Klassisk teori: Optimale trianguleringer og Delaunay-trianguleringer. Voronoi-diagram og Delaunay trianguleringer. Delaunay-trianguleringer:

Transkript

1 Klassisk eori: Opimale rianguleringer og Delaunay-rianguleringer Voronoi-diagram og Delaunay rianguleringer Delaunay-rianguleringer: 1. Lokale egenskaper 2. Globale egenskaper Skal bruke dee il algorimekonsruksjon senere 1

2 Observasjon fra algorimer i preliminaries : En riangulering A er ikke nødvendigvis enydig. Kan endre enn riangulering gjennom en sekvens av swaps: (a) α (b) α To rianguleringer av samme punkse. b A har flere smale rekaner enn a A Smale rekaner kan gi numeriske problemer i (geomeriske) algorimer. 2

3 Hva er en god riangulering? Forslag: En riangulering er god hvis rekanene er mes mulig likesidede. Ana a vi sammenligner alle mulige rianguleringer av e punkse P: Velg en av de som har en rekan med den sørse minimale vinkel. Dee kalles MaxMin-vinkel krierie. (a) α (b) α Både A a og A b ilfredsiller MaxMin krierie. 3

4 En opimal riangulering Til alle mulige rianguleringer k ÆA ÂPÃÇk=1,u av P ilordnes en indikaor-vekor: k IÂA à = ÂJ1, J2, u, JTÃ, Ji Jj, i < j, der Ji er den minse vinkelen i rekan T i. Ana a alle A k har samme rand slik a anall rekaner T er den samme for alle A k. Sorerer ÆIÂA k ÂPÃÃÇk=1,u leksikografisk: IÂA a à > IÂA b à hvis J i a = J i b, i = 1, u,m? 1 og J m a > J m b Sier a A a er bedre enn A b hvis IÂA a à > IÂA b Ã. DEFINISJON. Den opimale rianguleringen i er den med sørs indikaor-vekor. ÆA k ÂPÃÇk=1,u 4

5 Opimal riangulering, eksempel: (a) α (b) α IÂA a à = Â14.04, 26.57, 36.87, 40.60, 40.60, 49.40, 50.91à u IÂA b à = Â14.04, 15.26, 19.44, 26.57, 29.74, 36.87, 45.00à u u Observasjoner: a b IÂA à > IÂA Ã, dvs. a A er bedre enn b A A a er opimal i henhold il MaxMin-krierie DEFINISJON. (Delaunay-riangulering I) En riangulering av P som er opimal i henhold il MaxMin-krierie og som er definer på ConvÂPÃ, kalles en Delaunay-riangulering av P. 5

6 Vinkler som uspenner samme sirkelsegmen α α β γ 2α L < J < K 6

7 Nøyral ilfelle ( neural case ) for MaxMin-krierie Fire punker på en sirkel kan rianguleres på o måer i henhold il MaxMin-krierie: (a) (b) E i E i Dee kalles e nøyral ilfelle ( neural case ). Samme minse vinkel opprer både i A a og A b ; og MaxMin-krierie er oppfyl for begge. (Men kun A b or opimal i henhold il MaxMin-krierie) 7

8 Hva med enydighe? De finnes allid en opimal riangulering siden anall mulige rianguleringer av P er endelig (når anall punker i P er endelig), men... De kan være mer enn en opimal riangulering: e e Fire hjørner av e rekangel kan rianguleres på o måer i henhold il MaxMin-krierie (nøyral ilfelle). De samme vinklene oprer hvis diagonalen swappes. 8

9 Opimale rianguleringer; Oppsummering: Vi har definer: e mål på godhe av en riangulering AÂPÃ med: MaxMin-vinkelkrierie og indikaor-vekoren IÂAÃ en opimal riangulering er den med maks indikaror-vekor IÂAÃ i den leksikografiske ordningen. Vi har gi en førse definisjon på en Delaunay-riangulering: DEFINISJON. (Delaunay-riangulering I) En riangulering av P som er opimal i henhold il MaxMin-krierie og som er definer på ConvÂPÃ, kalles en Delaunay-riangulering av P. 9

