(a δ,a+δ), (a δ,a+δ) = {x R x a < δ}. (a δ,a+δ)\{a} = (a δ,a) (a,a+δ) = {x R 0 < x a < δ}, f(x) = 2x 1.
|
|
|
- Flemming Danielsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ÆÇÌ Ì ÇÅ Ê ÆË Ê Î Ä ÌÁÄ ÊÍà Á ÃÍÊË Ì Å Ì½½½ Î ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì Á Ê Æ ØØ ÒÓØ Ø Ø ÒÒ ÓÐ Ö ÒÓ ÒÝØØ Ô Ò ÙÑ ÙÖ Ø Å Ì½½½ ÓÖ ÓÐ Ø Ð ÐÖ Ó Ò Ó Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÓÑ Ø ÙØ ÝÐÐ Ò ÒÓØ Ø Ø Ð Ã Ô ØØ Ð ½ Ñ Ð ÒØ ÒÒ Ø ÒÓ Ò Ö ÑÔÐ Ö Ô ÚÓÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö Ø ÖÙ Ö ǫ δ¹ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö º ÆÓØ Ø Ø ÒÒ ÓÐ Ö Ö ÑÔÐ Ö ÒÒ Ø ÓÑ Ö Ð ØØ ÒÒÓÑ ØØ Ô ÓÖ Ð Ò Ò º È ÓÖ Ð Ò Ò Ö Ö Ð Ò ØÓ Ö ÒÓØ Ø Ø Ð ØØ ÒÒÓÑ ØØ ï½º ï¾ Ö Ñ ØºÓºÑº º ¾º º º ¾º º º ¾º½¼º º ¾º½½ Ò Ñ ÐÐÓÑØ Ò Ú Ò Ù ÓÖÑ ÐÐ Ó ÓÖÑ ÐÐ ÓÖ Ð Ö Ò Òµº ï ÓÖØ ØØ Ö º º º Ó º º Ç Ñ Ö Ø Ö Ò ÚÒØ Ö Ô Ò δ¹óñ Ò Ó ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò Ô ÓÖ Ð Ò Ò ï½ ÐÚ ÓÑ ÐÖ Ó Ò Ö Øº Ø ÑÑ Ð Ö ÒÓØ ÓÒ Ò f : A B ÓÖ Ò ÙÒ ÓÒº ½º Å Ò Ö ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ó ÙÒ ÓÒ Ö Î Ú Ð ØØ ÒÓØ Ø Ø ØÖ Ø Ö ÐÐ ÙÒ ÓÒ Ö f Ò ÖØ Ô ÐÑ Ò Ö Úµ Ñ Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ø ÐÐ Ò Rº ØØ Ú Ð Ø Ò ÓÒ Ñ Ò Ò Ø Ð ÙÒ ÓÒ Ò D(f { f( Ö Ò ÖØ} ÚÓÖ Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø Ø Ò Ø ØÝÖ Ð Ø µ Ö Ò ÐÑ Ò Ú R Ѻ ºÓº D(f R Ó Ú Ö Ñ Ò Ò V(f {f( D(f} Ö Ò ÐÑ Ò Ú R Ѻ ºÓº V(f Rº À Ö Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø ÒÓØ ÓÒ Ò A B ÓÖ Ñ Ò Ö ØÝÖ Ø ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò A Ö Ó Ñ B ºµ ÓÖ Ò Ð ÙÒ ÓÒ f Ñ Ò ÓÒ Ñ Ò D(f Ö Ú Ö Ú ÖÒ f : D(f R, ÐÚ ÓÑ ÐÖ Ó Ò ÖÙ Ö ÒÒ ÒÓØ ÓÒ Òº Â Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø Ò ÙÒ ÓÒ Ö Ñ Ò Ò D(f Ø Ð Ñ Ò Ò R Ö Ò Ö Ð ÓÑ Ø ÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ø Ú ÖØ Ø ÐÐ D(f Ø ÒØÝ Ø ÐÐ R ÓÑ Ú ÐÐ Ö f(º Î Ò Ö Ö Ö Ò Ø Ð f Ø Ð ÚÖ Ñ Ò Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔÐ Ò Ø (,y ÓÑ Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö f( y Ú º Ö Ò Ø Ð f {(,y R 2 D(f, y f(}, ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ô Ò Ú Ú Ð ÒØ ÑØ Ö Ò Ø Ð f {(,f( R 2 D(f}. Î Ö ÓÒ Ø ÖØ ½ º¼ º½ º ½
2 ¾ ÙÖ ½º Ö Ò Ø Ð f( ËÓÑ Ú Ø ÙÖ ½ Ø ÖØ Ö Ú Ñ Ò ¹Ú Ö D(fµ Ó Ø Ò Ö Ò Ú ÖØ Ð Ð Ò Ò ÓÑ Ö Ö ¹ Ò ÒÒ Ú Ö Ò Ú Ð Ú ØÖ Ö Ò Ò Ý Ø ØØ ÔÙÒ Ø Ò ÑÐ (,f(º Ì Ò Ö Ú Ò ÓÖ ÓÒØ Ð Ð Ò Ò ÒÒÓÑ ØØ ÔÙÒ Ø Ø Ú Ð Ò ØÖ y¹ Ò ÔÙÒ Ø Ø f(º Î Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ØÙ Ø Ú ÙÒ ÓÒ Ö Ö Ñµ ÔÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÖÙÒ Ø Ø ÔÙÒ Ø aº Ö Ú ÒØ Ö ÖØ ØÙ Ö ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð f ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø a D(f ÓÐ Ö Ø Ò ÑÐ ÓÒ ÒØÖ Ö ÓÑ Ð Ñ ÝÑÑ ØÖ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÓÑ ÔÙÒ Ø Ø aº Ö ÓÑ Ú Ö ÙØ Ò Ú Ø Ò δ > 0 Ô Ö Ú a ÚÓÖ δ ØÖ ÓÖ Ò Ö Ó Ø Ú Ò ÐØ µ Ö Ú ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ô ÓÖÑ Ò (a δ,a+δ, ÓÑ Ú ÖÒ ÐÐ Ö Ò ÓÑ Ò ÓÑ a Ú Ö Ù δµ ÐÐ Ö Ò δ¹óñ Ò ÓÑ aº È Ò Ð ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÓÖ Ò ÓÖ ÓÓ Ð Ø Ø ÙÒÒ ÚÖØ Ö Ø Ò ÐÐ ÓÑ Ò Ö ÓÖ Ò ÓÐ Ô ÒÓÖ Ñ Ò Ø Ö ÐØ Ø Ò ÚÒ Ø Ñ Ò Ö Ú Ð Ø ÒÒ Ò ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Òºµ Å Ö Ø Ò δ¹óñ Ò ÓÑ a ØÖ Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö ÓÑ Ð Ö Ú Ø Ò Ñ Ò Ö ÒÒ δ Ö aº Ë Ò Ú Ø Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ØÓ ÔÙÒ Ø Ö Ô Ø ÐÐ Ò Ò Ó a Ö a a Ñ Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ö Ú (a δ,a+δ { R a < δ}. Ö ÓÑ Ú Ø Ö ÓÖØ ÔÙÒ Ø Ø a ÓÑ Ú Ö Ö ÓÑ Ú Ö ÒØ Ö ÖØ ØÙ Ö ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð f ÖÙÒ Ø Ñ Ò ÔÙÒ Ø Ø aµ Ö Ú Ñ Ò Ò (a δ,a+δ\{a} (a δ,a (a,a+δ { R 0 < a < δ}, ÚÓÖ ÒÓØ ÓÒ Ò \ ØÝÖ ÓÖØ ØØ Ö º Ò Ð Ñ Ò ÐÐ ÖÒ Ò ÔÙÒ Ø ÖØ ÓÑ Ò ÓÑ a Ú Ö Ù δµ ÐÐ Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ aº ¾º Ò ÓÒ Ú Ö Ò Ö ï ½º µ ÍØ Ò ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ö Ò Ö Ô Ø Ö Ø Ú Ö ÒØ Ö ÖØ ÒÒ ÙØ Ú ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð Ò ÙÒ ÓÒ f ÐÐ Ö Ò Ö µ ÙÖ Ø ÔÙÒ Ø Ø a Ñ Ò ÒÖ ÒÖÑ Ö aº ËÓÑ Ø ÓÒ Ö Ø ÑÔ Ð Ð Ó Ø ÖØ Ñ ØÖ Ø Ò Ö Ð Ø ÚØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÑÐ Ò Ð ÒÖ ÙÒ ÓÒ f( 2. ËÓÑ Ú ÒÐ ÒÖ Ú ÔÐ ØØ Ö Ú Ö Ò ÓÒ Ñ Ò Ò ØÝÖ ØØ Ø Ú Ö f Ò Ø Ö Ø ÑÙÐ Ò ÓÒ Ñ Ò Ò º Ì ÓÑ Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ö ïèº ÐÖ Ó Òµ ÓÑ ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ö D(f R Ò ÙØØÖÝ Ø ÓÖ f Ö Ñ Ò Ò ÓÖ ÐÐ Ö ÐÐ Ø ÐÐ º Ä Ó Ø Ú Ö ÒØ Ö ÖØ Ú Ø ÓÔÔ Ö Ð Ò Ø Ð f ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø 3 Ñ Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú Ö Ú Ö Ö f ÑÓØ ÒÖ Ö ÑÓØ 3º Ë Ò Ú ÓÚ Ö Ó Ø Ö ÒØ Ö ÖØ Ú ÓÑ Ö
3 Ê ÆË Ê ÙÖ Ø ÔÙÒ Ø Ø 3 ÙÒÒ Ú Ð Ó Ø ÖÒ Ø ØØ ÔÙÒ Ø Ø Ö Ò ÓÒ Ñ Ò Ò Ó ØÖ Ø Ø ÙÒ ÓÒ Ò f( 2, D(f R\{3} (,3 (3, ÚÓÖ Ú Ñ ÒÒ Ö ÓÑ Ø Ø Ò Ø \ ØÝÖ ÓÖØ ØØ Ö µ ½ º Ö Ò Ø Ð ÒÒ ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ò ÑÑ ÓÑ Ø Ð Ö ÓÖØ ØØ Ö Ø Ú Ö Ø ÙÐÐ ÙÖ Ø 3 ÙÖ ¾º 5 3 ÙÖ ¾º Ö Ò Ø Ð f( 2 3º ËØÙ Ö Ö Ú Ö Ò Ø Ð f Ú Ö Ö Ø Ø ÑÑ Ð Ð ÖØ Ú ÓÑ Ö Ö Ò Ö ÑÓØ ÔÙÒ Ø Ø (3,5 Ð Ø Ö Ò Ò Ø Ð f ÒÖ ÒÖÑ Ö 3 Ö 5º Î Ö Ú Ö ¾º½µ Å ØØ Ñ Ò Ö Ú Ø Ú Ò Ö ÓÖ Ø lim f( 5. 3 ¾º¾µ f( Ö ÒÖ Ú Ú Ð 5 Ð Ò ¾º µ Ö ÒÖ ÒÓ 3 Ó 3µ. Å Ø Ñ Ø Ò Ú ÙØØÖÝ ¾º¾µ Ó ¾º µ Ú ÐÔ Ú Ú Ø Ò Ö ÓÑ ¾º µ Ð Ò f( 5 Ö Ð Ø Ò Ú Ú Ð ¾º µ 3 Ö Ð Ø Ò ÒÓ Ó 3 > 0µ. Ä Ó ÓÑ ÙÒ ÓÒ Ò ÚÖ Ú Ö Ð ÓÔÔ ÝÐÐ Ö ØØ º ½ ËÓÑ Ú Ö ØØ Ñ Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ö ØØ Ø ÑÑ ÓÑ º º Ò Ò ÓÔÔÖ ÒÒ Ð f Ñ 3 Ó ÙØØÖÝ Ø 3 f( (2+(
4 ÀÚ ÒÖ Ú Ú Ð ØÝÖ Ú Ø Ò < ÐÐ Ö Ñ ÐÑ Ö Ò Ò Ú Ö ÒØ Ð Ö Ö Ú f( 5 < 2 5 < 2 6 < 2 3 < ØØ ØÝÖ Ó Ø 3 < 2 Î Ò Ö ÓÖ Ø f( 5 < ÐÐ Ö f Ö ÒÖ 5 Ñ ÐÑ Ö Ò < µ Ð Ò 0 < 3 < 2 ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò < 2 Ö 3 Ó 3 µ Î Ö Ð Ø Ø Ð Ø 3 ÐÐ Ö 3 > 0 Ò f Ö Ò ÖØ 3 ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ó Ò Ö ÐØ ÓÖ Ú Ö ÒØ Ö ÖØ Ú Ö Ò Ø Ð f ÔÙÒ Ø Ø Ú Ö Ö Ò Ò ÑÓغµ Ö Ò Ø Ú Ö ÓÖØ Ú Ù Ð Ö ÙÖ ¾ Ò ÒÙÒ Ö 5 3 /2 /2 ÙÖ º f( Ú Ø Ò < Ö 5 ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø Ö Ú Ø Ò < 2 Ö 3º
5 Ê ÆË Ê Ä Ó ÓÖ ÓÑ ØØ ÙÒ Ö Ö ÓÑ Ú ÝØØ Ö ÙØ Ú Ø Ò < Ñ ÒÓ Ò Ñ Ò Ö Ú Ø Ò < 2 º Ë ÑÑ ÙØÖ Ò Ò Ñ ÝØØ Ø ÙØ Ñ 2 Ú Ö f( 5 < < < < 2 3 < 4 ØØ ØÝÖ Ø Î Ò Ö ÓÖ Ø f( 5 < 2 ÐÐ Ö f Ö ÒÖ 5 Ñ ÐÑ Ö Ò 2 µ Ð Ò 0 < 3 < 4 ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò < 4 Ö 3 Ó 3 µ Ö Ø Ó Ö Ú Ú Ö Ú Ö Ò ØØÐ Ø Ò Ú Ø Ò Ú Ø Ò < 0 6 ØØ ØÝÖ Ø f( 5 < < < < < Î Ò Ö ÓÖ Ø f( 5 < 0 6 ÐÐ Ö f Ö ÒÖ 5 Ñ ÐÑ Ö Ò 0 < 3 < ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò < Ö 3 Ó 3 µ 0 6 µ Ð Ò Ø Ö Ò Ò Ö 5 ØÝÖ Ò ØØÓÔÔ Ø ØØ ÙÒ Ö Ö Ú Ö Ù Ò ØØ Ú Ð Ò Ò Ñ Ò Ö Ú Ø Ò Ú ÝØØ Ö ÙØ 2 Ó 0 6 Ñ º Î Ð Ñ Ò Ö ÓÖ Ð Ö Ú Ò Ö ÐØ ÚÓÖ Ð Ø Ò 3 Ñ Ö ÓÖ Ö ÓÖ Ø f( 5 Ð Ö Ð Ø Ò ÓÑ Ò Øº Ò Ò Ö ÐÐ Ú Ø Ò Ò ÓÑ f( 5 Ñ ÚÖ Ñ Ò Ö ÒÒ ÐÐ Ö Ú Ñ Ò Ó Ø Ú Ò ÑÐ Ò Ö Ó Ø Ú Ò
6 ǫ Ô ÐÓÒ µº Ö Ò Ò Ò Ñ 2 Ó 0 6 Ö Ø ØØ Ø Ñ ǫ Ð Ö ØØ ØÝÖ Ø f( 5 < ǫ 2 5 < ǫ 2 6 < ǫ 2 3 < ǫ 3 < ǫ 2 Í Ò ØØ ǫ > 0 Ò Ú Ö ÓÖ Ø f( 5 < ǫ Ð Ò 0 < 3 < ǫ 2 º ÐÐ Ö ÓÑ ÓÖÑÙÐ ÖØ Ð ØØ Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ò Ú Ö ǫ > 0 Ð Ö 0 < 3 < ǫ f( 5 < ǫ. 2 Ø 0 < 3 < ǫ 2 ØÝÖ Ø (3 ǫ 2,3 (3,3 + ǫ 2 ÓÑ Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ 3 ÓÖ δ ǫ 2 ï½µº Ø f( 5 < ǫ ØÝÖ Ø f( (L ǫ,l+ǫ ÓÑ Ö Ò ǫ¹óñ Ò ÓÑ L Ò ï½µº Î Ö ÐØ ÓÒ Ö Ø ÙÒÒ Ø Ú Ð Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ 3 Ñ Ð ÓÖ Ø f( Ð Ð Ò ØØ ǫ¹óñ Ò ÓÑ Lº Ë Ò ÓÑ ÓÖÑÙÐ ÖØ Ö Ú Ø Ú Ò Ø ÓÖ Ò Ú Ö ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < 3 < δ f( 5 < ǫ Ò ÑÐ δ ǫ 2 µº Î Ð Ö Ù ØØ ÓÑ ØØ ǫ ÒÒ Ö Ú δº Î Ö Ò Ð Ö ÓÖ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ò ÓÒ ¾º½º Î Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ð f Ö L ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø ÒÖÑ Ö ÔÙÒ Ø Ø a ÙØØÖÝ Ø ÓÑ lim f( Lµ Ú Ø Ø Ð Ø Ú ÖØ Ø ÐÐ ǫ > 0 ÒÒ Ø Ø ÐÐ δ > 0 ÓÑ Ú Ò Ö Ú ǫµ Ð Ø ¾º µ 0 < a < δ f( L < ǫ. Å Ö Ø Ø Ò Ð Ò 0 < a < δ Ò Ö Ú ÓÑ (a δ,a+δ\{a} Ð Ø Ò ØÝÖ Ø Ð Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖØ δ¹óñ Ò ÓÑ aº Ø Ò Ð Ò f( 5 < ǫ Ò Ö Ú ÓÑ f( (L ǫ,l + ǫ ÓÑ Ö Ò ǫ¹óñ Ò ÓÑ Lº À Ð Ø Ò Ð Ò ¾º µ Ò Ö ÓÖ Ö Ú Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÓÑ ¾º µ (a δ,a+δ\{a} (a δ,a (a,a+δ f( (L ǫ,l+ǫ Ñ Ö Ò Ò ¾º¾º Î Ñ Ö Ö Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø Ò Ð Ò ¾º µ Ó ¾º µ Ö Ú Ö Ø (a δ,a + δ \ {a} Ö Ò ÓÐ Ø Ò ÓÒ Ñ Ò Ò D(f Ø Ð f ÐÐ Ö Ö f( Ò Öصº Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ñ Ò Ò Ú ÙÒ ÓÒ Ò f Ö Ò ÖØ Ò Ð Ø Ò ÓÑ Ò ÓÑ a Ú º Ø Ð Ø Ô ÒØ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö a ÓÖØ ØØ Ö ÑÙÐ Ò a ÐÚº Ø Ö ØØ ÐÖ Ó Ò Ñ Ò Ö ÒÖ Ò Ò Ù ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò ï½º¾ Ö Ø f Ö Ò ÖØ ÐÐ ÒÖ a ÓÖØ ØØ ÑÙÐ Ò Ö aº ËÔ ÐØ Ö Ú Ø Ø f Ö Ò ÖØ Ô Ö Ú aº
