Data-avhengige trianguleringer

Transkript

1 Data-avhengige trianguleringer Øyvind Hjelle Simula Research Laboratory, October 5, 2009

2 Definition (Data-avhengig triangulering) En triangulering (P), P = {(x i,y i,z i )}, der valg av sidekanter i avhenger av funksjonsverdiene F = {z i }. {z i } er typisk høydeverdiene til nodene i (P). Dette er forskjellig fra Delaunay-trianguleringer der valg av sidekanter ble gjort etter (ekvivalente) kriterier som var definert i planet. Innhold: 1 Motivasjon 2 Optimale trianguleringer (revisited) 3 Generell matematisk modell 4 Data-avhengige swappe-kriterier 5 LOP og varianter av denne 6 Simulert størkning (Simulated Annealing) 7 Eksempler

3 Motivasjon Gitt en triangulering (P), P = {p i } Anta at alle p i = (x i,y i ), i = 1,...,N i P har en assosiert reell (høyde-)verdi z i. Anta at {(x i,y i,z i )} er samplet fra en underliggende funksjon (flate) F. La f S1 0 ( ) være en approximasjon til F definert som den entydige stykkevise lineære funksjonen som er et lineært polynom over hver trekant t i i og som interpolerer {(x i,y i,z i )}, f ti Π 1, f (x i,y i ) = z i, i = 1,...,N, der Π 1 er rommet av lineære polynomer. Det er opplagt at f avhenger av valg av!!!

4 Testfunksjon Vi skal se på approksimasjoner til: y x F 1 (x,y) = (tanh (9y 9x) + 1) /9 F 1 (x,y) er glatt Observasjon: Retningsderiverte i retningen u = (1, 1): (f x,f y ) (1,1) T = 0 ( ) fxx f (1,1) xy (1,1) T = 0 f xy f yy Første og andre retningsderiverte til F 1 (x,y) i retningen u = (1,1) er null over alt.

5 Sampler i et uniformt grid over [0,1] [0,1]: (a) (b) Delaunay-triangulering og f (x,y) Dataavhengig triangulering og f (x,y) (Swappe-kriterie: ABN, norm: L1, prosedyre: LOP)

6 Observasjoner: Sammenligner med og f (x,y) med f (x,y): er ikke likevinklet slik som Delaunay Trekantene i er langstrakte i retninger u hvor 2 F 1 (x,y) 2 u liten. er Trekantene i er tynne i retninger u hvor 2 F 1 (x,y) 2 u er stor. f (x,y) gjenspeiler bedre glattheten i F 1 (x,y) (riktigere nivåkurver) f (x,y) er trolig en bedre approksimasjon til F 1 (x,y) ( [0,1] [0,1] f (x,y) F 1(x,y) dxdy) Konklusjon: Må se etter andre kriterier enn Delaunay, og algoritmer for å konstruere.

7 DEFINISJON. (Delaunay-triangulering I): En triangulering av P som er optimal i henhold til MaxMin-kriteriet og definert på Conv(P). Recall: Delaunay-trianguleringer En Delaunay-triangulering av et punktsett P = {(x i,y i,z i )} ble definert i planet uten å bruke funksjonsverdiene F = {z i }: Til alle mulige trianguleringer { k (P)} k=1,... av P tilordnes en indikator-vektor: I( k ) = (α 1,α 2,...,α T ), α i α j, i < j, der α i er den minste vinkelen i trekant t i. Sorterer {I( k (P))} k=1,... leksikografisk: I( a ) > I( b ) hvis α a i = αb i, i = 1,...,m 1 og αa m > α b m DEFINISJON. Den optimale trianguleringen i { k (P)} k=1,... er den med størst indikator-vektor. (Dette definerer også MaxMin-vinkelkriteriet)

8 recall Delaunay... DEFINISJON. En sidekant e i kalles lokalt optimal etter LOP. DEFINISJON. En triangulering kalles lokalt optimal hvis alle sidekanter i er lokalt optimale (etter LOP). LOP med MaxMin-kriteriet resulterer i en (entydig) globalt optimal triangulering, dvs. en Delaunay-triangulering, uansett i hvilken rekkefølge vi swapper kantene. d.v.s. en lokalt optimal triangulering er også (alltid) globalt optimal når vi bruker MaxMin-kriteriet (og de ekvivalente kriteriene: sirkel-, og Voronoi). Men MaxMin kriteriet er det eneste kjente kriteriet med denne egenskapen.

