Algoritmer for Delaunay-triangulering
|
|
- Erling Arnesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Algoritmer for Delaunay-triangulering 1. En enkel algoritme 2. Radial Swee 3. Steg-for-steg 4. Inkrementelle algoritmer 5. Slitt-og-hersk Innsetting av unkter Punkt-lokalisering Tidsforbruk 1
2 Enkel LOP-basert algoritme Direkte resultat fra kaitlene foran; bruker: Algoritme I fra første del: Triangulering av et lukka olygon; bruker fremskutte unkt. Algoritme II; innsetting av et unkt i en triangulering. LOP (lokal otimerings-rosedyre) som swaer sidekanter etter Delaunay-kriterier til trianguleringen er Delaunay. Gitt et unktsett P. 1. Beregn Q ConvHullP. 2. Algoritme I å Q gir en triangulering. 3. Algoritme II for å sette inn alle unkter fra P innen for Q i gir en triangulering P. 4. LOP å sidekantene i helt til ingen sidekanter kan swaes gir: En triangulering P der alle sidekanter er lokalt otimale. I følge Teorem er Delaunay. 2
3 Kommentarer: ConvHullP kan beregnes i ONlog N. Ste4eravordenON 2 i verse fall. Krever en effektiv unktlokaliserings-algoritme i Ste 3. Algoritmen er ikke sesielt rask. Algoritmen kan være ustabil da vi ikke får swaet bort smale trekanter etter hvert. Hvordan kan vi få den mer stabil? 3
4 Radial Swee algoritme Bytter ut Ste 1,2,3 i enkel algoritme. (a) (b) (c) (d) 1. Velg et unkt nær senteret av P og lag sidekanter E,i N1 i1 ; figur (a) 2. Sorter og ordne P å retning og avstand fra og lag randkanter E B1 ; figur (b) triangulering P. 3. Lag trekanter T i1, i, i1 å randen av P og odater randen etter hvert. Reeter til ConvP er dekket av trekanter P; figur (c). 4. LOP å sidekantene i P helt til ingen sidekanter kan swaes; figur (d) En triangulering der alle sidekanter er lokalt otimale. I følge Teorem er P Delaunay 4
5 Kommentarer: Algoritmen er statisk, dvs. man må kjenne alle unktene når man starter algoritmen. SorteringeravordenONlog N Ste4avordenON 2 i verste fall. 5
6 Steg-for-steg algoritme Metoden går ut å å lage en og en Delaunay-trekant fra unkter i P til vi har en Delaunay-triang. P. Hvordan kan vi velge tre unkter i, j og k fra P slik at T i, j, k er en Delaunay-trekant? Fra forrige kaittel har vi: LEMMA (sirkel-lemma). Den omskrivende sirkel til en trekant i en Delaunay-triangulering av P omslutter ingen unkter fra P. Kan det finnes en trekant T i, j, k slik at CT i, j, k ikke omslutter unkter fra P, men som likevel ikke er Delaunay? TEOREM. En trekant T a,b,c med hjørneunkter a, b og c fra et unktsett P er en Delaunay-trekant i P (hvis og bare hvis) CT a,b,c omslutter ingen unkter fra P. 6
7 b α T ba c T abc E b α C(T abc ) a Bevis. Vi lager et konstruktivt bevis som samtidig definerer en algoritme. Anta at CT a,b,c omslutter ingen unkter fra P, se figur. La sirkelen vokse å motsatt side av E b fra c til den når et unkt. Hvis et unkt fra P ikke kan nås, må E b være en kant å ConvHullP;velgenannensidekantiT a,b,c som E b etc. Lag trekanten T b,a, ; CT b,a, omslutter nå ingen unkter fra P. Gjenta dette med en ny E b hver gang til hele ConvP er T dekket av trekanter T i i1 i en triangulering P. CT i, i 1,,T omslutter nå ingen unkter i P. P er en Delaunay-triangulering i følge Teorem og Teorem (eller Corollar). T a,b,c er en Delaunay trekant. 7