7 Ê ÆË Ê ÙÖ º f( Ð Ö Ñ ÐÐÓÑ L ǫ Ó L+ǫ ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø Ö Ú Ø Ò < δ Ö aº ËØÖ Ò Ø Ø ØØ Ò Ú Ð Ö Ó Ñ Ò ÒÓ Ú Ö Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ö Ö Ò Ò Ø Ð f ÒÖ Ö ÑÓØ a Ñ Ò Ø ÓÑÑ Ö Ú Ø Ð ÒÖÑ Ö ÒÒ Ô Öº Î Ñ Ö Ö Ø Ú Ø Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ö Ø Ö Ò Ö Ö ÒØÝ Ö ÓÑ Ø Ö Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÒØÝ Ø Ú Ö Ò Öµ Ö Ò Ö Ö ÒØÝ Ú º Ø Ö ÓÑ lim f( L Ó lim f( M Ö L M º Ú Ø Ø Ð ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ò ÓÔÔ Ú ÇÔÔ Ú ½º º ½µº Ä Ó Ò Ô ÒÓ Ò ÓÒ Ö Ø ÑÔÐ Ö Ô ÖÙ Ú Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ò Öº Ä Ó Ø ÖØ Ñ Ø Ð Ø Ð ÑÔÐ Ø Ú Ö ØØ Ô ÓÖ ÚÓÖ Ò Ú ÓÖ Ö Ö ÒÒ Ð Ò Ò Òº ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Ä f( (2 3º Î Ø lim 3 f( 5º Ä Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ ǫ 2 º Ú 0 < 3 < δ ǫ 2 Ö f( < 2 ǫ 2 ǫ, ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Î Ñ Ö Ö Ó Ø Ð Ò Ò Ò Ö Ø ÑÑ Ð ÓÖØ Ó Ø ÖØ Ö Ñ Ò δ³ Òº ÓÖ ÒÒ δ ÓÑ Ú ÓÖ ÓÚ Ö Ø ÖØ Ø Ú Ñ Ð ÖØ Ñ ÙØØÖÝ Ø f( 5 º Ø Ú Ö Ø Ô Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ö Ú Ö Ó Ú ÒÒ Ö ÐÖ Öµ ÐØ Ú Ö Ò Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ò ÑØ Ò Ð ÓÔÔ Ú Ö ÓÑ ÖÓÚØ Ø Ò ÚÖ ÂÓ Ñ ÙØØÖÝ Ø f( L Ø Ð Ù Ö ÙØ ÙØØÖÝ Ø a º Î Ð Ô ÒÓ Ò Ö ÑÔÐ Ö ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Ä f( c ÓÖ Ò ÓÒ Ø ÒØ c 0º Î Ø lim f( caº Ù ÓÒ Î ÖÙ Ö Ö Ñ Ò ÑØ Ò ÒØÝ Ø ÓÚ Ö Ó Ø ÖØ Ö Ñ ÓÑ ÓÖÑ ÙØØÖÝ Ø f( L f( ca c ca c( a c a. Ø ØØ Ö < ǫ Ö Ú Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ c a < ǫ a < ǫ c. ØØ Ö Ó Ú Ú Ñ Ö a Ñ Ò Ö ÒÒ ÓÖ Ö ÓÖ Ø f( ca < ǫ Ò ÑÐ ÓÑ Ú Ø Ö ÓÑ ÚÖ δº ǫ c
8 È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ ǫ ǫ c º Ú 0 < a < δ ǫ f( ca c ca c( a c a < c c ǫ, c Ö ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Î Ø lim sin( 2 0º 0 Ù ÓÒ Ë ØØ f( sin( 2 ÓÑ Ö Ò ÓÒ Ñ Ò R\{0}º Ö ÓÖ ÑÓÖÓ ÝÐ Ö Ö Ö Ò Ø Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ð ØØ ÓÖ Ø ÖÖ Ø Ø Ð ÝÖ Á Ò Ø ÖØ Ö Ú Ñ ÓÑ ÓÖÑ ÙØØÖÝ Ø f( L f( 0 sin( 2 sin( 2. ØØ Ò Ö Ú < ǫ Ù Ò ØØ ǫ > 0 Ú Ú Ð 0 Ð Ø Ò ÒÓ º Î Ö ÐÝ Ø Ñ ÓÑ ÓÖÖ ÑÔ Ð ØÓÖ Ö ÙØ 0 Ñ Ò Ú Ö Ó ØÓÖ Ò sin( ÒÒ Ò Òº ÆÖ Ú Ö Ð Ø ÐÐ ØÓÖ Ö Ñ Ú ÔÖ Ú Ö Ò Ó º Á ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ú Ø Ú Ø ÒÙ ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ö ÙÒ Ú Ö Ö Ñ ÐÐÓÑ Ó Ó ÖÑ Ú Ø Ú Ø sin( ÓÖ 0º Ö Ú f( 0 sin( 2 sin( 2 2 2, Ó Ø ÒÒ Ö < ǫ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ 2 < ǫ < ǫ. Î Ö ÖÑ ÙÒÒ Ø Ø Ð Ò 0 < < ǫ Ö f( 0 < ǫ Ó Ú Ö ÙÒÒ Ø ÚÖ δº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ ǫº Ú 0 < 0 < δ ǫ Ö sin( 2 0 sin( < ǫ 2 ǫ, ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Å Ö ÚÓÖ Ò Ú Ò ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ú Ð Ø Ö Ó ÙÐ Ø Ö ÓÑ Ö Ø Ð ÖØ ÓÖ Ð Ö Ò ÚÓÖ Ò Ú ÖÙ Ö a < δ Ø Ð ÓÒ ÐÙ Ö Ø f( L < ǫº Ú ÖÖ Ö Ø ÐÐØ Ð Ø δ³ Ò ÐÐ Ö ÙØ Ð ØØ ÓÑ ÑÔÐ Ò ÓÚ Öº Æ Ð Ú Ô Ð ØØ Ú Ò Ð Ö ÑÔÐ Öº ( ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Î Ø lim 2 + 2º 2 Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < ( 2 < δ ( < ǫ,
9 Ê ÆË Ê ÐÐ Ö 0 < +2 < δ < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø Ó ÓÖ Ö Ö Ò ØØ Ú Ö Ò +2 º Ø Ö ÐØ ØÓÖ Ò +2 Ú Ò Ö ÙØ ØØ Ø Ð ÐРغ Î Ñ Ö Ö Ø 2 Ö ÖÓØ Ð Ø +2 Ö Ò ØÓÖº Î ÒÒ Ö Ð ØØ ÙØ Ø (+2( º Ö ÓÖ Ö Ú ÓÑ ÓÖÑ Ø ÙØØÖÝ Ø , Ó Ò Ò ØÓÖ Ò Ò ÑÐ +2 Ö Ò Ú Ò Ö Ò ÑÝ Ú Ú Ð Ú Ú Ð δ Ð Ø Ò ÒÓ Ò Ð Ö Ú ÀÚ Ñ ØÓÖ Ò Ã Ò Ú Ó Ö Ò Ò Î Ð Ú Ú Ö + 2 Ð Ø Ò ØÝÖ Ø Ø Ö ÒÖ 2 Ó Ö Ó Ú Ø Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ó º Ç Ú Ö ÒÖ 2 Ö Ò Ð Ò Ø ÙÒÒ ÐÐ Ö ÓÖ ÑÔ Ð ÒØ ¾º µ +2 < Ú º Ö Ú Ø Ò < Ö 2µº ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ø < +2 < º ÇÑ ÓÖÑ Ö Ú ØØ Ö Ú < +2 < 3 < +2 3 < 3 4 < < 2 Ú ØÖ Ö 3 ÓÚ Ö ÐØ ÓÖ Ú Ò Ø ÓÑ ÓÖÑ + 2 Ø Ð µº ØØ Ø ØÝÖ Ø 2 < < 4 Ó Ø Ö ÙÐ Ø Ò Ø Ð ÝÖ Ú Ö ÒØ Ö ÖØ º ÍÒ Ö ÓÖÙØ ØÒ Ò Ò ¾º µ Ð Ö ÐØ < , Ó Ú Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ¾º µ +2 < ǫ 4. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º µ Ó ¾º µ ÓÐ Öº Î Ö ÐØ ÒÒ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ð Ö Ô a Ø Ò ÓÖ Ö Ò ÓÑ Ø Ð Ö º ØØ Ö Ó Ø Ú Ñ Ú Ð +2 Ø Ð ÚÖ Ñ Ò Ö ÒÒ Ó ǫ 2 º ØØ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÒÖ { +2 < min, ǫ }, 4 ÚÓÖ ÙØØÖÝ Ø min ØÝÖ Ø Ñ Ò Ø Ú Ø ÐÐ Ò ÓÑ Ð Ö º Î Ö Ö ÓÖ Ò ÙÒÒ Ø Ò δ ÓÑ Ö Ó Ò Ò ÑÐ min{, ǫ 4 } Ø Ñ Ò Ø Ú Ó ǫ 4 Ö ÓÑ º º ǫ 5 Ö δ min{, 5 4 } Ó Ö ÓÑ º º ǫ Ö δ min{, 4 } 4 µº ÆÖ Ú Ò Ö Ú Ö ÒÒ Ò Ô Ò ÓÚ Ö Ø Ð Ò Ò Ñ Ú Ô Ô Ö Ø Ð ÖØ ÓÖ Ð Ö Ò ÚÓÖ Ò Ú ÖÙ Ö ØÓ ÙÐ Ø Ò ¾º µ Ó ¾º µº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØǫ > 0º Ä δ min{, ǫ 4 }º Ú 0 < ( 2 +2 < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º½¼µ +2 < ǫ 4. ÙØ Ò Ö +2 < ÓÑ Ö ÐØ Ö Ú < +2 < 4 < + < 2, ¾º½½µ < 4. ÖÑ Ú Ð ( ( < ǫ 4 4 ǫ
10 ½¼ ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º½¼µ Ó ¾º½½µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Î Ñ Ö Ö Ø Ú Ð Ø Ö + 2 < ¾º µ ÒØÐ Ú Ö Ð ØØ Ø Ð Ð º Î ÑØØ Ö Ø ÖØ Ñ Ö Ø Ñ Ò Ö ÒÒ ÒÓ Ó ØÓ ØØ ÒÓ Ø Ð ÚÖ º Î ÙÒÒ Ó ÝØØ Ø ÙØ ¾º µ Ñ º º + 2 < 2 ÓÑ Ú ÐÐ ØØ ØØ Ö Ð Ò Ò ÙØÖ Ò Ò Ö ÓÑ ÓÚ Öµ Ø 5 < < Ú º Ú Ö + < 5 Ø Ò ÓÖ ¾º µ ÓÑ Ú ÐÐ ÖØ Ø Ð Ø Ú ÑØØ Ú Ð ØØ Ö Ð Ò Ò ÙØÖ Ò Ò Öµ δ min{2, ǫ 5 }º ØØ Ú Ö Ø Ö Ð Ö Ø ÓÑ Ø ÓÖÖ º Î Ú Ö Ò Ô Ò Ö Ò Ò Ú ØØ Ú Ö Ø Ó È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò Ô ÓÖÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØ ÖÒ Ø Ú ¾ ØØ ǫ > 0º Ä δ min{2, ǫ 5 }º Ú 0 < ( 2 +2 < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º½¾µ +2 < ǫ 5. ÙØ Ò Ö +2 < 2 ÓÑ Ö ÐØ Ö Ú 2 < +2 < 2 5 < <, ¾º½ µ < 5 ÖÑ Ú Ð ( ( < ǫ 5 5 ǫ ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º½¾µ Ó ¾º½ µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Î ÓÖØ ØØ Ö Ñ ÒÓ Ò ÑÔÐ Ö ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Î Ø lim 3 3 3º Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < < δ < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø Ó Ò Ö ÙØ ØÓÖ Ò º Á Ò Ö ØÓÖ Ö Ò Ò ÐÓÖ Ø ( 3 Ó Ø Ö ÓÑ ÖÓØ Ó ØÓÖ Ö ÓÑ 3 ( ( Â Ø Ö ÓÖ ØØ Ø Ö ØÓÖ Ö ÙØØÖÝ ÓÑ ØØ º º Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒºµ ÐØ Ö Ú Á Ò Ö ØÓÖ Ò Ò Ú Ò Ö Ò Ö Ø Ú ÐÔ Ú δ Ò Ð Ö Ú º Ê Ø¹ ØÓÖ Ò 2 ++ Ò Ú Ö Ò Ú Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÑ ÓÖÖ ÑÔ Ðº ÒØ º º Ø ¾º½ µ < ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ < < 0 < < 2 Ð Ø Ð ÓÚ Ö Ðصº ÍÒ Ö ÓÖÙØ ØÒ Ò Ò ¾º½ µ Ð Ö ÐØ ¾ Ð Ø 2 ++ < , < ¾ À Ö ÖÙ Ö Ú Ø > 0º À Ú Ú Ø Ø > 0 Ú ÐÐ Ú Ö Ò Ø 2 ++ Ú Ö Ò Ó ÖÙ ØÖ ÒØÙÐ Ø Ò Ö ï躽 º
11 Ê ÆË Ê ½½ Î Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ¾º½ µ < ǫ 2. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º½ µ Ó ¾º½ µ ÓÐ Öº ØØ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÒÖ { ǫ } < min,, 2 Ó Ú Ö Ò ÙÒÒ Ø δº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ min{, ǫ }º Ú 0 < < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º½ µ ÙØ Ò Ö < ÓÑ Ö ÐØ Ö Ú < ǫ 2. 2 < < 0 < < 2, ¾º½ µ 2 ++ < ÖÑ Ú Ð ( ǫ < ǫ ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º½ µ Ó ¾º½ µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Ø Ò Ø ÑÔÐ Ø ÓÑ Ò Ð Ö Ò Ö Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ú º Ò Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÑÔ Ð ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ Î Ø lim º + Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < < δ ( + < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø Ø Ð ÝÖ ( ( ( , + ÚÓÖ Ú Ø Ð Ø Ö ØÓÖ ÖØ Ø ÐÐ Ö ÓÑ ( 2 ( 2º ØÓÖ Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ø Ú ÐÔ Ú δº Æ Ñ Ú Ö Ò 2 + º Á Ò ÓÖ Ö Ú Ñ Ö Ò ÓÑ ¾º½ µ < ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ < < 2 < 2 < 0