9 Data-avhengige trianguleringer Defineres på tilsvarende måte som over etter optimalitetskriterier, men: 1 Bruker andre lokale kriterier (elementer i indikator-vektoren) som avhenger av F = {z i } 2 Den globale kostfunksjonen kan defineres på ulike måter 3 Bruker LOP og andre algoritmer for å optimere kostfunksjonen (... og andre siden det nå blir vanskeligere å finne et godt optimum). Vi skal kun se på stykkevise lineære funksjoner f S 0 1 ( ) som interpolerer F = {z i }, d.v.s f (x i,y i ) = z i, i = 1,..., V.

10 Generell matematisk modell Konstruksjon av lokale og globale kostfunksjoner: Gitt en vilkårlig triangulering (P) og dataverdier {z i } Gitt f S1 0 ( ) over som definert tidligere lokal kost c(,e i ) til alle indre kanter i. n (1) n (2) p = x, y, ) 1 ( 1 1 z1 Q 1 (x,y) θ t t 2 1 e i Q 2 (x,y) p 2 = ( x2, y2, z2) n = ( n x, n ) y ( 2 x 2, y ) ( 1 x 1, y ) Eksempel på lokal kost, c ABN (,e i ) = θ.

11 Merk: c ABN (,e i ) måler glatthet til f (x,y) langs e i Indikator vektor: I( ) = ( c(,e 1 ),...,c(,e EI ) ) Global kostfunksjon med l p norm, eller med max-norm E I C p ( ) = c(,e i ) p, p = 1,2. i=1 C ( ) = max e i c(,e i ). Ulike trianguleringer av P kan nå sammenlignes ved å sammenligne global kost. Den optimale trianguleringen av alle mulige trianguleringer av P er den med minst global kostfunksjon. Eksempel med c ABN (,e i ): Den optimale trianguleringen gir en f (x,y) som er glatt!

12 Swapping (lokal betraktning): Antar at kun geometrisk info. om t k og t l som deler e i brukes i c(,e i ) Effekten av å swappe en kant kan måles lokalt: 1 e i 2 e i t k e i 4 e i t l 3 e i ved å swappe en kan e i Den globale kostfunksjonen C p ( ) vil ikke minke hvis: c(,e i ) p + 4 c(,e k i ) p c( <,e i ) p 4 + c(,e k i ) p k=1 (Da er mer optimal enn.) k=1

13 Lokalt optimal kant og lokalt optimal triangulering. Definisjoner: Hvis ulikheten over holder, eller hvis e i ikke kan swappes, sier vi at e i er lokalt optimal. Hvis alle kanter i er lokalt optmale sier vi at er en lokalt optimal triangulering. Dette er helt tilsvarende som for Delaunay-trianguleringer, men med et annet swappe-kriterium.

14 LOP algoritme med vilkårlige swapping-kriterier Algoritme (LOP) 1 Make an arbitrary legal triangulation of a point set P. 2 If is locally optimal, that is, if the inequality holds for all interior edges in, STOP. 3 Let e i be an interior edge of which is not locally optimal. 4 Swap e i to e i, transforming to. 5 Let :=. 6 GOTO 2.