8 Hvis T a,b,c er en Delaunay-trekant i en Delaunay-triangulering P, så omslutter CT a,b,c ingen unkter fra P (i følge sirkel-lemma). 8
9 Algoritme (steg-for-steg). 1. Finn en Delaunay-sidekant E i, j fra P; for eksemel: a. i og j er to nærmste naboer i P, eller: b. i og j er to naboer å ConvHullP. 2. Lag den første voksende sirkelen C I tilfelle (a); la C ha senter i i j /2 I tilfelle (b), la C være uendelig stor med senter utenfor ConvP 3. Resten blir som konstruksjonen i beviset ovenfor. Kommentarer: Vi trenger en assende underliggende data-struktur for P slik at søk etter et hjørneunkt til en Delaunay-trekant T a,b, blir effektiv. Hvis ikke, blir tidsforbruket alltid ON 2. Algoritmen undersøker vinkelen med tounkt i,se figur. Punktet som gir max velges. Algoritmen er statisk. 9
10 Inkrementelle algoritmer Inkrementelle algoritmer å et unktsett P kjennetegnes ved: 1. Starter med en initiell Delaunay-triangulering I,for eks.: a. I P; der P er et subsett av P ( I kan være en trekant) b. I S der S er temorære unkter som ikke hører til P. i ConvS, i 1,,N. 2. De gjenværende unktene blir satt inn ett og ett i vilkårlig rekkefølge. Trianguleringen odateres til å være Delaunay for hvert unkt som settes inn. I tilfelle (b) må S fjernes til slutt. *) Det vil lønne seg å sortere unktene, f.eks. leksikografisk å x og y for effektiv lokalisering. Figur, LEDA 10
11 Ste 2: Innsetting av et unkt i en Delaunay-triangulering N P slik at N1 P også er Delaunay. (a) (b) Q R DEFINISJON (Influens-region). R trekanter som må endres ved innsetting av. DEFINISJON (Influens-olygon). Q randen til R. Alternativ (a): i) Finn R ; ii) fjern alle trekantene i R ; iii) retrianguler Q. Alternativ (b): i) Finn trekanten T i, j, k slik at T i, j, k ; ii) lag sidekanter E,i, E,j og E,k ; iii) Swa kanter til trianguleringen er Delaunay. HVORDAN ER R? 11
12 LEMMA. En trekant T i må endres når settes inn hvis og bare hvis CT i. Bevis. Følger direkte fra Teorem over. TEOREM. La N1 være Delaunay-trianguleringen fra innsetting av i en Delaunay-triangulering N. Da vil alle nye (og endrede) trekanter i N1 ha som en felles node. Bevis (Motbevis). Merk først at kun trekantene innenfor Q i N vil endres. Anta at det er en Delaunay-trekant T i, j, k i N1 innenfor Q slik at ikke er en node i T i, j, k. i, j and k er Voronoi-naboer relativt til P. Da er de også Voronoi-naboer i P i følge Lemma ;og siden T i, j, k er en Delaunay-trekant i N1, er den også en Delaunay-trekant i N. Motsigelse: Siden T i, j, k er innenfor Q har vi at CT i, j, k og følgelig kan T i, j, k ikke være en Delaunay-trekant i N1. 12
13 (a) (b) Q R Konsekvenser: Nodene til trekantene i N innenfor R hører til Q R er sammenhengende (hvis er innenfor N ) Q er stjerneformet s.a. alle noder i Q er synlige fra Algoritme 1 (med R og Q. 1. Finn R,dvs.T i slik at CT i ; Figur (a) 2. Fjern alle T i 3. Lag sidekanter E,i der i er unkter å Q. 13
14 (c) (d) Hvis ligger utenfor N må vi sørge for at randen til N1 blir konveks. forbindes til alle unkter å ConvHullP som er synlige fra. 14
