TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
|
|
- Klaus Engebretsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 005 Løsningsforslag Øving 5 a) Vi skal undersøke stabilitet ved Fourier-metoden. Metodens karakteristiske polynom er gitt som ã(z, r) = + εr(z + z) λhr (z z ). Fourier-metoden sier at metoden er stabil dersom kravet ã(e iθ, r) θ [0, π], er oppfylt. Vi setter inn e iθ i ã og får ã(e iθ, r) = εr( (e iθ + e iθ )) λhr (eiθ e iθ ) = 4εr sin θ iαr sin θ, hvor α = λh. Siden a(eiθ, r) er ekvivalent med a(e iθ, r), får vi ved kvadrering a(e iθ, r) = 8εr sin θ + 6ε r sin 4 θ + 4α r sin θ. Vi bruker sin( θ ) = sin θ cos θ og deler så på 8 sin θ. Stabilitetskravet blir dermed at εr + ε r sin θ + α r cos θ 0 eller ekvivalent at α r ε + r(ε α ) sin θ 0. Dette skal holde for θ [0, π]. Vi må skille mellom to tilfeller:. Anta at α < ε. Da har vi stabilitet dersom α r ε + r(ε α ) 0, dvs. dersom r ε. (sett inn ε = α) 4. mars 005 Side av 8
2 . Anta at α ε. Da har vi stabilitet dersom α r ε 0, dvs dersom r ε α. b) Matrisen Q er gitt ved ε (ε α) (ε + α) ε (ε α) Q = (ε + α) ε (ε α) ε ε, mens F er gitt ved F = r[ε + α, 0,..., 0] T. Legg merke til at siste rad i Q er litt forskjellig fra de andre. Dette kommer av formen av randbetingelsene. c) For å kunne løse denne oppgaven må vi kjenne til hvordan determinanten til en matrise utvikles ved en av radene. Anta vi vil utvikle determinanten til en matrise A ved rad i, da gjelder det A = a i A i + a i A i + + a in A in hvor A ij = ( ) i+j det M ij hvor M ij er ko-faktor matrisen til A, dvs matrisen vi får når vi stryker rad i og søyle j. På grunn av formen til Q, er det lurt å utvikle determinanten om siste rad. Da får vi det(q λi) = 0 Q N + 0 Q N Q NN εq NN + (ε λ)q NN = ε( ) N det + (ε λ)( ) N det ε λ (ε α) (ε + α) ε λ (ε α) (ε + α) ε λ 0 (ε + α) (ε α) ε λ (ε α) (ε + α) ε λ (ε α) (ε + α) ε λ (ε α) (ε + α) ε λ Vi ser at det siste leddet er gitt slik som det skal, mens det første ikke er på riktig form. Vi må beregne denne determinanten for seg selv. Hvis vi prøver å utvikle denne nok en gang om siste rad, støter vi raskt på problemer. Det vi bør legge merke til dog, er at siste søyle har bare siste element ulik null. Vi kan derfor benytte regelen om at determinanten av den transponerte matrisen er lik determinanten av matrisen selv, dvs det A = det A T. Dette betyr at vi like 4. mars 005 Side av 8
3 godt kan utvikle determinanten om en av søylene til matrisen. Vi velger derfor å utvikle problemmatrisen over ved siste søyle. Vi får dermed at det(q λi) = (ε λ)t N (λ) + ( ε(ε α))t N (λ) = (ε λ)t N (λ) ε(ε α))t N (λ), som skulle vises. Videre ser vi at matrisene T M (λ) er tridiagonale, så vi kjenner egenverdiene til disse fra notatet om tridiagonale matriser. Rekurrensformelen fås dog på akkurat samme måte som over, og startbetingelsene er trivielle. d) Matrise-metoden sier at metoden er stabil når ρ(a). Vi må finne σ(q), siden σ(a) = rσ(q). Dette gjøres ved å finne nullpunktene til G (λ). Vi har at G (λ) = (ε λ)t (λ) ε(ε α)t 0 (λ) = (ε λ) ε(ε α). Vi har igjen to muligheter:. Anta at α < ε. Da er G (λ) = 0 hvis Stabilitetskravet er λ = ε ± ε(ε α). rλ 0 og rλ. Den første ulikheten er trivielt oppfylt, og den andre gir r ε + ε(ε α). Anta at α ε. Da er røttene gitt ved som gir For å få stabilitet krever vi at som er oppfylt når λ = ε ± i ε(α ε), σ(a) = rε ± ir ε(α ε). σ(a) = 4rε + 4r ε + εαr ε r, r ε + α. e) Vi setter R = ε α, slik at T M (x) = R M U M (x). Rekurrensformelen for T M gir da R M U M (x) = xrr M U M (x) R R M U M (x), som er ekvivalent med Startsbetingelsene gir at og U M (x) = xu M (x) U M (x). RU (x) = xr U (x) = x R U (x) = 4x R R U (x) = 4x. Dermed kjenner vi igjen denne rekurrens-relasjonen som Chebyshev-polynomene av andre sort, som er nettopp U M (x). 4. mars 005 Side 3 av 8
