic element method. An algorithm for automatic knot detection is developed. Numerical calculations applying quite complicated tests have shown high efˇciency of the model with respect to the calculation stability, accuracy and smoothness of approximation. The investigation has been performed at the Laboratory of Information Technologies, JINR. Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 22

3 ˆ μ Ó³ Î Éμ Ò É μ, ÎÉμ Ò μ- Ï μ ÉÓ μ ² Ó ± Ê²Õ ²Ö ²μ μ³ ÊÉ±... ÒÏ [] ³ É ³ É ± ±² ÒÌ Ê± Ì ²μ ÊÕ ËÊ ±Í μ ²Ó ÊÕ - ³μ ÉÓ, ÊÕ Ëμ ³Ê²μ ² ± É Ò³ μ μ³ ÉμÎ ±, ² ÕÉ μ- ² μ³ ³ μ²óïμ É Î Éμ ²μ± ²Ó ÒÌ ³ Éμ. ÒÎ μ ²Ö ÔÉμ μ μ²ó ÊÕÉ ±Ê Î ± ² Ò, ² ±Ê μî μ-±ê Î ±ÊÕ μ± ³ - Í Õ [2Ä6]. μ ÒÏ ÔËË ±É μ É ³ Éμ μ ² μ É³μ μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í ² Ö Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ ±ÉÊ ²Ó μ - ² Î ÒÌ μ ² ÉÖÌ ÊÎ ÒÌ ² μ. ËË ±É μ ÉÓ ³ Éμ μ ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í (Š) É μé É ³ μ μî² μ, μ± ³ ÊÕÐ Ì ³ ÉÒ, μé - Ò μ É μ Ö ± ² ±μ É Ê ² Ì μ É ³ ²Ó μ μ Ö μ ² É Ö ËÊ ±Í. ƒ² ±μ ÉÓ Ö ± Î É μ³ μ± ³ Í μ Î - É Ö ² -³ Éμ ³, Ò μ Î ² Ê ²μ Ì μ²μ Ö Ö ²Ö É Ö É ²Ó μ Î, ±μéμ μ Ð É Ö ±μ³ μ³ ³ Ê ÉμÎ μ ÉÓÕ ² Ö ² μ μ³ ÊÉ± ( μ É ²Ö) μ± ³ Í. Ð Ö ÔË- Ë ±É μ ÉÓ Š É μé Ò μ Ëμ ³Ò μ² μ³ ²Ó μ ³μ ². ÉμÎ± Ö ÉμÎ μ É ÒÎ ² μ²ó μ Ò μ± Ì É μ² Ò μ μ, ÌμÉÖ ÒÎ ² É ²Ó Ö ²μ μ ÉÓ ÔÉμ³ μ É É [6]. ÊÐ É ÊÕÉ ² Î Ò Ëμ ³Ò É ² Ö ³ μ μî² μ, ±μôëë Í - ÉÒ ±μéμ ÒÌ μ ²ÖÕÉ Ö μ- μ³ê. ³, ²Ö ²μ± ²Ó μ μ± - ³ Í f(x) C (n) μ² Î Éμ μ²ó ÊÕÉ ³ μ μî² ²μ T n (x x ) ±μôëë Í É ³ f (i) (x )/i!, i =,n, ±μéμ Ò Ö ²Ö É Ö ³ μ μî² μ³ - ²ÊÎÏ μ ² Ö ³ ²μ μ± É μ É μ μ ÉμÎ± x = x. É μ²ö- Í μ ÒÌ Ëμ ³Ê² Ì, ÓÕÉμ, ƒ Ê, ³ É. ±μôëë Í ÉÒ Ò ² ÖÉ μé f (i) = f (i) (x ). ²ÊÎ ± É Î μ μ± - ³ Í ÒÌ μï ± ³ μ²ó ÊÕÉ ³ Éμ ³ ÓÏ Ì ± Éμ (ŒŠ).

4 μ μé ² É Ö ³ Éμ Š Ï Éμ μ μ Ö ±, μ μ Ò ³ μ μî² Ì ÖÉμ É, É ² ÒÌ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ - Éμ (Œ) [7, 8]. ³ Œ ÖÉμ É Î Ì Š μ É Ò μ Ê ± ± μ ÉμÎ μ É μí μ±, É ± μ ² ²μ± ²Ó ÒÌ μ É ². [8] μ± Ò ³ÊÐ É μ²ó μ Ö Œ Ï Î μ± - ³ Í ËÊ ±Í ² Ö ÒÌ ² μ ÒÏ Ö Ê Éμ Î μ É ÒÎ ² μ Ö ÒÎ ² É ²Ó μ ²μ μ É. Œ É ² É ÉÓ ² É Ö Ï É ² Ì.. É ² ±μ É Ê±Í Ö ³ μ μî² μ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ Ò Ëμ - ³Ê²Ò Œ-±μÔËË Í Éμ ÖÉμ É.. 2 ³± Ì ²μ± ²Ó μ Œ- μ± ³ Í É ÌÉμÎ Î μ É± μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôë- Ë Í Éμ ²μ f(x) μ É Ö³ (x x ).. 3 μ ÖÐ Î Œ-Ô± É μ²öí,. 4 μ É Ö ² μ É³ É ±Éμ Ê ²μ. Œ- μ± ³ Í Ö ² Ö Ï Éμ μ μ Ö ± μ Ê ÕÉ Ö. 5 6 μμé É É μ.. Œ μé [8] μ± É μ ³ μ É ² ³ μ μî² P n (x) = a + a x a n x n Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ (μ μ ±Ê Î ±μ É Ì ± É Î ÒÌ μ²), μ É μ ÒÌ É ÌÉμÎ Î μ É± x α <x <x β : f(x) P n k (Q, w, r) = k Q i w T r i = i= k b T i r i, k = n/3, () Q w =[w,w 2,w 3 ] T Å Ò Ô² ³ ÉÒ, b i = Q i w T, r i =[r αi, r βi, r i ] T Å ±μôëë Í ÉÒ. n =5³μ ²Ó ²μ± ²Ó μ μ ³ É S(x) f(x), x [x α x β ] [a, b], ³ É S(x) w T f + b T r = f α w + f β w 2 + f w 3 + r α b + r β b 2 + r b 3, (2) i= w 2 = τ(τ β) Q = τ(τ α)(τ β), w =, αγ τ(τ α) (τ α)(τ β) 3, w 3 = ; w j =, βγ αβ j= (3) τ = x x, α = x α x, β = x β x, γ = β α, x, α, β R, αβγ. 2