12 ½¾ ØÖ Ö ÓÚ Ö Ðص Ó < < < + < 3 Ð Ø Ð 2 ÓÚ Ö Ðصº ØØ Ö 2 < 2 Ó + < ÓÑ Ö Ö ÓÖ Ø < ÐØ Ö Ú ÙÒÒ Ø ÙØ Ø ÒÖ ¾º½ µ ÓÐ Ö Ú Ð ( < Î Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ǫ ¾º½ µ < 2. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò ( < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º½ µ Ó ¾º½ µ ÓÐ Ö Ó ØÓ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÓÑ Ú ÒÐ ÒÖ { } ǫ < min,, 2 Ó Ú Ö Ò ÙÒÒ Ø δº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Å Ö Ø ÓÑ Ú ÓÖ Ø Ñ < 2 Ø Ò ÓÖ ¾º½ µ Ú ÐÐ Ú ØØ 0 < + < 4 ÒÓ Ú ÙÒÒ ÖÙ Ø Ø Ð Ö Ò + º È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ min{, ǫ 2 }º Ú 0 < < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ǫ ¾º¾¼µ < 2 ÙØ Ò Ö < ÓÑ Ö Ð Ø ¾º¾½µ ÖÑ Ú Ð ( + 2 < 2 < 0 Ó < + < 3, 2 < 2 Ó + < ( ( ( < + ( 2 ǫ 2 ǫ, 2 ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º¾¼µ Ó ¾º¾½µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º Ø Ò Ø ÑÔÐ Ø ÓÑ Ò Ð Ö Ò Ò Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ø Ø ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ù Ö ÓÔÔ º ÓÑÑ ÒØ Ö Ò ÓÖÖ ÑÔ Ðµ
13 Ê ÆË Ê ½ ÑÔ Ð ¾º½¼º ÈÖÓ Ð Ñ 2 2 Î Ø lim º Ù ÓÒ Î Ð Ù Ò ØØ ØØ ǫ > 0 ÒÒ Ò δ > 0 Ð Ø 0 < 2 < δ < ǫ. Î Ø ÖØ Ö ÓÑ Ú ÒÐ Ñ ÙØØÖÝ Ø Ø Ð ÝÖ Ó Ñ Ö Ö Ø Ö Ò Ö Ø ÐØ 0+8 ÒÙÐйԹÒÙÐйÙØØÖÝ Ú º Ø Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ö 0 ÒÖ 2º Î Ú Ø Ø 2 Ö ØÓÖ Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ó Ò ØÓÖ Ö º º Ú ÒÒ Ò Ò Ö ÖÓØ Ò ÙØØÖÝ Ò µ 2 2 ( 2(+ Ó ( 2( 4 3 ( 2( Ë Ò 2 ÓÖ 0 < 2 µ Ö ÙØØÖÝ Ø Ò ÖØ Ó Ú Ò ØÓÖ Ö ÓÖØ 2º Î Ö Ø Ø Ð ÓÑ ÑÙÐ Ö Ú ØØ Ö Ô ÐÐ Ö ØÖ ÓÖ ÓÖ Ò Ð Ö Ò Ò Ò ( 2(+ ( 2( (+ 3(3 4 2( ( ØÓÖ Ò 2 Ò Ú Ö Ò Ö Ø Ú ÐÔ Ú δº Æ Ñ Ú Ö Ò Ö ÓÖØ Ø Ð Ö ÓÖ Ö Ú Ñ Ö Ò 2 ÓÑ ¾º¾¾µ 2 < ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ < 2 < 3 < 3 6 < 3 < 3 4 < º ËÓÑ Ú Ò Ñ 3 ÓÚ Ö ÐØ Ð Ø Ð 2 ÓÚ Ö Ðصº ØØ Ö Ó Ø < 5º Î ÒÒ Ö ÐØ ÒÓ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ö Ö Ò ÓÖ Ò ÚÒ Ö Ò ÒÒ Ò Ò Ð Ø Ú Ð Ö Ö Ø 3 4 Ö Ñ Ò Ö ÒÒ ÒÓ º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ø Ö Ò Ò Ò Ò ¾º¾¾µ ÒÒ Ò Ò Ö ÓÖ ÖÓÚ Ò Ö ÒØ Ö Ö Ö Ø (,3 ÓÑ ÙØ ÐÙ Ö Ø ÓÑ Ó Ö ÓÖ 3 4 ÓÑ Ð Ö Ú Ø Ò 2 3 < Ö 2º Î Ñ Ö ÓÖ Ö Ò 2 Ñ Ö ÓÖ Ð Ú ØØ 4 3 º Î ÔÖ Ú Ö Ñ ¾º¾ µ 2 < 3. ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ 3 < 2 < 3 < 3 6 < < 3 4 < 3 Î Ò Ó ØØ Ô ÐÐ Ö ØÖ Ö Ø Ó ÓÖ ÓÖØ ØØ ÖÔ Ð Ö ÙØÖ Ò Ò Ò ÓÑ Ð Ö ( 2 2 3( ( ( ( ( ( 2 2 2( 2(
14 ½ ÓÑ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ò Ô 3 4 > ÐÐ Ö Ú Ú Ð ÒØ 3 4 < º ÆÖ ¾º¾ µ ÓÐ Ö Ú Ð ÐØ < Î Ö Ø ØØ Ø Ö < ǫ Ú Ó Ö Ú ¾º¾ µ 2 < 2ǫ 7. ÐØ Ö Ú Ú Ø Ø Ò Ò ÙÐ Ø Ò < ǫ ÓÐ Ö Ö ÓÑ ¾º¾ µ Ó ¾º¾ µ ÓÐ Ö Ó ØÓ Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÓÑ Ú ÒÐ ÒÖ 2 < min { 3, 2ǫ }, 7 Ó Ú Ö Ò ÙÒÒ Ø δº È ÒØ ÒÒ ÖØ Ð Ò Ò ØØ ǫ > 0º Ä δ min{ 3, 2ǫ 7 }º Ú 0 < 2 < δ Ö ÓÖ Ø Ö Ø ¾º¾ µ 2 < 2ǫ 7 ÙØ Ò Ö 2 < 3 ÓÑ Ú Ò ÓÑ Ö Ú ÓÑ 2 < 3 3 < 2 < 3 < 3 6 < < 3 4 < 3, Ð Ø ¾º¾ µ 3 4 > ÐÐ Ö Ú Ú Ð ÒØ 3 4 <. ÖÑ Ú Ð ( 2(+ ( 2( (+ 3(3 4 2( ( ( < 7 2 2ǫ ǫ, 7 ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾º¾¼µ Ó ¾º¾½µ ÓÚ Ö Ò Ò ( µ ÓÑ Ú ÙÐÐ Ú º À ÐØ Ø Ð ÐÙØØ Ú Ò ØØ Ø Ð Ú Ô Ø ÑÔ Ð Ô Ò Ö Ò ÓÑ Ø Ö Öº ØÖ Ø ÙÒ ÓÒ Ò ( f( sin, 0 Ñ Ö
15 Ê ÆË Ê ½ ÆÖ ÖÑÒÓØ 0 Ú Ö Ö Ö Ò ÑÓØ ÐÐ Ø ÐÐ Ñ ÐÐÓÑ Ó Ô y¹ Ò ÑØ º Ò ÒØÙ Ø Ú ÑØ Ò ÓÖ Ø Ö Ñ Ö Ô ÓÑ ¾º¾µ Ó ¾º µ ÐÐ Ö ï½º¾ ÐÖ Ó Òµ Ö Ú Ò Ð ÖÙ Ô Ð Ô ÐÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ñ Ò Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ò ÖÙ Ø Ð Ú Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ö Öº ÑÔ Ð ¾º½½º Ö Ò Ò ( lim sin 0 Ø Ö Ö Í ÓÖÑ ÐÐ ÓÖ Ð Ö Ò ÆÖ 0 Ù Ò ØØ ÓÖ ÒÖØ ÒÒÔ 0 Ö Ú Ð sin( ÓÖØ ØØ ( Ú Ò Ñ ÐÐÓÑÓ º Í Ò ØØ Ú L Ö Ú Ð Ú Ð Ö Ð Ö Ú Ö Ò ÙØØÖÝ Ø sin L ÑÝ Ú Ú Ðº ÓÖÑ ÐØ Ú Ö ÒØ Ø Ö Ò Ú Ö Ò Ø Ö Ö Ó ÐÐ ÒL Ú º ÒØ Ø lim sin( 0 Lº Ë ØØ ǫ ÒÒ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ø Ö Ø Ø Ñ ÒÒ Ò δ > 0 ÓÑ Ö Ð Ø ( ( sin L < ÒÖ 0 < < δ. Å Ò ÒÖ 0 < < δ Ú Ð sin( ÒØ Ú Ö Ò Ó Ù Ò ØØ ÚÓÖ Ð Ø Ò δ Öº ÓÖ ØØ Ð n : 2πn+ π ÓÖ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÐØ ÐÐ nº Ú Ð sin( 2 n sin ( 2πn+ π 2 º Ä Ð ÓÖ yn : 2πn π ÓÖ Ø Ú Ð Ø ÓÑ Ð Ø ÐØ ÐÐ n Ú Ð 2 sin( y n sin ( 2πn π 2 º Î Ò ÐÐØ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒÓ n Z ÓÑ Ö Ð Ø 0 < n < δ Ó 0 < y n < δº Ë Ø Ø ÓÐ Ö Ú Ð Ò n Ð Ø n > 4 + 2πδ ºµ ØØ ØÝÖ Ø µ Ñ Ö Ö Ø ( ( sin L n L < Ó sin L y n L < Ñ ÚÖ ÓÔÔ ÝÐغ Æ Ö Ø Ð ØØ Ø ØÓ ÙÐ Ø Ò ÑÓØ Ö Ú Ö Ò Ö ÓÖ Ú Ò ØÖ ÙÐ Ø ÑÔÐ Ö Ö Ø 0 < L < 2 Ñ Ò ÝÖ ÙÐ Ø ÑÔÐ Ö Ö Ø 2 < L < 0º º Ò Ô Ö Ú Ö Ò Ö ï ½º¾µ ÓÖ ÒÒ Ö Ò Ö Ø Ð ÙÒ ÓÒ Ö Ò Ö ÐØ Ö Ø ÒÝØØ Ò Ö ÐÐ Ö ÙÐØ Ø Ö Ó Ö Ð Ö ÓÖ Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ø Ò ÓÖ ÙØ Ö ÔÖÓ ÝÖ Ò Ö ÑÔÐ Ò ÓÖÖ Ú Ò ØØ Ú Ö Ò º Î Ñ Ö Ö ÙØ Ò Ø Ñ ØÓ Ò Ö ÓÖÖ Ú Ò ØØ Ö Ó Ò Ñ ØÓ Ø Ð ÒÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ö Ø ÒÖ Ú Ö ÙÒÒ Ø Ò Ø Òº Á ÔÖ ÖÙ Ö Ú Ö ÓÖ Ö Ø Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ø Ð Ú Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ö ÓÑ Ö Ò Ö ÓÑ Ú ÖÙ Ö ÓÖ Ö Ò Ö Ò Ú Ö Öº Á ØØ Ú Ø ÖÙ Ö Ú Ò ÒØ Ó ÒÝØØ Ú Ø Ò ÒÒ Ò ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø ÐØ Ê ÙØ Ó ÙÖ¹ ÙÑ Ú º Ê Ù ÓÒ Ø Ð Ò ÑÓØ Ð Ú ÒØ Ö Ø ÑÓØ ØØ Ú Ø Ú Ð Ú Ó ÙØÐ Ö Ò ÐÚÑÓØ Ð º
16 ½ Î ÓÔÔ ÙÑÑ Ö Ö Ö Ú Ø Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ã Ôº ½ ÐÖ Ó Ò ÓÑ Ö Ó Ø Ò Ø Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ñ Ò Ø Ð ÐÐ Öº Ì ÓÖ Ñ º½º Ö Ò ØÒ Ò Ò µ ÒØ Ø Ö Ò Ò lim f( Ó lim g( Ø Ö Ö Ó k Rº Ð Ö ( µ lim f(±g( lim f(± lim g( ( ( µ lim f(g( lim f( lim g( f( lim f( µ lim g( Ö ÓÑ lim g( 0 lim g( Úµ lim kf( k lim f( ( m/n ( m/n Úµ lim f( lim f( ÓÖ a Ð Ø ÙØØÖÝ Ò Ö Ò Öصº Ì ÓÖ Ñ º¾º Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Øµ ÒØ Ø f( g( h( ÓÖ ÐÐ Ò ÔÙÒ Ø ÖØ ÓÑ Ò ÓÑ a Ó Ø lim f( lim h( Ó Ø Ö Öµº Ú Ð lim g( lim f( lim h(. Ú Ö Ø ÙÒ Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ñ +µ ÓÑ Ú ÐÖ Ó Ò ï½º µ Ö Ø Ò Ð Ö ÓÖ Ö Ô ÐÚ ÓÔÔ Ú Öº f( Ñ Ö Ò Ò º º Î Ñ Ö Ö Ø Ø Ð ÐÐ Ø lim g( º½º Î Ò Ø º½µ Ñ lim g( 0 Ú Ì ÓÖ Ñ f( ÀÚ lim g( 0 Ó lim f( 0 Ø Ö Ö lim g( º f( ÓÖ Ú Ö Ò Ò Ø Ö Ö lim L Ö Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ø g( f( g( lim f( lim lim g( ( f( g( g( L 0 0. Ö ÓÑ lim g( lim f( 0 Ò Ö Ò Ò Ø Ö Ó Ø Ö º Î ÒÐ Ò Ö Ô Ñ ØÓ Ö Ö ÓÖ ØÓÖ Ö ÐÐ Ö Ö٠гÀÔ Ø Ð Ö Ð ÓÑ Ú ÓÑÑ Ö Ø Ð ÐÖ ï º ÐÖ Ó Òº º¾µ Î ÐÔ Ú Ö ÙÐØ Ø Ò ÑÑ Ò Ñ ØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ò Ò lim a ÓÑ Ö Ø Ô ÐØ Ð ÐÐ Ú ÑÔ Ð ¾º Ó Ú ÓÖ ÚÖ ÑÔ Ð ¾ µ ｺ ÐÖ Ó Ò Ú ÐÔ Ú Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ö Ò µ Ó º µ lim c c, ÚÓÖ c Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ Ú ÑÔ Ð ¾ µ ｺ ÐÖ Ó Òµ Ò Ú ÒÒ Ö Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ÒØ ÙÒ ÓÒ¹ Öµº Ä Ó º º Ô ÚÓÖ Ò Ú Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ì ÓÖ Ñ º½ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔ Ð ¾º º ÀÙ Ø ØØ ØÝÖ Ø Ð Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÙÒ Ø a ÓÖØ ØØ Ö a ｺ
17 Ê ÆË Ê ½ ÑÔ Ð º º Î Ú Ð ÒÒ lim º + Î Ö Ò Ö ÙØ Ó Ö Ú Ð Ò Ý Ø Ô ÚÓÖ Ú ÖÙ Ö Ö Ð Ò Ì ÓÖ Ñ º½µ ÙØ Ò Ö lim ( (i lim 3 lim (4 2 + lim 4 lim 3 (iv, º µ lim 3 4 lim 2 +4 lim ( (ii 3 ( 2 lim 4 lim +4 lim 3 3 º¾µ (i lim(+ lim + lim º¾µ, º µ + 2 0, Ð Ø Ú Ò ÖÙ Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ø Ð ÓÒ ÐÙ Ö Ø ( lim lim + lim ( Ä Ó Ô Ø Ô Ö Ò Ö ÑÔÐ Ö ÑÔ Ð º º Î Ú Ð ÒÒ lim º Î Ñ Ö Ö Ø Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ö ÑÓØ 0 0 Ð Ø Ò ÒØ Ò Ö Ú ÓÖØ º Ñ Ö Ò Ò º ºµ Î ÓÑ Ö Ú Ö Ú Ò Ø ÐÐ Ö Ó Ò ÚÒ Ö Ñ ( +25 5( ( ( ( ( ( Ë Ò lim Ú º µµ Ó 0 lim ( Ö Ú Ú Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ø lim 0 (i lim +25+ lim 0 (iv, º µ (i º¾µ, º µ lim lim ( lim + lim , ( Î Ö ÚÖØ Ú Ð ÔÔ Ð Ñ Ñ Ö Ö ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ÓÖ ÐÐ Ö Ð Ò Ì ÓÖ Ñ º½ ÒÓ ÓÑ Ö Ú ÒÐ Ö Ú º º Ú Ò Ñ Ò Ú Ö Ð ºµ
