EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00"

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Arvid Næss / EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00 Hjelpemidler: Tabeller og formler i statistikk, Tapir Forlag K. Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator HP30S Ett gult A5-ark med stempel med egne formler og notater Sensuren faller: 12. januar 2005 NB: Alle svar skal begrunnes. Notasjon brukt i dette oppgavesettet: Z t er hvit støy med varians σ 2, dvs. Z t WN(0, σ 2 ). B er backshift-operatoren, slik at B j X t X t j, j Z = {0, ±1, ±2,...} ACVF = autokovarians-funksjon, ACF = autokorrelasjons-funksjon.

2 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 2 av 3 Oppgave 1 Anta at tidsrekken X t er en ARMA(p, q)-prosess denert ved φ(b) X t = θ(b) Z t ; t Z (1) hvor AR-polynomet φ(z) = 1 φ 1 z... φ p z p, og MA-polynomet θ(z) = 1+θ 1 z +...+θ q z q. a) Hvilke betingelser er oppfylt når X t er en ARMA(p, q)-prosess? Diskutér spesielt hvilke krav som må stilles til AR- og MA-polynomene. b) Hva betyr det at X t er en kausal tidsrekke, og hvordan kan det uttrykkes? Hva med invertibel? Hvilke krav må stilles til AR- og MA-polynomene for å sikre at X t skal være både kausal og invertibel? La φ og θ betegne reelle konstanter. Tidsrekken X t denert i ligning (1), skal nå spesialiseres til følgende modell: X t φx t 1 = Z t + θ Z t Z t 2 ; t Z (2) c) For hvilke verdier av φ og θ er X t både kausal og invertibel? d) Bestem MA( )-representasjonen av X t når den er kausal, og verisér at kravet for konvergens er oppfylt. Oppgave 2 La φ betegne en reell konstant, og anta at φ < 1. Betrakt tidsrekken X t denert som følger: X 1 = Z 1 (3) X t = φx t 1 + Z t ; t = 2, 3,... (4) a) Bestem middelverdi og varians til X t for t = 1, 2,..., og vis at for t 1 og h 0. Er X t en stasjonær tidsrekke? Cov(X t+h, X t ) = σ 2 φ h 1 φ2t

3 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 3 av 3 b) Argumentér for at X t kan betraktes som stasjonær for store verdier av t. Beskriv deretter hvordan du rent praktisk kan bruke dette til å simulere n observasjoner av en stasjonær Gaussisk AR(1)-modell ut fra simulerte verdier fra en IID N(0, 1)-prosess, dvs. uavhengig, identisk fordelt Gaussisk hvit støy med varians lik 1.0. c) Anta at den første ligningen erstattes med X 1 = Er den resulterende tidsrekken stasjonær? Oppgave φ 2 Z 1 (5) I denne oppgaven skal vi anta at Z t IID N(0, σ 2 ). La tidsrekken Y t være en kausal ARMA(1,1)- prosess gitt ved Y t = φy t 1 + Z t + θ Z t 1 ; t Z (6) hvor det antas at φ > 0. a) Bestem ligningene som ACVF γ Y ( ) til Y t tilfredsstiller, og bestem γ Y (h) for h 0. Vis at tilhørende ACF er gitt ved ρ Y (h) = (1 + θφ)(φ + θ) 1 + 2θφ + θ 2 φ h 1 ; h 1 (7) Y t kan, under visse betingelser, betraktes som gitt av følgende tilstandsrom-representasjon: og Y t = X t + V t ; t Z (8) X t+1 = φx t + W t ; t Z (9) for passende valg av 'hvit støy'-prosesser V t og W t, hvor V t IID N(0, σ 2 V ), W t IID N(0, σ 2 W ), E[V t W s ] = 0 for alle s og t. Du kan også anta at E[X t V s ] = 0 for alle s og t. b) Bestem ACVF til Y t gitt av ligningene (8) og (9). Vis at ACF til Y t er gitt ved uttrykket ( ρ Y (h) = 1 + σ2 ( )) 1 V 1 φ 2 φ h ; h 1 (10) σw 2 c) ACVF til Y t gitt av ligningene (8) og (9) er identisk, under visse betingelser, med ACVF til Y t bestemt av ligning (6). Vis det ved å vise at σ V og σ W kan uttrykkes ved σ, φ og θ, og bestem hvilke verdier for θ som kan tillates.

