Forelesningsnotater i FYS4520

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Forelesningsnotater i FYS4520"

Transkript

1 Forelesningsnotater i FYS4520

2 1 Det kvantemekaniske mange-partikkel problem 1.1 Definisjon av mange-partikkel problemet Vi skal begrense oss til systemer av fermioner, som kan behandles ikkerelativistisk. Egenskapene til et system av n identiske fermioner er bestemt av Schrødinger ligningen H(x 1, x 2,...,x n )Ψ λ (x 1, x 2,...,x n ) = E λ Ψ λ (x 1, x 2,..., x n ) (1-1) Her er x i koordinatene, inklusive spinn-variable, til den i-te partikkel, mens λ representerer settet av kvantetall som er nødvendige for en entyig spesifikasjon av tilstanden Ψ. Hamiltonoperatoren H kan skrives som H = T + V der T er operatoren for den kinetiske energi T = n i=1 p 2 n i 2m = ) ( 2 2m i 2 = i=1 n t(x i ) i=1 (1-2a) (1-2b) og V er operatoren for den potensiell energi. n n V = u(x i ) + v(x i, x j ) i=1 j i=1 (1-2c) Her har vi antatt at operatoren for den potensielle energi består av en enpartikkel operator u og en to-partikkel operator v. En-partikkel operatoren u representerer et ytre felt som den enkelte partikkel beveger seg i, mens to-partikkel operatoren v representerer den innbyrdes vekselvirkning mellom partiklene. Det er vanlig å kalle egenverdiproblemet definert ved (1-1) og (1-2) for det kvantemekaniske mange-partikkel (eller mer presist n-partikkel) problem. Det som gjør dette problemet ikke-triviellt, slik at det ikke kan løses eksakt er 2-partikkel operatoren v. For v=0 er H simpelthen en sum av en-partikkel operatorer, slik at løsningen av (1-1) kan skrives på formen E λ = n i=1 Ψ λ = A e λi n i=1 ψ λi (1-4a) (1-4b) der e λi og ψ λi er løsningen av egenverdi- problemet for den i-te partikkel og A er en antisymmetriseringsoperator (1-17a) 1

3 Figur 1.1: Atom H = i ) ( 2 2m 2 i 2 2M 2 i Ze 2 r i R r i r j R i + i j e 2 r i r j 2 2m 2 i i Ze 2 r i + i j e 2 r i r j I siste ligning har vi regnet kjernen som immobil og lagt origo i kjernes sentrum Figur 1.2: Fast stoff H = i + k ( 2 2m 2 i ( 2 2m 2 k ) + i j ) + k l Z i Z j e 2 R i R j e 2 r k r l r k r l R i R j k,i Z i e 2 r k R i Born-Oppenheimer k k,i ( 2 2m 2 k Z i e 2 r k R i ) + k l e 2 r k r l Figur 1.3: Atomkjerne r j r i H = i + i j ) ( 2 2m 2 i v(r i r j,p i p j, σ i σ j ) Hva menes med σ i her? 2

4 1.2 Permutasjonssymmetri og antisymmetriske bølgefunksjoner Det kvantemekaniske mange-partikkel problem kan i allminnelighet ikke løses eksakt for n 1. Imidlertid kan en del generelle egenskaper ved løsningen bestemmes ved hjelp av symmetriegenskapene til Hamiltonoperatoren. DErved kan en betydelig forenkling av problemet oppnåes. Hvis f.eks Hamiltonoperatoren er rotasjons invariant, som for (1-3), dvs [H, R] = HR RH = 0 (1-5) der R er rotasjonsoperatoren, vil det totale spinn av systemet være bevart. Dette tillater oss å diagonalisere energimatrisen separat for hvert spinn, slik at vi oppnår en reduksjon av dimensjonnaliteten av energimatrisen. En annen viktig symmetriegenskap for Hamiltonoperatoren er permutasjons symmetri. Hamiltonoperatoren for for et system av identiske partikler er invariant ovenfor permutasjoner av partikkelkoordinatee. La P ik være permutasjonsoperatoren sim byter om koordinatene for i-te og k-te partikkel. Vi har da P ik H(x i,...,x i,..., x k,..., x n )P 1 ik H(x i,...,x k,..., x i,..., x n ) = H(x i,...,x i,..., x k,..., x n )(1-6a) som er ekvivalent med [H, P ik ] = 0 (1-6b) En innser lett at Hamiltonoperatoren (1-3) tilfredstiller(1-6). Dersom (1-6) er oppfyllt, kan en konstruere egenfunksjonene Ψ λ av H som samtidig er egenfunksjoner av P ik : P ik Ψ λ (x i,...,x i,..., x k,..., x n ) = βψ λ (x i,..., x i,...,x k,..., x n ) (1-7a) Siden har vi P 2 ik Ψ λ(x i,...,x i,..., x k,..., x n ) = β 2 Ψ λ (x i,...,x i,..., x k,..., x n ) = Ψ λ (x i,..., x i,...,x k,..., x n ) (1-7b) β = ±1 (1-7c) Pluss-tegnet gjelder for systemer av identiske bosoner, svarende til at Ψ λ er symmetrisk under ombytting av av koordinatene til 2 partikler. Minus-tegnet gjelder for systemer av identiske fermioner, svarende til at Ψ λ er antisymmetrisk under ombytting av koordinatene til to partikler. Vi skal her begrense oss til systemer av fermioner. Egenfunksjonene Ψ λ til Hamiltonoperatoren H må derfor være antisymmetriske. For å konstruere antisymmetriske egenfunksjoner Ψ λ går en gjerne frem på følgende måte. Først velges et passende sett av basisfunksjoner Φ µ, som egenfunksjonene Ψ l ambda utvikles etter: Ψ λ = µ c λµ Φ µ (1-8) 3

5 Hvis funksjonene Φ µ er antisymmetriske, vil også Ψ λ være antisymmetriske. Basisfunksjonene Φ µ velges gjerne som egen funksjoner av en en-partikkel operatore H 0 med enkle matematiske egenskaper: H 0 (x 1, x 2,..., x n )Φ µ (x 1, x 2,...,x n ) = W µ (x 1, x 2,...,x n ), n H 0 (x 1, x 2,...,x n ) h 0 (x i ) (1-9) F.eks for Z-elektron atomet i (1-3) ville det være naturlig å velge en H 0 bestående av den kinetiske energi og en-partikkel delen av den potensielle energi H 0 = Z i=1 i=1 ) ( 2 2m 2 i Ze2 r i (1-10) Valget av H 0 er imidlertid vilkårlig, siden en kan skrive enhver Hamiltonoperator som H = H 0 + H 1, H1 H H 0 (1-11) En kan derfor velge H 0 fritt, forutsatt at en kompenserer for det i H 1. I mange problemer er det hensiktsmessig å la H 0 ha harmonisk oscillator form. Det er ønskelig å velge H 0 slik at H 1 er så liten at den kan behandles ved hjelp av en eller annen form for perturbasjonsteori. La oss nå introdusere en-partikkel basisfunksjoner Φ α som er egenfunksjoner av en-partikkel Hamiltonoperatoren h 0 : h 0 (x i )ϕ αi (x i ) = ǫ αi ϕ αi (x i ), i = 1, 2,...n (1-12) Vi ser da lett at den enkle n-partikkel produktfunksjonen Φ µ (x 1, x 2,..., x n ) = ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) (1-13) tilfredstiller egenverdiligningen (1-9), med egenverdi W µ = ǫ α1 + ǫ α ǫ αn (1-14) I alminnelighet vil imidlertid ikke produktfunksjonen (1-13) ha god permutasjonssymmetri, siden f.eks P 12 Φ µ (x 1, x 2,..., x n ) = ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) ±Φ µ (x 1, x 2,..., x n ) (1-15) hvis a 1 a 2. For å konstruere antisymmetriske basisfunksjoner Φ as µ, må vi ta linerkombinasjoner av produktfunksjoner (1-13), der partikkelkoordinatene er riktig permutert. For det enkleste tilfellet, nemlig n = 2, har vi: Φ as α 1,α 2 (x 1, x 2 ) = 1 2 [ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 ) ϕ α1 (x 2 )ϕ α2 (x 1 )] (1-16) Vi ser umiddelbart at denne er antisymmetrisk under ombytting av koordinatene til partiklene 1 og 2. Faktoren 1/ 2 sørger for at tilstanden er normert, når vi 4