5 ŠμÔËË Í ÉÒ f =[f α,f β,f ] T r =[r α,r β,r ] T μí μ Ò Ê ² ³ É± x α <x <x β, ³ É Ò α β μ Î Ò μ μ²õé μ - ² Î ËÊ ±Í μ ²Ó μ Ö Ò ³μ ³ μ x Ò³ Ô² ³ É ³ w j Q. Š É Î Ö μ É ²ÖÕÐ Ö w T f (2) μ ²Ö É Ö ±μôëë Í É ³ f ν = f(x ν ), ν = α, β,. ŠμÔËË Í ÉÒ r ν É Ï Ì É ÖÌ x μ ²ÖÕÉ Ö [8] r ν = c ν f ν + kt ν f, ν = α, β,, (4) k α =[(γ α)/(α 2 γ 2 ), /(γ 2 β), /(βα 2 )] T, k β =[/(αγ 2 ), (β + γ)/(γ 2 β 2 ), /(β 2 α)] T, (5) k =[ /(α 2 γ), /(γβ 2 ), (α + β)/(β 2 α 2 )] T, c α = /(αγ), c β =/(γβ), c =/(βα), γ = β α; j =, 2, 3. α = β = h =constôé Ëμ ³Ê²Ò Ê μð ÕÉ Ö: r h = f h 2h 2 + 3f h + f h 4f 4h 3, r h = f h 2h 2 f h +3f h 4f 4h 3, (6) r = f h 2 f h f 2h 3. μ ³Ê²Ò (2)Ä(6) μ μ²öõé ² ±μ É ±μôëë Í ÉÒ ³ μ μî² ²μ- f(x) μ É Ö³ (x x ),±μ x ³ Ö É Ö μ³ ÊÉ± [x + α, x + β], α<β,αβ<. 2. Œ-Š ˆŒ ˆŸ Š ˆ É μ, ÎÉμ μ²óïμ μ± É μ É ÉμÎ± x ³ μ μî² ²μ ±μôëë Í É ³ f (i) (x )/i!, i =,5, É ²ÊÎÏ ² ± f(x). ³ Éμ ³μ μ Ë 853. μ Ö ³ Ì ³μ, É ÒÌ μ - ³ ²² ²μ ³³μ [].. ÒÏ ³ É ², ÎÉμ ³ ²μ³, Ë ± μ μ³ É ² [x h, x + h] μ² μ³ ²μ ² Ê É ³ - ÉÓ Ê ³ μ² μ³μ³. ±μ μ² μ³ ÒÏ Ï ² ± ± Ï Î ² ÊÕÐ Ëμ ³Ê² μ ± : ² ÉÓ ³ Ö, ±μéμ Ò μ μ - É ² μ³ Ò ËÊ ±Í f(x), μ³ ²μ ³ μ É Ö³ (x x ), ² É Ê É Ö ² ÉÓ ³ ÓÏ ³ ² μ μ- Ï μ É ³ Ê x = x h x = x + h, h Å ² Î μî Ó 3

6 Î É ²Ó Ö. É ³ μ² μ³μ³ É ² Ï μ±μ É Ò μ² μ³ ²ÊÎ- Ï μ ² Ö ÒÏ. μ μ³μðóõ Ò² μ²êî Ò μ ± ± ±μôëë Í É ³ μ² μ³ ²μ. μ³ É Î ±μ ÉμÎ± Ö ±μôëë Í ÉÒ f r (), (2), ± ± ±μôëë Í ÉÒ ³ μ μî² ²μ, μ² ÕÉ Ö É ± ²ÖÌ x = x ν, ν = α,,β (., ). ³ Q Ëμ ³Ê² (2) μ Ò ³ x-±μμ É Ì Q {}}{ S(x) w T f + (x x α )(x x )(x x β ) w T r (7) Ö Î ÉÓ (7) ²μ Î Ëμ ³ ³ μ μî² ²μ ²Ö μ± É μ É ÉμÎ ± x α, x, x β. ³μÉ ³ Ëμ ³Ê²Ê (2) ÉμÎ± Ö μ ² Ö ³ ±μ- ÔËË Í É Ì ³ μ μî² ²μ, ² f(x) μ± ³ μ ÉÓ Œ ÖÉμ É (2)Ä(5). É ²Ö É É ² ÊÕÐ Ö Î. ˆ μ²ó ÊÖ Ëμ ³Ê²Ò (2)Ä(5), ²Ö ÒÌ α, β, f =[f α,f β,f ] T r =[r α,r β,r ] T É ±μôëë Í ÉÒ d i ³ μ μî² f(x) 5 d i (x x ) i Ê² Ò³ μ Ï μ ÉÖ³ Ê ² Ì É± x α <x <x β,±μ x ³ Ö É Ö ² Ì μé x = x + α μ x = x + β,α < β, αβ <. Ï Î É μ ³. ŠμÔËË Í ÉÒ d i ³ μ μî² ÖÉμ É, É ²ÖÕ- Ð μ f(x) ²μ ³ μ É Ö³ (x x ) μé ± [x + α, x + β], α<β, αβ <, 5 f(x) d i (x x ) i (8) i= Ò ÕÉ Ö ² ÊÕÐ ³ Ëμ ³Ê² ³ : d 5 =[αr β + γr βr α ]/(αβγ), d 4 =[αβ(r α r β ) 2γ(α + β)r +2(β 2 r α α 2 r β )]/(αβγ), i= d 3 =[2αβ(αr β βr α )+α 3 r β + γ(α 2 + β 2 )r β 3 r α ]/(αβγ)+4r, d 2 =[αf β + γf βf α ]/(αβγ)+[β 2 r α α 2 r β ]/γ 2(α + β)r, d =[β 2 f α γ(α + β)f α 2 f β ]/(αβγ)+αβr, d = f, (9) f ν = f(x ν ), γ = β α, r ν ÒÎ ²ÖÕÉ Ö μ Ëμ ³Ê² ³ (4), (5), ν = α, β,. 4