4 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMENSOPPGAVENE I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00 Oppgave 1 a) For at X t skal være en ARMA-prosess må den være stasjonær, og AR- og MA-polynomet kan ikke ha felles røtter. Stasjonaritet sikres ved at φ(z) 0 for z = 1 (z C = de komplekse tall). b) X t er en kausal tidsrekke hvis X t kan uttrykkes på følgende måte som en en-sidig lineær prosess: X t = j=0 ψ j Z t j, hvor j=0 ψ j <. Dette er en MA( )-modell. At X t er invertibel betyr at X t kan representeres som en AR( )-modell, dvs. j=0 π j X t j = Z t., hvor j=0 π j <. X t er kausal hvis og bare hvis røttene i AR-polynomet φ(z) ligger utenfor enhetsdisken i C, dvs. φ(z) 0 for z 1. Forat X t skal være invertibel, er det nødvendig og tilstrekkelig at røttene i MA-polynomet θ(z) ligger utenfor enhetsdisken. c) AR-polynomet har åpenbart roten z = 1/φ. Denne ligger utenfor enhetsdisken hvis og bare hvis φ < 1. MA-polynomet er nå θ(z) = 1 + θz + 0.5z 2. Røttene, betegnet med z 1 og z 2, er gitt ved z 1,2 = θ ± θ 2 2 Vi ser at for θ 2, så er røttene reelle, mens for θ < 2, så er røttene kompleks konjugerte.

5 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 2 av 5 Ser på det siste tilfellet først. For θ < 2, blir (i = 1) Det gir Det gir at z 1,2 > 1 for θ < 2. Anta så θ 2: z 1,2 = θ ± i 2 θ 2 z 1,2 2 = θ θ 2 = 2 Da er z 2 < z 1 = θ + θ 2 2 < 0. Må derfor kreve θ + θ 2 2 < 1, som gir θ < 3/2. Tilsvarende, for θ 2 blir 0 < z 2 = θ θ 2 2 < z 1. Må derfor kreve θ θ2 2 > 1, som gir θ > 3/2. Dermed ligger røttene i MA-polynomet utenfor enhetsdisken hvis og bare hvis θ < 3/2. Konklusjon: X t er både kausal og invertibel hvis og bare hvis φ < 1 og θ < 3/2. d) For MA( )-representasjonen X t = j=0 ψ j Z t j kan koesientene ψ j bestemmes av ligningen ψ(z) = θ(z)/φ(z), hvor ψ(z) = j=0 ψ j z j, φ(z) = 1 φz og θ(z) = 1 + θz + 0.5z 2. Det gir ligningen ψ 0 + ψ 1 z + ψ 2 z = 1 + θz + 0.5z2 1 φz = (1 + θz + 0.5z 2 )(1 + φz + φ 2 z ) Sammenligning av koesientene foran z j, j = 0, 1, 2,..., gir ψ 0 = 1 ψ 1 = φ + θ ψ 2 = φ 2 + φθ ψ 3 = (φ 2 + φθ + 0.5) φ. ψ j = (φ 2 + φθ + 0.5) φ j 2 ; j = 2, 3,... Herav følger at j=0 ψ j < hvis og bare hvis j=0 φ j <, og det holder åpenbart siden φ < 1.