18 ½ Ë Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ö Ý Ø ÓÔÔ Ú Ó ÓÒ Ø ÒØ Ö Ó Ö Ò ÓÔ Ö ÓÒ Ò ± Ó Ö Ú Ø Ì ÓÖ Ñ º½ µ¹ µ Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ð Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Ø ÒÒ ØØ Ò º µ ÀÚ P( Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ö lim P( P(aº Ø ÑÑ Ð Ö Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ö Ú º ÚÓØ ÒØ Ö Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ú Ì ÓÖ Ñ º½ µ¹ µ Ö ÑØ Ò ÚÒ Ö Ö ÒÙÐÐ a º µ ÀÚ P( Ó Q( Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ó Q(a 0 Ö lim P( Q( P(a Q(a º ËÓÑ Ú Ú Ð Ò Ø Ú Ò ØØ ØÝÖ ØØ ÒÒ Ø ÒÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ó Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ö Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú º ÙÒ ÓÒ Ö Ö Ö Ò Ò Ú Ö Ø ÒÒ ØØ Ò ºµ Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Ø º¾ Ö ÒÝØØ ÓÖ ÓÐ Ø Ð ÓÐ Òº Ä Ó ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÖÙ Ô ÙÒ ÓÒ Ò ÑÔ Ð ¾º ÓÑ Ó Ò ÖÙ Ø Ð ÐÐÙ ØÖ Ö Ð ÖÙ Ú Ö Ò ØÒ Ò Ò ÑÔ Ð º º ÈÖÓ Ð Ñ ÒÒ lim sin( 2 º 0 Ð Ð Ò Ò Ñ Ò Ñ Ö ØØ Ú Öµ Î ÔÖÓ Ù ØÖ Ð Ò ÓÖ Ö Ò Ö Ì ÓÖ Ñ º½ µ Ö Ú Ø lim sin( 0 2 lim 2 lim sin 0 0 ( 0 lim sin 0 ( 0. ÀÚÓÖ Ð Ö Ð Ò ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ò Ö Ò ØÒ Ò Ò ÓÖÙØ ØØ Ö ( Ø Ö Ò Ò ÔÖÓ Ù Ø Ø Ø Ö Ö Ñ Ò ØØ Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ö Ö lim sin ÓÑ Ú ÑÔ Ð 0 ¾º½½ Ð Ø Ö Ð Ò Ò ÖÙ º Ê Ø Ð Ò Ò Î Ö ÓÖ 0µº Ò Ö Ú Ñ 2 Ö Ú sin 2 2 sin ( ( 2. Ë Ò lim( 2 lim 2 0 Ö Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ó 0 0 lim 0 2 sin ( 0. Â Ú Ö Ø Ð ÐÖ Ó Ò ï½º ÓÖ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ò Ö Ò Ö Ó Ö Ò Ö ÑÓØ Ù Ò Ð lim lim f(, +f( lim f(, lim f(. ÆÖ Ñ Ò Ö ÒØ ÚÓÖ Ò Ñ Ò ÖÙ Ö Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ø Ð ÐÐ Ø Ò ÓÒ ¾º½ Ö Ø Ò Ò Ò ØÓÖØ ØØ Ò ÑÑ Ò Ö Ø Ð ÐÐ Ò Ó º Ñ Ö Ò Ò º º Ö Ò ØÒ Ò Ò Ì ÓÖ Ñ º½µ Ó Ë Ú Ø ÓÖ Ñ Ø º¾ Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ö Ò Ö Ó Ö Ò Ö ÑÓØ Ù Ò Ð Ú ÝØØ ÙØ lim Ñ lim lim + lim lim º
19 Ê ÆË Ê ½ Â Ú Ö Ó Ø Ð ÐÖ Ó Ò ï½º ÓÖ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ú Ù Ò Ð Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ô ÐØ Ð ÐÐ Ö Ú Ö Ò Ö ÓÑ Ø Ö Öº Â Ú Ö Ò Ø Ð ÐÖ Ó Ò ï½º ÓÖ Ò ÓÒ Ò Ú Ø Ò ÙÒ ÓÒ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÔÙÒ Ø a Ò Ò ÓÒ Ñ Ò Ò ÑÐ Ø Ö Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ú Ö Ò ÐÐ Ö lim f( f(a Ö Ú Ö Ø ØØ Ö Ö Ò Ò Ñ Ò Ò Ö Ò Ö ÓÑ f Ö ÙÒ Ò ÖØ Ô Ò Ò Ò Ú aµº Î Ö Ò ÒÝ Ö Ð ÓÖ Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ú Ö Ö Ò ÑÐ Ì ÓÖ Ñ ï½º Ì ÓÖ Ñ º º Ö Ò Ú ÑÑ Ò ØØ ÙÒ ÓÒ Öµ ÀÚ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ L Ó lim g( L Ö lim f(g( f(l Î Ù Ö ÒÒ Ö Ð Ò Ø ÓÑ lim f(g( f(lim g(, Ú º Ö Ò Ò Ò ØÖ ÒÒ Ò ÓÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ ÓÒº Ú Ø Ö ÇÔÔ Ú ½º º Î Ú ÐÙØØ Ö Ñ Ø ÑÔ Ð ÓÑ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÙ ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÐ Ö Ö ÓÑ Ú Ö Ú Ö Ø f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º ÑÔ Ð º º Ä f( {, 0, 0 Ö f ÓÒØ ÒÙ ÖÐ 0 Ò lim f( 0 Ó f(0 º Ä g( º Ö lim g( Ñ Ò lim f(g( lim f( 0 f(0 f(lim g( Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò
Ë Ð Ô Ø Ä Ð Ö ÑÑ Ö ÑÐ ØØ Ò Ó ÓÖ Ò ÓÒ Ã Ô ØØ Ð ½ Ó ¾
Ë Ð Ô Ø Ä Ð Ö ÑÑ Ö ÑÐ ØØ Ò Ó ÓÖ Ò ÓÒ Ã Ô ØØ Ð ½ Ó ¾ Ò Ø Ø Ý Ö Ô ËØÖ Ñ ¾¼½ Ô ØØ Ð ½ Ó ¾µº ÀÚ Ö Ø ÓÖ Ø Ö Ô Ó ÓÒØÖÓÐÐ ÀÚ Ö Ø ÓÖ Ø Ì ÙØ Ò ÔÙÒ Ø ÚÓÖ Ò Ð Ô Ø Ò Ö Ó Ô ÖØÒ Ö Ôº Ë Ð Ô Ø Ó Ö Ú Ú Ò Ô Ö ÓÒ ÐÐ Ö Ú
Ò Ø Ø Ì Ð Ô Ó ÙØ ÝØØ ÍØ ÝØØ ÐÐ Ö Ø Ð Ô Ë ØØ ÙÐ ÑÔ Ö Ñ ÙØ ÝØØ Ú Ò Ò Ø Ó ØØ Ð ÒØ ÐÐ Ö Ð ÙØ ÐÐ Ö ÓÐ Ë Ò Ð Ö Ò Ñ ÙØ Ð Ò ÔÓÐ Ø
Ã Ô ½ Ú Ò Ò Ø Ø Ì Ð Ô Ó ÙØ ÝØØ ÍØ ÝØØ ÐÐ Ö Ø Ð Ô Ë ØØ ÙÐ ÑÔ Ö Ñ ÙØ ÝØØ Ú Ò Ò Ø Ó ØØ Ð ÒØ ÐÐ Ö Ð ÙØ ÐÐ Ö ÓÐ Ë Ò Ð Ö Ò Ñ ÙØ Ð Ò ÔÓÐ Ø Ð ÙØ ÐÐ Ö ÓÐ Ö ÓÒØ ÒØ ØÖ Ñ ÓÐ Ð ÙØ ÁÒÚ Ø Ö ÒÝ ÔÖÓ Ø Ö ÃÓÒØ Òع ÓÐ Ò Ò
Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ó ØÓÖÑÓ ÐÐ Ö Ã Ô ØØ Ð
Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ó ØÓÖÑÓ ÐÐ Ö Ã Ô ØØ Ð Ò Ø Ø ÃÎÅ ÖÙÒÒ Ó ÓÖÙØ ØÒ Ò Ö Ë ÖÔ ¹ ÓÖ ÓÐ Ø Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ö ÃÎÅ Ó Ð ØÓÖÑÓ ÐÐ Ö Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÃÎŵ À Ò Ø Ò Ö ÓÑÑ Ö Ñ Ø Ð Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÒÒ Ò
Ã Ô ½ Ò Ò ÐÐ ØÖ
Ã Ô ½ Ò Ò ÐÐ ØÖ Ò Ø Ø Å Ð ÓÐ Ó ÓÒ ÙÖ Ø Ô Ö Ø Ñ Ö ËØÖ Ó ØÒ Ö Ó Ð Ô Ú Ö ÇÔØ Ñ Ð Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ ÚÚ Ò Ò Ø ÓÖ Ò ÒØ Ó ØÒ Ö Ñ Ð ÍØÒÝØØ Ò Ú ÐÒ Ú Ö ÅÓØ Ú Ö Ð Ö ÓÖ Ð Ö Ñ Ð ÝÑÑ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ó Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ Ã Ô Ø Ð
Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ ¹ ÁÒ Ò ØØ
Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ ¹ ÁÒ Ò ØØ Ò Ø Ø Ò ÓÒ Ö ÓÚ Ö Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ã ÐÐ Ö Ð Å ÐÐ Ö Ó ÅÓ Ð Ò Á Åž Ã Ô Ø Ð Ó ØÒ Ò Ø Ó Ð Ð ÐÙØÒ Ò Ö ÓÑ Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ À Ú Ø Ò Ò Ñ ÓÒ Ó ÙØÚ ÒÒ Ò ÅÅ ÄÓÚ Ò ÓÑ Ò ÔÖ Ó Ú Ö Ò
Ã Ô ØØ Ð ½ ÖÙÒÒÐ Ò ÖÙ Ú Ø ÖÑ Ò Ð ÀÚ Ö ÒØÐ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÓÖ Ø ÒÝ ÖÙ Ö Ö ØØ Ø Ñ Ø ÑÝ ¹ Ø ÒÖ ÓÖ Ö Ø Ò Ñ Ø Ö Ô Ò Ð ÒÙÜÑ Ò ÚÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò ÀÚÓÖ Ò ÖÙ Ö ØØ Á Ö ÖØ
Ã Ô ØØ Ð ½ ÖÙÒÒÐ Ò ÖÙ Ú Ø ÖÑ Ò Ð ÀÚ Ö ÒØÐ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÓÖ Ø ÒÝ ÖÙ Ö Ö ØØ Ø Ñ Ø ÑÝ ¹ Ø ÒÖ ÓÖ Ö Ø Ò Ñ Ø Ö Ô Ò Ð ÒÙÜÑ Ò ÚÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò ÀÚÓÖ Ò ÖÙ Ö ØØ Á Ö ÖØ ØØ Ö ÓÑ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÓÖ Ð Ö Ö ÒÓ ÒÖ Ù Ø ÖØ Ö Ò Ù ØÖ
Î Ö ØØ Ò Ú Ö
Î Ö ØØ Ò Ú Ö Ò Ø Ø Ò ÓÒ Ö ÆÆÎ Ñ ØÓ Ò Ú Ò ÑÓ ÐÐ Ò Î Ø Ú Ò Ò ÙÖ Ó Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ô Ö Ò ÓÒ Ö Ò Ô Ø Ð = ÙÖ ÒØ ÐÐ Öµ ¼ = Ë ¼ ÒØ ÐÐ Öµ ½µ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø ÔÖº ÈË ÖÒ Ò Ô Ö Ö µ ÈË Ø = Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ø ÒØ ÐÐ Ö Ø ¾µ ÈÖ ¹ ÖÒ
dq = c v dt + pdα = 0 dq = c p dt αdp = 0 µ pdα = αdp c p dα = c v dp = c v = D θ = T
ÙÖ ½ ÇÔÔ Ø Ò Ò Ò ÓÔÔ Ú º¾½ºÌº ¾¾¼¼ ØÑÓ Ö Ý ¾¼½ Ä Ò Ò ÓÖ Ð Ø Ð ÑÐ Ñ ØØ ÖÑÓÔÔ Ú Ö º¾½ºÌ Î ÒØ Ö Ø ÖÖ ÐÙ Ø Ó Ö Ø Ð Ô Ö Ø Ò Γ ÓÖ ÓÑ Ú Ð Ò µ ÐÐØ Ö Ñ Ò Ö ÒÒ Ø ÖÖ Ø Ò ÙÖ ½µº ÖÑ Ú Ð ÐÙ Ø ÓÑ Ú Ø Ð Ö Γ d µ ÐÐØ Ð
r t = S t r t ; s = ½ T T
Å Ö ÔÓÖØ Ð Ò Ó ÃÎÅ Ò Ø Ø Ú ØÒ Ò Ó ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø ÈÓÖØ Ð Ú Æ Ó ÇÖ Ð Ö Ò Ò Ú Ã¹ Ó ØÒ Ò Ò ÒÚ Ø Ö Ò ÐÐÙ ØÖ ÓÒ ËÐÙØØÚÙÖ Ö Ò Ú ÃÎÅ Î Ð ÒÒÓÑ Ð Ò Ø ½º Ö Ò Ú ØÒ Ò Ó ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø ØÖ Ö Æ ÇÖ Ð Ó Å Ö Ò À ÖÚ Ø Ó ÓÚ Ò Ò
Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ
Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ Ò Ø Ø Ê ÒØ ØØ ÓÖ Ð Ò Î Ö Ò Ú Ö ÒØ ØØ ÓÖ Ð Ò Ê Ô Ø Ð Ö Ò ÓÖ Ò ÓÔÔ ÊË È Ö ÓÒ ØØ Ö ÌÓÐ ØÒ Ò ÇÔØ Ñ Ð Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ Ñ ØØ Ö Ê ÒØ ØØ ÓÖ Ð Ò Ø ÐØ Ö ÒØ Ö Ö Ö ÒØ Ö Ö Á ÓÐ ÖØ Ö ØØ Ø Ò
ÇÚ Ö Ø ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ ÒÓÑ ÔÖ Ò Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ
à Ժ ½ ÈÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ö ÇÚ Ö Ø ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ ÒÓÑ ÔÖ Ò Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ Ò ÔÖ S T + ÍØ Ú Ð ÙÖ X Ì Ø Ð ÓÖ ÐÐ T + ÎÓÐ Ø Ð Ø Ø ÐÐ
Ë Ò Ö Ä Ò ÇÖ Ø Ò È Õµ ʺ º Ö º ĺ ÖØ Ý ØÖ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö ÙÐ Ø Ø Ö ÓÒØ Ò Ò Ë Ò Ö Ð Ò ÓÖ Ø Ú Òº Ì Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ø Ò ¹ Ô Ò ÙÔÓÒ ÑÓ Ð Ò È
Ë Ò Ö Ä Ò ÇÖ Ø Ò È Õµ ʺ º Ö º ĺ ÖØ Ý ØÖ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö ÙÐ Ø Ø Ö ÓÒØ Ò Ò Ë Ò Ö Ð Ò ÓÖ Ø Ú Òº Ì Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ø Ò ¹ Ô Ò ÙÔÓÒ ÑÓ Ð Ò È Õµ Ý Ø Ò Ø Ð Õ µ Ú Û ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ô ÓÚ Ö Õµº ÔÔÐ
ÌÓØ Ò Ú Ò ½ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ó Ò»ÓÒÐ Ò ÑÓ ÐÐÚ Ö Ö Ò Ú ØÓØ Ò ÒÐ Ø
ÌÓØ Ò Ú Ò ½ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ó Ò»ÓÒÐ Ò ÑÓ ÐÐÚ Ö Ö Ò Ú ØÓØ Ò ÒÐ Ø ÁÆÆÀÇÄ ÁÒÒ ÓÐ ½ À Ò Ø Ñ ÓÔÔ Ú Ò ½ ¾ ÇÑ ÔÖÓ ÒÐ Ø ¾ ¾º½ ÈÖÓ Ö Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÈÖÓ Ò ÁÒ
ÁÒ ÐÓÚ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ó Ä Ø È ÙÐ ½
ÝÒ Ñ Ð Ø Ô Ò ÓÒ ÓÖ Ø Ú Â ÑÑÝ È ÙÐ Å Ø ÖÓÔÔ Ú ØÙ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ø ÒÐÝ Ñ ØÙ Ö ØÒ Ò Ò Ò ÓÖ Ö Ò Ó Ê Ó ¾¼¼ Î Ð Ö Ö ÐÚ Ò Ñ Ö ¾¼¼ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ð ÙÐØ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ç ÐÓ ÁÒ ÐÓÚ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ó Ä
Tsunami Læringsmodeller i matematikk Andreas Christiansen