4 f) Vi har at λ = ε xr, så rekurrensrelasjonen for G N (λ) gir, når vi substituerer inn uttrykket for T M, følgende uttrykk H N (x) = G N (ε xr) = xrr N U N (x) ε(ε α)r N U N (x) = R N [x(ε α )U N (x) ε(ε α)u N (x)] = (ε α)r N [x(ε + α)u N (x) εu N (x)]. Vi kan dermed konkludere med at røttene til H N (x) ligger i intervallet (, ). La de korresponderende røttene til G N (λ) være gitt ved λ j. Vi har da at σ j (A) = rλ j = r(ε x j R), så kravet σ j (A) gir den trivielt oppfylte ulikheten og ulikheten som er oppfylt når r(ε x j R) 0 r(ε x j R), r ε + ε α g) Sammenligning av Fouriermetoden og matrisemetoden ( egenverditeknikker ) gir at vi ikke får de samme betingelsene: Fouriermetoden Matrisemetoden α ε r ε (strengest) r ε α α α < ε r ε (strengest) r ε+ ε α Fouriermetoden støtter ikke annet enn periodiske randkrav, mens systemet vårt har Dirichlet i venste endepunkt og Neumann i høyre endepunkt. På den andre side så krever matrisemetoden at iterasjonsmatrisa A er normal, AA T = A T A (symmetriske og skjev-symmetriske matriser har denne egenskapen). A er nesten symmetrisk så for en passende definisjon av nesten, så er den nesten normal. Begge teknikker brukes likevel for å indikere stabilitetskrav for metoder med litt ustandard randbetingelser fordi det er bedre med en viss indikasjon på hva som kreves for stabilitet enn ingen. Matrisene B og C er gitt ved D M... B =... DM, C = I M I M I M I M I M, I M I M 4. mars 005 Side 4 av 8
5 hvor matrisen D M er gitt ved D M =. Vi ønsker nå å løse ligningen hvor B og C inngår. Kall høyresiden f, og sett F = (I rb) og H = (I rc). Vi omskriver ligningen til F HU n+ = f. Først løser vi F y = f, og deretter løser vi HU n+ = y. Begge ligningene er tridiagonale og kan derfor løses med O(M ) operasjoner. NB: Husk at O(M ) operasjoner i denne sammenheng betyr O(n) operasjoner, siden matrisen har M rader og dermed M 4 elementer. I Matlab kan disse matrisene enkelt konstrueres med et Kronecker tensorprodukt. Definer matrisa D i Matlab som D M over. Vi kan da konstruere >> M = 3 >> D = diag ( ones (,M ), ) + diag( ones (,M), 0 ) + diag ( ones (,M ),) D = 0 0 >> B = kron ( eye (M), D) >> C = kron (D, eye (M) ) >> help kron BC er da det samme som kron(d, D). 3 Oppgave 3. i læreboka. We will use Fourier method to analyze the stability of the scheme u n+ l = ( 5µ + 6µ )u n l + 3 µ( 3µ)(un l + un l+ ) µ( 6µ)(un l + un l+ ). The scheme has the following stability function ã(z, µ) ã(z, µ) = ( 5µ + 6µ ) + 3 µ( 3µ)(z + z) µ( 6µ)(z + z ). Substituting z = e iθ, we obtain ã(e iθ, µ) = ( 5µ + 6µ ) µ( 3µ) cos θ µ( 6µ) cos θ. 6 Let us use cos θ = cos θ to express ã(e iθ, µ) in terms of x = cos θ: ã(x, µ) = 3 µ(6µ )x µ( 3µ)x + ( 7 3 µ + µ ). () We must find all values µ such that ã(e iθ, µ), θ [0, π], 4. mars 005 Side 5 av 8
6 or, equivalently, ã(x, µ), x [, ], Let us notice that according to the definition µ 0. We limit ourselves to this interval in the analysis. There are two cases to consider:. If µ(6µ ) = 0, i.e. µ = 0 or µ = 6 the plot of the function ã(x, µ) is a line. The maximum value of ã(x, µ) for x [, ] is either ã(, µ) or ã(, µ). We get ã(, µ) = 6 3 µ + 8µ, ã(, µ). It is easy to see that ã(, µ) for µ = 0 and µ = 6. Thus, the scheme is stable.. If µ(6µ ) 0, the plot of the function ã(x, µ) is a parabola so that there is one extremum point ( 3µ) x 0 = ( 6µ). The maximum value of ã(x, µ) for x [, ] can be in x =, x = or x = x 0. It is important to notice that we must consider the point x = x 0 only if x 0 [, ]. For the stability of the scheme we require and ã(, µ), ã(, µ) ã(x 0, µ), if x 0 [, ]. We obtain ã(, µ), ã(, µ) if µ 3. The point x 0 is located in the interval [, ] if x 5 5. Because for µ [, 3 ] parabola () is has minimum in x 0 (why?) and it is entirely located in the upper half plane the value ã(x 0, µ) can not have maximum at x 0. Finally, the scheme is stable if µ [0, 3 ]. 4 Oppgave 3. i læreboka. Vi skal drøfte stabiliteten til FM-skjemaet u n+ l (µ ζ)(un+ l un+ l + u n+ l+ ) = un l + (µ + ζ)(un l un l + u n l+ ) for forskjellige valg av ζ. Først benytter vi matrisemetoden. La x = som alltid u n = [u n,..., u n d ]T. d+. Vi setter Vi må først bestemme systemmatrisen A x. Vi har at skjemaet kan skrives som A + x un+ = A x un, hvor A + x = + (µ ζ) (µ ζ) (µ ζ) + (µ ζ) (µ ζ) (µ ζ) + (µ ζ) 4. mars 005 Side 6 av 8