10 Gi e se punker i plane, P = Æp 1, u,p N Ç, dâp i,p j à = qp i? pq 2 Til hver punk p i 5 P ilordnes en Voronoi-region: VÂp i à = Æx dâx, p i à dâx, p j Ã, j = 1, u, NÇ p i VÂp i à De indre av VÂp i à er alle punker i plane som er nærmere p i enn alle andre punker i P. 10

11 Konsruksjon av VÂp i à La HÂp i, p j à være halv-plane som inneholder p i og definer ved normal-bisekoren mellom p i and p j. VÂp i à er snie av N? 1 halv-plan. VÂp i à = 3 j=1,u,n j i VÂp i à har maks N? 1 sider. HÂp i, p j Ã. LEMMA. VÂp i à er konveks. Bevis: E halv-plan er konveks; og snie mellom konvekse mengder er konveks Ñ VÂp i à konveks.n (VÂp i à er ikke nødvendigvis lukka) 11

12 Voronoi-diagramme il P = Æp 1, u,p N Ç er N VDÂPà = 4 i=1 VÂp i Ã. Voronoi-diagram Definisjoner: VÂp i à kalles Voronoi-regionen il p i 5 P VDÂPà N = 4 i=1 VÂp i à kalles Voronoi-diagrame il P VÂp i à (randen) kalles e Voronoi-polygon Kanene i VÂp i à kalles Voronoi-kaner Nodene i VÂp i à kalles Voronoi-punker To punker p i og p j kalles Voronoi-naboer hvis VÂp i à og VÂp j à har en felles kan. Voronoi-diagram kalles også Dirichle-esellering 12

13 ANTAGELSE. Fire eller flere punker i P er ikke ko-sirkulære. TEOREM. Nøyakig re Voronoi-kaner møes i hver Voronoi-punk v. e 1 V(p 1 ) e 2 V(p k ) v... V(p 2 ) V(p 3 ) e 3 e 1 k = 2 V(p 1 ) e 2 v V(p 2 ) e k Bevis. (se figur) Observasjoner: Hver Voronoi-kan er er felles for eksak o VÂp i Ã: e i er felles for VÂp i?1ã og VÂp i à for i = 2, u,k og e 1 er felles for VÂp k à og VÂp 1 Ã, (k 2) v er felles skjæringspunk mellom Voronoi-kaner e 1, u, e k v er ekvidisan fra p i?1 og p i ec. Ñ v er ekvidisan fra p 1, u,p k. Ñ p 1, u, p k er ko-sirkulære Ñ k 3, jfr. ANTAGELSE. Ana k = 2: Både e 1 og e 2 er felles med VÂp 1 à og Ñ VÂp 2 à OG begge hører il HÂp 1, p 2 à V HÂp 2, p 1 à e 1 og e 2 kan ikke ha skjæringspunk i v.n 13

14 TEOREM.VÂp i à er åpen Î p i 5 ConvHullÂPÃ. C C 1,3 A 1,2 p 1 C 1,2 p i u p 2 x e 1 p p 1 2 e 2 e 3 p 3 p 3 C 2,3 p k p i e k V(p i )... Bevis. Hvis p i 6 ConvHullÂPÃ; da er p 5 InÂT 1,2,3 à der T 1,2,3 er en rekan med hjørner p 1, p 2 og p 3 (må vises) u er nærmere p 1 eller p 2 enn p i. Alle punker x uenfor C er nærmere p 1, p 2 eller p 3 enn p i. Ñ VÂp i à µ InÂCà dvs. lukka. Ñ Mosa: Ana VÂp i à er lukka, se figur il høyre. v p i er innenfor polygone Âp 1, v p2, up v k à og kan dermed ikke være på ConvHullÂPÃn 14