6 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 3 av 5 Oppgave 2 a) E[X t ] = 0 siden E[Z t ] = 0. siden σ 1 = σ. σ 2 t = Var(X t ) = E[X 2 t ] = E[(φX t 1 + Z t )(φx t 1 + Z t )]. = φ 2 E[X 2 t 1] + σ 2 = φ 2 σ 2 t 1 + σ 2 = φ 2 (φ 2 σ 2 t 2 + σ 2 ) + σ 2 = φ 4 σ 2 t 2 + σ 2 (1 + φ 2 ) = φ 2(t 1) σ σ 2 (1 + φ φ 2(t 2) ) = σ 2 (1 + φ φ 2(t 1) ) = σ 2 1 φ2t Et følgeresultat av stasjonaritet er at variansen er konstant, dvs. uavhengig av tident t. Det er åpenbart ikke tilfelle her, og X t er derfor ikke stasjonær. La h 0 og t 1. Da er Cov(X t+h, X t ) = E[X t X t+h ] = E[X t (φx t+h 1 + Z t+h )] = φ E[X t X t+h 1 ] =... = φ h E[X 2 t ] = φ h σ 2 t b) Vi ser av ligning (1) ovenfor at = σ 2 1 φ2t φh (1) Cov(X t+h, X t ) σ 2 φ h t Siden grenseverdien for store t eksisterer og er bare avhengig av h, kan vi tilnærmet si at X t er stasjonær for store t. Siden Z t er IID N(0,1), blir X t en gaussisk tidsrekke. For store t blir derfor X t tilnærmet en stasjonær gaussisk tidsrekke som tilfredsstiller ligning (4), dvs. X t blir tilnærmet en gaussisk AR(1)-prosess for store t. En praktisk simulering av n observasjoner fra en gaussisk AR(1)-prosess (med φ < 1) kan da oppnås ved å simulere fra den gitte modellen over et tidsintervall med lengde T slik at φ T n < ε, hvor ε er en valgt nøyaktighet. (Dvs. tall mindre enn ε blir betraktet som null.)

7 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 4 av 5 c) Ligning (5) gir at Anta σ 2 t = σ 2 1. Vi har σ 2 1 = Var(X 1 ) = σ2 σ 2 t+1 = φ 2 σ 2 t + σ 2 = φ 2 σ σ 2 = φ 2 σ 2 + σ2 = σ2 Per induksjon følger at σ 2 t = σ 2 1 for alle t. Siden Cov(X t+h, X t ) = σ 2 t φ h (h 0), følger at Dermed er X t stasjonær. Cov(X t+h, X t ) = σ 2 φ h Oppgave 3 a) Ligning (6) gir relasjonen Det medfører at γ Y (h) = γ(1) φ h 1. Tilsvarende nner vi at og γ Y (h) φ γ Y (h 1) = 0 ; h = 2, 3,... γ Y (0) = φ γ Y (1) + σ 2 (1 + φθ + θ 2 ) γ Y (1) = φ γ Y (0) + σ 2 θ Ved å løse de to siste ligningene, nner vi at og φθ + θ2 γ Y (0) = σ 2 (1 + φ θ)(φ + θ) γ Y (1) = σ Dermed er γ Y (h) fullstendig bestemt, og vi nner at ACF er gitt ved ρ Y (h) = (1 + φ θ)(φ + θ) 1 + 2φθ + θ 2 φ h 1

8 TMA4285 Tidsrekker og lterteori Side 5 av 5 b) Fra ligning (9) og resultatene i punkt a) (eller Oppgave 2) nner vi at Ligning (8) gir at og for h 1 γ X (h) = σ 2 W φ h ; h = 0, 1, 2,... 1 φ2 γ Y (0) = Var(Y t ) = Var(X t + V t ) = σ2 W + σ2 V γ Y (h) = Cov(Y t+h, Y t ) = Cov(X t+h + V t+h, X t + V t ) = γ X (h) Herav følger at for h 1 er ACF til Y t gitt ved ρ Y (h) = σ2 W φ h 1 φ 2 σ 2 W 1 φ 2 + σ 2 V = ( 1 + σ2 ( )) 1 V 1 φ 2 φ h σw 2 c) Vi ser at ACF til Y t blir identisk i de to tilfellene når ( 1 + σ2 ( )) 1 V 1 φ 2 (1 + φ θ)(φ + θ) φ = σw φθ + θ 2 Dermed, hvis likhet kan oppnås i denne ligningen, og variansen er den samme, dvs. så er åpenbart de to ACVFene identiske. Løser vi den første ligningen over, får vi at σw 2 1 φ + 2 σ φθ + θ2 V = σ σv 2 σw 2 Ved å bruke den andre ligningen, nner vi at og til slutt = θ (1 + φ θ)(φ + θ) σ 2 W = σ 2 (1 + φ θ)(1 + θ/φ) σ 2 V = σ 2 θ φ σv 2 > 0 krever at θ < 0. Fra utrykket for σ2 W ser vi at σw 2 > 0 for θ < 1/φ og θ > φ. Dermed blir det tillatte verdiområdet for θ: < θ < 1/φ og φ < θ < 0. For slike verdier på θ kan vi alltid nne passende verdier for σ V og σ W slik at de to ACVFene blir identiske.