7 og (µ + ζ) (µ + ζ) A x = (µ + ζ) (µ ζ) (µ + ζ). (µ + ζ) (µ + ζ) Begge matrisene er TST (tridiagonal, symmetrisk og Toeplitz) og egenverdiene er gitt ved λ + j λ j = + (µ ζ) = (µ + ζ) + (µ ζ) cos( πj d+ ) = + (µ ζ) sin ( πj x (µ + ζ) cos( πj d+ ) = (µ + ζ) sin ( πj x ) j =,..., d ) j =,..., d. Selve systemmatrisen er gitt ved A x = (A + x ) A x. Siden komponentmatrisene er tridiagonale og derfor normale, er systemmatrisen selv en normal matrise. Fordi matriser A + x og A x er TST kan vi skrive A + x = QD+ Q T og A x = QD Q T, der Q er den ortonormale matrisen med egenvektorene (egenvektorene er like for A + x og A x ) og D+ og D diagonale matriser med de respektive egenverdiene (Lemma 0.5 i boka). Dermed følger det umiddelbart at A x = (QD + Q T ) QD Q T = Q(D + ) Q T QD Q T = Q(D + ) D Q T. Dette viser at egenverdiene til A x er gitt som (λ + j ) λ j, dvs egenverdiene er gitt som λ j = (µ + ζ) sin ( πj x ) + (µ ζ) sin ( πj x j =,..., d. ) Vi vet at 0 sin ( πj x ). Anta at verdien er s for å slippe å skrive så mye. λ j betyr da for våre reelle tall: og vi skiller i to tilfeller: (µ + ζ)s + (µ ζ)s. Nevneren er positiv, + sµ sζ > 0 ζ < µ + /(s). Da ganger vi opp nevneren og venstre ulikhet gir som betyr at vi må kreve for stabilitet. Høyre ulikhet blir sµ + sζ sµ sζ ζ s sµ sζ + sµ sζ som kun krever µ > 0 for stabilitet, og dette er alltid tilfredstilt i denne oppgaven (noe annet ville innebære negativ tid). 4. mars 005 Side 7 av 8
8 . Nevneren er negativ, ζ > µ + /(s). Når nevneren er negativ må vi endre på fortegnet til ulikheten når vi ganger opp. Venstre ulikhet gir sµ + sζ sµ sζ som betyr at ζ /(s). Men høyre ulikhet gir nå µ 0 som ikke er sant i denne oppgaven, dermed er aldri skjemaet stabilt når nevneren er negativ. Siden 0 s har vi at strengeste stabilitetsgrense kommer når s =, dermed har vi at skjemaet kun er stabilt når ζ. Vi skal så benytte Fouriermetoden på samme skjema. Stabilitetsfunksjonen er gitt ved ã(z, µ) = + (µ + ζ)(z + z) (µ ζ)(z + z). Vi setter z = e iθ og får ã(e iθ, µ) = (µ + ζ) + (µ + ζ)(eiθ + e iθ ) + (µ ζ) (µ ζ)(eiθ + e iθ ) = (µ + ζ) sin ( θ ) + (µ ζ) sin ( θ ) θ [0, π]. Vi ser at stabilitetsfunksjonen sammensvarer med uttrykket for egenverdiene fra matrisemetoden, så vi kan konkludere med at Fouriermetoden gir samme stabilitetskrav. Legg merke til at hvis vi setter ζ = 0, så får vi Crank Nicolsons metode, så vi kan forvente at ζ er en slags relaksasjonsparameter, dvs at den skal øke konvergenshastigheten. 4. mars 005 Side 8 av 8
EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Bård Skaflestad (946867) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren 93064 EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA TMA405 Fredag 5 desember
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 6, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Fremgangsmetode: P X 1 < 6.8 Denne kan finnes ved å sette opp integralet over
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF5045 NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Faglig kontakt under eksamen: Syvert P. Nørsett 7 59 5 45 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF545 NUMERISK LØSNING
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving Oppgaver fra boken: :, 9,,, 5, 9, 5, 67 Det er oppgavene i boldface som
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
DetaljerMA2501 Numerical methods
MA250 Numerical methods Solutions to problem set Problem a) The function f (x) = x 3 3x + satisfies the following relations f (0) = > 0, f () = < 0 and there must consequently be at least one zero for
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
DetaljerEksamensoppgave i MA2501 Numeriske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA50 Numeriske metoder Faglig kontakt under eksamen: Trond Kvamsdal Tlf: 9305870 Eksamensdato: 3. mai 08 Eksamenstid (fra til): 09:00 3:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerTMA4215 Numerisk matematikk