7 μ± É ²Ó É μ. μ ³Ê²Ò (9) ÒÉ ± ÕÉ É ÒÌ Î É Ê - (7) (8). μ²êî ÕÉ Ö ÊÎ Éμ³ (3)Ä(5) μ ² w T f, Qw T r ±μμ É μ Ëμ ³ Ê μ ± ³ μ É ² μμé É É ÊÕÐ Ì É - ÖÌ (x x ). ² É. α = h β = kh, h >, k =, 2,..., (9) μ²êî ³ d = f, d = f, ±μôëë Í ÉÒ d 2,...,d 5 ±Éμ μ Ëμ ³ d i (k, h ; f h, f h )= h 5 u T i f h + h 4 vi T f h, i = 2, 5, k =, 2,..., (9a) f h =[f h,f kh,f ] f h =[f h, f kh,f ], u i v i ÖÉ μé k =, 2,...: u 2 = u 3 = [ k 2 ] (3k +5) (k +) 3, 5k +3 k 2 (k +) 3, 3k2 +4k 3 k 2, [ 2k(k 2 k 5) (k +) 3, 2(5k2 + k ) k 3 (k +) 3, 2(k3 4k 2 ] +4k ) k 3, [ 4k 2 ] +5k 5 u 4 = (k +) 3, 5k2 5k 4 k 3 (k +) 3, 4k2 7k +4 k 3, [ ] 2(k +2) 2(2k +) 2(k ) u 5 =, (k +) 3 k 3, (k +) 3 k 3 ; [ k 2 ] v 2 = (k +) 2, 2(k ),, k(k +) 2 k v 3 = [ ] k(k 2) (k +) 2, 2k k 2 (k +) 2, k2 4k + k 2, [ (2k ) v 4 = [ v 5 = (k +) 2, (k 2) 2(k ) k 2, (k +) 2 k 2 (k +) 2, k 2 (k +) 2, k 2 ]. ² Ê É μ Î ± ÊÉÓ, ÎÉμ É Ó ³ É ² ±μμ É Ì u i v i ³ ÓÏ É Î ² É ², ÎÉμ Ê± Ò É Ê Éμ Î μ ÉÓ ± μï ± ³ f f μ É k. ³ Î. ² Î h, ² Î Ö ³ É μ α β, μ Ð ³ ²ÊÎ μ ²ÖÕÉ Ö μ²μ ³ ÉμÎ± x μé ± [x + α, x + β], ² ³μ μ μé ± É μé ²μ μ É f(x) μ μ ÒÌ. ], 5

8 ²ÊÎ μ³ μ É± (h = h, k =)Ëμ ³Ê²Ò d 2,...,d 5 (9a) Ê μð ÕÉ Ö: d 5 =[3(f h f h )+h(f h +4f + f h)]/(4h 5 ), d 4 =[2( f h +2f f h ) h(f h f h )]/(4h4 ), d 3 =[5(f h f h )+h(f h +8f + f h )]/(4h3 ), () d 2 =[4(f h 2f + f h )+h(f h f h)]/(4h 2 ), d = f, d = f, É.. ±μôëë Í ÉÒ d i, i =, 5, ÖÉ μé h Î f, f É ÌÊ ² Ì x h, x, x + h. ² É 2. μ μé³ É ÉÓ, ÎÉμ μï ± ε D (x) = f(x) D 5 (x x ) ε T (x) = f(x) T 5 (x x ) ÊÉ Ö μ- μ³ê. ² x ε T (x) <ε D (x),, Î Ö h,7, ε T (x + h) ε D (x + h), Éμ ± ± lim ε D(x) =, x x +ν ν = h,,h, μé±ê ² Ê É max ε D (x) < max ε T (x), x [x h, x + h]. ³. ³μÉ ³ ËÊ ±Í Õ f(x) =exp[ 5(x ) 2 ], x [ 2, 2]. ²Ö x =, x h =,5, x h =,5, f =[,2865,,2865, ] T f =[,4325,,4325, ] T ³ d i μ Ëμ ³Ê² ³ (). ƒ Ë ± T 5 (x x ), D 5 (x x ) μï μ± ε T = f T 5, ε D = f D 5 μ± Ò.,. Ë ±, μ ²μ Ë³ Î ±μ³ ³ ÏÉ, Ò.,. μ, ÎÉμ ε T ε D ²Ö x mh, m,7. ² ÉμÎ± x + h =,5 μï ± ε T ±μ²ó±μ μ Ö ±μ μ²óï ε D. fx () f J а f r f r r w w 3 w2 Q,5 D h T x 5 () T D5 () x fx (),5 2 б x в T D h,7h x,5 2.. Šμ É Ê±Í Ö Œ ÖÉμ É ( ). ƒ Ë ± f(x), T 5(x), D 5(x) ( ) μï μ± ε T, ε D ( ) 6