6 bruker ortonormerte en-partikkel funksjoner, dvs. ϕ α ϕ β = δ αβ. Det er nå enkelt å generalisere til n partikler: Φ as α 1,α 2,...,α n (x 1, x 2,..., x n ) = 1 ( 1) P ˆPϕα1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) n! P (1-17a) Her er ˆP en operator som permuterer partikkelkoordinatene x 1, x 2,..., x n. Vi summerer over alle permutasjoner P, multiplisert med en fase ( 1) P, som er lik +1 eller -1 ettersom P er en like eller odde permutasjon. Siden det er n! mulige permutasjoner ialt, er normaliseringsfaktoren 1/ n!. Høyre side av (1-17a) kan uttrykkes v.h.a en determinant ϕ α1 (x 1 ) ϕ α2 (x 2 )... ϕ αn (x n ) Φ as α 1,α 2,...,α n (x 1, x 2,..., x n ) = 1 n! ϕ α1 (x 1 ) ϕ α2 (x 2 )... ϕ αn (x n )... ϕ α1 (x 1 ) ϕ α2 (x 2 )... ϕ αn (x n ) (1-17b) Denne kalles gjerne en Slater-determinant. Siden determinanten bytter fortegn når to rader byttes om, ser vi at bølgefunksjonen (1-17b), og ekvivalent (1-17a), er antisymmetrisk under ombytting av koordinatene til to vilkårlige partikler. Det er verdt å merke seg at i tilstanden (1-17a) eller (1-17b) er det ikke mulig å tilordne noen en-til-en korrespondanse mellom partikkelkoordinatene x i og partikkeltilstandene α i. I en antisymmetrisk tilstand er det derfor ikke mulig å si hvilken partikkel som er i en bestemt en-partikkel tilstand. Alt en kan si, er hvilken partikkeltilstand som er besatt. Determinantformen (1-17b) inneholder derfor mye overflødig informasjon som er tungvint å ta vare på. Det er derfor mer hensiktsmessig å karakterisere antisymmetriske bølgefunksjoner bare ved hjelp av de en-partikkel tilstander som er besatt. Vi innfører derfor følgende forkortede skrivemåte for tilstanden (1-17b) Φ as α 1,α 2,...,α n 1 n! det {ϕ α1 ϕ α2...ϕ αn } α 1 α 2... α n (1-17c) der all referanse til partikkelkoordinatene er utelatt. Vi skal kalle denne notasjonen for besetningsrepresentasjonen. I denne representasjonen kan en ikke eksplisitt vise antisymmetrien i partikkelkoordinatene. Imidlertid skifter determinanten fortegn også når to søyler byttes om, slik at tilstanden (1-17b) også er antisymmetrisk under ombyttning av to partikkeltilstander. Dette kan uttrykkes i besetningsrepresentasjonen som α 1...α i... α k...α n as = 1 n! det {ϕ α1...ϕ αi... ϕ αk... ϕ αn } = 1 n! det {ϕ α1...ϕ αk... ϕ αi...ϕ αn } = α 1...α k... α i... α n as (1-18) Det er slik vi skal uttykke antisymmetrien av mange-fermion tilstander i det følgende. Skal vi dra full nytte av en besetningsinterprasjon av antisymmetriske tilstander, må vi imidlertid innføre kreasjons og destruksjonsoperatorer som h.h.v skaper og fjerner ferminoner i partikkeltilstander. En slik formalisme 5

7 svarer til annenkvantisering i feltteorien, men har ikke som denne direkte fysikalsk betydning. I feltteorien reflekterer annenkvantiseringsformalismen fysikalske prosesser som kreasjon og annihilasjon av kvanter. I den ikkerelativistiske mange-partikkel teori er imidlertid antallet partikler uforandret og annenkvantisering innføres bare som en hensiktsmessig formalisme som tillater oss å anvende en partikkel-hull representasjon. 6

8 2 Annenkvantisering 2.1 Kreasjons- og destruksjonsoperatorer Besetningsinterpretasjonen av antisymmetriske mange-fermion tilstander tillater oss å introdusere operatorer a α og a α som henholdsvis skaper og fjerner partikler i en en-partikkel tilstanden ϕ α. Vi definerer en fermion kreasjonsoperator a α ved a α 0 α a α α 1... α n a s αα 1... α n as (2-1a) (2-1b) I øverste ligning av (2-1) virker operatoren a α på vakumtilstanden 0, som ikke inneholder noen partikler, og skaper en partikkel i tilstanden ϕ α. I nederste linje av (2-1) virker a α på en antisymmetrisk n-partikkel tilstand og danner en antisymmetrisk (n+1)-partikkel tilstand, der en-partikkel tilstanden ϕ α er besatt, forutsatt at α α 1, α 2,...,α n. Av 1-2) følger at vi kan utrykke en antisymmetrisk tilstand som et produkt av kreasjonsoperatorer som virker på vakumtilstanden. α 1... α n a s = a α 1 a α 2... a α n 0 (2-2) Vi kan nå lett utlede kommutatoralgebraen til fermion kreasjons operatorene a α. Fra antisymmetrien til tilstandene (2-2) α 1... α i... α k...α n as = α 1... α k...α i...α n as (2-3a) som skyldes determinantformen (1-18), følger umiddelbart Fra Pauliprinsippet følger a α i a α k = a α k a α i (2-3b) α 1... α i... α i...α n as = 0 (2-4a) a α i a α i = 0 (2-4b) Kombinerer vi (2-3b) og (2-4b), får vi den velkjente antikommutatorregelen a αa β + a β a α {a α, a β } = 0 (2-5) Den hermittisk konjugerte av a α er aα = (a α ) (2-6) Tar vi den hermitisk konjugerte av (2-5), har vi {a α, a β } = 0 (2-7) Hva er så den fysikalske tolkningen av operatoren a α? Eller med andre ord, hva er virkningen av a α på en vilkårlig antisymmetrisk tilstand α 1 α 2... α n as? La oss studere matriseelementet α 1 α 2...α n a α α 1 α 2... α m (2-8) 7

9 der både bra og ket vektorene er antisymmetriske, men hvor vi har sløyfet indeksene as for lettvinthets skyld. Vi kan nå skjelne mellom to tilfeller: 1. α {α i }. Fra Pauliprinsippet (2-4a) følger ved hermittisk konjugering α 1 α 2...α n a α = 0 (2-9a) 2. α / {α i }. Fra (2-1) følger ved hermitisk konjugering α 1 α 2... α n a α = αα 1 α 2... α n (2-9b) Ligning (2-9b) holder selvsagt også for tilfelle (1) idet høyre side er lik null pga. Pauliprinsippet. Vi kan derfor skrive (2-8) som α 1 α 2... α n a α α 1α 2...α m = α 1 α 2... α n αα 1α 2... α m (2-10) Her må selvsagt m = n + 1 dersom (2-10) skal være trivielt forskjellig fra null. Vi har da pga. (2-9a) og (2-9a) 1 α 1 α 2... α n a α α 1α 2...α n+1 = { 0 α {αi } {αα i } {α i } } ±1 α / {α i } {αα i } = {α i } (2-11) I siste tilfellet gjelder pluss og minustegnene når sekvensen α, α 1, α 2,..., α n og α 1, α 2,...,α n+1 er relatert til hverandre ved henholdsvis like og ulike permutasjoner. Anta nå at α / {α i }. Fra (2-11) følger at dersom vi skal ha når α {α i }. Hvis α / {α i }, har vi og spesielt α 1 α 2... α n a α α 1 α 2... α n+1 = 0 (2-12) a α α 1α 2...α n+1 = 0 (2-13a) }{{} α a α 0 = 0 (2-13b) Hvis {αα i } = {α i }, kan vi anta at sekvensen α, α 1, α 2,...,α n er identisk med sekvensen α 1, α 2,..., α n+1 (ellers kan vi bare foreta de nødvendige permutasjoner med tilhørende fortegnsskifte). Da har vi og dermed α 1 α 2...α n a α αα 1 α 2... α n = 1 (2-14) a α αα 1 α 2... α n = α 1 α 2... α n (2-15) Altså er virkningen av operatoren a α på en ket-vektor å fjerne en partikkel i tilstanden α. Hvis ket-vektoren ikke inneholder tilstanden α, blir resultatet null i følge (2-13). Operatoren a α kalles derfor destruksjons- eller annihilasjons operator. 1 Vi antar her og i det følgende 0 0 = 1. 8

10 La oss så etablere kommutatoralgebraen til a α og a β. Vi undersøker først virkningen av antikommutatoren {a α,a α } på en vilkårlig n-partikkel tilstand. Denne kan enten inneholde eller ikke inneholde α. Vi må undersøke begge tilfeller. Dersom α ikke er inneholdt i tilstanden, har vi a α a α α 1 α 2... α n = 0 }{{} α a α a α α 1α 2... α n }{{} α = a α αα 1 α 2...α n }{{} α Dersom α er inneholdt i tilstanden, har vi = α 1 α 2... α n }{{} α a α a α α 1 α 2...α k αα k+1...α n 1 = a α a α( 1) k αα 1 α 2...α n 1 = ( 1) k αα 1 α 2...α n 1 = α 1 α 2... α k αα k+1... α n 1 a α a α α 1α 2...α k αα k+1...α n 1 = 0 (2-16a) (2-16b) Fasen ( 1) k i annet ledd i første ligning skyldes at det må foretas ombytninger for å bringe α fra (k+1)-te posisjon til første posisjon, der α uten videre fjernes av destruksjonsoperatoren a α. Kreasjonsoperatoren a α plasserer igjen α i første posisjon, og det trenges k ombytninger, svarende til en fase ( 1) k, for å bringe α til sin opprinnelige posisjon. Fra (2-16a) og (2-16b) følger {a α, a α} = a α a α + a α a α = 1 (2-17) Dernest studerer vi virkningen av a α, a β, der α β, på en vilkårlig n-partikkel tilstand. vi får da tre tilfeller å undersøke, idet tilstanden kan inneholde (1) både α og β, (2) enten α eller β, eller(3) hverken α eller β. Hvis α og β er inneholdt i tilstanden, kan vi ifølge (2-16b) uten videre plassere dem foran de øvrige partikkeltilstander α i. Er de nemlig plassert i en annen vilkårlig posisjon, får de ifølge (2-16b) to faser som kansellerer hverandre. For enkelhets skyld antar vi derfor at det i det følgende at α og β eventuellt er plassert foran de øvrige tilstandsindekser α i. Vi har for tilfelle (1) For tilfelle (2) og for tilfelle (3) a αa β αβα 1 α 2... α n 2 = 0 a β a α αβα 1α 2... α n 2 = 0 a α a β β α 1 α 2...α n 1 = α α 1 α 2...α n 1 }{{}}{{} α α (2-18a) a β a α β α 1α 2...α n 1 = a β αβ βα 1 α 2... α n 1 }{{}}{{} α α = α α 1 α 2... α n 1 (2-18b) }{{} α a αa β α 1 α 2... α }{{ n = 0 } α,β a β a α α 1 α 2... α }{{ n = a } β α α 1 α 2... α n = 0 (2-18c) }{{} α,β α,β 9