15 Voronoi-diagramme; egenskaper VÂp i à er konveks (se over) InÂVÂp i Ãà V InÂVÂp j Ãà = d. VDÂPà dekker hele R 2 p i 5 ConvHullÂPà ΠVÂp i à er åpen, ellers er VÂp i à lukka. VDÂPà er enydig Tre Voronoi-kaner møes i hver Voronoi-punk * E Voronoi-punk er ekvidisan fra re Voronoi-naboer i P *. Nermese nabo il e punk p i definerer en Voronoi-kan. * Gjelder kun hvis 4 punker i P ikke er ko-sirkulære Kan generaliseres il høyere dimensjoner Kan også defineres på en kuleflae Brukes i: x GIT x Medisin x Saisikk/Geo-saisikk? x... 15

16 Dualen il Voronoi-diagramme Konsruksjon: Trekk en re linje mellom alle Voronoi-naboer i P: TEOREM. Re linje-dualen il e Voronoi-diagram av P er en regulær riangulering av P. Bevis. Se Preparaa & Shamos side Hovedrekkene i bevise er som følger: Hver Voronoi-punk v svarer il en rekan (konsrukiv bevis) Ingen rekaner er degenerer. InÂT i à V InÂT j à = d Hele ConvÂPà er dekke av rekaner.n 16

17 Observasjoner / Egenskaper: Voronoi-naboer som er assosier med åpne Voronoi-diagramer definerer ConvHullÂPÃ. DUALEN: Hver Voronoi-kan kan assosieres med en sidekan i en rekan Hver Voronoi-punk kan assosieres med en rekan: E Voronoi-punk er senere i den omskrivende sirkelen il en rekan. 17

18 DEFINISJON. (Delaunay-riangulering II) En Delaunay-riangulering av P er re linje-dualen il Voronoi-diagramme av P. (Vi skal senere vise a dee er ekvivalen med Definisjon I.) Kan nå også avlede Voronoi-diagramme fra en Delaunay riangulering. DEFINISJONER. Trekanene kalles Delaunay-rekaner Kanene kalles Delaunay-kaner Vi sier også a AÂPÃ er Delaunay 18

19 Nøyral ilfelle ( neural case ) Voronoi-diagramme er enydig, men ikke nødvendigvis Delaunay-rianguleringen: (a) p 4 (b) p 4 p 3 p 3 p 1 p 1 p 2 p 2 (a): p 2 og p 4 er Voronoi-naboer, men ikke p 1 og p 3 (b): p 1 og p 3 er også Voronoi-naboer Ñ De er o alernaive måer å lage Delaunayrianguleringen på. DEFINISJONER. I (a) kalles p 2 og p 4 Serke Voronoi-naboer I (b) kalles p 2 og p 4 Svake Voronoi-naboer 19

20 Enydighe og eksisens Vikige observasjoner il senere: En Delaunay riangulering, AÂPÃ er enydig hvis fire (eller flere) punker i P ikke danner e nøyral ilfelle (er ko-sirkulære). Gi e endelig se med punker P som ikke alle er ko-linære; da eksiserer de allid en Delaunay-riangulering av P. 20

21 Li beviseknikk il senere Mange av Teoremene har en hvis og bare hvis -konsruksjon: eller P hvis og bare hvis Q P Î Q ÂQ Î Pà Bevis (implikasjon). Viser a P Ñ Q og a Q Ñ P. P Ñ Q kan vises direke: Viser a Q er san hvis P er san eller indireke (mobevis): Viser a hvis Q ikke er san så er P ikke san  Q Ñ Pà 21

22 TEOREM. En kan E i,j mellom o punker p i og p j i P er en Delaunay-kan. ß de eksiserer en sirkel C gjennom p i og p j slik a de indre av C ikke inneholder punker fra P. Bevis. Ù Û C har sener v på linjen HÂp i,p j à V HÂp j,p i à og v er ekvidisan fra p i og p j. Hvis C ikke inneholder punker fra P så er v nærmere p i og p j enn alle andre punker i P og: v må være i både VÂp i à og VÂp j Ã; dvs. v ligger på en Voronoi-kan felles for VÂp i à og VÂp j à p i og p j er Voronoi-naboer og E i,j er en Voronoi-kan. Hvis E i,j er en Delaunay-kan: Plasser en sirkel C med sener på Voronoi-kanen felles for VÂp i à og VÂp j à og la C inerpolere p i og p j : Da finnes de ingen punker fra P i de indre av C (fra forklaringen over). 22

