Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 6

Transkript

1 Ma10 - Flerdimensjonal Analyse Øving 6 Øistein Søvik Brukernavn: Oistes Oppgaver Find and classify the critical points of the given functions fx, y) = x 4 + y 4 4xy Vi slipper her å sjekke for nullpunkter på randen for funksjonen er definert på R. Da trenger vi bare å teste når de partiellderiverte er null. Dette gir at Fra nederste likning får vi at x = y slik at f 1 x, y) =0 4x 4y = 0 f x, y) =0 4y 4x = 0 y ) y = y y 8 1 ) = 0 Som har de reelle løsningene y = 0 og y = ±1. Innsatt får vi at de kritiske punktene er 1, 1), 0, 0) og 1, 1). For å klassifisere punktene ser vi på de dobbelderiverte a = f 11 = 1x b =f 1 4 c = f = 1y Slik at 0, 0) er et saddelpunkt siden b 4ac > 0 og f±1, ±1) = er lokale bunnpunkter siden b 4ac < 0 og a > Find the maximum and minima values of fx, y) = xye x y 4 Vi begynner med å skrive opp de partiellderiverte. f 1 x, y) = ye x y 4 x ye x 4 = ye x 4 x 1 ) f x, y) = xe x y 4 4xy 4 e x y 4 = xe x y 4 y 1 ) y + 1 ) Og de stygge andrederiverte blir A = f 11 x, y) = 6xye x y 4 + 4x ye x 4 = xye x 4 x ) B = f 1 x, y) = e x y 4 4y 4 e x y 4 x e x y 4 + 8x y 4 e x y 4 = e x y 4 4y 4 1)x 1) C = f x, y) = 0xy e x y xy 7 e x y 4 = 4xy e x y 4 4y 4 5 ) Slik vi nå løser de partiellderiverte er lik null. Vi legger merke til at e hva som helst alltid er større enn null. 0 = ye x y 4 x 1 ) 0 = xe x y 4 y 1 ) y + 1 ) 0 = y x 1 ) 0 = x y 1 ) y + 1 ) 1

2 Øverste likning gir at y = 0, som innsatt gir x = 0. Slik at et punkt er 0, 0). Øverste likning gir og at x = ±1/. Innsatt i nederste likning får vi da at y = ±1/ når x = 1/ og y = ±1/ når x = 1/. Alle løsningene er dermed 0, 0) ± 1 ) ± 1, 1 ) det kan vises gjennom mer vond regning at D = B AC = e x y 4) 1 8 y 4 4 x 88 x y y 8 + y 8 x + 4 x x 4 y 4) Slik at vi ser at D0, 0) = 1. Videre så er D± 1 ) = 8e / og A± 1 ) = e /4. Tilslutt ser vi at D± 1, 1 ) = 8e / og A± 1, 1 ) = e /4. Oppsumert har vi Globale toppunkt f± 1 ) = 1 e /4 Saddelpunkt f0, 0) = 0 Globle bunnpunkt f± 1, 1 ) = 1 e /4. Find the maximum value of fx, y) = x + 8y + 1 xy How do you know that a minimum exists? in the first quadrant x > 0 y > 0. Vi vet at et lokalt minimum eksisterer siden funksjonen vokser mot uendelig nærme origo og synker før den stiger igjen når x og y øker. Vi kan for eksempel se på 1 4, 1 4, ) 4, 4) Igjen regner vi ut de partiellderiverte Løsningene av likningsystemet blir f 1 x, y) = 1 1 yx og f x, y) = 8 1 xy yx = 1 xy = 1 8 Ganger vi første likning med y og andre likning med x får vi at y x = y x y = 1 8 x y = 1 8 x Innsatt i første likning får vi at x = 8 x =. Slik at y = 1/4. Den minimale verdien til funksjonen blir dermed f, 1 4 ) = /4 = The material used to make the bottom of a rectangular box is twice as expensive per unit as the material to make the top or side walls. Find the dimensions of the box of given volume V for which the cost of the materials is minimum. y z x

3 Utifra fin figur, får vi at V = xyz. Vi setter kostnaden til en side lik u og slik at x = u og y = u og z = u. Slik at de totale utgiftene for boksen blir Ku) = uxy + uxy + uxz + uyz Vi ønsker å elliminere z fra likningen og innføre V, Vi vet fra før at z = V/xy slik at u xy + x V xy + y V ) xy For å finne minimum deriverer vi funksjonen implisitt u y x = u Vx ) = 0 u x y = u Vy ) = 0 Herfra ser vi at x y = V og xy = V. Nå ganger vi igjen med x og y slik at x y = V y og x y = V x. Så y = x = V ) 1/ og z = V xy = 9 4 V ) 1/ 9. Let fx, y) = y x ) y x ). Show that the origin is a critical point of f and that the restriction of f to every straight line through the origin has a local minimum value the origin. Does fx, y) has a local minimum value at the origin? What happens to f on the curve y = x? What does the second derivative test say about the situation? De førstederivere blir via produktregelen f 1 x, y) = x y x ) 6 y x ) x = 4x x y ) f x, y) = d dy y 4yx + x 4) = y 4x f gir at y = x slik at 4x x 4x ) = 0 4x = 0 x = 0 Slik at 0, 0) er et kritisk punkt. Videre så skal vi vise at enhver rett linje som går gjennom origo har et lokalt bunnpunkt der. Da ser vi på fx, kx) = k x 4kx + x 4 d dx fx, kx) = 0 x k 6kx + 6x ) = 0 x = 0 x = k 6 Og andrederiverte testen gir at kx) = d dx fx, kx) = k 4kx + 6x ± ) Siden k0) = k som alltid er positiv, er origo et lokalt bunnpunkt for alle rette linjer. Nå skal vi teste om 0, 0) er et lokalt bunnpunkt for alle x og y. Vi ser at dette ikke er mulig siden y = x har et toppunkt i origo. Videre gir dobbelderivert testen at A = f 11 x, y) = 8y + 6x B = f 1 x, y) = 8x C = f x, y) = B0, 0) A0, 0)C0, 0) = 0 0 = 0 Slik at andrederivert testen sier fint lite om situasjonen.