TMA45 Numerisk matematikk Høst 0 Løsningsforslag øving 7 Oppgave a Vi har Eksakt løsning: yt n+ = yt n + hφ t n, yt n ; h + d n+, Numerisk løsning: y n+ = y n + hφt n, y n ; h. Ta differensen mellom disse,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MoD200 Eksamensdag: 15. desember 2003 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
Detaljera) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er matrisen inverterbar når v T u 1.
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Oppgave 1 a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Kontakt under eksamen Navn: Bawfeh Kingsley Kometa kontor: 7359975, mobil: 936 24 483) Sensur: 06.0.20 EKSAMEN I NUMERISK
DetaljerUniversitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl.
1 MAT131 Bokmål Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 09-14 Oppgavesettet er 4 oppgaver fordelt på
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
DetaljerSlope-Intercept Formula
LESSON 7 Slope Intercept Formula LESSON 7 Slope-Intercept Formula Here are two new words that describe lines slope and intercept. The slope is given by m (a mountain has slope and starts with m), and intercept
DetaljerR: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og
EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva
DetaljerTMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
Detaljer12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)
Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er
DetaljerTMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005 Løsningsforslag Øving 2 1 Denne oppgaven er ganske
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
DetaljerAbelprisvinner L-funksjoner Kjempers skuldre Galois Frobenius Artin Wiles. Årets Abel-pris Robert Langlands
Årets Abel-pris Robert Langlands L for Langlands L-funksjoner L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L-funksjoner er spesielle funksjoner av typen
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 227 Numerisk lineær algebra Eksamensdag: 5. desember 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerTMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
Norges teknisk naturvitenskapeige universitet Institutt for matematiske fag TMA420 Numerisk øsning av part diffign med differansemetoder Vår 2005 3 Crank Nicoson er en famiie metoder som fremkommer ved
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 0. desember 205 Eksamenstid
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003
DetaljerØving 5 - Fouriertransform - LF
Øving 5 - Fouriertransform - LF Obligatoriske oppgaver See the notes Matlab: %x og t aksen x=:.:pi; t=:pi/:*pi; %sette opp funksjon og plotte hver frame for j=:length(t) %funksjonsverdier p innev rende
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse Øving 1
Ma1203 - Flerdimensjonal Analyse Øving 1 Øistein Søvik Brukernavn: Oistes 23.01.2012 Oppgaver 10.1 6. Show that the triangle with verticies (1, 2, 3), (4, 0, 5) and (3, 6, 4) has a right angle. z y x Utifra
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk. Løsningsforslag for Oblig 7
FYS2140 Kvantefysikk Løsningsforslag for Oblig 7 Oppgave 2.23 Regn ut følgende intgral a) +1 3 (x 3 3x 2 + 2x 1)δ(x + 2) dx (1) Svar: For å løse dette integralet bruker vi Dirac deltafunksjonen (se seksjon
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 3 apittel 8.2: Likevektspunkter og deres stabilitet La oss si
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerFYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai :15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt)
FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai 2018 14:15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt) Page 1 of 9 Svar, eksempler, diskusjon og gode råd fra studenter (30 min) Hva får dere poeng for? Gode råd fra forelesere
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerMatematikk 4 TMA4123M og TMA 4125N 20. Mai 2011 Løsningsforslag med utfyllende kommentarer
h og f g og f Matematikk TMA3M og TMA 5N 0. Mai 0 Løsningsforslag med utfyllende kommentarer Oppgave Funksjonen f () = sin, de nert på intervallet [0; ], skal utvides til en odde funksjon, g, og en like