11 For alle tre tilfellene gjelder {a α, a β } = a αa β + a β a α = 0, α β (2-19) Vi kan sammenfatte reglene (2-17) og (2-19) som der δ αβ er Kroenecker deltasymbol. {a α, a β } = δ αβ (2-20) La oss oppsummere egenskapene til kreasjons- og destruksjonsoperatorene for fermioner. Vi definerte først en kreasjonsoperator a α ved (2-1) Herav følger a α 0 α (2-1a) a α α 1... α n a s αα 1... α n as (2-1b) α 1... α n a s = a α 1 a α 2... a α n 0 (2-2) Dernest utledet vi egenskapene til den hermitisk konjugerte av a α, kallt a α: Vi fant a α = (a α) (2-6) a α α 1α 2...α n+1 = 0, }{{} spesielt a α 0 = 0 (2-13) α a α αα 1 α 2... α n = α 1 α 2... α n (2-15) Det vil være nyttig å kjenne kommutatoralgebraen (egentlig antikommutator) til disse operatorene. Vi fant {a α, a β } = {a α, a β } = 0 (2-5), (2-7) {a α, a β } = δ αβ (2-20) 2.2 Operatorer i annenkvantisering Vi har nå lært å uttrykke mange-fermion tilstander (dvs. bra- og ket vektorer) ved hjelp av kreasjons- og destruksjonsoperatorer, og vi har lært regnereglene for disse. Men det er klart at dersom vi skal ha fullt utbytte av denne formalismen, må vi også kunne utrykke de operatorene som forekommer i den kvantefysiske formuleringen av mange-partikkel problemet ved hjelp av kreasjons- og destruksjonsoperatorer. De enkleste operatorene er selvsagt fermionoperatorene selv. En kreasjons operator a α adderer en partikkel i en-partikkel tilstanden α til en gitt tilstand, mens destruksjonsoperatoren a α fjerner en partikkel i en-partikkel tilstanden α. Disse operatorene brukes derfor når en skal beregne sannsynlighetsamplituder for reaksjonsprosesser der det adderes en partikkel til eller fjernes en partikkel fra en gitt tilstand (f. eks (d,p) eller (p,d) reaksjoner i kjernefysikken). Ved å 10

12 ta produkter av kreasjonsoperatorer (destruksjons operatorer) kan en beskrive prosesser der det adderes (fjernes) flere partikler i en gitt tilstand. Her skal vi imidlertid hovedsaklig konsentrere oss om energiegenverdi problemet til et (ikke-relativistisk) mange-partikkel system. Her har vi å gjøre med operatorer som bevarer partikkeltallet. Disse må derfor kunne uttrykkes ved hjelp av produkter av kreasjons- og destruksjons operatorer, der det inngår like mange kreassjons- og destruksjons operatorer. Den enkleste operator som bevarer partikkeltallet, er av formen a α a β. La oss her sette α = β og studere virkningen av a αa β på en vilkårlig n-partikkeltilstand. Vi har ifølge (2-16) 0 α / {α i } a α a α α 1 α 2... α n = (2-16) α 1 α 2... α n α {α i } Summerer vi over alle mulige en-partikkel tilstander α, har vi åpenbart ( ) a α a α α 1 α 2... α n = n α 1 α 2...α n (2-21) α idet vi får et bidrag lik 1 fra hver en-partikkel tilstand som er besatt. Operatoren N = α a αa α (2-22) kalles derfor antallsoperatoren, idet den simpelthen teller opp antall partikler i tilstanden. Dette er den enkleste operator som bevarer partikkeltallet. Siden den er en sum av ledd som hver for seg virker på en enkelt partikkel, sier vi at den er av en-partikkel karakter og kaller den gjerne bare for en en-partikkel operator. La oss så se hvordan vi kan skrive en generell en-partikkel operator, som bevarer partikkeltallet, i annenkvantiseringsformalismen. Vi starter med å undersøke virkningen av en en-partikkel operator på en vilkårlig n-partikkel tilstand i partikkelkoordinatrepresentasjonen og uttrykker så dette i annenkvantiseringsrepresentasjonen. En en-partikkel operator er i koordinatrepresentasjonen definert ved F = f(x i ) (2-23) i mens en antisymmetrisk, n-partikkel tilstand er definert ved (1-17a) Nå er α 1 α 2... α n = 1 ( 1) P ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) (2-24) n! P f(x i )ϕ αi (x i ) = α k ϕ α k (x i ) α k f α k (2-25) og dermed kan vi lett beregne virkningen av F på hvert enkelt produkt av en-partikkel funksjoner inneholdt i α 1 α 2...α n. For grunnpermutasjonen på 11

13 høyre side av (2-24) har vi ifølge (2-25) ( ) f(x i ) ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) = α 1 i α 1 f α 1 ϕ α 1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) + α 2 f α 2 ϕ α1 (x 1 )ϕ α 2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) α α n α n f α n ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ α n (x n ) (2-26) For det ledd på høyre side av (2-24) hvor koordinatene til partikkel 1 og 2 er permutert, får vi ( ) f(x i ) ϕ α1 (x 2 )ϕ α1 (x 2 )...ϕ αn (x n ) = α 2 i α 2 f α 2 ϕ α1 (x 2 )ϕ α 2 (x 1 )...ϕ αn (x n ) + α 1 f α 1 ϕ α 1 (x 2 )ϕ α2 (x 1 )...ϕ αn (x n ) α α n α n f α n ϕ α1 (x 2 )ϕ α1 (x 2 )...ϕ α n (x n ) (2-27) Slik kan vi fortsette for alle permutasjonene på høyre side av (2-24). Multipliserer vi nå (2-26), (2-27) og de tilsvarende ligninger for de øvrige permutasjoner med de relevante faser ( 1) P og summerer, får vi ifølge (2-24) F α 1 α 2... α n = α 1 α 1 f α 1 α 1 α 2... α n + α 2 f α 2 α 1 α 2... α n α α n α n f α n α 1 α 2... α n (2-28) Vi merker oss at første ledd på høyre side av (2-28) får bidrag fra første ledd på høyre side av (2-26) og annet ledd på høyre side av (2-27), mens annet ledd på høyre side av (2-28) får bidrag fra annet ledd på høyre side av (2-26), første ledd på høyre side av (2-27), osv. I (2-28) har vi nå uttrykt virkningen av en-partikkel operatoren (2-23) på n- partikkel tilstanden (2-24) i besetnings representasjonen. Men (2-28) er enda ikke i noen hensiktsmessig form, idet forskjellige n-partikkeltilstander inngår på høyre side. Ved hjelp av annenkvantiseringsformalismen kan imidlertid alle disse uttrykkes ved den samme n-partikkel tilstand, idet vi har α 1 α 2...α k... α n = a α ka αk α 1 α 2...α k... α n (2-29) 12

14 Innsetning på høyre side av (2-28) gir F α 1 α 2...α n = α 1 α 1 f α 1 a α 1a α1 α 1 α 2...α n + α 2 f α 2 a α 2a α2 α 1 α 2...α n α α n α n f α n a α n a α n α 1 α 2... α n = α,β α f β a α a β α 1 α 2... α n (2-30a) I annenkvantiseringsformalismen har vi dermed følgende uttykk for en enpartikkel operator som bevarer partikkeltallet F = α,β α f β a αa β (2-30b) Operatoren F tar altså en partikkel fra tilstanden β (idet den destruerer partikkelen i denne tilstanden) til tilstanden α (idet den skaper en partikkel i denne tilstanden) med sannsynlighetsamplitude lik matriseelementet α f β. Det er instruktivt å verifisere (2-30b) ved å ta matrise elementet av F mellom to en-partikkel tilstander α 1 F α 2 = α,β α f β 0 a α1 a α a βa α 2 0 (2-30c) Her får vi å beregne - og det er typisk for matriseelementer i annen kvantiseringsformalismen - vakunforventningsverdien av et produkt av kreasjons- og destruksjonsoperatorer. Vi benytter da antikommutasjons reglene (2-5), (2-7) og (2-20) til å bringe destruksjonsoperatorene over til høyre, idet de ifølge (2-13) gir null når de virker på vakumtilstanden 0. Anvender vi (2-30c), får vi umiddelbart a α1 a α a βa α 2 = (δ αα1 a α a α 1 )(δ βα2 a α 2 a β ) (2-30d) Altså er og dermed slik vi skulle forvente. 0 a α1 a αa β a α 2 0 = δ αα1 δ βα2 (2-30e) α 1 F α 2 = α,β α f β δ αα1 δ βα2 = α 1 f α 2 (2-30f) La oss utlede utrykket for en generell to-partikkeloperator, som bevarer partikkeltallet, i AKV. Vi går fram på tilsvarende måte som for en enpartikkel operator, ved å studere virkningen av operatoren på en vilkårlig n-partikkel tilstand. I koordinatrepresentasjonen har en generell to-partikkel operator formen G = g(x i, x j ) (2-31) i<j 13