4 Oppgaver The temperature at all points in the disk x + y 1 is given by T = x + y)e x y Find the maximum and minimum temperatures a points of the disk. Her må vi ha at x, y 0, 1) ellers er vi utenfor sirkelen. Vi regner ut de partielderiverte. f 1 x, y) = e x y x + y)xe x y = e x y x + xy 1 ) f x, y) = e x y x + y)ye x y = e x y y + xy 1 ) Som sagt e opphøyet i noe er alltid positivt, videre ser vi at vi må ha at x + y pga symmetri. Dette gir at 0 = x + x 1 x = ± 1 Slik at alle løsningene er 1, 1 ) og 1, 1 ). For å klassifisere punktene ser vi på de dobbelderiverte. Hopper litt over noen kjedelige utgreininger. A = f 11 x, y) = e x y x x y x y ) B = f x, y) = e x y y y x y x ) C = f 1 x, y) = e x y x + y)xy 1) T x, y) = B AC = 8e x y x 4 + y 4 + x y x + y x + y x 4xy y ) Vi ser at T 1, 1 ) = 8/e og A > 0 og T 1, 1 ) = 8/e og A < 0. Slik at f 1, 1 ) = 1 e f 1, 1 ) = 1 e Lokalt toppunkt Lokalt bunnpunkt Dog vet jeg ikke helt hvordan jeg kan sjekke randen. 16. Equal angle bends are made equal distances from the two ends of a 100m long straight length of fence so the resulting three-segment fence can be places along an existing wall to make an enclosure trapezoidal shape. What is the largest possible area for such an enclosure? x h h x β β y Fikk et godt tips om tegningen over, og uttrykke ting via vinkelen β på bildet. Vi har da at x + y = 100 y = 100 x og h = x cos β. Slik at arealet kan utttrykkes som A = yh + hx sin β) = 100 x)x cos β) + x cos βx sin β = 100x x ) cos β + 1 x sinβ) 4

5 Denne ønsker vi å minimiere. Regner dermed ut de partiellderiverte: A 1 x, β) = 100 4x) cos β + x sinβ) A z, β) = x 100x) sin β + x cosβ) = x sin β 100 sin β + xcosβ)) A 1 gir at x =. Som innsatt i nedeste gir sin β ) ) 0 = sin β 100 sin β + cosβ)) sin β sin β 100 sin β sin β) = 100 sin β + 1 sin β) ) sin β = β = arcsin = π/6 Dette gir endelig at x = arealet vi kan oppnå er sin β = 1/ = 100 ) A = ) 100 = + 1 = og y =. Som tilslutt gir at det største ) π ) cos ) 100 ) sin π ) Oppgaver 1.. Find the shortest distance from the point, 0) to the parabola y = x t,t ) t ),0) t 0) a) by reducing to an unconstrained problem in one variable Utifra tegning så er avstanden fra puntket, 0) til et tilfeldig punkt på kurven gitt som P t) = t ) + t 0) = t 4 + t 6t + 9 Vi deriverer det som står under rotegnet forå finne minimumsverdien. Dette gjør vi siden gx) = g x)/ gx) og vi er kun interessert i når g x) = 0 Gt) = t 4 + t 6t + 9 G x) = 4t + t 6 = t 1)4t + 4t + 6) Vi ser løsningen t = 1 med en gang og bruker polynomdivisjon til å faktorisere Gt) videre ser vi at 4t + 4t + 6 alltid er positiv siden diskriminanten er negativ. Videre så er t = 1 en minimumsverdi pga at g 1) > 0. Slik at den minste avstanden mellom fx) = x og punktet, 0) er 5 og punktet som ligger nærmest, 0) på fx) er 1, 1) 5

6 b) by using the method of Lagrange multipliers Her får vi at vi skal minimere fx) = x ) + y med betingelsen gx) = x y, de partiellderiverte blir. Lx, y, λ) = x ) + y + λ x y ) = x ) + λx x y = y λ λ = x y Nest øverste likning gir at λ = y = x, ved innsetning i øverste likning får vi Som vist tidligere så er x = 1 eneste løsning. 0 = x ) + x )x 0 = 4x + x 6 = x 1)4x + 4x + 6) 7. Find a, b and c such that the volume V = 4abc/ of an ellipsoid x a + y b + z c = 1 passing the point 1,, 1) is as small as possible. Her fikk jeg heller ikke til noe 11. Find the maximum and minimum values of the function fx, y, z) = x over the curve of interesection of the plane z = x + y and the ellipsoid x + y + z = 8. Vi merker oss at en ellipsoideer myk og lukket, slik at vi ikke får noen probemer med å bruke lagrange. Dette gir oss Lx, y, z, λ, µ) = x + λz x y) + µ x + y + z 8 ) x = 1 λ + µx = λ + 4µy y z = λ + 4µz λ = z x y µ = x + y + z 8 Men engre kom jeg ikke, tror ikke dette er korrekt. Virker ikke slikt. 6. What is the shortest distance from the point 0, 1) to the curve y = 1 x? Can this problem be solved by the Lagrange multiplier method? why? Utifra fin tegning så kan vi se at svaret åpenbart er = utifra fin tegning. Derimot så vil vel ikke lagrange multipliers fungere, siden øsningene ligger på endepunktet av funksjonen. 6

7 7