9 3. Œ-Š Ÿ ˆŸ Œ Éμ Ò ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í Éμ ² μ É - Ö Ò Î Ô± É μ²öí. ²ÊÎ Œ μ Ò³ Î Ö³ f α (i),f (i), i =,, ³μ μ μí ÉÓ f β f ÉμÎ± x = x β + β. ³μÉ ³ ±μ É Ê±Í Õ Œ (., ). μ³ É Î ±μ ÉμÎ± Ö É Ó Œ μ ²Ö É Ö ³ Ò³ μ²μ ³ ÉμÎ ± (x ν,r ν ), ν = α, β,, ±μμ É μ ²μ ±μ É [7, 8]. ³, μ²μ r ν ±²μ μ Ö³μ ² ± É Î μ - μ² μμé É É Ê É ³ μ μî² ³ Î É Éμ ² ÖÉμ É, Ê±Ê- Î ±μ μ ³ μ μî² r ν ² É μ μ É ²Ó μ Ö³μ. Œ É ÉÓ É μ ²ÖÉ Ö ±μôëë Í É ³ f θ, É.. f(x) w T f + θq. ˆ É r α = r r α = r β ÊÎ Éμ³ (4) (5) μ²êî ³ ˆf β =[(α +2β)γ 2 f +(α 2γ)β 2 f α + αβγ(βf α + γf )]/α3, ˆf β =[(2α + β)γ 2 f (α + γ)β 2 f α +(β +2γ)α 2 f β ]/(α 2 βγ)+γf /α. () α = h β = kh, k =2, 3,..., Ëμ ³Ê²Ò () ³ ÕÉ ˆf kh =[k(k +)(kf h +(k +)f )]h (k +) 2 (2k )f + k 2 (2k +3)f h, ˆf kh =[(3k +2)ˆf kh +(k 2)(k +) 2 f k 3 f h ]/ (2) (k(k +)h) (k +)f. ²Ö k =( ²ÊÎ μ³ μ É± ) Ëμ ³Ê²Ò (2) Ê μð ÕÉ Ö: ˆf h =2h(f h +2f )+5f h 4f, ˆf h =5f h +8f + 2(f h f )/h. (3) ³ 2.. 2, μ± Ë ± ±Ê Î ±μ Ô± É μ²öí ²Ö ËÊ ±Í f(x) =sinx +cos7x μé ± μé x =,85 μ x =,5. Î Ö ˆf β ˆf β μ²êî Ò μ (2) ²Ö h =, k =, 2. ƒ Ë ± μï μ±,5,5,5 f, f fx () f а,5, kh 5 5 б kh ŠÊ Î ± Ö Œ-Ô± É μ²öí Ö ( ). ƒ Ë ± ε kh (kh) ( ) ε kh(kh) ( ²Ö Ö Ê ±É μ³ μ± Ò Ë ± ²Ö h i,i=, 2, 3) ( ) h h 3 h 2 в 7

10 ε kh = f kh ˆf f kh ε kh = kh ˆf kh μ± Ò μ μ³ ²μ Ë³ Î ±μ³ ³ ÏÉ. 2,. μ, ÎÉμ ε kh O(h 3 ) ²Ö x [x,x +h] ε kh O(h 2 ) ²Ö x [x +h, x + h] (. 2, ). 4. Š É μ É Î ±μ³ ² μ É ³ ²Ó Ö É μ ± Ê ²μ Ö ²Ö É Ö Ó³ É Ê μ Î. ²ÊÎ Œ-³μ ² ÐÊÉ Ö ÍÒ μé ± [ x h, x + h], ±μéμ μ³ ³ É S ± μ f ² É Ö ³ μ μî² μ³ D 5 (x x ; d), d Å ±μôëë Í ÉÒ. μî μ ÉÓ μ Ö μ± ² ±μ É ÊÐ - É μ ÖÉ μé Ï h. μí Ê μ ± μ ÍÒ x + h ³ É S(x) f(x) ± Î É ± É Ö μ²ó Ê É Ö ² lim ε D(x) =, ±μéμ Ò Ö Ê x x +h Ëμ ³Ê² ³ (9 ) μ Ê É Ö μ ² μ É³ É ±Éμ Ê ²μ, ÊÉÓ ±μéμ μ μ μ Éμ É ² ÊÕÐ ³. ³ ± μ Ö ± μ f ³ ²± ³ Ï μ³ h h ² μ É³ Ìμ É ³ É Ò x h. Î Ö f(x + kh ) f (x + kh ) ÒÎ - ²ÖÕÉ Ö μ ² μ É ²Ó μ É ²μ ÒÌ É ²μ [x h,x + h ] [x h,x +2h ]... [x h,x + kh ] Ë ± μ ÒÌ x h. μ ² ÔÉμ μ É± x h <x <x + h k μ (8), (9 ) ÒÎ ²ÖÕÉ Ö D 5 (h k ; d k ), h k = kh, k =, 2,... k>2 μ μ ÉÖ³ Δ k = D 5 (h k ; d k ) D 5 (h k ; d k ) Δ k 2 = D 5 (h k ; d k ) D 5 (h k 2 ; d k 2 ) μ ²ÖÕÉ Ö λ k =Δ k /Δ k 2. μ± h k < x + h, Δ k Δ k 2, μ ±μ Ìμ Î ÉμÎ±Ê x + h, ÊÎ Éμ³ lim ε D (x) =, Δ k 2 Δ k, Ê²ÓÉ É Î μ μ Ìμ É ± Îμ± x x +h k λ k = λ ( Ìμ Î ÉμÎ±Ê, ε D =). λ T λ (T λ Å Ò μ μ ), Ìμ É Ö ² É ² H = h + h k. μ Î Ö³ h = H/2, x = x h + h Ëμ ³Ê² ³ () É± x h< x < x + h μ ²Ö É Ö ³ É S(x; x,h)=d 5 (x x ; d), d = d(h, f h, f h ). h μ μ T λ Ö ²ÖÕÉ Ö ³ É ³ É μ ± É ±Éμ ÖÉ μé Ê μ Ö ²μ μ É μ± ³ Ê ³μ ± μ. ³ 3. É ±Éμ ³ É ³ x =,7, h =,24, T λ =,65 É Éμ μ ÉμÎ±μ x h =,6976 ± μ f(x) =exp( 35(x ) 2 ) μ Ê ² Ê ² x + h =,96, h =,56, x =,8536. ƒ Ë ± λ k, d jk,j = 2, 5 ± Îμ± k = 29 μ± Ò. 3,.. 3, Å Ë ± f(x), D 5 (x x ), D 5 (h k ) μï μ± ÖÉ ± É μ³ ³ ÏÉ. ŠμÔËË Í ÉÒ D 5 (x x ) f(x), x [,825,,95], Î É - Ò μ Ëμ ³Ê² ³ (), μμé É É μ Ò d =,472294, d =4,8469, d 2 =6,273996, d 3 = 84,96345, d 4 = 79,3555, d 5 = 492,7699. Œ ± - ³ ²Ó Ö μï ± ε max = max f(x) D 5(x x ) μ É ²,8%. x [ x h, x +h] 8