15 der summasjonen er over distinkte par. Virkningn av g(x i, x j ) på et produkt av to en-partikkel funksjoner er g(x i, xj)ϕ αk (x i )ϕ αl (x j ) = ϕ α k (x i )ϕ α l (x j ) α kα l g α k α l (2-32) α k,α l Vi lar nå G virke på de enkelte ledd i linearkombinasjonen (2-34) for α 1 α 2...α n. For grunnpermutasjonen har vi g(x i, x j ) ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) i<j = α 1 α 2 g α 1α 2 ϕ α 1 (x 1 )ϕ α 2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) α 1,α α 1,α n α 2,α n α 1 α n g α 1α n ϕ α 1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ α n (x n ) α 2 α n g α 2α n ϕ α1 (x 1 )ϕ α 2 (x 2 )...ϕ α n (x n ) +... (2-33) der det på høyre side er et ledd for hvert distinkt par. For de andre leddene på høyre side av (2-24) får vi tilsvarende uttrykk og summerer vi over alle leddene, får vi G α 1 α 2... α n = α 1 α 2 g α 1α 2 α 1 α 2...α n α 1,α α 1,α n α 2,α n α 1 α n g α 1α n α 1 α 2...α n α 2 α n g α 2α n α 1 α 2...α n +... (2-34) Vi innfører nå annenkvantisering ved hjelp av relasjonen a α a k α la αl a αk α 1 α 2...α k... α l... α n = ( 1) k 1 ( 1) l 2 a α a k α la αl a αk α k α l α 1 α 2...α }{{ n } α k,α l = ( 1) k 1 ( 1) l 2 α k α l α 1α 2... α }{{ n } α k,α l = α 1 α 2... α k...α l...α n (2-35) 14

16 Innsetning i (2-34) gir G α 1 α 2...α n = α 1,α = α 1,α n +... = α 2,α n α,β,γ,δ α 1 α 2 g α 1α 2 a α a 1 α 2a α2 a α1 α 1 α 2... α n α 1 α n g α 1α n a α 1a α n a α n a α1 α 1 α 2... α n α 2 α n g α 2α n a α 2a α n a α n a α2 α 1 α 2... α n +... = αβ g γδ a α a β a δa γ α 1 α 2...α n (2-36) Her indikerer at summasjonen over α og β går over alle en-partikkel tilstander, mens summasjonen over γ og δ går over alle distinkte par av enpartikkel tilstander. Vi ønsker å fjerne denne restriksjonen. Siden αβ g γδ = βα g δγ (2-37) har vi α,β αβ g γδ a αa β a δa γ = βα g δγ a αa β a δa γ (2-38a) α,β = βα g δγ a β a αa γ a δ (2-38b) α,β der vi i (2-38b) har anvendt antikommutasjonsreglene (2-5) og (2-7) for operatorene. Bytter vi nå om summasjonsindeksene α og β i (2-38b) har vi α,β αβ g γδ a αa β a δa γ = αβ g δγ a αa β a γa δ (2-38c) α,β Herav følger at restriksjonen på summasjonen over γ og δ kan oppheves dersom vi multipliserer med en faktor 1 2, slik at vi får G = 1 2 α,β,γ,δ αβ g γδ a αa β a δa γ (2-39) hvor vi nå summerer fritt over alle en-partikkel tilstander α, β, γ og δ. Det er nå ett å verifisere at annenkvantiseringsformen (2-39) av G gir det samme matriseelementet mellom (antisymmetriske) to-partikkel tilstander som koordinatrepresentasjonen (2-31). Vi har α 1 α 2 G β 1 β 2 = 1 2 α,β,γ,δ αβ g γδ 0 a α2 a α1 a α a β a δa γ a β 1 a β 2 0 (2-40) der vi eksplisitt har vist at matriseelementet på v.s er tatt mellom antiymmetriske tilstander til forskjell fra matriseelementet på høyre side som er tatt 15

17 mellom enkle produktfunksjoner. For å beregne overlapps matriseelementet på høyre side bringer vi ved hjelp av antikommutatorreglene (2-5), (2-7) og (2-20) destruksjons operatorene helt over til høyre, der de ifølge (2-13) gir null når de anvendes på vakumtilstanden 0. Vi har a α2 a α1 a α a β a δa γ a β 1 a β 2 = a α2 a α1 a α a β (a δδ γβ1 a β 2 a δ a β 1 a γ a β 2 ) = a α2 a α1 a αa β (δ γβ 1 δ δβ2 δ γβ1 a β 2 a δ a δ a β 1 δ γβ2 + a δ a β 1 a β 2 a γ ) = a α2 a α1 a αa β (δ γβ 1 δ δβ2 δ γβ1 a β 2 a δ δ δβ1 δ γβ2 + δ γβ2 a β 1 a δ + a δ a β 1 a β 2 a γ ) (2-41) Vakum forventningsverdien av dette operator produktet er da 0 a α2 a α1 a α a β a δa γ a β 1 a β 2 0 = (δ γβ1 δ δβ2 δ δβ1 δ γβ2 ) 0 a α2 a α1 a α a β 0 (2-42a) = (δ γβ1 δ δβ2 δ δβ1 δ γβ2 )(δ αα1 δ βα2 δ βα1 δ αα2 ) (2-42b) der siste skritt følger umiddelbart av det første. Innsetning av (2-42b) i (2-40) gir da α 1 α 2 G β 1 β 2 as = 1 2[ α1 α 2 g β 1 β 2 α 1 α 2 g β 2 β 1 α 2 α 1 g β 1 β 2 + α 2 α 1 g β 2 β 1 ] der vi i (2-43a) brukte (2-37) = α 1 α 2 g β 1 β 2 α 1 α 2 g β 2 β 1 (2-43a) = α 1 α 2 g β 1 β 2 as (2-43b) To-partikkeloperatoren G kan også utrykkes ved hjelp av de anti symmetriske matriseelementer αβ g γδ as i stedet for de enkle produktmatriseelementene αβ g γδ. Siden αβ g γδ a α a β a δa γ γ,δ = γ,δ αβ g δγ a α a β a γa δ = γ,δ αβ g δγ a α a β a δa γ (2-44) der vi har byttet om summasjonsindeksene γ og δ og anvendt antikommutasjonsreglene (2-7), har vi G = 1 2 = 1 4 = 1 4 α,β,γ,δ α,β,γ,δ α,β,γ,δ αβ g γδ a α a β a δa γ [ αβ g γδ αβ g δγ ] a αa β a δa γ αβ g γδ as a α a β a δa γ (2-45) 16

18 I det følgende kommer vi ofte til å sløyfe indeksen as på to-partikkel matriseelementene, da det vil fremgå av faktoren 1 4 eller 1 2 om vi bruker antisymmetriske eller ikke-antisymmetriske to-partikkel matriseelementer. Vi er nå i stand til å uttrykke Hamiltonoperatoren for et mange-fermion system i annenkvantiseringsformalismen. Hamiltonperatoren (1-2) som i koordinatrepresentasjonen har formen H = T + V T = i t(x i ) V = i u(x i ) + i<j v(x i, x j ) (2-46a) kan i annenkvantisering skrives som H = α t + u β a α a β α,β αβ g γδ a α a β a δa γ α,β,γ,δ (2-46b) 2.3 Partikkel-hull formalisme Vi har sett at annenkvantisering er en hensiktsmessig formalisme til å konstruere antisymmetriske tilstander (2-2). Det er også enkelt å uttrykke operatorer i annenkvantisering, og vi får uttrykkene (2-30b) og (2-39) for henholdsvis en- og to-partikkel opertatorer som tilsvarer partikkeltallet. Det er derfor enkelt å formulere matriseelementer av operatorer i annenkvantisering. Matrise elementene kan da beregnes ved hjelp av antikommutasjonsreglene (2-5), (2-7) og (2-20) og relasjonen (2-13). I forhold til konvensjonelle metoder medfører dette imidlertid ingen vesentlig besparelse. Det som gjør annenkvantisering til en hensiktsmessig formalisme er at den gjør det enkelt å innføre en annen referansetilstand c enn den sanne vakuumtilstand 0, når det er mange partikler til stede. Derved kan problemets dimensjonalitet reduseres betraktelig. Det enkleste eksempelet på en slik reduksjon er den såkallte partikkel-hull formalisme. Overgangen fra den opprinnelige partikkelrepresentasjonen til en partikkelhull representasjon er vist skjematisk i figur 2.1. Her er et sett en-partikkel tilstand α i suksessivt fyllt opp med henholdsvis n, n+1 og n-1 partikler. I den opprinnelige partikkelrepresentasjonen konstruerer disse tilstander produkter av kreasjonsoperatorer a α i anvendt på den sanne vakuumtilstand 0. Ifølge (2-2) hat vi α 1 α 2... α n 1 α n = a α 1 a α 2...a α n 1 a α n 0 (2-47a) α 1 α 2...α n 1 α n α n+1 = a α 1 a α 2...a α n 1 a α n a α n+1 0 (2-47b) α 1 α 2... α n 1 = a α 1 a α 2...a α n 1 0 (2-47c) Formuleringen av disse tilstandene kan forenkles betraktelig, hvis vi f.eks anvender (2-47a) som ny referansetilstand. c α 1 α 2... α n 1 α n = a α 1 a α 2...a α n 1 a α n 0 (2-48a) 17

19 α n+1 α n α n 1 α n+1 α n α n 1 α n+1 α n α n 1 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 α 1 a b c α n+1 α n+1 α n+1 d c e c f c Figur 2.1: Tilstander med n, n+1 og n-1 partikler i partikkelrepresentasjon (a, b,c) og i partikkel-hull representasjon (d,e,f) der n-partikkeltilstanden er den nye vakumtilstanden. 18