9 ! "# $ % # & ' ( *)+ -,.,. ( /)+ 01# &798 D S TUVTLWPE%XYT(N[Z \ U^]I_S `RabWcW / dbegfhgijdbkmldniokpdrqsithpuvxw[yzq-l {/f~}d5egegdb} g ˆ FHQ H %Ž I_S[Zx ˆ Z H Ž Z H! ^T(GJ TX9IJSGJT(UZ x &š œœj nžcÿ >ž *œj J J IJU D ª J >ž *œ± ²Ÿ E%OcMHUb Œµ H & ¹<OcO G_O \ º» TGX9TSsTFHN T ¼#MHU^XYG_TU½MHF¾N E OPTU TN W^Q UcT(N ƒ l [q-d5} qpdb g}-l ÁÀàÄtÅ Å ÆÈÇÉÊ!ËÃÇÌÊ Å*Í5ÆÎ!ËόЌÐRÆÇÒÑ jó<ôê Ç ÕÓ ÐÖÍŒË Ï Ì½ÔØ *ÙŒÆÚÔÔÆÁÓ!ÛRÛ Î ÊÉ ÆÇÆÚÔÔÆÚÔÚ w t TUVÜ&]IKOVW^OPÝ%ÞpXYT(Ss]%E%UcÍ E%N W σw 2 B T(U5š ß à» MH T(UPE%OcMHUcT(N[ W^GJIJLE%O B k x t x t k T(UV MHW^TNs¼#MHU FHI_O^O x t x 1,...,x s x s t k = 0, ±1, ±2,...

10 á~â ã 8 äå&æ á 1#2çcè 3 éé3 è êë9ì í+îï3 è>îï3ê è^1 01#2 3Œä96&798 ô & öõ E S TU ð E&ñ x t D~I_FHQ U HZ ð E&ñ½SxE%Ō E¼#UPE*X9MS T(GJG_TNpS T(ó N TUŠORI ð ñ S]W x t ]abuctbfhikocob]ht(s b WŠŌ ð ò ñ y t x t xmhf ð ò ñbs T(N S T(UcI_]HT(U^OcT (1 φb)x t = bt + w t ð ñ Òø ] E9X9T(N TWVXYT(S E%OVT(N W^OcMHL E%W^OPI_WcL- U^MHWcT(WcWRT(UVW^] E%W# ^MHNxa½Ū ù DxMHU ]HT(UcS I_TU E>] b φ T(U T(N UcMHW^TWcWPù x t \ N&Ō E*]IJSTUcTBE O φ < 1 MHF b 0 ú E%Ō E¼#UPE* U^MHWcT(WcWcT(NgI ð ñ½t(u U³ E û ø WcI_TUŠOPT³SxE Ō E ð óxfhqu³ ò ñ y t U³ E&ù y t = (1 B)x t ÿ ø \ «\V» X9MS ¹!U I_N]HT(U^OPI ò TǴ ùbªrmhx9xyt(no U y t y t ù ô & E x t ]abuctbfhikocob]ht(s x t = φ x x t 1 + w x,t, φ x < 1, (w x,t ) = σ 2 w,x