11 d d 5 4 d 2 2 d 4 d 5 n T k Узел n 5 5 k a,5 fx ( ) D 5 h fk D5 ( hk ) fd 5 x,5 xh x x h,5. 3. Ê μ μ Ê ² ± μ f(x) Ë ± ±μôëë Í Éμ d k ( ). ƒ Ë ± f(x), D 5(h k ) f(x +h k ) (ÉμÎ± ), [D 5(x x )], 5x[f k D 5(h k )] 5x[f(x) D 5(x x )] ( ) ³ Î 2. μ²ó μ É ±Éμ Ê ²μ Î ²μ ³ Éμ N S - É μ. N S μ ²Ö É Ö μ É μ ÍÒ μ ² É Ö f(x), ÎÉμ μ μ²ö É μ± ³ μ ÉÓ ²μ Ò ± Ò μ² μ³ - ²Ó Ò³ ³ É ³ Ï Éμ μ μ Ö ± μé ± Ì μ μ²ó μ ² Ò. f б 5. Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ (Š) μ Ð ³ ²ÊÎ ÉμÎ μ ÉÓ μ± ³ Í ² ±μ ÉÓ ±² ± ³ - Éμ S n S n+, n =,N S, Ê² ÊÕÉ Ö ³ É ³ α β ( ² μ É ²Ö γ = β α), É ± ÖÉ μé ²μ μ É μ± ³ Ê ³μ ËÊ ±Í, Ò- μ Ê ²μ Ï. ² Ê É μé³ É ÉÓ, ÎÉμ Œ ÖÉμ É ÊÎ Éμ³ μ ±μ É Ê±Í Ëμ ³Ê² (9) μ Î É Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ μ É - ÉÓ μ μ Ö ±, ³μ É μé h. ÔÉμ³ ² ³μ ²Ó (2) ± ±μ³-éμ ³Ò ² μ³ É ±μ É Ê±Í Õ É μ²öí μ μ μ ² ÖÉμ É Ë ±Éμ 2 3 μ² Î ±μ É μ²öí [2]. μ ÉÓ μ Ê Ö Ê ²μ É μé Ò μ h T λ. ³³ ÓÏ h, É ³ μ²óï Ë³ É Î ± Ì μ Í É Î É Ö ÒÎ ² d k. ˆÌ ³μ μ μ± É ÉÓ É Ê² μ ³ u i (k) v i (k), i=2, 5, k=, 2,...,k max, Ëμ ³Ê² Ì (9 ), k max Å ³ ± ³ ²Ó μ Î ²μ Ï μ h ³ ± ³ ²Ó- μ ² H. É³ É ³, ÎÉμ É ±Éμ Ê ²μ ³μ μ μ²ó μ ÉÓ É ± ²Ö μ± ³ Í É μ²öí μ Ò³ ² ³. Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ ÉÒ±μ ± S n S n+ μ Î ÕÉ Ö Ê ²μ- Ö³ f (i) ( x n + h n ) f (i) ( x (n+) h (n+) ), i =,; n =,N S.ƒ² ±μ ÉÓ μ² Ò μ±μ μ μ Ö ± μ ³ μ μ³ μ ²Ö É Ö Ï μ³ μ ³ μ- (x) S n (x) Ê ² Ì ÉÒ±μ ± Ê³ ÓÏ ÕÉ Ö, μ μ Ò ³ Éμ ² ÕÉ Ö ± μ μ Ò³ - μ± ³ Ê ³μ ËÊ ±Í ²Ö x [ x n h n, x n + h n ]. μ ÒÌ. Ê³ ÓÏ Ï Ò Ò S n 9

12 ³ Ì μ± Ò Ê²ÓÉ ÉÒ Š Ï Éμ μ μ Ö ± ËÊ ±Í, μ²ó Ê ³ÒÌ É É μ ³ Éμ μ É μ²öí μ ÒÌ ² ÕÐ Ì ² μ. ³ 4. μé [6] ± Î É É É ²Ö μí ± μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í - ² ³ Ò μ± Ì É ²μ ËÊ ±Í Ö ε(2 + ε) ϕ(x; ε) =, x [ π, π], ε >. (4) 2π( + ε cos x) ˆ μ²ó ÊÖ É ±Éμ Ê ²μ, ² ³ ϕ(x, ε)- ³ É Í Õ ²Ö ε =,2. Ê ±- Í Ö (4) ± μ ² Ó h =,4, x = 3,4 T λ =,65..4 Ò Ë ± λ k,n, n =, 7, μ Ê Ò É ±Éμ μ³ ( ), S n (x) S n (x) Ê ² ³ ÉÒ±μ ± ( ) Ë ± S n (x) ( ), n Å ± ³ É. ²Õ É Ö Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ μ μ μ μ, μîé ² - ± Ö Éμ Ö μ μ Ö Ò ³ Ê ² Ì (. 5, ). ƒ Ë ± μï μ± ε (i) n ²Ö ³ Éμ S n (x), S n(x) S n(x), i =,, 2, μ± Ò. 5, ε (i) n =log ϕ (i) (x;,2) D (i) 5 (x x n). Î ÉÒ ÒÌ ³ Ì ² Ó ÉμÎ μ ÉÓÕ μ ÖÉμ μ ±, μ μ Ò Ìμ ² Ó Î ² μ μ Ëμ ³Ê² ˆf νn =[f(x νn + ρ) f(x νn )]/ρ, ν = h,,h, ρ = 5. Î ÉÒ Ò É ².. μ± Ò ±μôëë Í ÉÒ ² ÏÓ x 3,x 4 x 5.,2,5 (; x ) T a,4,3,2 S S, x б 2 S 3 x ± μ ËÊ ±Í ϕ(x, ε) ( ). ²Ò ³ ÉÒ S n(x), S n(x) ( ) S n (x) ( ) в a б в ƒ Ë ± ²μ Ë³μ ³μ Ê² μï μ± ε n, ε n ε n ²Ö ³ Éμ S n, S n S n