15 Punktinnsetting og rekursiv swaing Innsetting av i en triangulering: N P N1 P Det fremgår av det foregående at: 1. Influensregionen R er sammenhengende 2. R er ofte begrenset (men i verste fall kan R være hele P Vi skal utnytte dette til å lage en rask og komakt algoritme basert kun å swaing. 15
16 Algoritme 2 (med swaing). 1. Lokaliser en trekant T i, j, k slik at T i, j, k 2. Sett inn sidekanter E,i, E,j og E,k. 3. Swa kanter innenfor R i henhold til Delaunay-kriteriene. I unkt 3 kan vi f.eks. kjøre LOP, men vi skal utlede en smartere swae-strategi (men som fortsatt kun swaer kanter som ikke er lokalt otimale)... 16
17 Rekursiv swaerosedyre (a) (b) E 1,1 E 1,3 ' E 1 E 1 E 1,2 E 3 E 3 E 1,4 E 2 E 2 Start å rekursiv swaing Figur (a) viser situasjonen etter Ste 2 over E,i, E,j og E,k kan ikke swaes Kun E 1, E 2 and E 3 i (a) er kandidater for swaing. (Alle andre kanter er diagonaler i de samme kvadrilateraler som før innsetting av og er derfor lokalt otimale siden N er Delaunay ) SWAP, f.eks. E 1 til E 1 ; se figur (b). Merk at E 1 swaes til. E 1,1 and E 1,2 motsatt E 1 fra blir nye kandidater for swaing, 17
18 (a) (b) E 1,1 E 1,3 ' E 1 E 1 E 1,2 E 3 E 3 E 1,4 E 2 E 2 Start å rekursiv swaing men, hva med E 1,3 og E 1,4? Generelt blir også disse kandidater, men: Hyotese: E 1,3 og E 1,4 som har noder i er ikke kandidater for swaing (vises senere) SWAP E 1,2 og rekursjon, se over (E 1,1 er lokalt otimal i dette eksemelet) Algorithm (recswadelaunay(edge E i )) 1. if (swatest(e i ) OK) 2. RETURN 3. swaedge(e i ) // til 4. recswadelaunay(e i,1 ) // rekursjon 5. recswadelaunay(e i,2 ) // rekursjon 18
19 Konklusjon så langt (hvis hyotesen holder): Kan swae rekursivt utover fra uten å måtte beregne influensregionen R.... flere konklusjoner følger senere... 19
20 c x E i,3 E i,1 b ' E i E i,2 C E i,4 C a Hyotese LEMMA. Hver kant-swa i algoritme recswadelaunay genererer maks. to kandidater for swaing. Bevis. Må vise at E i,3 og E i,4 er lokalt otimale etter at E i er swaet til E i. Vi gjør dette for E i,3 vedåseå kvadrilateralet, b, c, x: C a,b,c (.g.a. at E i ble swaet), men ellers er C a,b,c unktfri siden T a,b,c er Delaunay i N. C c,,b : c b C a,b,c (siden c b interolerer.) c b er unktfri og x C c,,b og E i,3 er lokalt otimal. Tilsvarende for E i,4 følger fra symmetri. 20
21 Observasjoner og flere resultater: Swaing starter i 3 avgrensede vinkel-sektorer utsent av og E i, i 1, 2, 3 (som dekker hele lanet) For hver swa deles en vinkelsektor i to (rekursjon). Hver kant som sjekkes er å motsatt side av i en trekant med som node En kant swaes alltid til og vil ikke swaes igjen i recswadelaunay LEMMA. Ingen kanter sjekkes mer enn en gang i recswadelaunay. En vinkelsektor, E i i R 2 er ferdigbehandlet hvis E i ikke skal swaes. recswadelaunay convergerer Alle kanter i N1 er lokalt otimale og N1 er Delaunay 21
22 Det følger fra Lemma: KOROLLAR: Følgende er Delaunay-kanter: 1. E,i, E,j og E,k (nye kanter som ikke swaes) 2. Alle kanter som swaes (til ) 3. Alle kanter som asserer swatest. Dette er forskjellig fra generell LOP å en vilkårlig triangulering der en swa av en kant ikke nødvendigvis gir en Delaunay-kant. 22