11 á~â ã 8 äå&æ á 1#2çcè 3 éé3 è êë9ì í+îï3 è>îï3ê è^1 01#2 3 *6&798 MHF y t ]abuctbfhikocob]ht(s S TUVI_N S TLW^TN T \ N&Ō E x MHF nu DIJFHQ UV Z ¹<O^O XQ GJI_Fn¼#UcT(L&]HTN WcWc TLOcTU OPI_G y t = φ y y t 1 + w y,t, φ y < 1, y IJN S T ObOPI_G z t (w y,t ) = σ 2 w,y x» MHF y» {x t } TUVQ X9TS {y t } MHF9E%O ]IM ò WcTUŠ]HTU^TU³ ² z t S TU Òø D~I_N ^MHN W^¼#QN LW# ^MHN T(N z t = x t + y t z t ð \ D!ñ½OcIJG E f x (ν) ]abu^t³¼#uctl&]ht(n WcWc TLOPTU^T(OROPI_G MHF*OPIJG_W^] S T XYT(S x t û ø I_WVE%O ½U^Q L ð Hñ OcIJG[ý*óxNN T ÿ ø \ N&Ō E*]IJSTUcTBE O ø I_WVE%O f z (ν) f z (ν) = f x (ν) + f y (ν). f z (ν) f y (ν) f z (ν) ÜxE%S S T ]abušorw^mhxriúóxfhq UR Ü]%E*]HT(OV]ISxE¾MHX TN T OPI_G φ x σ 2 x = σ 2 y = σ 2 E%O φ x = φ y = φ z t TUVT(N \ «\V» U^MHWcT(WcW ½T(W^OPT(XÖMHU^S I[XYMS T(GJG_TN ø D~I_N NsT(O^O» MHF*OPM» W^OcTFHW OPI_GJÜ ÝHU^TN ST U^MHFHN z t φ y ù ð Hñ

12 á~â ã 8 äå&æ á 1#2çcè 3 éé3 è êë9ì í+îï3 è>îï3ê è^1 01#2 3 8*6& U Zxª ] M ]HT(UcW^LQS S N ô & ó FHQ U SxE%Ō E¼#MHU M]HTUcW^LQ S S N W^MHN úœq ò G_IJU ¼#MHUcT(Ǵ ST³X9MS T(GJGZúŒTBM ò WcTUŠ]HTUŠOPT5S E%Ō E xx9ms TG_GJT(UcT(Wb]HT(S y t S TU µ t T(U OPUcT(N S[ s t T(UVWcTW^MHN TN&ORMHF y t = µ t + s t + v t v t T(UVÜ]IKO U^TN STN µ t X9MS TG_G_TUcT(Wb]HT(S S TU w t TUVÜ&]I_OVW^OPÝ%ÞpMHF µ t = βµ t 1 + w t β T(N MHN T(NOcTN s t XYMSTGJG_TU^TW½]HTS s t + s t 1 + s t 2 + s t 3 = u t S TU u t Òø LUcIK]zXYMS T(GJG_TN. xý WŠŌ E%OPT» W^ xe(t ¼#MHUcX/ S]W*X9TS T(N OcIJG_W^Ō E%N S W» I_N F MHFgTN M ò ^MHN» IJNF Q ]I_GOcIJGJ T(GJG_TNpOPIJG[S T5M ò WcTUŠ]HTUŠOPTnSxE%OPE9WPE%XO ò TU^TFHNTn U^MHF» N MHW^TU ¼#MHU S T ORL&] E%GJWŠ]I_WcT³M]HTU^WcLQ S S T(O û ø úœi_wclqo ^MHN.TUBŌ E OcO5Ü T(N W^ÞN OPI_G Ĩ STN N TX9MS TG_G_TN ½QUcS TYS T(O5]abU^O F> ^MHUŠOV xý¾t(n$e%n N TN/Xý OPTù WPý*¼ Ü&]HMHUcSxE%N ù

Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3

Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1 Oppgave 1 For AR(2)-modellen: X t = 0.4X t 1 + 0.45X t 2 + Z t (der {Z t } er hvit søy med varians 1), finn γ(3), γ(4)

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMA4265/SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Onsdag 10. august 2005 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I EMNE TMA4265/SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Onsdag 10. august 2005 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I EMNE TMA4265/SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER

Detaljer

EKSAMEN I TMA4240 Statistikk

EKSAMEN I TMA4240 Statistikk Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Henning Omre (909 37848) Mette Langaas (988 47649) EKSAMEN I TMA4240 Statistikk 18.

Detaljer

Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a.

Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a. o o {rb} rprr på r år o prpp rpro r r rr rpro o r o or α r o or bor brp or b rr på ppr r r r r r rrr år på o oroooro o r or o br å r r pår r r orør p o b b år r å r o o o rprrr o p o rprrr o or op r r

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser

TMA4265 Stokastiske prosesser Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 59 81 26, 990 41 673 TMA4265 Stokastiske prosesser

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser ST2101 Stokastisk simulering og modellering

TMA4265 Stokastiske prosesser ST2101 Stokastisk simulering og modellering Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 9 8 26, 99 4 673 TMA426 Stokastiske prosesser ST2 Stokastisk

Detaljer

EKSAMEN I TMA4300 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 16 Mai, 2013

EKSAMEN I TMA4300 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 16 Mai, 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Kontakt: Jo Eidsvik 9747 EKSAMEN I TMA43 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 6 Mai, 3 Tilatte hjelpemiddel: Gult

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

Testobservator for kjikvadrattester

Testobservator for kjikvadrattester ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: Et tilfeldig utvalg av n individer er trukket

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Ingelin Steinsland a, Øyvind Bakke b Tlf: a 73 59 02 39, 926 63 096, b 73 59 81 26, 990 41 673 Eksamensdato:

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag

Detaljer

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglige kontakter under eksamen: Jo Eidsvik 90127472 Arild Brandrud Næss 99538294 EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73 59 35 34/ 41 64 53 76 Jo Eidsvik 73 59 01 53/ 90 12 74 72

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

Målet med dette notatet er å dokumentere at det er funnet løsmasser ved grunnen og å dokumentere miljøgiftkonsentrasjonen i sedimentene.

Målet med dette notatet er å dokumentere at det er funnet løsmasser ved grunnen og å dokumentere miljøgiftkonsentrasjonen i sedimentene. NOTAT Oppdrag 1110630 Grunner Indre Oslofjord Kunde Kystverket Notat nr. 001 Dato 07.01.2015 Til Fra Kopi Kristine Pedersen-Rise Tom Øyvind Jahren [Navn] Sedimentundersøkelse ved Belgskjærbåen Kystverket

Detaljer

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i: MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST0 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Torsdag 9. mai 994. Tid for eksamen: 09.00 5.00. Oppgavesettet

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling,

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: John Tyssedal 73 59 35 34/ 41 64 53 76 Jo Eidsvik 73 59 01 53/ 90 12 74 72 EKSAMEN

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (frå til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatne

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

Tegn og tekst. Om tegn og glyfer. Tegnkoder og kodetabeller Kode Noe som representerer noe annet. Et representert tegn kan vises på flere måter

Tegn og tekst. Om tegn og glyfer. Tegnkoder og kodetabeller Kode Noe som representerer noe annet. Et representert tegn kan vises på flere måter r s s {rb} ærb p br brp r bs srr på ppr sr sr ss r r r rrr år på s s s sr rr s ss r r s brs å sr r pår rss r rør sp b b år rss å r s s s rprsr ss på r år prspp rprss r rs rr rprss r s r α r s r br s rprsrr

Detaljer

EKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI

EKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 4 Faglig kontakt under eksamen: Marte Pernille Hatlo 7359698 / 97537854 EKSAMEN I TMA48 OPTIMERINGSTEORI Fredag 2. juni

Detaljer

SIF5072 Stokastiske prosesser Side 2 av 7 Gitt at en pasient er symptomfri ved tidspunkt t, hva er sannsynligheten for at han er symptomfri i hele per

SIF5072 Stokastiske prosesser Side 2 av 7 Gitt at en pasient er symptomfri ved tidspunkt t, hva er sannsynligheten for at han er symptomfri i hele per Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Tirsdag 22. mai

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 01.. 4.. 1 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ ˆƒƒ Œˆ Œ Š.. ³μ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö ˆ 70 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ 7 ˆ ˆ IFW- ˆˆ ˆ Œ Œ Œ ˆˆ 79 Š ˆ 80 ˆ Š ˆ 81 E-mail: neznamov@vniief.ru

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av?? Bokmål Kontakt under eksamen: Thiago G. Martins 46 93 74 29 EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag

Detaljer

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47) MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.

Detaljer

EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK Tysdag 21. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 (Korrigert )

EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK Tysdag 21. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 (Korrigert ) Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73593538/48221896 Ola Diserud 93218823 EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK

Detaljer

Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Adresse:

Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Adresse: Strategos B Målskjema Kunde: Selger: Ordredato: Ordre nr.: Bestillings nr. (HMS): Innkjøps nr. (Handicare): Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Postnr.: Poststed: Telefon (priv.): Telefon (arb.): Mobil: Kontaktpersoner

Detaljer

Eksamen i SIF5036 Matematisk modellering Onsdag 12. desember 2001 Kl

Eksamen i SIF5036 Matematisk modellering Onsdag 12. desember 2001 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Harald E Krogstad, tlf: 9 35 36/ mobil:416 51 817 Sensur: uke 1, 2002 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ.