13 ² Í. k h x + h d 3 d 4 d 5 6,659 Ä2,488, , , ,2587 Ä,229, , , ,23 Ä,28 Ä, Ä, Ä, ,8323,842, Ä, Ä, ,824,6283 Ä, , Ä, ,7585 2,386 Ä,47734, Ä, ,567 2,948 Ä, , Ä, ,2337 3,4 Ä, , Ä, Ê³ ÓÏ ³ É ε =,5 ËÊ ±Í Ö ϕ(x; ε) É μ É Ö μ- ² É Ê μ ²Ö μ± ³ Í. ÔÉμ³ ²ÊÎ μ Ìμ ³μ Ê³ ÓÏ ÉÓ Ï ²μ± ²Ó μ É±.. 6 Ò Ê²ÓÉ ÉÒ Š ϕ(x;,5), x [ 3,4, 3,4], Ö- ÉÓÕ ³ É ³ μ³ μ É± Ï μ³ h =,3. Í ± ± - É Î μ μ μé±²μ Ö (. ±. μ.), μ²êî Ö μ Ò μ ± 3 ÉμÎ ± ( μ 3 ÉμÎ ± ± μ³ ³ É ), μ É ² ˆσ εd =,3. ² ÊÕÐ ³ ³ ³ μ μî² Ò D 5 (x x ) T 5 (x x ) μ²ó μ- Ò ²Ö ³ É Í ± μ, ÖÉμ μ Ì μ É ± [], μ²ó Ê- ³μ ²Ö É É μ Ö ³ Éμ μ ² μ É³μ ² Ö Ö ÒÌ - ÒÌ (. 7, ): F (x, y) =,75 exp ( [(9x 2) 2 +(9y 2) 2 ]/4)+ +,75 exp [ (9x+) 2 /49 (9y +) 2 /]+,5 exp[ (9x 7) 2 +(9y 3) 2 ]/4,2 exp[ (9x 4) 2 (9y 7) 2 ], x,y [,25, ]. ³ 5. ± μ f(x) =F (x,,2), x [,5,,5] Ê ² Ì μ³ - μ É± Ï μ³ h =,5 Ë ± Ê ³ É Í ÉÓ ÉμÎ ± {f m = f(x m )} 3 m= S n а 2 S k б S k в, Š Ï Éμ μ μ Ö ± ÖÉ μé ± Ì μ³ Ò³ Ï μ³ h =,3

14 а Узлы 5 5 N 3,435 б 2 S в,5,25 y,25,25,25 x,5 S,5 D x 2 x. 7. ³ É μ Ì μ É F (x, y) ( ); S n = D 5n ε D ( ); S n = D 5n S n =[T 5] n (ÉμÎ± ) ( ) (. 7, ÌÊ, ² ). ÊÎ Éμ³ ÉÒ±μ μî ÒÌ Ê ²μ μ²êî ³ Ï ÉÓ ²μ± ²Ó- ÒÌ μ³ ÒÌ Éμ± x (n) h <x(n) <x (n) h, n =, 6. Î Ö d jn(h; f n, f n), j =, 5 (), μ ²Ö² Ó Ê ²μ ÖÌ [f (i) h ] n [f (i) h ] n+, n =, 5, i =,. ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² S = T 5 (x x ) Ò f (i) (x (n) )/i!, i =, 5. Ë ± Ì S n =[T 5] n ( μ± Ò ÉμÎ± ³. 7, ) ²Õ ÕÉ Ö Ò Ò Ê ² Ì ÉÒ±μ ±. max ε T max ε D, É.. μ μ Ò μ ÖÉμ μ μ- Ö ± ±²ÕÎ É ²Ó μ, ±μ³ ÊÕÉ Ê ²μ ² ±μ É ±μ Í Ì ³ - Éμ h =,5. Œ-³μ ²Ó μ Î É ² ±μ ÉÓ S n S n (. 7, ), S n É É Ò Ò. Ê ² Î Î ² ³ Éμ ÉμÎ μ ÉÓ ± Î É μ - μ± ³ Í Ê²ÊÎÏ ÕÉ Ö. ƒ Éμ ³³ μï μ± ε D = f(x k ) D 5 (x k x (n) ), n =, 6, k =, 5 ( μ 3 ÉμÎ ±), μí ±. ±. μ. ˆσ =,435 (. 7, ). Í ± ³ ± ³ ²Ó ÒÌ μï μ± ε (i) max =max f (i) S n (i), i =, 3, S n = D 5 (x x (n) ), n =,N S, ²Öf(x) =F (x,,2), x [,5,,5], μ³ μ É± ² Î ÒÌ h Ò É ². 2. Œ ± ³ ²Ó Ò Î Ö μï μ± μ ÕÉ É ², μ μ Ö ËÊ ±Í Ò É μ ³ Ö É Ö (. 7, ). Ï h =,,,2,5 Ë ± Ì É Ì μ μ ÒÌ ³ Éμ Ò ²Ö ÖÉ ² ± ³. ² Í 2. N S h ε max ε max ε max ε max 5,6 3,34 4 3,6 2,29 3,3,3 5,65 7, 4 8,35 3 2,4 5,2,4 7 3,8 5 4,79 3 6,4 2,5 3,82 8,2 5,3 3 2,4 25,2,72 8 3,32 6 4,99 4 6,8 3 3, 6,84 9 7,33 7 6,68 4 9,95 2 2