23 Verifisering av Korollar med: TEOREM. En kant E i,j mellom to unkter i og j i P er en Delaunay-kant. det eksisterer en sirkel C gjennom i og j slik at det indre av C ikke inneholder unkter fra P. (a) C C (b) C C T i ' E i E i T i 1. E,i, E,j og E,k ; figur (a). 2. Alle kanter som swaes (til ); figur (b) 3. Alle kanter som asserer swatest.; figur (b). (i så fall: C) 23
24 Punktinnsetting forts.... Hvis settes inn å en eksisterende indre kant dekkes dette av teorien og recswadelaunay uten sesialbehandling Hvis settes inn å å en rand-kant E i må vi slitte E i hvis vi ikke tillater degenererte trekanter. Hvis settes inn utenfor trianguleringen: Får nye initielle kanter E,1,E,2,E,3, der 1, 2, 3, er alle noder som er synlige fra. Ellers er teorien den samme (og recswadelaunay). 24
25 Tidsforbruk for inkrementelle algoritmer Vi skal først undersøke tidsforbruk for en worst-case konfigurasjon av P. (a) 1 (b) (c) La P x i, y i være unkter uniformt fordelt å en arabel y 1 2 x2 ; figur (a). Start med T 1, 2, 3 og sett inn unkter i rekkefølgen: 4, 5,, 10. Anta at vi har satt inn k slik at 1,, k er Delaunay. Ved innsetting av k1 er influensregionen R 1,, k ; dvs. alle trekantene må endres for at 1,, k1 skal være Delaunay; figur (b) og (c). 25
26 Tidsforbruk for å triangulere N unkter blir: siden N i N2 1 2 N 3 ON2. i N NN 1/2 1 2 N2 1 2 N x 4-5 ON, ONlog N, ON 2 26
27 Kommentarer: Punktkonfigurasjoner som gir worst-case otrer nesten aldri i raksis. Tidsforbruket er valigvis mer avhengig av den underliggende data-struktur enn av teoretisk orden å algoritmer. I raksis, hvis man har en assende data-struktur, har de flese algoritmer et ONlog N eller nesten ON forlø. 27
28 Punkt-lokalisering PROBLEM. Gitt et unkt og en start-trekant T i i P. Finn trekanten T i P slik at T ; eller avgjør om er utenfor. Raske algoritmer for Problem er viktige i, inkrementelle algoritmer evaluering av P etc. Eksemel å løsning av Problem: Gitt en dart d i V i,e i,t i orientert mot klokka i T i. La Hd i være halvlanet til venstre for d i som inneholder V i og noden i 0 d i. T i Hd i H 1 0 d i H 0 1 d i Anta at randen til P er konveks: 2 d b d b og Hd b er utenfor P. 28
29 Algoritme: Gitt x,y og en dart d i V i,e i,t i orientert mot klokka i T i. Finn T slik at T d i 1. d start : d i 2. if Hd i 3. d i : 1 0 d i // next edge ccw. in T i 4. if d i d start 5. FOUND : true, RETURN // inside T i 6. else // try to move to the adjacent triangle 7. if 2 d i d i // check if on boundary 8. FOUND : false, RETURN // outside 9. d start : 0 2 d i 10. d i : 1 2 d i // next edge ccw. in adj. T 11. GOTO Ste 2 29
30 temlate class PointTye, class DartTye bool locateface(pointtye& oint, DartTye& dart_iter) { DartTye dart_start dart_iter; DartTye dart_rev; for (;;) { // endless loo if (dart_iter.inlefthalfplane(oint)) { dart_iter.alha0().alha1(); if (dart_iter dart_start) return true; // left to all edges in face } else { // try to move to the adjacent triangle dart_rev dart_iter; dart_iter.alha2(); if (dart_iter dart_rev) return false; // iteration to outside boundary dart_start dart_iter; dart_start.alha0(); dart_iter.alha1(); // avoid twice on same edge and ccw in next } } // end for } 30