15 Naturlig å starte med en Delaunay triangulering LOP er som for Delaunay, men vilkårlige kriterier i Step 3. For hver swap vil den globale kostfunksjonen minke >> Siden antall trianguleringer er endelig, konvergerer LOP til et lokalt minimum. MEN: Generelt ikke til et globalt minimum og resultatet er avhengig av i hvilken rekkefølge vi swapper kantene!

16 Dataavhengige swappe-kriterier Ulike lokale kostfunksjoner c(,e i ) tilordnet kantene i brukes i den globale kostfunksjonen: E I C p ( ) = c(,e i ) p, p = 1,2. i=1 n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) t Q Q 2 1 t 2 1 e i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Bruker 3D geometrisk informasjon om t 1 og t 2 som deler e i. La planene Q 1 og Q 2 være restriksjonene av f (x,y) til trekantene t 1 og t 2. z = Q i (x,y) = a i x + b i y + c i, i = 1,2, eller den implisitte formen: q i (x,y,z) = a i x b i y c i + z = 0, i = 1,2.

17 Angle between normals (ABN) Normalvektorer n (1) og n (2) til Q 1 og Q 2 : ( n (i) qi = q i = x, q i y, q ) i = ( a i, b i,1), i = 1,2. z Lokal kostfunksjon: c ABN (,e i ) = θ = cos 1 n (1) n (2) n (1) 2 n (2) 2 = cos 1 a 1 a 2 + b 1 b (a b ) (a b ) Måler vinkelen mellom Q 1 og Q 2. Siden c ABN (,e i ) måler glatthet lokalt langs e i, vil LOP terminere med en som er glatt. Trianguleringen i første eksempelet ble generert med: i) c ABN (,e i ), ii) l 1 norm og iii) LOP.

18 Jump in normal derivative (JND) n (1) n (2) p = x, y, ) 1 ( 1 1 z1 Q 1 (x,y) θ t t 2 1 e i Q 2 (x,y) p 2 = ( x2, y2, z2) n = ( n x, n ) y ( 2 x 2, y ) ( 1 x 1, y ) Måler differanse i retningsderiverte normalt på e i : La n = (n x,n y ) være en enhetsvekor i planet ortogonal på e i. Den deriverte av Q i (x,y) i retningen n er: Q i / n = Q i n = ( Q i / x, Q i / y) (n x,n y ) = (a i n x +b i n y ). Lokal kostfunksjon: c JND (,e i ) = Q 1 / n Q 2 / n = (a 1 a 2 )n x (b 1 b 2 )n y.

19 Deviations from linear polynomials (DLP) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) t Q Q 2 1 t 2 1 e i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Generell form på lokal kostfunkjon: ( c DLP (,e i ) = Q1 (x 2,y 2 ) z 2 Q 2 (x 1,y 1 ) z 1 ). Måler vertikal avstand mellom Q 1 og p 2, og mellom Q 2 og p 1, i en norm. Diskret l p norm gir: Lokal kostfunksjon: c DLP (,e i ) = ( Q 1 (x 2,y 2 ) z 2 p + Q 2 (x 1,y 1 ) z 1 p ) 1/p med p = 1 eller p = 2.

20 Distance from planes (DFP) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) t Q Q 2 1 t 2 1 e i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Erstatter vertikale avstander i (DLP) med normal-avstandene fra p 2 og p 1 til Q 1 og Q 2. (Q(x,y) = ax + by + c.) Generell form på lokal kostfunksjon: ( c DFP (,e i ) = dist(q1,p 2 ) dist(q 2,p 1 ) ). der dist(q,p l ) = Q(x l,y l ) z l / ( a 2 + b ) 1/2. Lokal kostfunksjon: c DFP (,e i ) = (dist(q 1,p 2 ) p + dist(q 2,p 1 ) p ) 1/p med p = 1 eller p = 2.