20 Tilstandene (1b) og (1c) kan da skrives sm α 1 α 2... α n 1 α n α n+1 = ( 1) n a α n+1 c ( 1) n α n+1 c (2-48b) α 1 α 2...α n 1 = ( 1) n 1 a αn c ( 1) n 1 α n 1 c (2-48c) Tilstanden (1b) har en partikkel i tillegg til den nye vakuum tilstanden c og beskrives derfor som en en-partikkel tilstand i denne representasjonen. Tilstanden (1c) mangler en partikkel i forhold til c og sies derfor å ha et hull i c. Denne tilstanden kalles følgelig en hulltilstand. Den nye representasjonen kalles gjerne for en partikkel-hull representasjon og referansetilstanden c for et partikkel-hull vakuum. En skjematisk framstilling av de tre tilstandene i den nye representasjonen er vist i figur 2.1 (1a), (1b) og (1c). Valget av ny referansetilstand c er selvsagt vilkårlig. Men dersom den nye representasjonen skal være hensiktsmessig, bør c svare til en fysisk relativt stabil konfigurasjon. Den omtalte transformasjonen til partikkel-hull representasjon er det enkleste eksempelet på en såkallt kvasipartikkel transformasjon. Når det sanne partikkelvakuum 0 erstattes med et partikkel-hull vakuum c, er det klart at også kreasjons- og destruksjonsoperatorene for de opprinnelige partikler må erstattes med kreasjons- og destruksjons operatorer får såkallte kvasipartikler, dersom den utledede algebra for disse operatorene fortsatt skal være gyldig. Nødvendigheten av dette følger umiddelbart fra (2-48c), som viser at vi kan ha a α c 0 (2-49) nemlig når α er inneholdt i c, i strid med (2-13) som krever a α 0 = 0 (2-13b) for alle α. Innføringen av ny vakuumtilstand krever derfor at vi også transformerer kreasjons- og destruksjonsoperatorene. Vi skal kalle de nye operatorene for b og b. disse må tilfredstille følgende relasjoner: b α c = 0 (2-50a) {b α, b β } = {b α, b β } = 0 (2-50b) {b α, b β } = δ αβ (2-50c) Vi antar videre at den nye vakuumtilstanden er normert til 1 c c = 1 (2-51) Vi kan slutte oss til de nye kreasjonsoperatorene b fra (2-48), idet både tilstandene b og c oppfattes som en-kvasi partikkel tilstander. V definerer derfor operatoren b α, som skaper en kvasipartikkel i tilstanden α, ved b α c = { a α c = α, α > α F a α c = α 1, α α F (2-52) 19

21 der α F er den siste en-partikkel tilstand ( det såkallte fermi- nivå) som er besatt i vakuumtilstanden c. I (2-48) er Ferminivået α n. I (2-52) er indeksen c på ketvektorene sløyfet,da det fremgår klart at referansetilstanden er c. Det følger av (2-52) at kvasipartiklene er virkelige partikler for α > α F og hull for α α F. Destruksjons operatoren b α, som fjerner en kvasipartikkel i tilstanden α, finnes ved å ta den hermitisk konjugerte av b α : b α = (b α ) (2-53) Vi har da for kvasipartikkel operatorene svarende til vakuumtilstanden c med Ferminivå α F : b α = { a α α > α F a α α α F b α = { aα α > α F a α α α F (2-54) Virkningen av destruksjonsoperatoren b α er å fjerne en virkelig partikkel for α > α F og å fylle et hull ved å skape en partikkel for α α F. På grunnlag av (2-54) er det nå lett å vise at operatorene b og b tilfredstiller (2-50). b α c = a α c = 0 (2-55a) ifølge (2-13). For α α F har vi b α c = a α c = 0 (2-55b) ifølge (2-4a). Altså følger (2-50a). I (2-50b) og (2-50b) kan antikommutatorene for b og b etter innsetning fra (2-54) uttrykkes ved de tilsvarende anti kommutatorer for s og a. Anvendelse av (2-5), (2-7) og (2-20) gir da straks (2-50). Vi kan nå ved hjelp av kreasjonsoperatorene b for kvasi partikler (partikkel og hull) konstruere mange-kvasipartikkel tilstander (partikkel, partikkel-hull og hull-tilstander) på helt tilsvarende måte som vi ovenfor konstruerte mangepartikkel tilstander i forhold til den sanne vakuumtilstand ved hjelp av operatorene a. En generell partikkel-hull tilstand kan da skrives som β 1 β 2... β np γ γn 1 h b β 1 b β 2... b β np γ 1 b γ 2...b γ nh }{{}}{{} c (2-56) α F >α F b Det gjenstår å formulere de øvrige operatorer av interesse i den nye representasjonen. Vi tar da utgangspunkt i uttrykkene for disse operatorene i den opprinnelige partikkelrepresentasjonen og innfører de nye kreasjons- og destruksjonsoperatorene b og b ved hjelp av (2-54). For antallsoperatoren (2-22) har vi N = a αa α = a αa α + a αa α α α>α F α α F = b αb α + b α b α α>α F α α F (2-57a) 20

22 der vi har brukt (2-54). I siste ledd på høyre side anvendes anti kommutasjonsreglene (2-50), slik at vi får N = b α b ( ) α 1 b α b α α>α F α α F = b α b α + n c b α b α (2-57b) α>α F α α F der n c er antall partikler i vakuumtilstanden c. La oss undersøke virkningen av N på partikkel-hull tilstanden (2-56). Vi har ( ) b α b α b β 1 b β 2... b β np γ 1 b γ 2...b γ nh c α>α F }{{}}{{} Totalt får vi b αb α α α F >α F b α F = n p β 1 β 2... β np γ1 1 γ γn 1 h b β 1 b β 2... b β np γ 1 b γ 2...b γ nh c }{{}}{{} >α F b α F = n h β 1 β 2...β np γ1 1 γ γn 1 h (2-58a) (2-58b) N β 1 β 2... β np γ1 1 γ γn 1 h = (n p + n c n h ) β 1 β 2... β np γ1 1 γ γn 1 h (2-59) Her er n = n p +n c n h det totale antall partikler i partikkel-hull tilstanden (2-56), i samsvar med den fysikalske betydning av antallsoperatoren. Legg merke til at N er antallsoperatoren for virkelige partikler. Den må ikke forveklses med antallsoperatoren for kvasipartikler, som er gitt ved N kp = α b α b α (2-60) Lar vi N kp virke på partikkel-hull tilstanden (2-56), får vi N kp β 1 β 2...β np γ1 1 γ γn 1 h = (n p + n h ) β 1 β 2...β np γ1 1 γ γn 1 h (2-61) Her er selvsagt n kp = n p + n h det totale antall kvasipartikler. La oss dernest utrykke en-partikkel operatoren (2-30b) i partikkel-hull representasjonen. Her får vi fire typer bidrag til summasjonen over α og β: = (2-62) α,β α,β>α F α,β α α > α F α α F F β α F β > α F 21

23 Insetning i (2-54) og (2-30b) gir da F = α,β α f β a αa β = α f β b α b β + α f β b α b β α,β>α F α > α F β α F + α f β b α b β + α α F β > α F α,β α F α f β b α b β (2-63a) Dersom vi bytter om summasjonsindeksene α og β i tredje og fjerde ledd ag anvender antikommutasjonsreglene (2-50) i fjerde ledd, får vi F = α f β b α b ] β + [ α f β b α b β + β f α b βb α α,β>α F α > α F β α F + α f α β f α b αb β (2-63b) α α F α,β α F Her representerer tredje ledd bidraget fra vakuumtilstanden c. Første ledd gir bidrag bare for partikkeltilstander, mens siste ledd gir bidrag bare for hull-tilstander. Begge disse ledd bevarer antall kvasi partikler. Operatorens annet ledd kan imidlertid skape eller fjerne to kvasipartikler (dvs. et partikkelhull par). Men også dette leddet bevarer selvsagt antallet virkelige partikler, i samsvar med forutsetningene. Den fysikalske betydning av de enkelte leddene i (2-63b) vil komme klarere fram når vi siden innfører diagrammatisk representasjon av matriseelementene. Endelig skal vi transformere to-partikkel operatoren (2-39) til partikkelhull representasjonen. Fremgangsmåten er den samme som for en-partikkel operatorer. Vi setter inn for a og a fra (2-54) og forenkler utrykkene om nødvendig ved hjelp av enkel operator algebra. For to-partikkel operatorer får vi imidlertid relativt kompliserte uttrykk siden vi summerer over fire tilstandsindekser. Vi får faktisk hele 16 forskjellige bidrag til summasjonen over α, β, γ og δ, nemlig 1 bidrag for alle 4 indekser > α F 4 bidrag for 2 indekser > α F og 1 indeks α F 6 bidrag for 2 indekser > α F og 2 indekser α F 4 bidrag for 1 indekser > α F og 3 indekser α F 1 bidrag for alle 4 indekser α F (2-64) Det er hensiktsmessig å ordne de forskjellige bidragene til en to-partikkel operator G i de fem gruppene som beskrevet i (2-64). Vi skriver derfor G som en sum av fem bidrag: G = G 1 + G 2 + G 3 + G 4 + G 5 (2-65) 22

24 Her er G 1 triviell, siden alle kvasipartiklene svarer til virklige partikler, og vi har bare ett ledd: G 1 = 1 αβ g γδ b 2 αb β b δb γ (2-66) α,β,γ,δ>α F Utrykket for G 2 er mer komplisert og består av fire ledd: G 2 = 1 2 αβ g γδ b αb β b δ b γ α, β, γ > α F δ α F αβ g γδ b α b β b δb γ α, β, δ > α F γ α F αβ g γδ b α b βb δ b γ α, γ, δ > α F β α F αβ g γδ b α b β b δb γ = 1 2 β, γ, δ > α F α α F [ αβ g γδ b αb β b δ b γ + αβ g δγ b αb β b γb δ α, β, γ > α F δ α F + αδ g γβ b αb δ b β b γ + δβ g γα b δ b β b αb γ ] (2-67a) I de tre siste ledd på høyre side av siste likning har vi byttet om summasjonsineksene for å få δ α F. ved hjelp av kommutatoralgebra samler vi alle kreasjonsoperatorene til venstre for destruksjonsoperatorene. Vi får G 2 = 1 2 α, β, γ > α F δ α F [ ( αβ g γδ ) αβ g δγ b αb β b δ b γ + ( αδ g γβ δα g γβ ) ] b α b δb β b γ (2-67b) der vi i siste ledd har byttet om summasjonsindeksene α og β. Denne komponenten av G bevarer ikke antallet kvasipartikler, men skaper eller fjerner to kvasipartikler (et partikkel-hull par) i nærvær av en partikkel. 23