ÄÖ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÍØÚ Ð Ò ÓÔÔ Ú Ò Ö Ö Ø Ò Ò ÈÖ Ø Ô Ó ÙØ ÒÒ Ò À ÙÐ Ò ÎÓÐ Å ¾¼¼ Ì Ñ Ø Ñ Ø Ò³ Ô ØØ ÖÒ Ð Ø Ô ÒØ Ö³ ÓÖ Ø ÔÓ Ø³ ÑÙ Ø ÙØ ÙÐ Ø Ð Ø ÓÐÓÙÖ ÓÖ Ø ÛÓÖ ÑÙ Ø Ø ØÓ Ø Ö Ò ÖÑÓÒ ÓÙ Û Ýº ÙØÝ Ø Ö Ø Ø Ø Ø
R, t. reference model. observed model 1 P
ÌÖ Ò Û Ø ÆÓÚ Ð ÈÓ Ø Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ó ÊÓ Ò Ò ÆÓÖ ÖØ ÃÖĐÙ Ö ÌÓÖ Ê Ö Ð ËÓÑÑ Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ ÈÖ Ø Å Ø Ñ Ø Ö Ø Ò¹ Ð Ö Ø ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÞÙ Ã Ð ÈÖ Ù Ö ØÖ ½¹ ¾ ½¼ à РÖÑ ÒÝ ÖÓ Ò Ö ØÖ º Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ
u = u a cos θ; v = u a sin θ θ = (π/4) sin ωt (ǫ x + ǫ y ), u a (z) = min U, 0.4 ln z )
ÁÒÒ ÓÐ ½ ÁÒÒÐ Ò Ò ¾ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò ¾ ÄÓ Ð Ø ¹ Ñ Ð Ö Ò ÁÒÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò º½ ÁÒÚ Ö Ð Ò Ò ÖØ Ô Ó ÖÚ ÓÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒÚ Ö Ð Ò Ò ÖØ Ô ÓÖ Ò Ð Ø ¹Î Ö º º º º º º º º º º º
Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning
Notater Documents 1/2013 Dinh Quang Pham Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Notater 1/2013 Dinh Quang Pham Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Statistisk sentralbyrå Statistics
ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ö ÒÒÓÑ Ð Ö ÔÖÓ Òº Ì Ø Ð ¾ºÚ Ð Ö Ö Ð Ú Ö Ø Ñ ÒÙ
ÈÖ Ö Ó ÓÒØÖ Ø Ö Ö ÙÐ Ö ØÐ Ú Ö Ò Ö Ö Ì ÓÖ Ø Ó ÑÔ Ö Ò ÐÝ Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ñ ÙÒÒ ÓÒÓÑ Ã Ö Å Ö Ö Ø Ð ØÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò À Ø ¾¼¼ ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ
ËØÓ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Û Ú Ù Ú Ö Ù Ä Ö Ò ÖÓÒع ÝÑÑ ØÖÝ ØÓ Ø Ä Ö Ò ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ó Ò Û Ú Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ò ÓÖ Ä Ò Ö Ò ½ ËÓ Ö ½ ÒÒ Ä Ò Ö Ò ¾ ½ ÒØÖ ÓÖ Å Ø
ËØÓ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Û Ú Ù Ú Ö Ù Ä Ö Ò ÖÓÒع ÝÑÑ ØÖÝ ØÓ Ø Ä Ö Ò ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ó Ò Û Ú Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ò ÓÖ Ä Ò Ö Ò ½ ËÓ Ö ½ ÒÒ Ä Ò Ö Ò ¾ ½ ÒØÖ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÆÓÖÛ Ò ÍÒ
ÓÖÓÖ Î Ð Ñ ØØ Ø Ð Ò Ð Ø Ò ÖÙÒ ØÙÖ ÒÒÓÑ Ú Ö Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÔÓÖº Á ÒÒ Ó Ð ÓÖØ ÐÐ ÓÑ ÚÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÖÙ Ø ÒÓÐÓ ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ø Ò ¹ Ô Ö Ñ ÒØ Öº Â ÔÖ Ú
ÀÚÓÖ ÓÖ Ñ ØØ Ë ÙÖ Ï ÒÒ Ö ½½º Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ½ ÓÖÓÖ Î Ð Ñ ØØ Ø Ð Ò Ð Ø Ò ÖÙÒ ØÙÖ ÒÒÓÑ Ú Ö Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÔÓÖº Á ÒÒ Ó Ð ÓÖØ ÐÐ ÓÑ ÚÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÖÙ Ø ÒÓÐÓ ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ø Ò ¹ Ô Ö Ñ ÒØ Öº  ÔÖ Ú Ö Ó Ò ÚÒ
Ó Ö Ò ¹½ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ñ Ò ÓÒ Å Ø ÖÓÔÔ Ú ÒÚ Ò Ø Ó Ê Ò ÓÖ ÒØ ÖØ Ñ Ø Ñ Ø Î Ö ÌÓÔÔ ÓÐ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò ½º ÙÒ ¾¼½½ Ö ÓÖ ÒÒ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú Ú ÖØ ÒÒÓÑ ÖØ Ó Ö Ú Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ Ú Ð Ò ÓÖ ÒÚ Ò
Undervisningssituasjonen hos avd. B i forbindelse med reduksjon til 7 fast ansatte. Konsekvens av å endre fordelingen av fast ansatte fra 2/5 til 3/4 mellom forskningsgruppene faststoffmekanikk og fluidmekanikk.
ÒÒÓÙÒ Ö Ñ Û Ø Ö Ù Ò ÝÐ ØØ Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ ÌÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÛ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ö Ð Ô Ö ÒØ Ö Þ Ö ÒØ º Ö Þ Ò ºÞ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÓÑ Ê Ö Ò Ö Ù Ø Ù Ø ÓÒ Ó ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Þ Æ Ø ÓÒ Ð
ÒÒÓÙÒ Ö Ñ Û Ø Ö Ù Ò ÝÐ ØØ Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ ÌÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÛ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ö Ð Ô Ö ÒØ Ö Þ Ö ÒØ º Ö Þ Ò ºÞ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÓÑ Ê Ö Ò Ö Ù Ø Ù Ø ÓÒ Ó ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Þ Æ Ø ÓÒ Ð Ò ½ Ù Ù Ø ¾ ¾¼¼ ½ Ì Ú Û ÜÔÖ Ö Ö ÑÝ ÓÛÒ Ò Ó ÒÓØ Ò Ö
Ì ÊÁË ÈÖÓ Ö Ñ ÜÔÐÓÖ Ö Ë ÓÒ ËØ ØÙ Ê ÔÓÖØ ÏÓÐ Ò Ë Ö Ò Ö ÏÓÐ Ò ºË Ö Ò ÖÖ º Ùº Ø Ê Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ËÝÑ ÓÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÊÁË µ ÂÓ ÒÒ Ã ÔÐ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ä ÒÞ Ù ØÖ
Ì ÊÁË ÈÖÓ Ö Ñ ÜÔÓÖ Ö Ë ÓÒ ËØ ØÙ Ê ÔÓÖØ ÏÓ Ò Ë Ö Ò Ö ÏÓ Ò ºË Ö Ò ÖÖ º Ùº Ø Ê Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ËÝÑ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÊÁË µ ÂÓ ÒÒ Ã Ô Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ä ÒÞ Ù ØÖ ØØÔ»»ÛÛÛºÖ º Ùº Ø ÏÓ Ò Ë Ö Ò Ö ØØÔ»»ÛÛÛºÖ º Ùº Ø ½»½ Ó Ò
ÓÖÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ñ ØØ Ñ Ø Ö ØÙ ÙÑ ÁÒ ÓÖ¹ Ñ Ø Ú À ÓÐ Ò Ø ÓÐ º Â Ú Ð Ø Ñ Ò Ú Ð Ö ÔÖÓ ÓÖ ÖÖ ÄÙ Ú Ò ÓÑ ÓÖ Ø ÑÙÐ ÓÖ Ñ Ó Ñ ÒÒ ÓÔÔ Ú Òº À Ò Ú
Ø Ð ÓÖÑ Ð Ò Ú ØÒÓÑÙ ÓÐÓ ÖÙÞ Ð Ú ÙÒ Ø Ó Ä ÒÓÒ ÙÐØÙÖ Ð Î Ð Å Ø Ö Ö ÓÔÔ Ú Ò Ú Ø Ð ÓÑ Ú Ð Ö À ÓÐ Ò Ø ÓÐ Ú Ð Ò ÓÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ½¼º ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÓÖÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ñ ØØ Ñ Ø Ö ØÙ ÙÑ ÁÒ ÓÖ¹ Ñ Ø Ú
Ð Ø Ø Ô Ö Ñ Ö Ö ÙÐÐ ÖÝÐÐ ÙÔ Ø Ú ÖØ ½ º
ÌÌ ÊË Æ Ú À ÒÖ Ù Ò Ñ Ø ÐÐ Ú Ç ÒÝ Ù Ò Ð Ø Ø Ô Ö Ñ Ö Ö ÙÐÐ ÖÝÐÐ ÙÔ Ø Ú ÖØ ½ º Ì Ð Ð Ø Ó Ú Ò Ö ØØ Ö ÓÔÔÑÓ Ò Ö ÓÖÒ Ú Ò ØÐ Ó ÂÓ Ø Ò Ö Ö Ú ØØ Ö Ø Ø ÓÑ ÐÐ Ö ØØ Ö ÝÒº Ø Ö Ö Ñ Ö Ú ØÓ Ð Öº Ò ÝÖ Ø Ð Ò ÓÑ Ò Ð Ö Ð
ÆÓ Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÐÓÑ Ö Ö Ñ ØÖÓ Ö Ð Ò Ö Ó Ö Ó ØÖ ÐÐ Ö Ò Ö ÃÚ Ð Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ð Ö Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò ÆÓÖ ½½º ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö Ñ ÓÖ ÐØ Ñ Ö ØØ Ò ØÓÖ Ø Ø Ð Ñ Ò Ú Ð Ö ÌÖÝ Ú ÂÓ Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ó Ô Ö ÓÒÐ ÑÓØ
ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ê Æ ÇÁË ÈÇÌÌÁ Ê Ò ÎÁÆ ÆÌ ËÁÅÇÆ Ì ÁÆÊÁ Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй Ý¹Ú ÐÙ ¹ ÐÙÐÙ ÕÙ Ô¹ Ô Û Ø Ö Ö Ò Ü ÔØ
ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ê Æ ÇÁË ÈÇÌÌÁ Ê Ò ÎÁÆ ÆÌ ËÁÅÇÆ Ì ÁÆÊÁ Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй Ý¹Ú ÐÙ ¹ ÐÙÐÙ ÕÙ Ô¹ Ô Û Ø Ö Ö Ò Ü ÔØ ÓÒ Ò Ð Ø¹ÔÓÐÝÑÓÖÔ Ñ Û Û Ö Ö ØÓ ÓÖ Åĺ Ì ØÝÔ Ý Ø Ñ ÓÒ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ø ÔÖ Ø ÐÝ ÐØ Ø Ö Ò Ö ÙÐ Ñ ÒÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÐØ Ö Ò Ù Ø ÝÐ Ò Ö ÖÖ Ý Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ù Ø Ú Ë Ò Ö ÆÓÖ ÐÙÒ Î ØÒ ÓÐ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ý Ó Ø ÒÓÐÓ ÂÙÒ ¾¼½¾
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ø ÔÖ Ø ÐÝ ÐØ Ø Ö Ò Ö ÙÐ Ñ ÒÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÐØ Ö Ò Ù Ø ÝÐ Ò Ö ÖÖ Ý Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ù Ø Ú Ë Ò Ö ÆÓÖ ÐÙÒ Î ØÒ ÓÐ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ý Ó Ø ÒÓÐÓ ÂÙÒ ¾¼½¾ ÓÖÓÖ ÒÒÓÑ ÓÔÔÚ Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ø Ò Ð ÓÑÑ Ö Ò Ô Ñ Ð Ò ÝØØ º
¾
½ ÆÓÖ ¹ ÌÝ ÌÝ ¹ ÆÓÖ Ê Ø ÙÒ ÁÒ Ó Å Ö Ø Ò Ö ¾ º ÖÙ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ä Ò ÖØ Ò ½º½ à ÖØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ Ä Ò ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º
Notater. Kalendereffekter. Dinh Quang Pham. Modell og estimering. Documents 45/2012
Notater Documents 45/2012 Dinh Quang Pham Kalendereffekter Modell og estimering Notater 45/2012 Dihn Quang Pham Kalendereffekter Modell og estimering Statistisk sentralbyrå Statistics Norway Oslo Kongsvinger
ÁÆËÌÁÌÍÌ Æ ÌÁÇÆ Ä ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ Ê ÆÇ Ä Æ ØØÖ Ù Ô Ö Ð Ð ÓØ ÕÙ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ç Ì ÍÊ Ð³ÁÆÈ ËÔ Ð Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ËÝ Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖ Ô Ö Ù Ð ÓÖ ØÓ
ÁÆËÌÁÌÍÌ Æ ÌÁÇÆ Ä ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ Ê ÆÇ Ä Æ ØØÖ Ù Ô Ö Ð Ð ÓØ ÕÙ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ç Ì ÍÊ Ð³ÁÆÈ ËÔ Ð Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ËÝ Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖ Ô Ö Ù Ð ÓÖ ØÓ Ö ÄËʹÁÅ ÔÖÓ Ø Ë Ê Ë Ò Ð Ö Ð³ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ
Ò Ò ÐÝ Ó ÑÔ Ö Ð Ì Ø Ò ÓÖ ÅÓ Ð ÓÒ ÈÖÓ ÙÖ Á Æ ÀÇÊÊÇ ÃË Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Íú ¹Ñ Ð ÓÖÖÓ ºÑ Òº ºÙ È Ì Ê º È Ì Ä¹Ë ÀÆ Á Ê ÐÐ Ä Ê Ö
Ò Ò ÐÝ Ó ÑÔ Ö Ð Ì Ø Ò ÓÖ ÅÓ Ð ÓÒ ÈÖÓ ÙÖ Á Æ ÀÇÊÊÇ ÃË Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Íú ¹Ñ Ð ÓÖÖÓ ºÑ Òº ºÙ È Ì Ê º È Ì Ä¹Ë ÀÆ Á Ê ÐÐ Ä Ê Ö ÅÙÖÖ Ý À ÐÐ Æ ͺ˺ º ¹Ñ Ð Ô Ô Ö Ö º ÐйРºÓÑ ÊÇ ÊÌÇ
ÓÑÔ Ð Ö ÓÖ À Ö ØÓÔ À ÖÖÑ ÒÒ Ö Ø Ò Ä Ò Ù Ö ÊÓ ÖØ ĐÙÒÞ Â Ò Ä Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ò Ë ÐÐ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø È Ù ÖÑ ÒÝ ÖÖÑ ÒÒ Ð Ò Ù Ö
ÓÑÔ Ð Ö ÓÖ À Ö ØÓÔ À ÖÖÑ ÒÒ Ö Ø Ò Ä Ò Ù Ö ÊÓ ÖØ ĐÙÒÞ Â Ò Ä Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ò Ë ÐÐ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø È Ù ÖÑ ÒÝ ÖÖÑ ÒÒ Ð Ò Ù Ö Ñ ºÙÒ ¹Ô Ùº ØØÔ»»ÛÛÛº Ñ ºÙÒ ¹Ô Ùº» Ð Ò Ù Ö» Å Ý ½ ØÖ
Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol
Oppgave 1 Lab i TFY4120 Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol Institutt for fysikk, NTNU 2 1. Innledning Hensikten med denne oppgaven er først og fremst å få øvelse i analyse av feilkilder
Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ê Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ä ÖÒ Ò Ë Ó Þ ÖÓ ÄÙ Ê Ø ÃÙÖØ Ö Ò Ê ÔÓÖØ Ï ½½ Å Ý ¾¼¼½ Ò Ã Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä ÙÚ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ß ¹ ¼¼½ À
Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ê Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ä ÖÒ Ò Ë Ó Þ ÖÓ ÄÙ Ê Ø ÃÙÖØ Ö Ò Ê ÔÓÖØ Ï ½½ Å Ý ¾¼¼½ Ò Ã Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä ÙÚ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ß ¹ ¼¼½ À Ú ÖÐ Ð Ùѵ Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ê Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ä ÖÒ Ò Ë Ó Þ ÖÓ
Ë ÑÑ Ò Ö Á ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ø Ö Ø Ñ Ø ÒÝØØ Ð Ø ÚØ Ô Ö ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÖ ÖÙØ Ö ÓÖ ÙÑ ÖÙÒÒ ØÓ ÒÙÑÑ Ö ½¼ µ Ú ÖÙ Ú Ú ¹Ú ØÖ ÓÒº ËÝ Ø Ñ Ø Ö ÙØÚ Ð Ø ËÁË Ã¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ Ö Ø Ò ØÖÙÑ ÒØ ÓÖ ÙÖØ ÓÒÐ Ò Ú ¹Ú ØÖ ÓÒº Á ÓÑ Ò ÓÒ Ñ
½º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ ¾º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ º ÙØ Ú Ú» ÓÖ ØØ ÖÒ ÓÙ Ò ÓÛÒÐÓ Ò Ù Ø Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÝ Ù Ø ØÓ Ø Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ÈÙ Ð ÓÔÝÖ Ø Ä Ò Å Ö º
Ú Ò ÀÓÐØ Ö ÒÒ ÁÒ Ö Ø Ò ÀÙ Ó È ÖÖ Ý Ó Ò Ö Ö ÙÖ Ö Ý Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ç ÐÓ ½º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ ¾º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ º ÙØ Ú Ú» ÓÖ ØØ ÖÒ ÓÙ Ò ÓÛÒÐÓ Ò Ù Ø Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÝ Ù Ø ØÓ Ø Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ
Ë ÑÑ Ò Ö Ú ÓÚ ÔÖÓ Ø Ì ØØ Ð ÅÌ ÆÖ ½¼ ÓÑÔÐ Ü ÅÓ Ð Ì ÒÝ Ð ØÓ ½ º¼ º¼ ÐØ Ö µ Î Ð Ö µ Ä Ö À ÐÚÓÖ ÒÙÒ ÂÓÒ Ö Ò Ì ÓÑ Ù Ø ÝÚ Ò ÃÓÐ ÇÔÔ Ö Ú Ö ËÙÒ Ø Ñ Ë Ö Ú Ë ÙÖ
½ Ë ÑÑ Ò Ö Ú ÓÚ ÔÖÓ Ø Ì ØØ Ð ÅÌ ÆÖ ½¼ ÓÑÔÐ Ü ÅÓ Ð Ì ÒÝ Ð ØÓ ½ º¼ º¼ ÐØ Ö µ Î Ð Ö µ Ä Ö À ÐÚÓÖ ÒÙÒ ÂÓÒ Ö Ò Ì ÓÑ Ù Ø ÝÚ Ò ÃÓÐ ÇÔÔ Ö Ú Ö ËÙÒ Ø Ñ Ë Ö Ú Ë ÙÖ Å Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ø ÑºÓÑ ÃÓÒØ ØÔ Ö ÓÒ Ì ÓÑ Ù Ø ËØ ÓÖ µ
ÔÔÖÓ Ò Ø ÓÖÑ Ð Ò Ò Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ Ì Ê ØÖ Ò Ñ ÒØ ÈÓ Ø ÓÒ Ê Ö Ò Þ Ð Û Â Ë ÑÓÒ Ö Ö Ê Ö ÖÓ Å Ð ÈÓÔÔÐ ØÓÒ ËÙ Ò ËØ ÔÒ Ý Ò ËØ Ú Ò Ã Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò
ÔÔÖÓ Ò Ø ÓÖÑ Ð Ò Ò Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ Ì Ê ØÖ Ò Ñ ÒØ ÈÓ Ø ÓÒ Ê Ö Ò Þ Ð Û Â Ë ÑÓÒ Ö Ö Ê Ö ÖÓ Å Ð ÈÓÔÔÐ ØÓÒ ËÙ Ò ËØ ÔÒ Ý Ò ËØ Ú Ò Ã Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Å Ò Ø Ö Å½ ÈÄ ÍÃ Ò Ö Ö ÖÖÓ
State and Transition Definition in Source Code. Contract Definition. public class BeginUpUpContract implements IContract< IMeasurementVariables >
ÅÓÒ ØÓÖ Ò ÅÓ Ð ËÔ Ø ÓÒ Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ó È ØØ ÖÒ ÅÓÖ ØÞ ÐÞ Å Ð ËØÖ Û Ò Å Ð Ó È ÐÙÒÓ Ì ÊÙ Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ËÓ ØÛ Ö Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ù ÙÖ ¹ Ò Ò ÖÑ ÒÝ ßÑÓÖ ØÞº ÐÞ Ñ Ðº ØÖ Û Ñ Ðº Ó Ð ºÙÒ ¹ Ù º ½ ØÖ Øº ÆÙÑ ÖÓÙ ÔÔÖÓ
ÔÐÓÑÓÔÔ Ú Ý Å ÖÓ Ð Ö ÓÑ ØÖ ÒÚ Ò Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÒØ Ö ÖÝ ØÚ Ú ÒØÓÑ Ý Ø Ò ÃÐ Ñ Ø Ò ÂÙÒ ¾¼¼ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ò ØÙÖÚ Ø Ò ÔÐ ÙÐØ Ø ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ý ÆÓÖ ÐÝ Ó ÖÚ ØÓÖ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø ÌÖÓÑ ¼ ÌÖÓÑ Ø Ð ÓÒ ½ ¼ Ø
ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø ËØ Ú Ò Ö Å Ø ÖÓÔÔ Ú ¾¼½½ Ê ÒØ Ò Ö ÓÒº ÖÛ Ò ÝÒ Ñ Ø ÓÖ ÓÖ Ö ÓÒ ÓÑ ØÖ º Á Å Ö ÇÙ º ÒÙ Ö ¾¼½¾ ¾ Ë ÑÑ Ò Ö Ì Ñ Ø ÓÖ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÝÒ Ñ Ø ÓÖ ÓÖ Ö ÒØ Ò ¹ Ö ÓÒ º ÇÔÔ Ú Ò Ö ÙØ Ò ÔÙÒ Ø º º
¾
¾ Ë ÑÑ Ò Ö Ò ÒØÖ Ð Ø ÓÖ ÒÒ Ò ÐØ Ø Ö ÒØ Ò Ö ÓÒ Ö ØÖ ÓÒ ÐØ ÚÖØ Û Ð ¹ ÚÓÒ Ä Ù Ø ÓÖ Òº Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ö ÒÝØØ Ø Ø ÓÖ Ö Ò ÖÛ Ò ÔÙ Ð ÖØ ½ ½ º ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ø Ö Ö Ø ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ò Ò Ñ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ð ÖÛ Ò ÚÓÖ ÒØÖ Ð Ö Ô Ð
Î ÐØÖÓÒ¹ ÔÒÒ Ö ÓÒÒ Ëʵ Ö Ø Ò ÒÖÒ ÐØÖÓÒÒ ÔÒÒ ÓÑ ØÐ ÚÖÒ ÑÖÖ Ò ÒÖÒ ÑÒØ ÓÖÓк Á ÑÖÓÐÓÑÖØ Ö Ø Ò ÖÓØ ÓÒ Ú ÑÓÐÝÐØ ÓÑ ÖÖ ØÐ Ò ÒÖÒ Ú Ø ÐØÖ ÐØ ÖÙÒØ Øº Á Ø ÒÖÖ Ó
ÃÂŽ¼¼ ÐÓÔÔÚ ½ ¹ Áʹ ÔØÖÓ ÓÔ ÅÐ ÅÐØ Ñ ÒÒ ÓÔÔÚÒ Ö ÙÒÒ ÐÐ ÑÐÐÓÑ Áʹ ÔØÖÒ ØÐ À À Ó ÑØ ÙÒÒ ØÑÑ ÙÐ Ò ÔÖ ÓÑ ÓÖ ÑÔÐ ÒÒ Ú ØÒ Ó ÒÒ ØÝÖ ÖØÓÒ ØÒص ÙØÖ Ø ÁÊ ÔØÖÙѺ ÅÓÐÝÐ ÔØÖÓ ÓÔ ÅÓÐÝÐ ÔØÖÓ ÓÔ Ò ÒÖ ÓÑ ØÙØ Ú Ú ÐÚÖÒÒÒ
t=0 t=0 U(c, l) = β u(c t, l in t )
Ó ÓÓÔ Ö Ø Ú Ò Ø Ø ÔÓÓÖ Ú Ò ÖÓÑ Ø ÓÔ Å Ö ÊÓ Ö Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ö ÙÐØÙÖ Ð Ò ÔÔÐ ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï ÓÒ Ò Å ÓÒ ÖÓ Ö ÓÛ º Ù Ë Ð Ø Ô Ô Ö ÓÖ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÙÐØÙÖ Ð Ò ÔÔÐ ÓÒÓÑ Ó Ø ÓÒ³ ¾¼½¾ ÒÒÙ Ð Å Ø Ò Ë ØØÐ Ï Ò
À ¹Ä Ú Ð Ü ÙØ Ð ËÔ Ø ÓÒ Ó ØÖ ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ º Ä Ù ËÓØØ º ËØÓÐÐ Ö Ò Ó Ä Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ø ËØÓÒÝ ÖÓÓ ßÐ Ù ØÓÐÐ Ö ÓÐ ÒÐ
À ¹Ä Ú Ð Ü ÙØ Ð ËÔ Ø ÓÒ Ó ØÖ ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ º Ä Ù ËÓØØ º ËØÓÐÐ Ö Ò Ó Ä Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ø ËØÓÒÝ ÖÓÓ ßÐ Ù ØÓÐÐ Ö ÓÐ ÒÐ º ØÓÒÝ ÖÓÓ º Ù ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö Ö Ñ Ø Ó ÓÖ Ô Ý Ò ÓÑÔÐ
ËØ Ø Ø È Ý Ò Ð ØØ ÜØ Å ÖØ Ò ÀÓÐØ Ù ½ ÖÐ ÚÓÒ Ç ØÞ Ý ÍÒ Ú Ö ØØ ÇÐ Ò ÙÖ ÃÓÖÖ ÖØ ÙÒ ÚÓÑ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ½ ÓÐØ Ù Ø ÓÖ ºÔ Ý ºÙÒ ¹ÓÐ Ò ÙÖ º
ËØ Ø Ø È Ý Ò Ð ØØ ÜØ Å ÖØ Ò ÀÓÐØ Ù ½ ÖÐ ÚÓÒ Ç ØÞ Ý ÍÒ Ú Ö ØØ ÇÐ Ò ÙÖ ÃÓÖÖ ÖØ ÙÒ ÚÓÑ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ½ ÓÐØ Ù Ø ÓÖ ºÔ Ý ºÙÒ ¹ÓÐ Ò ÙÖ º ÁÖÖØÙÑ Ú ÖÐ Ø ÙÒ Ò Ó Þ Ø Ò Ö Ö Ò ÁÑÑ Ö Ò ØÖ Ò Ò Ø Ð ÞÙÖ Ï Ö Ø Ò Òº
ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ì ÓÖÝ Ö ÔØ ÓÒ Ó À ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ËØ Ø Ò Ê Ô ÐÝ ÊÓØ Ø Ò Ó ÖÚ Ë Ù Ò Ì ËÙ Ñ ØØ ÓÖ Ø Å Ø Ö³ Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ç ÐÓ ÂÙÒ ¾¼¼
ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ì ÓÖÝ Ö ÔØ ÓÒ Ó À ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ËØ Ø Ò Ê Ô ÐÝ ÊÓØ Ø Ò Ó ÖÚ Ë Ù Ò Ì ËÙ Ñ ØØ ÓÖ Ø Å Ø Ö³ Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ç ÐÓ ÂÙÒ ¾¼¼ Ì Ö Ø Ó Ö Ñ Ø Ú Ð Ø Ñ Ò Ú Ð Ö ËÙ ÒÒ Î Ö ÓÑ ÓÖ ÐÓ ÓÔÔ Ú Ò Ñ Ò Ó
arxiv:cs/ v1 [cs.lo] 25 Oct 2002
![arxiv:cs/ v1 [cs.lo] 25 Oct 2002](/thumbs/102/154648756.jpg "arxiv:cs/ v1 [cs.lo] 25 Oct 2002")
arxiv:cs/020022v [cs.lo] 25 Oct 2002 Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ö Ñ ÒØ Ó Ë ÓÒ ¹ÇÖ Ö ÃÐ Ù Ð Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò Ä Ñ ÐÙÐÙ Abstract Â Ò ÂÓ ÒÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ó ÓÒ ¹ÓÖ Ö
k=1 L = lim k=1 ˆ j dx sgn GL = i