21 Smoothness of contours (SCO) Q 1 e i Q 2 l1 l 2 γ v(1) v (2) SCO Q h Optimerer glatthet av nivåkurver (koter) på f (x,y) Siden f (x,y) er stykkevis lineær, er også kotene stykkevis lineære. La l 1 og l 2 være (horisontale) skjeringslinjer mellom et horisontalplan Q h og Q i, i = 1,2 La v (1) og v (2) være horisontale normalvektorer til l 1 og l 2. v (1) og v (2) har samme retninger som projeksjonene av n (1) og n (2) under ABN ned i horisontalplanet.

22 Vi får: v (1) = ( a 1, b 1,0) og v 2 = ( a 2, b 2,0). La γ være vinkelen mellom v (1) og v (2). Lokal kostfunksjon: c SCO (,e i ) = γ = cos 1 v (1) v (2) v (1) v (2) 2 2 = cos 1 a 1 a 2 + b 1 b 2 (a b1) 2 (a b 2 2 ) Merk at dette er ekvivalent med c ABN (,e i ) når e i er vertikal. Hvis vi roterer til e i er horisontal vil γ øke, men θ i ABN er invariant under denne rotasjonen. Unngår skarpe kanter i flate områder og dermed penere konturkart.

23 En digresjon La f være en funksjon i S1 0 ( ) som interpolerer data-verdiene {f i }. Definerer et kriterium (roughness criterion) som en Sobolev semi-norm: der f 2 t i,1 = T R r (f ) = f 2 t i,1 t i i=1 [ ( f ) 2 + x ( ) ] 2 f dxdy. y Overraskende: Hvis vi minimerer R r (f k) over alle mulige trianguleringer k (P) får vi en Delaunay-triangulering!!! R r (f ) er dermed ikke et data-avhengig kriterium!!!

24 Eksempler Målinger fra interiøret i en bil.

25 Delaunay-triangulering

26 SCO, l 1 og LOP Observasjoner: Glattere f (x,y) Trekantene strekker seg langs features i den fysiske modellen. Men, fortsatt noen fastlåste sidekanter med høy lokal kost.

27 Noen konklusjoner: Valg av kostfunksjon avhenger av applikasjonen. Alle de lokale kostfunksjonene er et mål for glatthet av f langs en kant e i. Alle har verdi null dersom Q 1 = Q 2, dvs. dersom t 1 og t 2 ligger i samme planet. JND and DLP er kun definert for f (x,y) : R 2 R. De andre kriteriene kan brukes for trianguleringer i 3D, ( f : R 2 R 3). Ofte er det liten visuell forskjell mellom ulike lokale kostfunksjoner. Det finnes også andre lokale kostfunksjoner, f. eks. basert på (diskrete) kurvaturmål og man kan lage varianter av de over.

28 Implementasjon av LOP Må ha en datastruktur med topologi for å kunne swappe effektivt. Kan f. eks. starte med en Delaunay triangulering Alle indre kanter representeres i vilkårlig rekkefølge i en lineær array A(E I ). A(E I ) gjennomløpes flere ganger helt til ingen kanter kan swappes i hht. c(,e i ). (dvs. til alle kanter er lokalt optimale) Enkel å implementere! Meget rask, konvergerer vanligvis etter noen få iterasjoner!!! Alternativt: A(E I ) inneholder kun de kanter som til enhver tid ikke er lokalt optimale.

29 MLOP (Modified LOP) Motivasjon: Resultatet fra LOP avhenger av i hvilken rekkefølge vi swapper kanter. MLOP-algoritmer velger ulike strategier for rekkefølge av swaps. Eksempler: 1 Prioritetskø : swapper den kanten som gir størst reduksjon i den globale kostfunksjonen C p ( ). 2 Swapper den kanten som etterlater flest swap-bare kanter til neste iterasjon av LOP.