15 6. Š ˆ Ÿ Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ( Š) μé [8] Ò²μ μ± μ, ÎÉμ μ²ó μ Œ ²Ö ± - É Î μ μ± ³ Í ( ² Ö) μ ÒÏ É ÔËË ±É μ ÉÓ ² μ É³μ ² Ê Éμ Î μ É μ Ö ²μ μ É ÒÎ ². ²ÊÎ ² - Ö Ï Éμ μ μ Ö ± ³μ ²Ó ²μ± ²Ó μ μ ³ É É ²Ö É Ö ³ μ μ- Î² μ³ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ S(x) w T f + Qw T r = w T f + b T r, (5) ±Éμ f Ë ± μ, r Å μ μ. É μ μí ± ˆf ŒŠμÍ ± ˆr μ ²Ö É Ö μ μ Ê Éμ Î μ μ μé μï Õ ± Ìμ Ò³ μï - ± ³ É Ëμ ³ μ μ ³μ ² ũ = b Tˆr, μ²êî μ ³μ Ë ± Í Ìμ - ÒÌ ÒÌ ũ = S w Tˆf. Ê²ÓÉ É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ μ± Ð É Ö É, ÎÉμ μ É ÒÎ ² É ²Ó ÊÕ ²μ μ ÉÓ. Ê ÉÓ ³ Ò μ ± μ Ñ ³ N{ S i = f(x i )+e i } N i=, x i [a, b], e i N(,σ). μμé É É Î ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ ² - Ö μ Ò³ Ò μ ± { S i } N i= É Ê É Ö É μí ±ÊŜ(x) f(x), x [a, b], μ K N ²μ± ²Ó ÒÌ ³ Éμ S k (x) = 5 d i (α k,β k ; f k, r k )(x x k ) i, x, x k [x αk,x βk ], Ê ²μ ÖÌ Ŝk (x β(k ) ) Ŝk(x αk ), k =,K. É ³ Ì ³μ ² (8) (5), ÒÌ x k,α k,β k Î μ É Ö ± ÒÎ ² Õ ŒŠ-μÍ μ± ˆf k ˆr k ±μôëë Í Éμ d (k) i (α k,β k ;ˆf k,ˆr k ) μ (9). 6.. ² μ É³ Š. ² μ É³ Š μ Éμ É ÖÉ ÔÉ μ. I. μé ± [a, b] K ³ Éμ [a, b] = K k= [x α k,x βk ] x β(k ) x αk ² { S i } N i= K ²μ± ²Ó ÒÌ Ò μ μ± { S i } N i= = K k= { S j k}n k j=, N k = N/K. II. ÒÎ ² Ì f k = [ f αk, f βk, f k ] T μ 2M + ² Ï ³ M ÉμÎ± ³ μ± É μ ÉÖÌ Ê ²μ x αk <x k <x βk : fνk = 2M+ S m k,ν = m= M α, β,, k =,K, M M max, μ Î ±² ± ³ Éμ Ŝk Ŝk Ê ²μ Ö³ f β(k ) f αk. III. μ μ ÒÌ S j k fk ũ k j : ũ k j = S j k wt f j k, j =,N k. IV. ÒÎ ² ˆr k Ê ²μ Ö N k j i= [ũ k j bt k (τ j)r k ] 2 min r k, τ j [α k,β k ]: ˆr k =[B T B] B T ũ k, ũ k =[ũ k, ũ k 2,...ũ k N k ] T, B T B Å μ ³ ²Ó Ö ³ - É Í ³ μ É 3 3. V. ÒÎ ² d k i (α k,β k ; f k,ˆr k ) μ Ëμ ³Ê² ³ (9)Ä(). 3

16 ³ É ³, ÎÉμ μ²μ ÉμÎ± x k [x αk,x βk ] μ ²Ö É Î Ö - ³ É μ α k β k. ³ Î 3. μ μ Ìμ ÒÌ ÒÌ (II, III) Ê Î μ³ Ò- μ ³ É μ α k β k Ê Éμ Î μ ± μï ± ³ [8], μ²ó μ ÒÌ ËÊ ±Í b k = b(τ; α k,β k ) (2) Ê³ ÓÏ É É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ, ÎÉμ É Ò ÒÏ ± ± μ Ê Éμ Î μ É ÒÎ ², É ± μ Î ²Ê Ë³ É Î ± Ì μ Í μ Õ μ²ó μ ³ ³ É Í ³ μ- É 6 6. μ ±Ê ² μ É³ ² ³ ± μ ³ 5 (. 7, ), É μ ± μ ²ÊÎ Ò³ ³Ò³ μï ± ³ e i N(,σ) ²Ö σ =,. ³ 6. μ Ó ³ ± ÊÕ f(x) =F (x,,2), x [,5,,725], ³Ó ÒÌ μ ² ³ Éμ ³ M =5. μí Ë μ ± h =, μ²êî ³ ³Ó ²μ± ²Ó ÒÌ Ò μ μ± { S i } 35 i= = 7 k= { S j k}5 j=. Ê²ÓÉ ÉÒ μ - μé± ÔÉ Ì ÒÌ μ ² μ É³Ê Š Ò. 8,, μ± Ò { S i k}5 {ũ k j }N k j= i= (I), f k (Ê Ò μ μ ³ ÉμÎ± ³) (II), ²μ± ²Ó Ò Ò μ ± (III) Éμ ³³ Ìμ ÒÌ μï μ±. Î ÉÒ μ IV V μ± Ò. 8,, ε k = f(x) Ŝk(x). Ò Ò Ë ± Ŝ (x) Ê ² Ì ÉÒ±μ ± μ± Ò ÕÉ, ÎÉμ - ± É Î Ö μ± ³ Í Ö ²μÌμ μ μ μ É μ μ Ò. ²Ö μ É - 2,42 а e,2 N 35,, f k,25,25 k S i f k f k u2 k,5 S k,, б,3,2,,5,5 S k k, ² Ï Éμ μ μ Ö ± : IÄIII ( ) IV,V( ),3,2, Ошибки,5,, f i а Узлы,,5 2 2 S k S k,2, Остатки,, б u i 8, ² Ï Éμ μ μ Ö ± N = 2, σ =,5: IÄIII ( ) IV,V( ) 4