23 Sirkel-krierie E Voronoi-punk er ekvidisan fra re Voronoi-naboer i P. Hver Voronoi-punk kan assosieres med en rekan: E Voronoi-punk er senere i den omskrivende sirkelen il en rekan. I e nøral ilfelle kan e Voronoi-punk assosieres med o eller flere rekaner. 23

24 LEMMA (sirkel-lemma). Den omskrivende sirkel il en rekan i en Delaunay-riangulering av P omsluer ingen punker fra P. p 2 p 1 V( p 1 ) V( p 2 ) v V( p 3 ) C( T ) 1,2, 3 p 4 p 3 Bevis. (Mobevis). > Senere v er i både VÂp 1 Ã, VÂp 2 Ã og VÂp 3 Ã og ikke i noen andre VÂp i Ã. > Ana a p 4 er innenfor CÂT 1,2,3 Ã: > Da er v nærmere p 4 enn p 1, p 2 og p 3 ; og v må ligge i VÂp 4 Ã og ikke i verken VÂp 1 Ã, VÂp 2 Ã og VÂp 3 Ã. >> Mosigelse!n DEFINISJON. (Delaunay-riangulering III, sirkel-krierie) En Delaunay-riangulering av P er en riangulering der ingen omskrivende sirkel av en rekan omsluer punker i P. 24

25 Sirkel-krierie... Definisjon III er den mes benyede definisjonen av en Delaunay-riangulering. (mer geomerisk og inuiiv enn Definisjon I). Sirkel-krierie har de samme nøyrale ilfelle som MaxMin-krierie: C p 4 p 3 p 1 p 2 Hvis p 1, p 2, p 3 og p 4 ligger på en sirkel C, er de o mulige rianguleringer: A = ÆT 1,2,3, T 1,3,4 Ç og A v v = ÆT 1,2,4, T 2,3,4 v CÂT 1,2,3 à = CÂT 1,3,4 à = CÂT 1,2,4 v Ç v à = CÂT 2,3,4 à = C. 25

26 Delaunay-krieriene er ekvivalene for sreng konvekse kvadrilaeraler E kvadrilaeral kalles sreng konveks hvis alle indre vinkler er mindre enn 180 E. To mulige rianguleringer av p 1, p 2, p 3, p 4 : A = ÆT 1,2,4, T 2,3,4 Ç og A v = ÆT 1,2,3,T 1,3,4 Ç (Fra idligere: MaxMin- og sirkel-krierie har de samme nøyrale ilfeller.) p 4 b p p 1 q p c q c p 3 b p 2 LEMMA. Gi e sreng konveks kvadrilaeral Q = Âp 1,p 2,p 3, p 4 Ã. MaxMin-krierie velger kanen Âp 2,p 4 Ã som diagonal i Q hvis og bare hvis p 3 er uenfor CÂT 1,2,4 Ã, og Âp 1,p 3 Ã velges hvis og bare hvis p 3 er innenfor CÂT 1,2,4 Ã. 26

27 b p 4 p b + c p 4 b+p p 1 p +q c q p 3 p 1 q p c+q c p b 3 p 2 p 2 Bevis. La A ÂE 2,4 Ã og A ÂE 1,3 Ã være rianguleringene med valg av sidekan E 2,4 og E 1,3. Ana a p 3 er uenfor CÂT 1,2,4 Ã. Da er de følgende relasjoner mellom de indre vinklene, se figur. A ÂE 2,4 Ã A ÂE 1,3 Ã b > b v c > c v p > p v q > q v p v + q v > p v b v + c v > b v b + p > p v c + q > Da må den sørse minimale vinkel være i A ÂE 2,4 Ã. Resen følger fra symmeri.n q v 27