Ë Ò Ô ÐÐÓÚ Ö Ø Ù Ð Ò ÓÒ ØÓÖ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ö ÙÒ Ý ÂÓ Ò À ÖÚ Ý È ÖÖ Ë ÐÓ + ÎÐ Ñ Ö ÎÓÐ ÓÚ Ì Ñ Ò Ò Ë ÓÓÐ Ó Ù Ò Ò ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ñ Ò +Ï Ð Ö Ä ÙÖ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÂÙÐÝ ¾¼½ ØÖ Ø Ì Ô ÐÐÓÚ Ö Ø Ó ÒØ ÖÓÒÒ Ø Ò ØÛ Ò
¾º  k 0 Ö f(n) = Θ(n log b a log k n) ØÙÓÑ Ø T(n) = Θ(n log b a log k+1 n) < cf(n)
Ë ÙÓ ÑÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó Ð ÓÖ ØÑ ½ Ë Ú Ö Ò Ù Å ¼ Ð Ñ Ö Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» ÞÙ» Ó¹ Ð ÓÖ ØÑ» Ó¹ Ð ÓÖ ØÑ ºÔ ½ È ØÓ Ô Ø ØÓ È Ö ÈÓ ØËÖ ÔØ ÓÖÑ Ø º Ì Ô Ô Ø Ô ÖÙÓ Ø Ä Ì ÎÁ Ú Ö ÒØ º ÌÙÖ ÒÝ ½ Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ¾ ½º½ à РØ
PDF created with pdffactory Pro trial version
[ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô Ì ± « Forord Ò ; ±¹ ²» ³«¹»» òòò [ ²»² ª ; µ«² ¹» ¼» º± îðïéô ¹ «²²»² ¼»»» ¼» µ±³³» ² ³³» ² º± ¾ ²» ¹» «¹«±³ ¹ ( ¼» ¾»²¼ ²¹»»²»» ; ²» ò Ê»² : ¼»» ª µ ¹ ±¾¾ ±¹ ¼»² µ ª º± ª» ¹±¼ ò
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI
NORGES EKNISK- NAURIENSKAPELIGE UNIERSIE INSIU FOR KJEMI KJ4160 FYSIKALSK KJEMI GK, ÅREN 2008 Onsdag 28. mai 2008 id: 9.00-13.00 Faglig kontakt under eksamen: Førsteaman. Morten Bjørgen, tlf. 47 28 88
ÅØÑØ Ò ØØÙØØ ÖÐ Ö ÚÐÒÒÖ ÓÑ ØÖÑÒÒØÖ Ú ÙÒØÙØÓÑÓÖÖ ÀÒ ÂÖÒ ÊÖÚÓÐ ÀÓÚÓÔÔÚ ÑØÑØ ÎÖÒ ¾¼¼¾ ÓÖÓÖ À ØÓÖÒ ÒÒ ÓÔÔÚÒ Ö Ø ÔÖ Ö ØÐ Ó Ö ØØ ÙØ ÔÖÒ Ö ÄÛ Ó ÆÐ ÚÖÐ ÖÖ ÓÑÔÐ ÒÐÝ º ÖÖØ ÒÑÐ Ñ ÑÒ ÚÐÖ ÓÑ ØØÖ ÚÖØ Ò ÑÙÐ ÓÚÓÔÔÚ ÔÖÓÐÑغ
ËØ Ø ËÐ Ò ÅÓØ ÓÒ È ÒÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ Ð ËÝ Ø Ñ Á ÓÖ º ÂÙÒ Ö ÂÓ Ò Âº ËØ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ð Ð Ì Ò ÙÐØ Ø Æ ÙÖÓ Ò ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ØÖ ¾ Ð Ð ½ Ê ÙÒ ÖØ ºÙÒ ¹ Ð Ð º Ø
ËØØ ËÐÒ ÅÓØÓÒ ÈÒÓÑÒ Ò ÝÒÑÐ ËÝ ØÑ ÁÓÖ º ÂÙÒÖ ÂÓÒ Âº ËØÐ ÍÒÚÖ ØØ ÐÐ ÌÒ ÙÐØØ ÆÙÖÓÒÓÖÑØ ÍÒÚÖ ØØ ØÖ ¾ ÐÐ Ê ÙÒÖغÙÒ¹Ðк ØÐغÙÒ¹Ðк ØÖØ Ï ÔÖ ÒØ ÒÛ ØÝÔ Ó ÐÒ ÑÓØÓÒ Û Ö ÙÐØ ÖÓÑ ÒÓÚÐ Ó Ó Ø ÐÒ ÙÖ º Ï Ù Ø ØÓ Ò Ø Ù
PDF created with pdffactory Pro trial version
[ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô λ¹²¾² Forord Ü»²²» ²»² ¹» ¼» º ²«¼»»³¾» îðïéò a» ª ¼»»» ô ª ¼» ¾»² ² ³³» ² º± ¾ ²» ¹»²ò Ü»²²» µ ª ¾ «µ» ¼ ¾ ¹±¼ µ»² ³»¼ô ±¹ îðïè ª ²² ± ¼» ¼»²²» ªb» ³»¼»¹» ²»² ª ò»»³¾» îðïê ¼¼»
En ekte involusjon på Waldhausens rigid-tube - avbildning. Sverre An dré Lun øe-n ielsen. Skriftlig del av Cand. Scient. -graden i matematikk
Universitetet i O slo M atematisk I nstitutt En ekte involusjon på Waldhausens rigid-tube - avbildning Sverre An dré Lun øe-n ielsen Skriftlig del av Cand. Scient. -graden i matematikk 2. mai 2000 ÁÒÒÓÐ
ÓÒØÒØ ½ ÖÙÒÒÐÒ ÖÔÖº ¾ ÔÖÑØÚØ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÖÞÓÖÞÝÖÖØ ½ Æ ØØ ÖÙÖ ÓÒº ¾ ÃÐÑÖÐÑÒØÖ ÙÒ ÓÒÒ ¾ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÅÒÖ ¾ ¹ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ½
ÀǹÒÓØØ ¾¼¼¼ ÒÖ ¾ ÁËÆ ¾¹¹¼½¹ ÁËËÆ ¼¼¹½¼ ÄØØ ÙÖÙÖ ÓÒ ØÓÖ Ó Ò ÑÒÖ ÖÙÖ ÓÒ ØÓÖ ÄÖ ÃÖ ØÒ Ò ¹ÑÐ ÐÖ ÖÙºÓ ÐÓºÒÓ ÃÓÑÔÒÙÑ À ÓÐÒ Ç ÐÓ ÚÐÒ ÓÖ ÒÒÖÙØÒÒÒ ¾¼¼¼ ÓÒØÒØ ½ ÖÙÒÒÐÒ ÖÔÖº ¾ ÔÖÑØÚØ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÖÞÓÖÞÝÖÖØ ½ Æ ØØ
PDF created with pdffactory Pro trial version
[ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô ß«¹»²¼ ¼»² Forord Ÿ ² îðïé ¹»² ¾» µ ª»» ª ¾ ²» ¹»² ±»ô»»² ±² ª ¾ ²» ¹»²ô µ µ» ± ² ²¹» ±¹ ª»¼ ¹±¹ µ» ¾» ¼ò Ð ² ¾» ¼» ¾ ²» ¹»²» ¾ ¹¹» ± ºa ¹»²¼» ³»æ ó Î ³³» ² º± ¾ ²» ¹»² ²² ± ¼ ±¹
1 ϕ(y)dy = f(x), x, y D = [0, 1]d x y. D ijk = [a i 1, a i ] [a j 1, a j ] [a k 1, a k ], 0 = a 0 < a 1 <... < a n = 1
![1 ϕ(y)dy = f(x), x, y D = [0, 1]d x y. D ijk = [a i 1, a i ] [a j 1, a j ] [a k 1, a k ], 0 = a 0 < a 1 <... < a n = 1](/thumbs/101/149691625.jpg "1 ϕ(y)dy = f(x), x, y D = [0, 1]d x y. D ijk = [a i 1, a i ] [a j 1, a j ] [a k 1, a k ], 0 = a 0 < a 1 <... < a n = 1")
Ä Ê ËÍ ÄÁÆ Ê ÇÊ ÅÍÄÌÁ¹ ÁÅ ÆËÁÇÆ Ä Ì ÆËÇÊ ÈÊÇ Ä ÅË Ù Ò ÌÝÖØÝ Ò ÓÚ Ø ÒÑºÖ ºÖÙ Ó ÆÙÑ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÑÝ Ó Ë Ò ÊÙ Ò Ç ÌÀ Ì Äà ÇÎ ÊÎÁ Ï ÀÙ ¹ Ð Ø ÐÐ ÓÖ Ù Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ì Ò ÓÖ ÖÓÙÒ ÌÙ Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÒÓÒ Ð
arxiv:math.dg/ v1 15 Nov 2004
arxiv:math.dg/0411334 v1 15 Nov 2004 ÇÒ Ø ÃË ÈÖÒ ÓÖ ÃĐÐÖ ÉÙÒØÞØÓÒ Ó Ø ÓØÒÒØ ÙÒÐ Ó Ä ÖÓÙÔ ÖÐÓ ÐÓÖÒØÒÓ Ý ÈÖÓ ÅØ Þ ÂÓ ÅÓÙÖÓ Ý Ò ÂÓÓ Èº ÆÙÒ Ý ÅÖ ¼¼ ØÖØ ÒØÙÖÐ ÓÒ¹ÔÖÑØÖ ÑÐÝ Ó ÃĐÐÖ ÕÙÒØÞØÓÒ Ó Ø ÓØÒÒØ ÙÒÐ Ó ÓÑÔØ
Ê ÙÐ Ö Ò Ò ÙÐ Ö ß ÐÓ Ò Ó «Ö Ò ÓÖÖ Ø ÑÙÐØ Ø Ô Ñ Ø Ó ÓÖ ÒÓÒ Ø «Ò ܹ¾ ÖÑ Ò Ö Ú ÐÓ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ë ÒØ ÓÑÔÙØ Ò Ò ËØ Ø Ø Ë Ñ ÓÒ ÓÐ Ú Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØ Ó ¼¼¼ Ö
ÊÙÐÖ ÙÐÖ ßÐÓ Ó «Ö ÓÖÖØ ÑÙÐØ ØÔ ÑØÓ ÓÖ Ó Ø«Ü¹¾ ÖÑ ÖÚÐÓ ½ ÔÖØÑØ Ó ËØ ÓÑÔÙØ ËØØ Ø ËÑÓ ÓÐÚÖ ÍÚÖ ØÝ ÔÖØÓ ¼¼¼ Ö ½¼¼¹ ÎÞÙÐ Ñ ÑºÙ ºÚµ ÐÙ ĐÙÖÖ Ù Ø ËĐÓÖÐ ¾ ÆÙÑÖÐ ÐÝ ØÖ ÓÖ ÅØÑØÐ Ë ÄÙ ÍÚÖ ØÝ ÓÜ ½½ ˹¾¾½ ¼¼ ÄÙ ËÛ ÐÙ
IMM DACE A MATLAB KRIGING TOOLBOX VERSION 2.0. Søren N. Lophaven Hans Bruun Nielsen Jacob Søndergaard TECHNICAL REPORT IMM-REP
IMM INFORMATICS AND MATHEMATICAL MODELLING Technical University of Denmark DK-2800 Kongens Lyngby Denmark J. No. DACE1 1.8.2002 HBN/ms DACE A MATLAB KRIGING TOOLBOX VERSION 2.0 Søren N. Lophaven Hans Bruun
ÈÖÓ Ò ÙÖÓÈÎÅ»ÅÈÁ ¾¼¼ Ë Ôº ½ ¹¾¾ Ù Ô Ø ÀÙÒ ÖÝ ÄÆ Ë ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ¾¼¼ º ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ÔÖ Ò Öº»ÓÑÔ»ÐÒ» Ò Üº ØÑÐ ÅÓÖ Æ ÒØ Ê ÙØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÆÓÒ¹
ÈÖÓÒ ÙÖÓÈÎÅ»ÅÈÁ ¾¼¼ ËÔº ½¹¾¾ ÙÔ Ø ÀÙÒÖÝ ÄÆË ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ¾¼¼º ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ÔÖÒÖº»ÓÑÔ»ÐÒ»ÒܺØÑÐ ÅÓÖ ÆÒØ ÊÙØÓÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆÓÒ¹ÔÓÛÖ¹Ó¹ØÛÓ ÆÙÑÖ Ó ÈÖÓ ÓÖ Ò Å ¹È Ò ÈÖÐÐÐ ËÝ ØÑ ÊÓÐ ÊÒ ÒÖ ½ Ò Â ÔÖ ÄÖ ÓÒ ÌÖĐ«¾
Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÌÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÁÒÚ Ö ÒØ ËØÖ Ò Å Ø Ò ÜØ Ò ØÖ Øµ Î Ð Å Ò Ò ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ó Í ÓÒ Ò ½ ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÈºÇ ÓÜ ¾ Ì ÓÐÐ ÙÙ ØÙ ¾ µ
ÐÓÖØÑ ÓÖ ÌÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÁÒÚÖÒØ ËØÖÒ ÅØÒ ÜØÒ ØÖص ÎÐ ÅÒÒ ½ ÓÒÞÐÓ ÆÚÖÖÓ ¾ Ò Ó ÍÓÒÒ ½ ¾ ½ ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÈºÇ ÓÜ ¾ ÌÓÐÐ ÙÙ ØÙ ¾ µ Áƹ¼¼¼½ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÀÐ Ò ÒÐÒº ßÚÑÒÒ ÙÓÒÒÐ ºÐ Òº ÒØÖ ÓÖ Ï Ê Ö ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ
arxiv: v1 [cond-mat.mtrl-sci] 7 May 2009
![arxiv: v1 [cond-mat.mtrl-sci] 7 May 2009](/thumbs/103/161362894.jpg "arxiv: v1 [cond-mat.mtrl-sci] 7 May 2009")
ÎÖØÓÒÐ ÔÖÓÔÖØ Ó ÖÔÒ ÒÒÓÖÓÒ Ý Ö Ø¹ÔÖÒÔÐ ÐÙÐØÓÒ ÊÓÐÒ ÐÐÒ ÅÖÐ ÅÓÖ ÂÒÒ ÅÙÐØÞ Ò Ö ØÒ ÌÓÑ Ò arxiv:0905.1035v1 [cond-mat.mtrl-sci] 7 May 2009 ÁÒ ØØÙØ Ö ØÖÔÖÔÝ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÖÐÒ ÀÖÒÖ ØÖº ½¼¾ ÖÐÒ Ø ÇØÓÖ ½ ¾¼½µ ØÖØ
ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ö Ò Ó ÈÓØØ Ö Ö ÒÓ ºÈÓØØ Ö ÒÖ º Ö Î Ò ÒØ Ë ÑÓÒ Ø Î Ò ÒØºË ÑÓÒ Ø ÒÖ º Ö ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй
ÁÒÓÖÑØÓÒ ÐÓÛ ÁÒÖÒ ÓÖ ÅÄ ÖÒÓ ÈÓØØÖ ÖÒÓ ºÈÓØØÖÒÖºÖ ÎÒÒØ ËÑÓÒØ ÎÒÒغËÑÓÒØÒÖºÖ ØÖØ Ì ÔÔÖ ÔÖ ÒØ ØÝÔ¹ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÛ ÒÐÝ ÓÖ ÐйݹÚÐÙ ¹ÐÙÐÙ ÕÙÔÔ ÛØ ÖÖÒ Ü¹ ÔØÓÒ Ò ÐعÔÓÐÝÑÓÖÔ Ñ Û Û ÖÖ ØÓ ÓÖ Åĺ Ì ØÝÔ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÒع
ÍÌ Ù Ø Ò Î ÐÐ ¾¼¼ Æ Û ÊÓ Ó ÙÔ ÓÙÖ¹Ä Ì Ñ È Ø Ö ËØÓÒ ÃÙÖØ Ö Ò Ö Ë Ð Ñ Ìº Ö Ó Ò È Ý ÐÑ Ò Æ ÓРú ÂÓÒ Æ Ø ÃÓ Ð Ö ÓÖÝ ÃÙ ÐÑ ÒÒ ÐÐ Ä Ò ÅÓ Ò ËÖ Ö Ò Ò Ð ËØÖÓÒ
ÍÌ Ù ØÒ ÎÐÐ ¾¼¼ ÆÛ ÊÓÓÙÔ ÓÙÖ¹Ä ÌÑ ÈØÖ ËØÓÒ ÃÙÖØ Ö ÒÖ ËÐÑ Ìº ÖÓÒ ÈÝ ÐÑÒ ÆÓРú ÂÓÒ ÆØ ÃÓÐ ÖÓÖÝ ÃÙÐÑÒÒ ÐÐ ÄÒ ÅÓÒ ËÖÖÒ ÒÐ ËØÖÓÒÖ ÙÖÙ ÝÑ ÀÖÖÒ ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ì ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÌÜ Ø Ù ØÒ ½ ÍÒÚÖ ØÝ ËØØÓÒ ¼¼¼ Ù
Instituto de Sistemas e Robótica. Pólo de Lisboa
ÄÖÒÒ ÚÓÖ¹ ÐØÓÒ Ò ÑÙÐعÓÐ ÖÓÓØ Ø ËÒÖ ÐÖ ÒÓ ÄÙ Ù ØÓÓ Ê̹¼½¹¼¾ Instituto de Sistemas e Robótica Pólo de Lisboa ÄÖÒÒ ÚÓÖ¹ ÐØÓÒ Ò ÑÙÐعÓÐ ÖÓÓØ Ø ËÒÖ ÐÖ ÒÓ ÖÙÖÝ ¾¼¼¾ Ê̹¼½¹¼¾ ÄÙ Ù ØÓÓ ÁËÊ ÌÓÖÖ ÆÓÖØ Úº ÊÓÚ Ó
! " # $ % & ^Pv`!$ x âîv7ç È'Ç È b j k Æ' z{3 b jkæ b ÇÈÉÊ&( )! c q r É. xy+ - Êlm l D E ` &! D E â î #" ' #$ '#! v( D/Ev A B x y&?