17 ² Í 3. k x<x β x d d d 2 d 3 d 4 d 5 Ä,975 Ä,2,482,2767,388 Ä5,6374 Ä, ,932 2 Ä,525 Ä,75,743,52,686 Ä9,7873 Ä,454 3, Ä,75 Ä,3,32546,8,4855 4,55 6,554 Ä38,24 4,375,5,9798,76484 Ä,656 Ä36, , ,3499 5,825,6,37336,2223 5,53694 Ä2,846 Ä35,649 54,683 6,275,5,5 Ä,9426 2,6646 Ä2,86932 Ä2,22 78,9547 7,725,5,47,638 Ä,2658 Ä,693 5, ,62483 μ ² Ö Ŝk(x) μ Ëμ ³Ê² ³ (8) μ²êî ³ ³ μ 5 Î ², ÎÉμ μμé É É Ê É μ² Î ³ ³ ± É μ³ê É Õ μ Ñ ³ Ìμ ÒÌ - ÒÌ. Ê Éμ Î μ É ² μ É³ μ μé μï Õ ± μï ± ³ Ìμ ÒÌ ÒÌ (σ =,5, N = 2) ³μ μ Ê ÉÓ μ Ë ± ³. 9. ŠμÔËË Í É É Ö ÒÌ ÔÉμ³ ²ÊÎ 4. ² Ò Î - Ö ±μôëë Í Éμ Ê ²μ ²Ö ³ Éμ Ŝk(x k ), x (k ) <x k, k =, 7, Ò É ². 3. Š ˆ ³± Ì ³ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ ²μ ³ Éμ ± ² μ É³Ò Ï Ö Î ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í ² Ö Ï - Éμ μ μ Ö ±. ³μ ² ²μ± ²Ó μ μ ³ É μ²ó ÊÕÉ Ö Î Ö f(x) f (x) É Ì Ê ² Ì, ±²ÕÎ Ö ÍÒ μ³ ÊÉ±μ. ²Ö Œ ÖÉμ É μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í Éμ d i,i =, 5, ²μ ËÊ ±Í μ É Ö³ x x μé ± [x + α, x + β], α<β, αβ <, ÖÐ μé ³ É μ α, β, f f Ê ² Ì ²μ± ²Ó μ É±, ±μéμ Ò μ Î ÕÉ Ê² ÊÕ μ Ï μ ÉÓ ²Ö ËÊ ±Í μ μ μ μ Í Ì - É ². μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò É ²ÖÕÉ ³μ ÉμÖÉ ²Ó Ò É. ˆÌ ³μ μ μ²ó μ ÉÓ ²Ö Ï Ö Ï μ±μ μ ± Ê ±É Î ± Ì Î É μ É Î ± Ì ² μ ÖÌ. μé ² μ É³ Éμ³ É Î ±μ μ μ Ê Ö Ê ²μ, μ μ²öõð μ ²ÖÉÓ ÍÒ ³ É μ É±, ±μéμ μ μ ²Ö É Ö ²μ± ²Ó Ò ³ É. Šμ É Ê±Í Ö μ É Œ ³μ É μé Ï É± μ - Î ÕÉ Ò μ ÉÓ ÉÒ±μ ± ³ Éμ ² ±μ ÉÓ μ μ ÒÌ ²μÉÓ μ É ÉÓ μ μ Ö ±. ² Ò Î ÉÒ μ É ÉμÎ μ É Ê ÒÌ É É Ì μ- ± ² Ò μ±êõ ÔËË ±É μ ÉÓ ³μ ² ² Ê Éμ Î μ É ÒÎ ², ÉμÎ μ É ² ±μ É μ± ³ Í. Ëμ ³Ê²Ò ²Ö Î Éμ μ ÉÒ. ²μ Ë³ É Î ± Ì μ Í Ì ³μ μ μ± É ÉÓ É Ê² μ ³ ³ μ É ² u i v i ÒÎ - ² d i,i=, 5. 5

18 Éμ Î μ ÉÓ ± μï ± ³ μ μ Ö Ìμ ÒÌ ÒÌ ² μ É³ Š Ê³ ÓÏ É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ É, ÎÉμ μ μ²ö É ±μ²ó±μ μ± É ÉÓ ÒÎ ² É ²Ó ÊÕ ²μ μ ÉÓ Éμ²Ó±μ μ Í ÖÌ μ ³ ²Ó μ ³ É Í. μ²óïμ Î ²μ Ë³ É Î ± Ì μ Í Ô±μ μ³ É Ö Î É μ Ö ³ ± ³ ²Ó μ μ μ Ö ± μ μ ÒÌ, μ²ó Ê ³ÒÌ ÒÎ ² ±μôëë Í Éμ. ²μ Ò ² μ É³Ò Ö ²ÖÕÉ Ö ÔËË ±É Ò³ ³ É ³ É Î ± ³ - É Ê³ Éμ³ ²Ö Ï Ö Î μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í μ ²Ó ÒÌ ³μ É ËÊ ±Í, ÒÌ ³ ³ ± É ÒÌ ÉμÎ ±, ²Ö μ - μé± Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ, Î Ì Ë ²ÓÉ Í, μ³òï² μ³, ² μ É³ Ì μ É ³ Í, Ï Î ³ Éμ ³ Î ÒÌ Ô² ³ Éμ É.. ˆ. ÒÏ.. ˆ Ò É Ê Ò. Œ.:, Ä ²., ²Ó μ., μ²ï. μ Ö ² μ ²μ Ö. Œ.: Œ, ÓÖ²μ.., Š μ. ˆ., Œ μï Î ±μ.. Œ Éμ Ò ² -ËÊ ±Í. Œ.: Ê±, Š ² É±.. ² Ò ³ Éμ Ò. Œ.: ³ É² É, μ Š. ±É Î ±μ Ê±μ μ É μ μ ² ³:. ². Œ.: μ Ö Ó, Š ² É±.., ²ÖÌμ ˆ. Œ. - ² Ò Ò μ± Ì É // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ , º.. 64Ä Dikoussar N. D. Function Parameterization by Using 4-Point Transforms // Comput. Phys. Commun V. 99. P. 235Ä ±Ê.. Œ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. 2. T. 22, º 2.. 5Ä ±Ê.., μ μ±. Éμ³ É Î ± μ ± Ê ²μ ²Ö ±Ê μî μ-±ê Î ±μ μ± ³ Í // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. 26. T. 8, º Ä4.. Franke R. Scattered Data Interpolation: Tests of Some Methods // Mathematics of Computation V. 38. P. 8Ä2. μ²êî μ 25 Õ²Ö 22.

19 ±Éμ.. μ μ Î ÉÓ μ ³ É 6 9/6. Ê³ μë É Ö. Î ÉÓ μë É Ö. ². Î. ².,9. Î.-. ²., Ô±. ± º ˆ É ²Ó ± μé ² Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ 498,. Ê, Œμ ±μ ± Ö μ ²., Ê². μ² μ-šõ, 6. publish@jinr.ru