28 Voronoi-krierie (a) p 4 (b) V ( p ) 4 E v, p 1 v V ( p ) 2 C( T 1,2,4 ) v V ( p 3 ) p 2 p 3 p 3 LEMMA. Gi e sreng konveks kvadrilaeral Q = Âp 1,p 2,p 3, p 4 Ã. Da er p 2 og p 4 serke Voronoi-naboer hvis og bare hvis p 3 er uenfor CÂT 1,2,4 Ã, og p 1 og p 3 er serke Voronoi-naboer hvis og bare hvis p 3 er innenfor CÂT 1,2,4 Ã. Bevis. Sar med P = Æp 1,p 2, p 4 Ç. Da er p 2 og p 4 riviel serke Voronoi-naboer over E v,k, figur (a). Legg il p 3 uenfor CÂT 1,2,3 Ã slik a Q = Âp 1, p 2,p 3,p 4 Ã er sreng konveks, figur (b). Ñ dâv,p 3 Ã > dâv,p i Ã, i = 1,2, 3 Ñ v 6 VÂp 3 Ã Ñ En del av E v,k, er forsa en kan i VDÂQÃ. Ñ p 2 og p 4 er forsa serke Voronoi-naboer. 28

29 Ñ Mosa:Ana p 2 og p 4 er serke Voronoi-naboer. E 2,4 er en Delaunay-kan og AÂT 1,2,4,T 2,3,4 Ã er Delaunay-rianguleringen. Sirkel-lemma: p 3 µ1 CÂT 1,2,4 Ã.n Også her har vi samme nøyrale ilfelle: Hvis p 1, p 2,p 3 og p 4 er ko-sirkulære, så er p 1, p 3 og p 2,p 4 parvis svake Voronoi-naboer, og valg av diagonal er vilkårlig. 29

30 Vi har re definisjoner på en Delaunay-riangulering med hver si (ekvivalene) krierium. MaxMin-krierie: DEFINISJON. (Delaunay-riangulering I) En riangulering av P som er opimal i henhold il MaxMin-krierie og som er definer på ConvÂPÃ, kalles en Delaunay-riangulering av P. Voronoi-krierie : DEFINISJON. (Delaunay-riangulering II) En Delaunay-riangulering av P er re linje-dualen il Voronoi-diagramme av P. Sirkel-krierie: DEFINISJON. (Delaunay-riangulering III, sirkel-krierie) En Delaunay-riangulering av P er en riangulering der ingen omskrivende sirkel av en rekan omsluer punker i P. 30

31 Algorimisk behandling av Delaunay-krieriene: p 4 v v 4 3 β p 3 p 1 v 2 α v 1 p 2 La J og K være de indre vinklene i Q mosa en eksiserende diagonal: if Q is sricly convex if ÂJ + K > ^Ã swap. eller uen sjekk på konveksie: Siden J + K < 2^, er krierie sinâj + KÃ < 0, eller: if Âcos J sin K + sin J cos K < 0Ã swap. Âcos J sin K + sin J cos K == 0Ã Ñ nøyral ilfelle. 31

32 Kryssproduk: a ¼ b = Âa 2 b 3? a 3 b 2, a 3 b 1? a 1 b 3,a 1 b 2? a 2 b 1 Ã Skalarproduk: a 6 b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. p i = Âx i,y i, 0Ã La v i, i = 1,2,3, 4 være enhesvekorer og v i 5 R 3 : v i = Âv i 1, v i 2,0Ã v 1 = Âp 3? p 2 Ã/qp 3? p 2 q 2 e 3 = Â0,0,1Ã. sin J = Âv 1 ¼ v 2 Ã 6 e 3 = x 3 y 1? x 3 y 2? x 2 y 1? y 3 x 1 + y 3 x 2 + y 2 x 1 sin K = Âv 3 ¼ v 4 Ã 6 e 3 = y 3 x 1? x 1 y 4? x 4 y 3? x 3 y 1 + y 1 x 4 + y 4 x 3 cos J = v 1 6 v 2 = Âx 3? x 2 ÃÂx 1? x 2 Ã + Ây 3? y 2 ÃÂy 1? y 2 Ã cos K = v 3 6 v 4 = Âx 1? x 4 ÃÂx 3? x 4 Ã + Ây 1? y 4 ÃÂy 3? y 4 Ã if Âcos J sin K + sin J cos K < 0Ã swap. 32