25 Utrykket for G 3 består av hele seks ledd: G 3 = 1 2 αβ g γδ b α b β b δ b γ α, β > α F γδ α F αβ g γδ b α b βb δ b γ α, γ > α F βδ α F αβ g γδ b α b βb δ b γ α, δ > α F βγ α F αβ g γδ b α b β b δ b γ β, γ > α F α, δ α F αβ g γδ b α b β b δb γ = 1 2 β, δ > α F α, γ α F γ, δ > α F α, β α F αβ g γδ b α b β b δ b γ [ αβ g γδ b αb β b δ b γ + αγ g βδ b αb γ b δ b β + α, β > α F γδ α F αδ g γβ b α b δb β b γ + γβ g αδ b γb β b δ b α + δβ g γα b δ b β b αb γ + γδ g αβ b γb δ b β b α ] (2-68a) I siste likning har vi byttet om summasjonsindekser for alltid å ha γ, δ α F. Ved hjelp av kommutator algebra finner vi så G 3 = 1 [ αβ g γδ b 2 αb β b δ b γ α, β > α F γδ α F + ( αγ g βδ αγ g δβ )( b α b δ b βb γ + δ γδ b α b ) β + ( γβ g αδ γβ g δα )( b β b δ b γb α δ γδ b β b ) α ] + γδ g αβ b α b β b δ b γ (2-68b) Dette forutsetter ombytting av summasjonsindeksene γ og δ i tredje og femte ledd på høyre side av (2-68a). Hvis vi nå i tredje linje av (2-68b) bytter om 24

26 summasjonsindeksene α og β og anvender (2-37), får vi endelig G 3 = 1 [ αβ g γδ b αb ] β 2 b δ b γ + γδ g αβ b α b β b δ b γ α, β > α F γδ α F [ ] + αγ g βδ αγ g δβ b α b δ b βb γ + α, β > α F γδ α F α, β > α F γ α F [ ] + αγ g βγ αγ g γβ b α b β (2-68c) Her vil de to leddene i den første summen henholdsvis skape og fjerne to partikkel-hull par. Den andre summen bevarer antall kvasipartikler og representerer vekselvirkningen mellom en partikkel og et hull. Den siste summen bevarer også antall kvasipartikler og representerer vekselvirkningen mellom en partikkel utenfor vakuumtilstanden og partiklene i vakuumtilstanden. Vi studerer dernest G 4 som har fire komponenter: G 4 = 1 2 αβ g γδ b αb β b δ b γ α > α F β, γ, δ α F αβ g γδ b α b β b δ b γ β > α F α, γ, δ α F γ > α F α, β, δ α F αβ g γδ b α b β b δ b γ αβ g γδ b α b β b δ b γ = 1 2 δ > α F α, β, γ α F [ αβ g γδ b α b βb δ b γ + βα g γδ b βb α b δ b γ α > α F β, γ, δ α F + γβ g αδ b γ b β b δ b α + δβ g γα b δ b β b α b γ ] (2-69a) I de tre siste leddene på høyre side har vi byttet om summasjonsindekser for å 25

27 få α > α F. Ved hjelp av kommutatoralgebra finner vi så G 4 = 1 2 α > α F β, γ, δ α F [ ( αβ g γδ )( βα g γδ b αb δ b γb β + δ βδ b αb γ δ βγ b αb ) δ + ( γβ g αδ γβ g δα )( b δ b γb β b α + δ βδ b γ b α δ γδ b β b α ) ] (2-69b) Dette forutsetter ombytting av summasjonsindeksene γ og δ i fjerde ledd på høyre side av (2-69a). Summerer vi nå bort Kroenecker-deltaene, får vi G 4 = 1 2 α > α F β, γ, δ α F [ ( αβ g γδ ) βα g γδ b αb δ b γb β + ( γβ g αδ γβ g δα ) ] b δ b γb β b α α > α F β, γ α F [ ( αβ g γβ βα g γβ ) b αb γ ( αβ g βγ βα g βγ ) b αb γ + ( γβ g αβ γβ g βα ) b γ b α ( βγ g αβ βγ g βα b γ b α ] (2-69c) Her har vi byttet om summasjonsindeksene γ og δ i fjerde linje og β og γ i sjette linje. Anvender vi så (2-37) på matriseelementene i den andre hakeparantesen, får vi endelig G 4 = 1 2 α > α F β, γ, δ α F [ ( αβ g γδ ) βα g γδ b αb δ b γb β + ( γβ g αδ γβ g δα ) ] b δ b γb β b α α > α F β, γ α F [ ( αβ g γβ αβ g βγ ) b αb γ + ( γβ g αβ γβ g βα ) b γ b α ] (2-69d) Denne komponenten av G endrer antallet kvasipartikler med to. De to leddene i den første hakeparantesen henholdsvis skaper og fjerner et partikkel-hull par i nærvær av er hull, mens de to leddene i den andre hakeparantesen henholdsvis skaper og fjerner et partikkel-hull par i nærvær av partiklerne i vakuumtilstanden. 26

28 Den siste komponenten G 5 består av ett eneste ledd G 5 = 1 αβ g γδ b α b β b δ 2 b γ α,β,γ,δ α F (2-70a) Vi får imidlertid en rekke forskjellige ledd når vi kommuterer kreasjons operatorene over til venstre for destruksjonsoperatorene. Ved hjelp av enkel kommutatoralgebra finner vi b α b β b δ b γ = δ βδb α b γ b αb δ b βb γ = δ βδ δ αγ δ βδ b γ b α (δ αδ b δ b α)(δ βγ b γ b β) Innsetning i (2-70a) gir = δ βδ δ αγ δ αδ δ βγ δ βδ b γb α + δ αδ b γb β + δ βγ b δ b α δ αγ b δ b β + b δ b γ b αb β G 5 = 1 αβ g γδ b δ 2 b γ b αb β α,β,γ,δ α F + [ ] αβ g γα b γ b β αβ g γβ b γ b α α,β,γ α F + α,β,δ α F + [ ] αβ g βδ b δ b α αβ g αδ b δ b β [ ] αβ g αβ αβ g βα (2-70b) (2-70c) α,β α F Dette uttrykket kan forenkles ytterligere dersom vi foretar enkelte ombyttinger av summasjonsindekser i annen og tredje linje. I første ledd i annen linje bytter vi om α og β. I annen linje kaller vi summasjonsindeksen δ for γ og bytter om α og β i siste ledd. Bytter vi dessuten om α og δ i første linje og dessuten β og γ og anvender (2-37) får vi endelig G 5 = 1 γδ g αβ b α 2 b β b δb γ α,β,γ,δ α F [ ] αβ g γβ βα g γβ b γb α α,β,γ α F + α,β α F [ ] αβ g αβ αβ g βα (2-70d) Her bevarer alle ledd antall kvasipartikler. Første ledd reprensenterer vekselvirkning mellom to hull, mens annet ledd representerer veksel virkningen mellom et hull og partiklene i vakuumtilstanden. Endelig er siste ledd summen av alle to-partikkel vekselvirkninger mellom partiklene i vakuumtilstanden. Vi skal senere innføre diagrammatisk representasjon av matriseelementene i G: Det vil da bli lettere å anskueliggjøre den fysikalske betydningen av de forskjellge bidragene til G. 27

29 2.4 Beregning av matriseelementer og Wicks teorem Enhver behandling av det ikke-relativistiske kvantemekaniske mange- partikkel problem medfører beregning av matriseelementer av operatorer mellom tilstandsvektorer. I annenkvantisering betyr dette at en må beregne vakuumforentningsverdien av produkter av kreasjons- og destruksjonsoperatorer. Et eksempel ble gitt i (2-40) - (2-43), der vi beregnet et enkelt to-partikkel matriseelement i partikkelrepresentasjonen. Fremgangsmåten var V.H.A antikommutasjons reglene å flytte alle destruksjonsoperatorer til høyre for kreasjons operatorene der de ifølge (2-13b) ga null når de virket på vakuum ketvektoren. Selv i det enkle eksempelet i (2-40) med fire kreasjonsoperatorer og fire destruksjonsoperatorer ble imidlertid relativt komplisert. I andre representasjoner, som f.eks partikkel-hull representasjonen, kan selve operatorene bli ganske kompliserte, slik vi allerede har sett. Hvis dessuten tilstandene inneholder mange partikler og hull, kan beregningene bli nokså arbeidskrevende, selv om de i prinsippet er enkle. Det er derfor behov for en lettvint og systematisk metode til å beregne vakuum-forventningsverdien av et produkt av kreasjons- og destruksjonsoperatorer. En slik metode har vi i Wicks teorem, som vi her skal bevise i dets tidsuavhengige form. Vi trenger da først å definere to grunnleggende begreper som inngår i Wicks teorem, nemlig normalprodukt og kontraksjoner av operatorer. Gitt et produkt XY Z... W av kreasjons- og destruksjonsoperatorer, defineres normalproduktet N(XY Z...W) som det produkt der alle kreasjonsoperatorene er plassert til høyre for destruksjonsoperatorene, multiplisert med +1 eller 1 avhengig av om det kreves et like eller ulike antall ombytninger P for å realisere denne ordningen. Skjematisk skriver vi 2-71 Ordningen av kreasjonsoperatorene innbyrdes og av destruksjonsoperatorene innbyrdes er uten betydning på grunn av antikommutasjonsreglene (2-5) og (2-7), men det kan være greit å benytte den opprinnelige ordningen. For eksempel har vi 2-72 Bytter vi om f.eks a 4 og a 6 på høyre side, får vi en faktor 1, svarende til at normalproduktet da skal ha fasen ( 1) 6. Normalproduktet har den viktige egenskap at dets vakuum-forventningsverdi er lik null: 2-73 siden a α 0 = 0 og 0 a α = 0 i følge (2-13b). Når vi skal beregne vakuum-forventningsverdien av et produkt av kreasjonsog destruksjonsoperatorer, vil vi derfor søke å skrive dette ved hjelp av normalprodukt. Et enkelt eksempel kan belyse fremgangsmåten. Produktet a 1 a 2 a 3 kan skrives som en sum av normalprodukt V.H.A vanlig operator algebra: 2-74a Hittil har vi bare brukt den tradisjonelle fremgangsmåten som vi søker et alternativ til. Nå merker vi at alle leddene på høyre side av (??) er på normalproduktform. Men bare det siste leddet har alle tre operatorene inntakt. I begge de to første leddene er to operatorer eliminert på grunn av antikummutasjonen. Vi sier at de to operatorene er kontraktert og oppfatter derfor de to første leddene i (??) som normalprodukt med kontrakterte operatorer. Vi skal skrive (??) som 2-74b der vi har forbundet de kontrakterte operatorene med linjer. En kontraksjon av to vilkårlige operatorer X og Y er definert som vakuum- forventningsverdien av produktet XY : 2-75 Vi har da 2-76 som viser at Kroenecker-deltaene i (??) kan oppfattes som 28