P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. P-22-86.. ±Ê Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ ˆ Œ ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ E-mail: dnd@jinr.ru ±Ê.. P-22-86 ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ï Éμ μ μ Ö ± Éμ³ É Î ± ³ μ Ê ³ Ê ²μ ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² ²μ± ²Ó μ

Detaljer

Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret

Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret 19.10.2007 Desimal Hex Beskrivelse Tegnets utseende Punktkode 0 0000 4578

Detaljer

Handi-Lift EA7 Målskjema

Handi-Lift EA7 Målskjema Handi-Lift EA7 Målskjema Dato: Monteringsdato: Vår ref.: Bestillings nr.: Kunde (HMS): Utprøvingsnr.: Bruker Navn: Bruker nr.: Fødselsdato: Adresse: Postnr.: Poststed: Telefon (priv.): Telefon (arb.):

Detaljer

OBLIGATORISK MIDTSEMESTERØVING I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

OBLIGATORISK MIDTSEMESTERØVING I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME ide 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for elektronikk og telekommunikasjon OBLIGATORIK MIDTEMETERØVING I EMNE TFE

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 2. juni 24 Tid for eksamen: 4.3 8.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: STK429

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: August 2014 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA44 Statistikk Høst 9 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b Løsningsskisse Oppgave X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { f(x),

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 11. desember 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Om eksamen. Never, never, never give up!

Om eksamen. Never, never, never give up! Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve

Detaljer

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Ola Hunderi, tlf (mobil: )

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Ola Hunderi, tlf (mobil: ) NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Ola Hunderi, tlf. 93411 (mobil: 95143671) Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori Torsdag 1 desember

Detaljer

STRATEGOS B. Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Avd. Bruker Annet: Adresse:

STRATEGOS B. Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Avd. Bruker Annet: Adresse: STRATEGOS B Målskjema Kunde: Ordredato: Bestillings nr. (HMS): Serie nr.: Selger: Ordre nr.: Innkjøps nr. (Handicare): Bruker Navn: Adresse: Postnr.: Telefon (priv.): Mobil: Poststed: Telefon (arb.): E-post:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK111 Eksamensdag: Mandag 22. mars 21 Tid for eksamen: Kl. 15-18 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark Tillatte

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4265 Stokastiske prosesser

Eksamensoppgave i TMA4265 Stokastiske prosesser Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4265 Stokastiske prosesser Faglig kontakt under eksamen: Andrea Riebler Tlf: 4568 9592 Eksamensdato: 16. desember 2013 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00

Detaljer

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik

Detaljer

ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ

ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ Ó³ Ÿ. 2017.. 14, º 1(206).. 144Ä163 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ.. É ³μ μ 1,. Œ. ˆ μ,.. ˆ μ,.., ƒ.. Ö μ ƒ É Ê ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... Šμ É É μ ˆ ŠÊ Î Éμ ± É ÉÊÉ, ƒ

Detaljer

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1 MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21

Detaljer

Handi-Lift ML7 Målskjema

Handi-Lift ML7 Målskjema Handi-Lift ML7 Målskjema Dato: Monteringsdato: Vår ref.: Bestillings nr.: Kunde (HMS): Utprøvingsnr.: Salgsordre Tilbud Utprøving Resirkulering Bruker Navn: Bruker nr.: Fødselsdato: Adresse: Postnr.: Ordre

Detaljer

EKSAMEN I TMA4255 ANVENDT STATISTIKK

EKSAMEN I TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas (988 47 649) BOKMÅL EKSAMEN I TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Fredag 25.