33 Følgende er ekvivalen: D = x 1 y x 1 + y 1 1 x 2 y x 2 + y 2 1 x 3 y x 3 + y 3 1 x 4 y x 4 + y 4 1. if ÂD > 0Ã swap. Må sikre numerisk sabilie!!! Eksak eller nesen eksak arimeikk? Muliple eser? Eksempel på bruk av muliple eser: Algorihm (Swap es) 1. if Âcos J < 0 and cos K < 0Ã 2. reurn TRUE 3. if Âcos J > 0 and cos K > 0Ã 4. reurn FALSE 5. if Âcos J sin K + sin J cos K < OÃ // O 0 6. reurn TRUE 7. else 8. reurn FALSE. 33

34 Minse diagonal er ikke e Delaunay-krierium!!! Moeksempel: Den lengse diagonalen må velges!!! Men de er nesen e Delaunay krierium og billigere å ese. 34

35 Lokal opimerings-prosedyre (LOP) p 4 p 3 α β p 1 p 2 LOP[Lawson77]: For e kvadrilaeral Q i med diagonal E i i en riangulering A: Swap E i hvis Delaunay-krieriene slår il DEFINISJON. E i kalles lokal opimal eer LOP eller hvis den ikke kan swappes. DEFINISJON. A kalles lokal opimal hvis alle sidekaner i A er lokal opimale (eer LOP). 35

36 TEOREM. Gi en riangulering A og la E T være en diagonal i e sreng konveks kvadrilaeral. Ana a E T v skal swappes il E T henhold il Delaunay-krieriene slik a A ersaes av A. v Da er IÂA v à > IÂAÃ. Bevis. La Ji og Jj være de minse vinklene i hver sin rekan i A som deler sidekanen E T. Ana i < j, dvs. J i J j i indikaorvekoren IÂAà = ÂJ1, uu, Ji, u, Jj, uujtã. Siden E T ble swappe il E T v, vil den minse vinkelen i v de o rekanene som deler E T være sørre enn Ji. IÂA v à kommer foran IÂAà i den leksikografiske ordningen og IÂA v à > IÂAÃ.n Ñ 36

37 Algorihm (LOP) 1. Lag en vilkårlig riangulering A av P. 2. Dersom A er lokal opimal, STOP. 3. La E i være en indre kan i A som ikke er lokal opimal 4. Swap E i o E i v 5. GOTO 2. Hvis LOP gjenas på alle E i, vil IÂAÃ vokse monoon. Siden anall mulige rianguleringer er endelig må LOP konvergere!. Resula: En riangulering A der alle E i er lokal opimale, dvs. A er lokal opimal. 37

38 Kommenarer: Ñ For vilkårlige swap-krierier, for eks. MinMax, vil den lokal opimale rianguleringen eer LOP avhenge av rekkefølgen vi swapper i. IÂAÃ konvergerer ikke nødvendigvis il e global opimum. Men: Vi skal vise senere a IÂAÃ med LOP og Delaunay-krieriene konverger mo e leksikografisk maksimum! I følge: Ý DEFINISJON. (Delaunay-riangulering I) En riangulering av P som er opimal i henhold il MaxMin-krierie og som er definer på ConvÂPÃ, kalles en Delaunay-riangulering av P.... er A en Delaunay-riangulering. 38

39 Globale egenskaper ved Delaunay-rianguleringer Til nå har vi re ulike definisjoner av en Delaunay-riangulering med ilhørende Delaunay-krierier: 1. Opimal riangulering m.h.p. MaxMin-vinkelkrierie 2. Re linje-dualen il e Voronoi-diagram 3. Sirkel-krierie: InÂCÂT i,j,k ÃÃ inneholder ingen punker fra P. Vi skal linke sammen 2 & 3 med 1 il en enhelig eori ved å se på globale egenskaper: LOP resulerer i en global opimal riangulering, dvs. en Delaunay-riangulering. I de følgende anar vi a fire eller flere punker i e punkse P ikke er ko-sirkulære. 39