30 Kommentarer. LOP & MLOP: Når algoritmen terminerer kan det fortsatt være mange kanter med relativ høy kost som ikke kan swappes (dvs. diagonaler i ikke-konvekse kvadrilateraler). Bidrar til dårlig approksimasjon og synlig på konturer og shading av flaten. Alternativ 1 over gir ofte dårligere optimum. Årsak: Kanter med høy lokal kost blir frosset fast tidlig og hindrer at andre kanter kan swappes. MERK: Kun gode swaps er lovlig, d.v.s. slik at den globale kostfunksjonen minker!!! jfr. Simulert herding...

31 Simulert herding Vi skal nå også tillate dårlige swaps!!! Motivasjon: (a) (b) e 1 e 2 e 1 ' e 2 (c) ' e 1 ' e 2 Anta: a er lokalt optimal (etter LOP) med global kost C p ( a ) c( a,e 1 ) er relativt høy (og kan ikke swappes) e 1 representerer en (uønsket) skarp kant. Swapper som følger: 1 Dårlig swap av e 2 til e 2 gir b, med C p ( b ) > C p ( a ) 2 Swap av e 1 til e 1 gir c s.a. C p ( c ) < C p ( a )

32 simulert herding... Dette motiverer bruk av Simulert herding som alternativ til LOP. Generell metode for å løse kombinatoriske optimeringsproblemer. F.eks. The Traveling Salesman Problem Analogt til termodynamiske prosesser i naturen; f. eks. hvordan metaller avkjøles og størkner: Samspill mellom energi og temperatur: Energien minker etter som temperaturen minker. MEN: Det er alltid en viss sannsynlighet for at energien øker. Men, Sannsynligheten blir mindre med minkende temperatur. En sakte avkjøling fører oss nærmere et globalt minimum.

33 Simulert herding og trianguleringer La den globale kostfunksjonen C p ( ) svare til energi La dårlige swaps svare til økning i energi som er mest sannsynlig ved høye temperaturer. Lager et minkende temperaturforløp (annealing schedule): t 1 > t 2 > > t ntemps > 0. Prinsipp: Velger en random sidekant e i i hvert step. Dersom C p ( ) minker ved å swappe e i, så swappes e i (slik som i LOP) Hvis C p ( ) øker, kan også e i swappes ( dårlig swap ): Men, sannsynligheten for dårlige swaps skal minke med minkende temperatur og med endring i C p ( ).

34 1 do k = 1,...,ntemps 2 t k = r k t 0, 0 < r < 1, e.g., r = do l = 1,...,nlimit 4 while the number of good swaps glimit 5 let be the current triangulation; and choose a random edge e i in 6 if e i is swapable 7 let be the result of swapping e i ; and let d = C p ( ) C p ( ) 8 if d < 0, i.e., if the global cost decr. 9 swap e i ( good swap ) 10 else 11 choose a random number θ [0,1] 12 if θ e d/t k //see figure 13 swap e i // bad swap 14 endif 15 endif

35 Sannsynligheten for dårlige swaps blir mindre og mindre k Probability of making bad swaps.

36 Kommentarer e d/t k i Step 12 svarer til Boltzmann s sannsylighetsfordeling i termodynamikk Merk: glimit kontrollerer antall lovlige gode swaps ved hver temperatur: > Hvis vi setter glimit for høy, svarer dette til et termodynamisk system som kjøles ned for raskt. jfr. MLOP med alternativ 1 over. Resultat: Dårligere (lokalt) optimum. Samme effekt kan observeres hvis t 0 settes for lav. Simulert herding er mye tregere enn LOP Sensitiv overfor valg av parametre Bruk brukerinterface og polling-funksjon i indre løkke!

37 Eksempler (Starter med en Delaunay-triangulering.) (a) (b) SIMAN, ABN, l 1 LOP, ABN, l 1

38 SIMAN, SCO, l1

39 Liten visuell forskjell på nivåkurvene. Men flere trekanter er langstrakte i retninger hvor den andrederiverte er liten. > Dette indikerer at f (x,y) med fra simulert herding er en bedre approksimasjon målt med: f (x,y) F(x,y) dxdy.