31 Slitt-og-hersk algoritme Slitt-og-hersk (divide-and-conquer) er en generell teknikk brukt innen mange områder av CG, for eksemel: Konveks omhylning Nærmeste naboer Voronoi-diagram Generelt er slitt-og-hersk algoritmer av orden ONlog N. Slitt-og-hersk er den eneste triangulerings-algoritmen som teoretisk er av orden ONlog N Siden det finnes standard slitt og-hersk algoritmer for å finne Voronoi-diagrammet VDP, kunne vi avlede Delaunay-trianguleringen fra VDP i ON tid. Vi skal se å en slitt-og-hersk algoritme for å finne Delaunay-trianguleringen direkte. 31
32 Løsning: 1. Sorterer unktsettet P leksikografisk å X og Y: i x i,y i x j,y j j x i x j, eller x i x j og y i y j. 2. Deler o P rekursivt i unktsett P 1,,P N slik at hvert P i inneholder noen få unkter. N er et artall. 3. Lag Delaunay-trianguleringer P 1,,P N. 4. Sy sammen ( merge ) to og to nabo-trianguleringer P L og P R til P L P R. Ste 3 og 4 gjøres rekursivt til vi har en Delaunay-triangulering P. Vi skal se nærmere å ste 4. 32
33 (a) E u (b) L R E b Gitt P L og P R,finnP L P R : 1. Finn ConvHullP L P R. Siden ConvHullP L og ConvHullP R er funnet, gjøres dette enkelt i (max) ON tidvedåfinnee b og E u ; figur (a). 2. Start sammensying ved E b : Finn unktet fra P L eller P R som danner en Delaunay-trekant med E b. Bruk en voksende sirkel slik som i steg-for-steg algoritmen. T L, R, i figur (a) er nå en Delaunay-trekant i følge Teorem. Sidekanter i P L og P R som skjerer T L, R, fjernes. Sett E b til den nye sidekanten og reeter helt til E u nås. 3. P L P R er nå Delaunay siden ingen unkter i P L P R er innenfor en omskrevet sirkel til en trekant i P L P R 33
34 Tidsforbruk for slitt-og-hersk Merk at dette er rent teoretisk. Sammensyingen av P L og P R er av orden ON. tn tidsforbruk for Delaunay-triangulering av N unkter. MN MN/2, N/2 tidsforbruk for å sy sammen P L og P R hver med N/2 unkter. Merk at MN er lineær i tid slik at, 2MN/2 MN. Vi får følgende rekursjons-formel: tn 2tN/2 MN t1 0 Dette gir tn ONlog N. Viktig: I raksis viser det seg at slitt-og-hersk ikke er raskere enn andre algoritmer selv om den (teoretisk) er den eneste som er ONlog N. 34
35 Anta at P ble delt inn i 2 k subsett: tn 2tN/2 MN 22tN/4 MN/2 MN 4tN/4 2MN 8tN/8 3MN 16tN/16 4MN 2 k tn/2 k kmn. Anta totalt antall unkter N 2 m Hvis N er stor og k er stor er m k Worst-case er ON 2 for Delaunay-triangulering 1. ledd av orden: 2 k N/2 k 2 2 k 2 m /2 k 2 2 2mk 2 m (siden m k) N; dvs.on 2. ledd av orden (MN er ON): kn mn, menm log 2 N (siden N 2 m ); dvs. Nlog 2 N eller ON log N 35
Algoritmer for Delaunay-triangulering
Algoritmer for Delaunay-triangulering Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no September 21, 2009 Innhold Algoritmer 1 En enkel algoritme 2 Radial Sweep
DetaljerINF-MAT5370. Delaunay-trianguleringer og Voronoi-diagram
INF-MAT5370 Delaunay-trianguleringer og Voronoi-diagram Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no September 7, 2009 Innhold Klassisk teori Optimale trianguleringer
DetaljerTrianguleringer i planet.