40 TEOREM Â7 Ã. Alle indre kaner i en riangulering AÂPÃ er lokal opimale ß (hvis og bare hvis) Ingen punker i P er i de indre av en omskreve sirkel il en rekan i AÂPÃ. Kommenar: Tidligere har vi kun vis dee for konvekse kvadrilaeraler med fire punker i P og o rekaner i AÂPÃ. Konsekvenser: Eer a LOP er kjør på AÂPÃ er de ingen punker i P som er innenfor en omskreve sirkel il en rekan i AÂPÃ. (Dermed ilfredssiller AÂPÃ en av definisjonene il en Delaunay-riangulering, men vi skal nå a ugangspunk i den konsrukive definisjonen fra e Voronoi-diagram.) 40

41 (a) (b) q a a C C δ p p b c b c Bevis. Ì Hvis ingen punker i P er innenfor en omskreve sirkel, så vil LOP ikke swappe - alså, alle kaner er lokal opimale. Ñ Mobevis: Ana a alle E i er lokal opimale og a p 5 CÂT a,b,c Ã. p kan ikke være e punk i e kvadrilaeral danne med T a,b,c p.g.a. hypoese. Ana a T a,b,c er den nærmese rekan il p s.a. p 5 CÂT a,b,c Ã, se figur: E a,c kan ikke være på randen av AÂPÃ, dvs. 0 T a,c,q. q 6 CÂT a,b,c à p.g.a. hypoese om a E a,c er lokal opimal. Ana a E c,q er nærmese sidekan i T a,c,q il p. >> 1)Avsanden mellom p og E c,q er opplag mindre enn N, og 2) p 5 CÂT a,c,q à >>> Mosigelse il hypoesen om: T a,b,c er nærmes p og p 5 CÂT a,b,c Ã. 41

42 Sammenhengen mellom en lokal opimal riangulering (som definer ved LOP) og en Delaunay-riangulering (som definer fra Voronoi-diagram). Førs e resula som vil bli bruk i noen sammenhenger senere. LEMMA Â7Ã. La P være e subse av e punkse P. To punker i P som er serke Voronoi-naboer i P er også serke Voronoi-naboer i P. Bevis. Ser på effeken av å fjerne e punk p 6 P fra P; P v = ÆP \ pç. VÂpà absorberes inn i nabo-regioner. Ingen Voronoi-kaner mellom andre Voronoi regioner blir korere. Ñ To punker i P som er serke Voronoi-naboer i P er v også serke Voronoi-naboer i P. v Bevise følger ved å berake fjerning av e og e punk il P gjensår.n 42

43 TEOREM Â7 7 Ã. Alle indre kaner i en riangulering AÂPÃ er lokal opimale ß (hvis og bare hvis) AÂPÃ er en Delaunay-riangulering som definer ved re linje-dualen il e Voronoi diagram. Kommenar: Tidligere har vi kun vis dee for konvekse kvadrilaeraler med fire punker i P og o rekaner i AÂPÃ. 43

44 r p q s Bevis. Ì Hvis A er en Delaunay-riangulering så er ingen punker i P innenfor en CÂT i,j,k à (sirkel-lemma). Teorem Â7 Ã: alle indre kaner er lokal opimale. Ñ Mobevis: Ana a alle indre kaner er lokal opimale og a A ikke er en Delaunay- riangulering. De finnes o serke Voronoi-naboer p og q som ikke definerer en kan i AÂPÃ. pq må skjære de indre av en sidekan E r,s i en rekan T q,r,s, se figur. (også hvis q 5 ConvHullÂPÃ) I følge hypoesen er E r,s lokal opimal. > p 6 CÂT q,r,s à i følge Teorem Â7à over. > p og q kan ikke være serke Voronoi-naboer relaiv il sub-see Æp, s,q,rç av P. Men i følge Lemma Â7à MÅ p og q være serke Voronoi-naboer i Æp,s, q,rç siden de er serke Voronoi-naboer i P. >> Mosigelse!n 44