Detaljer

STK juni 2006

STK juni 2006 Løsningsforslag til eksamen i STK11 8. juni 26 Oppgave 1 a) Vi har at Z (Y µ)/ er standardnormalfordelt. For > er derfor den kumulative fordelingen til X gitt ved F () P (X ) P (log X log ) P (Y log )

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK1110 Eksamensdag: Onsdag 6. juni 2012 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark

Detaljer

Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ

Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä837 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ Š Œ ƒ Š Š Š ˆŒ ˆ ˆ. Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μë ± Ê É É ³.. Š² ³ É Ì ±μ μ, μë Ö μ Éμ É μ μ

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

Perceived semantic. quality. Semantic quality. Syntactic. quality. guttens alder er grønn: gutt.alder = grønn

Perceived semantic. quality. Semantic quality. Syntactic. quality. guttens alder er grønn: gutt.alder = grønn Z \ W Y X [ E F G H I G J K L I M F N M O H P Q F R F J S H TUTVR O R S M R F! "! #%$ & '! %$ ( ) * ' & $ ' +,$ -,* ) & $ '%'. * / & 0 1 ' * 0' * 3 4, +65 Participant knowledge Physical Perceived semantic

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse

Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf: 975 89 418 Eksamensdato: Lørdag 31. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

EKSAMEN I EMNE SIE 4015 BØLGEFORPLANTNING

EKSAMEN I EMNE SIE 4015 BØLGEFORPLANTNING NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Side 1 av 8 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK Lørdag 10. august 2013

EKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK Lørdag 10. august 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Fagleg kontakt under eksamen: John Tyssedal 41 64 53 76 EKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK Lørdag 10. august

Detaljer

L ; D = B M B N I < G H = D = F C M E N < D ; <? ; < = H M = < F E < M B = B C O P E < E F D < Q K

L ; D = B M B N I < G H = D = F C M E N < D ; <? ; < = H M = < F E < M B = B C O P E < E F D < Q K $ ) $ * % +, - $ $ % + $ + $ * % $. $ / $ * $ $ 0 0 $ - 1, 2 $ 3 $ 0 4 /, 5 4 0 0 $ 0 $ 3. 0 6 $ $ 7. + $ - $ 8 + $ 9 : ; < = > < =? < ; @ A @? B C < C D = < E F G H = I F C D < JE < > < D E? H J< = :

Detaljer

Oppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID

Oppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 647 OG SMN 695 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK KLASSE:4EL,4RTog5ID DATO: 8 januar 004 TID: 9.00-.00 ANTALL SIDER: 0 (inklusiv formler)

Detaljer

Tegn og tekst. Posisjonssystemer. Logaritmer en kort repetisjon. Bitposisjoner og bitmønstre. Kapittel August 2008

Tegn og tekst. Posisjonssystemer. Logaritmer en kort repetisjon. Bitposisjoner og bitmønstre. Kapittel August 2008 Posisjonssystemer 10 5 (100 000) 10 4 (10 000) 10 3 (1 000) 10 2 (100) 10 1 (10) 10 0 (1) Tegn og tekst \yvind og ]se N{rb}? 2 7 (128) 2 6 (64) 2 5 (32) 2 4 (16) 2 3 (8) 2 2 (4) 2 1 (2) 2 0 (1) Kapittel

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas Tlf: 988 47 649 Eksamensdato: 4. juni 2016 Eksamenstid (fra til): 09.00

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Bedømmelse: Ved bedømmelse vektlegges oppgavene I, II og III likt.

Bedømmelse: Ved bedømmelse vektlegges oppgavene I, II og III likt. Side 1 av 5 + 2 sider vedlegg NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR TELETEKNIKK Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Tor A. Ramstad Tlf.: 94314 KONTINUASJONSEKSAMEN

Detaljer

OBLIGATORISK MIDTSEMESTERØVING I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

OBLIGATORISK MIDTSEMESTERØVING I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME ide 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for elektronikk og telekommunikasjon OBLIGATORIK MIDTEMETERØVING I EMNE TFE

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen

Detaljer

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. 4 (1+3) Det er 12 deloppgaver (1abc, 2abcd, 3abc, 4ab) Andrei Prasolov

EKSAMENSOPPGAVE. 4 (1+3) Det er 12 deloppgaver (1abc, 2abcd, 3abc, 4ab) Andrei Prasolov Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat-004 Lineær algebra Dato: Torsdag. juni 207 Klokkeslett: 09.00-3.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator,

Detaljer