30 kontraksjoner. Først utføres de permutasjoner som er nødvendige for å bringe de kontrakterte operatorer ved siden av hverandre, dernest tas normalproduktet av de resterende operatorer. For begge operasjoner inkluderes fasene av de respektive permutasjoner. For eksempel har vi 2-77 Fortegnet skyldes her ombyttingen av a 1 og a 2 for å bringe a 1 over til a 3. Den gjenværende operator a 2 er allerede på normalproduktform. Dermed har vi også gjort rede for fortegnene på høyre side av (??). I tillegg til kontraksjonen a α a β = δ αβ har vi tre andre typer kontraksjoner, nemlig 2-78 Derfor kan vi uten videre generalisere (??) slik at vi på høyre side inkluderer alle mulige normalprodukt med og uten kontraksjoner. Dette er nettopp Wicks teorem for tidsuavhengige operatorer. I følge dette kan et produkt av n operatorer XY Z... W skrives som 2-79 Her betyr summen (m) over alle ledd med m kontraksjoner, mens [ ] n 2 er det største heltall som ikke overstiger n/2. Teoremet (??) vises ved induksjon. Antar vi at det gjelder for n (vi vet allerede at det gjeldet for n 3), må vi vise at det også gjelder for n+1. For å vise dette, trenger vi følgende lemma 2-80 der summen på høyre side inkluderer alle kontraksjoner mellom Ω og en av de øvrige operatorer X, Y, Z,...,W For å vise lemmaet, merker vi følgende 1. Lemmaet gjelder uten videre når Ω er en destruksjonsoperator, siden N(XY Z... W)Ω da allerede er på normalprodukts form og alle kontraksjoner a a og aa er null. Derfor trenger vi bare å vise lemmaet for det tilfelle at Ω er en kreasjonsoperator. 2. Vi kan anta at sekvensen av operatorer X, Y, Z,...,W i (??) allerede fra begynnelsen av er ordnet som i et normal produkt. Hvis den ikke var det, ville en omordning til normalprodukts rekkefølge introdusere samme fase i alle ledd i (??). 3. Hvis Ω er en kreasjonsoperator, trenger vi bare vise lemmaet for det tilfelle at alle X, Y, Z,..., W er destruksjonsoperatorer, siden alle kontraksjoner a a er null 4. For tillfelle (3) antikommuterer vi Ω forbi alle X, Y, Z,...,W og får første ledd på høyre side av (??). Alle antikommutatorene som derved produseres, gir derved det andre leddet på høyre side av (??). Vi er nå klar til å bevise Wicks teorem (??) ved induksjon. Antar vi at (??) gjelder for produktet XY Z... W av n operatorer, skal vi vise at det også gjelder for produktet XY Z...WΩ av n+1 operatorer. Vi mutipliserer derfor (??) fra høyre med Ω: 2-81 Vi anvender lemma (??) på høyre side av (??) og får 2-82 der og er summene over alle ledd med m kontraksjoner som henholdsvis (m)ω (m) Ω inkluderer og ekskluderer Ω. Siden + =, er (??) Wicks teorem (m)ω (m) Ω (m) for et produkt av n+1 operatorer. Dermed er Wicks teorem (??) bevist. 29

31 Anvendelsen av Wicks teorem på beregning av matriseelementer av operatorer er nå åpenbar. Som tidligere påpekt får en å beregne vakuum- forventningsverdien av produkter av kreasjons- og destruksjonsoperatorer. Ifølge Wicks teorem kan disse nå skrives som en sum av alle mulige normal produkter med og uten kontraksjoner. Siden vakuum-forventningsverdien av et normalprodukt med ikke-kontrakterte operatorer er null, kan vi bare få bidrag fra de normalprodukter der alle operatorene er kontraktert, og vi har 2-83 Vakuumforventningsverdien av et produkt av kreasjons- og destruksjons operatorer er altså lik summen av alle fullstendig kontrakterte produkter av de samme operatorer. Som påpekt tidligere får vi imidlertid bare bidrag fra kontraksjoner av typen a α a α. Wicks teorem for produlter av kvasipartikkel operatorer b, b som er definert relativt en vakuum-tilstand c (f.eks et partikkel- hull vakuum) er selvsagt identisk med (??), forutsatt at kontraksjonene også er definert i forhold til c. Den eneste kontraskjonen som er forskjellig fra null, er da 2-84 Dessuten gjelder (??) fortsatt, dersom 0 erstattes med c. Som et eksempel på anvendelsen av Wicks teorem skal vi beregne om igjen det enkle to-partikkel matriseelementet som ble beregnet ved hjelp av vanlig kommutator algebra i (2-40) - (2-43). Anvendelse av (??) på høyre side av (2-40) gir 2-85 der vi i siste trinn brukte (2-37). Resultatet (??) er selvsagt det samme som i (2-43a), men det er neppe tvil om at Wicks teorem er en mer lettvint. systematisk og sikker metode enn konvensjonell kommutatoralgebra. Spesielt blir Wicks teorem uunværlig for systemer av mange partikler. Det er også lett å bestemme fortegnet på de enkelte ledd i (??). Når kontraksjonslinjene tilsammen skjærer hverandre et like elle ulike antall ganger, skal produktet av kontraksjoner multipliseres med henholdsvis +1 og -1. Det er trivielt å verifisere denne regelen for eksempelet (??). Beregning av matriseelementer i kvasipartikkel-representasjoner som f.eks partikkel-hull representasjoner kan være nokså brysomt, fordi operatorene F og G består av mange ledd, som vist i avsnitt??. Det kan derfor i mange tilfelle være mer hensiktsmessig å uttrykke både tilstandene og operatorene ved hjelp av de opprinnelige kreasjons- og destruksjonsoperatorer a og a for partikler, men da må kontraksjonene av disse defineres i forhold til kvasipartikkelvakuumet c. Vi har da 2-86 De øvrige kontraksjoner er alle lik null. 30

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS14, Kvantefysikk Eksamensdag: 17. august 17 4 timer Lovlige hjelpemidler: Rottmann: Matematisk formelsamling, Øgrim og Lian:

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019 Løsningsforslag for FYS210 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 201 Oppgave 1: Stern-Gerlach-eksperimentet og atomet Stern-Gerlach-eksperimentet fra 122 var ment å teste Bohrs atommodell om at angulærmomentet

Detaljer

Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer,

Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, TFY4250/FY2045 Tillegg 1 1 Tillegg 1: Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, etc a. Reelle forventningsverdier krever Hermiteske operatorer I avsnitt 2.2 i Hemmer kan du først se hvordan

Detaljer

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1) Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen

Detaljer

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember 2011

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember 2011 Løsning, eksamen TFY45 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember a) Et kort og fullgodt svar er at en stasjonær tilstand ψ er en løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen H ψ E ψ, () der H er Hamilton-operatoren

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 Løsning oppgave 8 1 LØSNING ØVING 8 Koherente tilstander for harmonisk oscillator a. Utviklingen (3) er en superposisjon av stasjonære tilstander for oscillatoren,

Detaljer

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er

Detaljer

Et kvadrats symmetrier en motivasjon

Et kvadrats symmetrier en motivasjon Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for

Detaljer

Litt GRUPPETEORI for Fys4170

Litt GRUPPETEORI for Fys4170 Litt GRUPPETEORI for Fys4170 GRUPPER: Ei gruppe G = {g i } er ei samling element med disse egenskapene: * multiplikasjon slik at g i g j G ; * et enhetselement g 0 = 1 slik at g i g 0 = g 0 g i = g i ;

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018 Løsningsforslag for FYS140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 018 Oppgave 1: Materiens bølgeegenskaper a) De Broglie fikk Nobelprisen i 199 for sin hypotese. Beskriv med noen setninger hva den går ut på.