Trianguleringer i planet. Preliminaries Notasjon og teminologi Graf-egenskaper med trianguleringer i planet Enkle trianguleringsalgoritmer 1 Punkter og domener. Vi starter med et sett punkter i planet
DetaljerINF-MAT5370. Trianguleringer i planet (Preliminaries)
INF-MAT5370 Trianguleringer i planet (Preliminaries) Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no August 23, 2009 Innhold Notasjon og terminologi Graf-egenskaper
DetaljerINF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth
INF 4130 17. november 2011 Triangulering Stein Krogdahl Med sterk støtte fra Petter Kristiansen Skal først se på et eksempel fra Google Earth De bruker en underliggende triangulering av landskapet, men
DetaljerINF-MAT5370. Grafer og datastrukturer
INF-MAT5370 Grafer og datastrukturer Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no August 3, 2009 Innhold Kort om grafer Topologiske operatorer og operasjoner,
DetaljerObligatoriske oppgaver 2009
Obligatoriske oppgaver 2009 Sist oppdatert August 13, 2009. Generelt: Dokumentet kan bli oppdatert etter hvert med flere obligatoriske oppgaver. Endringer og tillegg til oppgaver som allerede er gitt blir
Detaljerkap. 8.6 Computational Geometry Hovedkapittelet (kap. 8) dreier seg generelt om devide-and-conquer eller splitt og hersk :
INF 4130, 17. november 2011 kap. 8.6 Computational Geometry Stein Krogdahl Hovedkapittelet (kap. 8) dreier seg generelt om devide-and-conquer eller splitt og hersk : Splitt problemet opp i mindre problemer.
DetaljerØvingsforelesning 3: Splitt og hersk. Daniel Solberg
Øvingsforelesning 3: Splitt og hersk Daniel Solberg Plan for dagen Vi går raskt gjennom øving 2 Splitt og hersk Algoritmer: Mergesort Quicksort Binærsøk Rekurrenser, masse rekurrenser 2 Splitt og hersk
DetaljerINF2220: Time 12 - Sortering
INF0: Time 1 - Sortering Mathias Lohne mathialo Noen algoritmer Vi skal nå se på noen konkrete sorteringsalgoritmer. Gjennomgående i alle eksempler vil vi sortere tall etter tallverdi, men som diskutert
DetaljerINF2220: Forelesning 2. Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7)
INF2220: Forelesning 2 Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) REPETISJON: BINÆRE SØKETRÆR 2 Binære søketrær 8 4 12 2 7 9 15 6 11 13 16 For enhver node i et binært søketre
DetaljerINF2220: Forelesning 2
INF2220: Forelesning 2 Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) REPETISJON: BINÆRE SØKETRÆR 2 Binære søketrær 8 4 12 2 7 9 15 6 11 13 16 For enhver node i et binært søketre
DetaljerINF2220: Forelesning 2
INF2220: Forelesning 2 Mer om analyse av algoritmer Analyse av binære søketrær Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) ANALYSE AV ALGORITMER 2 Analyse av tidsforbruk Hvor
DetaljerRekursiv programmering
Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man
DetaljerTo geometriske algoritmer, kap. 8.6
INF 4130, 18. november 2010 To geometriske algoritmer, kap. 8.6 Computational Geometry Stein Krogdahl Hovedkapittelet t (kap. 8) dreier seg generelt om devide-and-conquer eller splitt og hersk : Splitt
DetaljerDivide-and-Conquer II
Divide-and-Conquer II Lars Vidar Magnusson 1712014 Kapittel 4 Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av rekursjonstrær Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av masterteoremet Løse
DetaljerRekursiv programmering
Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man
DetaljerLO118D Forelesning 2 (DM)
LO118D Forelesning 2 (DM) Kjøretidsanalyse, matematisk induksjon, rekursjon 22.08.2007 1 Kjøretidsanalyse 2 Matematisk induksjon 3 Rekursjon Kjøretidsanalyse Eksempel Finne antall kombinasjoner med minst
DetaljerData-avhengige trianguleringer
Data-avhengige trianguleringer Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no October 5, 2009 Definition (Data-avhengig triangulering) En triangulering (P),
DetaljerGeometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved
Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også
DetaljerHva er en algoritme? INF HØSTEN 2006 INF1020. Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: Dagens tema
va er en algoritme? Vanlig sammenligning: Oppskrift. nput lgoritme NF1020 - ØSTEN 2006 Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: ragnarn@ifi.uio.no Output Knuth : tillegg til å være et endelig sett med regler
DetaljerLO118D Forelesning 12 (DM)
LO118D Forelesning 12 (DM) Trær 15.10.2007 1 Traversering av trær 2 Beslutningstrær 3 Isomorfisme i trær Preorden-traversering 1 Behandle den nåværende noden. 2 Rekursivt behandle venstre subtre. 3 Rekursivt
DetaljerINF2220: Forelesning 1. Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel )
INF2220: Forelesning 1 Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel 4.1-4.3 + 4.6) PRAKTISK INFORMASJON 2 Praktisk informasjon Kursansvarlige Ragnhild Kobro Runde (ragnhilk@ifi.uio.no)
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 3 Rekursjon Estimering
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 3 Rekursjon Estimering Lars Sydnes, NITH 22.januar 2014 I. Rekursjon commons.wikimedia.org Rekursjon i naturen En gren er et tre som sitter fast på et tre.