45 Konsekvens av den lokale opimerings-prosedyren LOP: LOP på en vilkårlig riangulering konvergerer mo (og resulerer i) en Delaunay-riangulering slik vi har definer den fra Voronoi-diagramme. COROLLAR. AÂPÃ er en Delaunay-riangulering ß (hvis og bare hvis) ingen punker i P er innenfor en omskreve sirkel il en rekan i AÂPÃ. Dee følger direke fra de o foregående eoremer. Kommenar: Dee er rolig den mes bruke karakerisikken av en Delaunay-riangulering (sammen med Definisjon III). 45

46 Alle mulige rianguleringer av P kan nås via kan-swaps: TEOREM. Gi en vilkårlig riangulering AÂPÃ med konveks rand. Da kan enhver riangulering A v ÂPÃ med samme rand som AÂPÃ nås via en sekvens av kan-swaps ved å sare fra A. Bevis. De følger fra Teorem Â7 7Ã a LOP anvend på AÂPÃ og A v ÂPÃ resulerer i Delaunay-rianguleringer. > Siden Delaunay-rianguleringen er enydig er resulaene den samme rianguleringen, A R ÂPÃ. En swap av en sidekan er reversibel og likeledes en sekvens av swaps. Ñ Sarer med AÂPÃ som kan swappes il A R ÂPÃ som igjen kan swappes il A v ÂPÃ.n De kan også vises a eoreme holder når randen ikke er konveks og når AÂPÃ har nøyrale ilfeller. 46

47 Delaunay-rianguleringen er også global opimal, d.v.s, en lokal opimal riangulering er også global opimal når vi bruker Delaunay-krieriene: TEOREM. En riangulering AÂPÃ er en Delaunay-riangulering som definer ved re linje-dualen il Voronoi diagramme ß (hvis og bare hvis) indikaor-vekoren IÂAÃ er leksikografisk maksimum. 47

48 Bevis. Ì Hvis indikaor-vekoren il A er leksikografisk maksimum så må alle sidekanene i A være lokal opimale. > De følger av Teorem Â7 7à a A er en Delaunay-riangulering. Ñ Mobevis: Ana a A er Delaunay og a IÂAà ikke er leksikografisk maksimum. Siden A er Delaunay er alle kaner lokal opimale (Teorem Â7 7Ã) Hvis IÂAà ikke er leksikografisk maksimum, så 0 A v ÂPà slik a IÂA v à > IÂAÃ. LOP på A v ÂPà gir nå en A D ÂPà slik a IÂA D à > IÂAà og A D ÂPà er også Delaunay (Teorem Â7 7Ã) > Siden Delaunay-rianguleringen er enydig så er A D = A, og følgelig IÂA D à = IÂAÃ. >> Mosigelse!n 48

49 Li oppsummering LEMMA (sirkel-lemma). Den omskrivende sirkel il en rekan i en Delaunay-riangulering av P omsluer ingen punker fra P. TEOREM Â7Ã. Alle indre kaner i en riangulering AÂPÃ er lokal opimale Î Ingen punker i P er i de indre av en omskreve sirkel il en rekan i AÂPÃ. LEMMA Â7Ã. La P være e subse av e punkse P. To punker i P som er serke Voronoi-naboer i P er også serke Voronoi-naboer i P. TEOREM Â7 7Ã. Alle indre kaner i en riangulering AÂPÃ er lokal opimale Î AÂPÃ er en Delaunay-riangulering som definer ved re linje-dualen il e Voronoi diagram. COROLLAR. AÂPÃ er en Delaunay-riangulering Î ingen punker i P er innenfor en omskreve sirkel il en rekan i AÂPÃ. 49

50 oppsummering... TEOREM. En riangulering AÂPÃ er en Delaunay-riangulering som definer ved re linje-dualen il Voronoi diagramme Î indikaor-vekoren IÂAÃ er leksikografisk maksimum. LOP resulerer i en global opimal riangulering, dvs. en Delaunay-riangulering. 50