! " )*+,-/ 0 $$ "#2!$3456578 56 34 " 56!< >?@ABCDE,-
Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a.
![Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a.](/thumbs/62/47219195.jpg "Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a.")
o o {rb} rprr på r år o prpp rpro r r rr rpro o r o or α r o or bor brp or b rr på ppr r r r r r rrr år på o oroooro o r or o br å r r pår r r orør p o b b år r å r o o o rprrr o p o rprrr o or op r r
P ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2. ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ. ˆ Š œš ˆ ƒ. ƒ Š. ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö
P18-2007-163. ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2 Œ Œ ƒ Œ ƒ ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ ˆŸ ˆŸ ˆ Š œš ˆ ƒ ˆŸ Œ ƒ Š ƒ Š ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö 1 É Ö ÒÌ ² μ Œμ μ²ó ±μ μ μ Ê É μ μ Ê - É É, ² - Éμ 2 ƒμ μ-μ μ É É ²Ó Ò
Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ
Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä837 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ Š Œ ƒ Š Š Š ˆŒ ˆ ˆ. Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μë ± Ê É É ³.. Š² ³ É Ì ±μ μ, μë Ö μ Éμ É μ μ
Recorded signals in time. Transducers Array. Recorded signals in time. Transducers Array
ÌÁÅ ÊÎÊËÄ Æ ÊÇÍËÁÆ ÁÆ ÊÆÇÅ ÅÁ ÍÁÄÄÍÅ Ä Æ ÄÇÆÁ ÊÀÁÃ Ý ØÖغ ÁÒ ØÑ ÖÚÖ Ð ÓÙ Ø ÜÔÖÑÒØ ÒÐ ÑØØ ÖÓÑ ÐÓÐÞ ÓÙÖ ÖÓÖ Ø Ò ÖÖÝ Ó ÖÚÖ ØÑ ÖÚÖ Ò ÒÐÐÝ Ö¹ÑØØ ÒØÓ Ø ÑÙѺ ÐÖØ ØÙÖ Ó ØÑ ÖÚÖ Ð ÜÔÖÑÒØ ØØ Ø ÖÓÙ Ò Ó Ø Ö¹ÑØØ ÒÐ
ÄÒÖØÒ ½ ÃÖØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÄÒÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ËØ
¹ ÌÝ ÆÓÖ ¹ ÆÓÖ ÌÝ ¾ ½ ÊØ ÙÒ ÁÒÓ ÅÖ ØÒÖ ¾º ÖÙÖ ¾¼¼ ÄÒÖØÒ ½ ÃÖØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÄÒÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ËØÖÒÖØ
ÄÒÖØÒ ½º½ ÃÖØÒ ½ ÄÒÖØÒ ½º½º½ ÄÒÖØ ½º½ ÃÖØÒ ÄÒÖØÒ ½º½º¾ ËØÖÒÖØ ½º½º ÈÖÓÚÒÞÒ
½ ¾ ÆÓÖ ¹ ÌÝ ÌÝ ¹ ÆÓÖ ÊØ ÙÒ ÁÒÓ ÅÖ ØÒÖ ¾º ÖÙÖ ¾¼¼ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ ÄÒÖØÒ ½º½ ÃÖØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÄÒÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
DRIFTSANALYSER 2012/2013 FORELØBIGE RESULTATER
DRIFTSANALYSER FORELØBIGE RESULTATER A B C D E F C G H E I J K L B K F G K! " # $ %! & ' ( ) ( * + #, -! &!. & ) /! ( / ) - 0 1 - ' #.! ( ( * ' 1 2 ( (! 3 4 " (! - 5 6!! 7 % ' # 7 4 " (! - 1 2 # 7 4 8-1
ﺪ ﻩ ﻋﺍ ﻮﹶ ﻭ ﻗ ﻪ ﹾﻘ ﹾﻟ ﻔ ﺍ ﹺﻝ ﻮ ﹸﺃ ﺻ ﹸ ﻣ ﺔ ﻮﹸ ﻈ ﻣ ﻨ $ ﺡﺮﺷ! " ' (# $% & )*! +,!* -
م ن ة ظو م ل ا ا ل صو ق ف ه و ع وا ق و ه د $ شرح ٢ الا ول] [الدرس :$, : $ $, : ; $, موقع التف ري غ للدرو س الع لمية والبحوث الشرعي ة Ï Î Í Ì ٣,,,,,, : :, :,, :,, : $,,,,,, : :,, :,,:ÑÐ, :,,,, :,, :,,,,,,,,
Թػ¼½¼ ¼ ÍÏÌ È ¹¾¼¼½¹½ ÌÍϹ¼½¹¼½¾ Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú Ô ÓØÓÒ Ð ¹ Ò Ö Ý ØÓ ÐÐ ÓÖ Ö Ú Ë Ö ¹Ï ØØ Ò Ñ Ô Ò Ö Ð ½ Â Ô Ö Ö Ñ ØÖÙÔ ¾ À Ö Ð ÖÓ ÄÙ
Թػ¼¼¼ ÍÏÌȹ¼¼¹ ÌÍϹ¼¹¼ ÊÒÓÖÑÞØÓÒ Ó Ø ÒÓÒÓÑÑÙØØÚ ÔÓØÓÒ ¹ÒÖÝ ØÓ ÓÖÖ Ú ËÖ¹ÏØØÒ ÑÔ ÒÖ Â ÔÖ ÖÑ ØÖÙÔ ÀÖ ÖÓ ÄÙ ÈÓÔÔ ÅÒÖ ËÛ ÊÑÖ ÏÙÒÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÌÓÖØ ÈÝ ÌÒ ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ÏÒÖ ÀÙÔØ ØÖ ¹¼ ¹¼¼ ÏÒ Ù ØÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ
Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2018.. 49.. 2.. 476Ä581 Œ ƒ ˆŠ Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ.. ƒê μ 1, 2,.. Êϱ 2,. ƒ. Ê±μ ± 1,,.. ÒÏ 2 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 Í μ ²Ó Ò ² μ É ²Ó ± Ö Ò Ê É É Œˆ ˆ, Œμ ± ˆ 477 Œ ˆŸ Š ˆ Šˆ Š 480
P ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö. ÍÒ Œμ ±μ ±μ μ μ Ê É μ μ Ê É É ³. Œ..
.. ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆ Œ ˆ ˆŸ Š ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ? P14-2011-18 ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê, μ Ö 2 ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²Ó- ÍÒ Œμ ±μ ±μ
½ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ê ÓÒ ÙÖ Ð ÇÊ Á Ö Ø ØÙÖ Ç Ö Å Ò Ö ÄÙ Ë Ñ Ö Å ÖØ Ò ÅÓÖ Â Ò¹Å Ö ÐÓ Ñ ØÖ Ø Ê ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ø ÔØ ÓÒ Ó ÓÓÖ Ò Ø ÊÓØ Ø ÓÒ Á Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö ÇÊ Á µ Ù
½ ÔÔÐØÓÒ Ó ÊÓÒ ÙÖÐ ÇÊÁ ÖØØÙÖ Ç Ö ÅÒÖ ÄÙ ËÑÖ ÅÖØÒ ÅÓÖ ÂÒ¹ÅÖ ÐÓ Ñ ØÖØ ÊÓÒ ÙÖØÓÒ ÒÐ Ø ÔØÓÒ Ó ÓÓÖÒØ ÊÓØØÓÒ ÁØÐ ÓÑÔÙØÖ ÇÊÁµ ÙÒØ ØÓ Ø Ô Ò Ó Ø Ó ÔÔй ØÓÒ Ò ÖØÒ ÔÔÐØÓÒ Ô ÇÊÁ¹ ØÝÐ ÑÔÐÑÒØØÓÒ º ÊÓÒ ÙÖØÓÒ Ò ÑÔÐÑÒØ
ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ
Ó³ Ÿ. 2017.. 14, º 1(206).. 144Ä163 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ.. É ³μ μ 1,. Œ. ˆ μ,.. ˆ μ,.., ƒ.. Ö μ ƒ É Ê ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... Šμ É É μ ˆ ŠÊ Î Éμ ± É ÉÊÉ, ƒ
(a 1, a 2, a 3, a 4 ) ³Æ s 10. a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4. ( a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4) (a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4)
5 à ¹¾½ 5.1 ÇÉ» Â Â Þ Kripke Ù M =< S,, I, L > ½ Đ ÞÒ S «É S 2 n Ä ĐÞ n Ê Æ Å n = 4 ÄÝ s 0, s 1, s 2,... (a 1, a 2, a 3, a 4 ) ³Æ s 10 ȹÌĐÞ ÁÆ Ü Đ ³¹Á Ü Ô Ô Ü Ä Ü Á Æ ÔÆ ¹ Ä¹Ì Å Á a 1 a 2 a 3 a 4 Æ s
SKATTELISTE - OFFENTLIG ETTERSYN
Etettttom Talfst SkatteniVå Bunnfradrag Grunnlag Promillesats Skatt Frltak " 316611 3 2 1 4 Ingen Q () " 11911 145 45 3151ngen 217411 268 168 1 176 Ingen 21189// 368 268 7 1 876 Ingen 212811 248 148 1
Forord. Det er i kostnadsberegningen ikke tatt med kostnader til grunnerverv, VA og elektro. Antatt kostnad fra fv. 155 Osloveien er 1,6 mill.
Forord Det er i kostnadsberegningen ikke tatt med kostnader til grunnerverv, VA og elektro. Antatt kostnad fra fv. 155 Osloveien er 1,6 mill. kr Antatt kostnad alternativ vei er 8.38 mill. kr Kvernstua
Målet med dette notatet er å dokumentere at det er funnet løsmasser ved grunnen og å dokumentere miljøgiftkonsentrasjonen i sedimentene.
NOTAT Oppdrag 1110630 Grunner Indre Oslofjord Kunde Kystverket Notat nr. 001 Dato 07.01.2015 Til Fra Kopi Kristine Pedersen-Rise Tom Øyvind Jahren [Navn] Sedimentundersøkelse ved Belgskjærbåen Kystverket
tdø e. g t på dlø på re, in k kv : 12 0,5 m 2 e g r/ m l e l" e ret . st Nivå 3. : 21 å 2. å 1. X= ,342 Y= ,073 ca 1 38 nd n v k st
S f c vå R= vå Uø fi S Do f Bhy c f Ò o fø y,, H=, o,, o o å fø v y ø R o 6, R R, V H=,, v R o 6, å o v R B B v Vå B o hu o o v u jo u Vå B o hu o o v u / jo u o f o, f v u B v M u o ov uo S å, 6 K, o@ovo
Ã Ô Ø Ð ½ Ð ØÖÓ Ø Ø ½º½ ÓÙÐÓÑ ØÞ Ð ØÖÓ Ø Ø Ð ÙÖ Ò ĐÙ ÖÙÒ Ú Ö Ò Ö ÖÙÒ Ö «ØÖ Ø Ò Û Ö ÞÙÒĐ Ø ÒÑ Ð ÃÖ Ø ÞÛ Ò ÞÛ Ä ÙÒ Ò Õ ½ Ò Ö ÈÓ Ø ÓÒ Ö ½ ÙÒ Õ ¾ Ò Ö ÈÓ Ø
ÃÔØÐ ÐØÖÓ ØØ º ÓÙÐÓÑ ØÞ ÐØÖÓ ØØ Ð ÙÖ ÒĐÙÖÙÒ ÚÖ ÒÖ ÖÙÒÖ«ØÖØÒ ÛÖ ÞÙÒĐ Ø ÒÑÐ ÃÖØ ÞÛ Ò ÞÛ ÄÙÒÒ Õ Ò Ö ÈÓ ØÓÒ Ö ÙÒ Õ ¾ Ò Ö ÈÓ ØÓÒ Ö ¾ ÛÖغ Ù Ö ÜÔÖÑÒØÐÔÝ Ø ÓÙÐÓÑ ØÞ ĐÙÖ ÃÖØ ÒÒغ Ò ÛÖØ Ù ÄÙÒ Õ ÙÖ Ï ÐÛÖÙÒ ÑØ Ö
Marie-Jose Brossard-Jurkovich
à 161 EX /FA/EG Û Û Û Û Û Û q Û q y y v» 161 EX/FA/EG Û 1. v 2001 5 2126 2. v 12 Andree Lawrey Marie-Jose Brossard-Jurkovich Sebastien Surun Habit Abou Sakr t Diana Cistovaite ½ F.R.Mkandawire y Abdellatif
S i d e : 1D a t o : 1 7 j u n i Ti d : 0 9 : 0 0 : 4 1
S i d e : 1D a t o : 1 7 j u n i 2 0 1 7Ti d : 0 9 : 0 0 : 4 1 Startliste Løb 1-40 Stævne navn : Harboe Water Games 2017 Stævne by : Slagelse Arrangør : Slagelse Svømmeklub Løb 1, 200m Rygsvømning Damer
Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret
Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret 19.10.2007 Desimal Hex Beskrivelse Tegnets utseende Punktkode 0 0000 4578
Handi-Lift EA7 Målskjema
Handi-Lift EA7 Målskjema Dato: Monteringsdato: Vår ref.: Bestillings nr.: Kunde (HMS): Utprøvingsnr.: Bruker Navn: Bruker nr.: Fødselsdato: Adresse: Postnr.: Poststed: Telefon (priv.): Telefon (arb.):
Handi-Lift EA7 Målskjema
Handi-Lift EA7 Målskjema Dato: Monteringsdato: Vår ref.: Bestillings nr.: Kunde (HMS): Utprøvingsnr.: Bruker Navn: Bruker nr.: Fødselsdato: Adresse: Postnr.: Poststed: Telefon (priv.): Telefon (arb.):
Godkjenning av møteinnkalling
! " # $ % & ' ( ) * * + *, -. / 0 1 ) + * * ' - 2 2 + *, 3 " 4 3 5 4 " # 5! " # $ % & ' ( ) * * + *, -. 6 7 % 1 % ' % 2 2 8 7 - / 0 1 ) 5 3 4 3 " 4 " # 9 :! " # ; 7 + ) * 1 ) 7 + *, % / < - / / ) * < 2
Ò Ë ÙÐ Ò È Ö ÓÖÑ Ò Ò Ø ÓÖ Ò ¹ Ö Ò ËÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ ÖÓÖ º Ø Ð ÓÒ Ä ÖÖÝ ÊÙ ÓÐÔ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Â ÖÙ Ð Ñ ½ ¼ Â ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð ØÖ Ø
Ò ËÙÐÒ ÈÖÓÖÑÒ Ò Ø ÓÖ Ò¹ÖÒ ËÝÒÖÓÒÞØÓÒ ÖÓÖ º ØÐ ÓÒ ÄÖÖÝ ÊÙÓÐÔ ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ì ÀÖÛ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÂÖÙ ÐÑ ½¼ ÂÖÙ ÐÑ Á ÖÐ ØÖØ ÅÙÐØÔÖÓÖÑÑ ÑÙÐØÔÖÓ ÓÖ ÜÙØÒ Ò¹ÖÒ ÔÖÐÐÐ ÔÖÓÖÑ ÔÔÖ ØÓ ÖÕÙÖ ÒÛ ÙÐÒ ÔÓÐ º ÔÖÓÑ Ò ÒÛ Ò
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ ± É,. ˆ. ˆ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2004.. 35.. 2 Š 621.039.5; 550.837 ƒ ˆŸ Š Œ.. ± É,. ˆ. ˆ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 349 Š ƒ ƒˆ Šˆ Œ ˆ ˆ ƒ ˆ Šˆ Š ˆ 350 Ÿ œ Œ Š Œˆ ˆ ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œˆ ƒ ˆ Œ ˆ 366 ˆ œ ˆ Š ƒ - ˆ ˆˆ Œ ƒ ƒˆˆ ˆ ƒ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 01.. 4.. 1 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ ˆƒƒ Œˆ Œ Š.. ³μ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö ˆ 70 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ 7 ˆ ˆ IFW- ˆˆ ˆ Œ Œ Œ ˆˆ 79 Š ˆ 80 ˆ Š ˆ 81 E-mail: neznamov@vniief.ru