Detaljer

EKSAMEN I SIF4018 MATEMATISK FYSIKK mandag 28. mai 2001 kl

EKSAMEN I SIF4018 MATEMATISK FYSIKK mandag 28. mai 2001 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk og Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Professor Per Hemmer, tel. 73 59 36 48 Professor Helge Holden,

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11 Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 30. april 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen er satt sammen av den første delen av eksamen våren 2010

Detaljer

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers 20. april 2005 Dette notatet sammenfatter forelesningene om elektronets egenspinn og erstatter dermed avsnitt 4.4

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 4. desember 2007 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 4. desember 2007 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk Eksamen TFY450/FY045 4. desember 007 - løsningsforslag Løsningsforslag Eksamen 4. desember 007 TFY450 Atom- og molekylfysikk/fy045 Kvantefysikk Oppgave a. For tilfellet α 0 har vi et ordinært bokspotensial

Detaljer

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette

Detaljer

Nivåtettheten for ulike spinn i 44 Ti

Nivåtettheten for ulike spinn i 44 Ti 7. september 2009 1 Hva er et nukleonpar? Et par brytes 2 3 Nivåtettheten for ulike lave spinn Hva er et nukleonpar? Et par brytes I en like-like kjerne er det hensiktsmessig for nukleonene å danne par.

Detaljer

Egenverdier og egenvektorer

Egenverdier og egenvektorer Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon

Detaljer

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons.

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons. Oppgave 1 Franck-Hertz eksperimentet Med utgangspunkt i skissen i figuren under, gi en konsis beskrivelse av Franck-Hertz eksperimentet, dets resultater og betydning for kvantefysikken. [ poeng] Figur

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på

Detaljer

Løsning til øving 23 for FY1004, våren 2008

Løsning til øving 23 for FY1004, våren 2008 Løsning til øving 23 for FY1004, våren 2008 Diracs δ-funksjon kan defineres ved at δ(x) = 0 for x 0, og dx δ(x) = 1. Vi vil bruke δ-funksjonen som et potensial for en partikkel i en dimensjon. Vi setter

Detaljer

Løsningsforslag Matematisk fysikk, 28. mai 2001

Løsningsforslag Matematisk fysikk, 28. mai 2001 Løsningsforslag Matematisk fysikk, 8. mai Oppgave a) Det er trykkfeil i oppgaven. Riktig uttrykk er Vi har sin n θ = π cosx sin θ) = π π = n= n= n= = J x). π n n!). ) n x sin θ) n n= ) n x n ) n x n )

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid: Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap

Detaljer

Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012

Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for fysikk Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 Faglærar: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Institutt for fysikk Telefon:

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER

NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER SIE 3080 STOKASTISKE OG ADAPTIVE SYSTEMER Oddvar Hallingstad 0. februar 00 Vi skal her utlede noen nyttige formler for arbeidet med kovariansmatriser

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;

Detaljer

4 Matriser TMA4110 høsten 2018

4 Matriser TMA4110 høsten 2018 Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 2010

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 2010 Løsning, eksamen TFY45 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 1 1a) Det elektriske feltet er [ E = ωk Im ( e x a x + e y a y )e i(kz ωt)] [ = ωk Im ( e + a + + e a )e i(kz ωt)]. Et viktig poeng: E er reell,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksamen TFY450 4. auguast 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 4. august 008 TFY450 Atom- og molekylfysikk a. I områdene x < a og x > a har vi (med E V 0 ) at ψ m h [V (x) E ]ψ 0.

Detaljer

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13. august 2012

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13. august 2012 Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13 august 2012 1a) Kravene at både ψ og ψ er kontinuerlige der potensialet er diskontinuerlig, følger av Schrödingerligningen 2 2m ψ x) + V x)ψx) = Eψx)

Detaljer

Oppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk

Oppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67 EKSAMEN I TFY415

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

Eksamensoppgave i TFY4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystemer

Eksamensoppgave i TFY4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystemer Institutt for fysikk Eksamensoppgave i TFY420 Kvanteteorien for mangepartikkelsystemer Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Tlf.: 97 94 00 36 Eksamensdato: 7. juni Eksamenstid

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY2045/TFY4250 14. desember 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I a. For E < 3V 0 /4 er området x > a klassisk forbudt, og

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Midtsemesterprøve i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Onsdag 22. oktober :15 16:00

Midtsemesterprøve i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Onsdag 22. oktober :15 16:00 NTNU Side 1 av 6 Institutt for fysikk Midtsemesterprøve i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Onsdag 22. oktober 2008 14:15 16:00 Tillatte hjelpemidler: Vanlig kalkulator Husk å skrive studentnummeret ditt på hvert

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006

Løsningsforslag til eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006 NTNU Side av 3 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY836 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 6 Dette løsningsforslaget er på 3 sider, pluss et vedlegg

Detaljer

TFY Øving 8 1 ØVING 8

TFY Øving 8 1 ØVING 8 TFY4215 - Øving 8 1 ØVING 8 Mye av poenget med oppgave 2 er å øke fortroligheten med orbitaler, som er bølgefunksjoner i tre dimensjoner. Fordi spørsmålene/oppdragene er spredt litt rundt omkring, markeres

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY3404/FY8307 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 9. juni 2006

Løsningsforslag til eksamen i FY3404/FY8307 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 9. juni 2006 NTNU Side 1 av 4 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY3404/FY8307 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 9. juni 2006 Dette løsningsforslaget

Detaljer

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ Oppgave 1 Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet Vr) = k ee r, 1) er som kjent ψ nlm r,θ,φ) = R nl r)yl m θ,φ), ) hvor R nl r)

Detaljer

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag. mai 007 Løsninger 1a Et hydrogenlikt atom har ett elektron med masse m og ladning e som er bundet til en atomkjerne med ladning Ze. Siden kjernen har

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018 7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A

Detaljer

LØSNING EKSTRAØVING 2

LØSNING EKSTRAØVING 2 TFY415 - løsning Ekstraøving 1 Oppgave 9 LØSNING EKSTRAØVING hydrogenlignende atom a. For Z = 55 finner vi de tre målene for radien til grunntilstanden ψ 100 vha formlene side 110 i Hemmer: 1/r 1 = a =

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: KJM1060 Struktur og spektroskopi Eksamensdag: 14 oktober 2004 Tid for eksamen: kl. 15:00 17:00 Oppgavesettet er på 2sider.

Detaljer

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 1. august 004 Oppgave 1. Interferens a)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk Eksamen FY2045 27. mai 2005 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk a. Ifølge den tidsuavhengige Shrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, har vi for x < 0 : E = Ĥψ ψ

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS240 Kvantefysikk Eksamensdag: 3. juni 206 Tid for eksamen: 09.00 4 timer) Oppgavesettet er på fem 5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 ØVING 5

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 ØVING 5 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 ØVING 5 Oppgave 0 α-desintegrasjon α-sdesintegrasjon er en prosess hvor en radioaktiv opphavs -kjerne (parent nucleus) desintegrerer (henfaller) til en datter

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY3404 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Tirsdag 30. november 2004

Løsningsforslag til eksamen i FY3404 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Tirsdag 30. november 2004 NTNU Side av 7 Institutt for fysikk Løsningsforslag til eksamen i FY30 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Tirsdag 30. november 200 Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Oppgave. Prosesser i QED Tegn, i de tilfeller

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling

Detaljer

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018 9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7 INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1. desember 2009 TFY4250/FY2045

Løsningsforslag Eksamen 1. desember 2009 TFY4250/FY2045 Eksamen TFY45/FY45 1. desember 9 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. For n = 3j er Løsningsforslag Eksamen 1. desember 9 TFY45/FY45 ψ () 3j (L/3) = A sin(jπ) = og ψ () 3j (L/3) = A sin(jπ) =. Vi kan da konstatere

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Eksamensoppgåve i KJ1041 Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk

Eksamensoppgåve i KJ1041 Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk Institutt for kjemi Eksamensoppgåve i KJ1041 Kjemisk binding, spektroskopi og kinetikk Fagleg kontakt under eksamen: Ida-Marie øyvik Tlf: 99 77 23 63 Eksamensdato: 11. desember 2014 Eksamenstid (frå til):

Detaljer

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk FY1006/TFY4215 våren 2012 - pensum og kursopplegg 1 Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk våren 2012 Litt om de to emnene De to emnene FY1006 og TFY4215 er identiske både når

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2009 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2009 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksamen TFY425 8. august 29 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 8. august 29 TFY425 Atom- og molekylfysikk a. For β = har vi en ordinær boks fra x = til x = L. Energiegenfunksjonene har formen

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Tirsdag 9. desember 003 Oppgave 1. a) Amplituden

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/

Detaljer

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som

Detaljer

Eksamen i fag FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Tid:

Eksamen i fag FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Lørdag 22. desember

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at Det er mulig å oppnå i alt 80 poeng på denne eksamen. Oppgave er inspirert av en tidligere eksamensoppgaver gitt ved NTNU, laget av Ingjald Øverbø og Jon Andreas Støvneng. Oppgave 1 En-dimensjonal harmonisk

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 8 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 8 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Utenfor boksen, hvor V (x) =, er bølgefunksjonen lik null. Kontinuiteten

Detaljer

Diagonalisering. Kapittel 10

Diagonalisering. Kapittel 10 Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 LØSNING ØVING 13. V (x, t) = xf (t) = xf 0 e t2 /τ 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 LØSNING ØVING 13. V (x, t) = xf (t) = xf 0 e t2 /τ 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 Løsning Oppgave 13 1 LØSNING ØVING 13 Transient perturbasjon av harmonisk oscillator a. Med kraften F (t) = qe(t) = F 0 exp( t /τ ) og sammenhengen F (t)

Detaljer

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7 FY1006/TFY415 - Løysing øving 7 1 Løysing oppgåve 1 LØYSING ØVING 7 Numerisk løysing av den tidsuavhengige Schrödingerlikninga a) Alle ledda i (1) har sjølvsagt same dimensjon. Ved å dividere likninga

Detaljer