Detaljer=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerGradient. Masahiro Yamamoto. last update on February 29, 2012 (1) (2) (3) (4) (5)
Gradient Masahiro Yamamoto last update on February 9, 0 definition of grad The gradient of the scalar function φr) is defined by gradφ = φr) = i φ x + j φ y + k φ ) φ= φ=0 ) ) 3) 4) 5) uphill contour downhill
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Date of exam: Friday, May
DetaljerNumerisk løsning av PDL
Numerisk løsning av PDL Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 6. November 2007 Problem og framgangsmåte Fram til nå har vi sett på ordinære
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Date of exam: Tuesday, June 8, 203 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon The problem set covers
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved
DetaljerUnit Relational Algebra 1 1. Relational Algebra 1. Unit 3.3
Relational Algebra 1 Unit 3.3 Unit 3.3 - Relational Algebra 1 1 Relational Algebra Relational Algebra is : the formal description of how a relational database operates the mathematics which underpin SQL
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerGraphs similar to strongly regular graphs
Joint work with Martin Ma aj 5th June 2014 Degree/diameter problem Denition The degree/diameter problem is the problem of nding the largest possible graph with given diameter d and given maximum degree
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerMA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer
MA5 Vårsemestre 9 Numeriske metoder for lineære systemer Introduksjon Vi vil approksimere løsningen av lineære systemet av n ligningene og n ukjente: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ()
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerLØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av
DetaljerLøsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y
DetaljerMathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2
Mathematics 4Q Name: SOLUTIONS. (x + 5)(x +5x) 7 8 (x +5x) 8 + C [u x +5x]. (3 x) (3 x) + C [u 3 x] 3. 7x +9 (7x + 9)3/ [u 7x + 9] 4. x 3 ( + x 4 ) /3 3 8 ( + x4 ) /3 + C [u + x 4 ] 5. e 5x+ 5 e5x+ + C
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerECON3120/4120 Mathematics 2, spring 2004 Problem solutions for the seminar on 5 May Old exam problems
Department of Economics May 004 Arne Strøm ECON0/40 Mathematics, spring 004 Problem solutions for the seminar on 5 May 004 (For practical reasons (read laziness, most of the solutions this time are in
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerTFY4170 Fysikk 2 Justin Wells
TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells Forelesning 5: Wave Physics Interference, Diffraction, Young s double slit, many slits. Mansfield & O Sullivan: 12.6, 12.7, 19.4,19.5 Waves! Wave phenomena! Wave equation
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON20/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Fredag 2. mai
DetaljerDynamic Programming Longest Common Subsequence. Class 27
Dynamic Programming Longest Common Subsequence Class 27 Protein a protein is a complex molecule composed of long single-strand chains of amino acid molecules there are 20 amino acids that make up proteins
DetaljerTMA Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3
TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3 22.02.2013 Dette oppgavesettet omhandler grunnleggende Matlab-funksjonalitet, slik som variabler, matriser, matematiske funksjoner og plotting. Den aller viktigste
DetaljerTrigonometric Substitution
Trigonometric Substitution Alvin Lin Calculus II: August 06 - December 06 Trigonometric Substitution sin 4 (x) cos (x) dx When you have a product of sin and cos of different powers, you have three different
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, VÅR 09 Oppgave a) (0%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen med
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 7. juni
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
Detaljer