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Torsdag 3. november 2, kl. 9. - 14. Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1998
Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Oppgave 1 // Inne i en eller annen klasse private char S[]; private int pardybde; private int n; public void lagalle(int i) if (i==n) bruks(); else /* Sjekker
DetaljerKjøretidsanalyse. Hogne Jørgensen
Kjøretidsanalyse Hogne Jørgensen Program Presentasjon/tips til Øving 5 Kompleksitetsanalyse Kahoot Rekurrensligninger Kahoot 2 Øving 5 Veibygging i Ogligogo Finne dyreste kant i minimalt spenntre Prim
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 13: Dynamisk programmering (Ifi, UiO) INF2220 H2017, forelesning 13 1 / 30 Dagens plan Dynamisk
DetaljerOppgave 1 LØSNINGSFORSLAG. Eksamen i INF desember Betrakt følgende vektede, urettede graf:
INF100 Algoritmer og datastrukturer INF100 Algoritmer og datastrukturer Oppgave 1 LØSNINGSFORSLAG Betrakt følgende vektede, urettede graf: V 1 V Eksamen i INF100 1. desember 004 V V 4 V 4 V V Ragnar Normann
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 7. desember, 06 Eksamenstid
DetaljerØvingsforelesning 6. Sorteringsalgoritmer. Kristian Veøy
Øvingsforelesning 6 Sorteringsalgoritmer Kristian Veøy veoy@stud.ntnu.no 26.09.08 1 Spørsmål fra øvingsgruppene Må jeg kunne python på eksamen? (Nei) Er det lurt å gjøre alle programmeringsøvingene? (Ikke
DetaljerLæringsmål og pensum. Algoritmeeffektivitet
1 TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Algoritmer i praksis Professor Alf Inge Wang 2 Læringsmål og pensum Mål Lære å forstå og kunne programmere algoritmer for søk og sortering. Lære å forstå
DetaljerTDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Algoritmer i praksis. Professor Alf Inge Wang
1 TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Tema: Algoritmer i praksis Professor Alf Inge Wang 2 Læringsmål og pensum Mål Lære å forstå og kunne programmere algoritmer for søk og sortering. Lære å forstå
DetaljerØvingsforelesning 6. Sorteringsalgoritmer. Martin Kirkholt Melhus Basert på foiler av Kristian Veøy 30/09/14 1
Øvingsforelesning 6 Sorteringsalgoritmer Martin Kirkholt Melhus martme@stud.ntnu.no Basert på foiler av Kristian Veøy 30/09/14 1 Agenda l Spørsmål fra øving 4 l Sortering l Presentasjon av øving 6 30/09/14
DetaljerINF2220: Gruppe me 2. Mathias Lohne Høsten 2017
INF0: Gruppe me Mathias Lohne Høsten 0 1 Rød-svarte trær Vanlige binære søketrær blir fort veldig ubalanserte. røv å sett inn 1,,, 4, 5,, 7,... (i den rekkefølgen) i et binært søketre. Da vil vi i praksis
DetaljerFra Kap.10 Binære søketre (BS-tre) Sist oppdatert 20.03.10 Definere en abstrakt datastruktur binært søketre. Vise hvordan binær søketre kan brukes
Fra Kap.10 Binære søketre (BS-tre) Sist oppdatert 20.03.10 Definere en abstrakt datastruktur binært søketre. Vise hvordan binær søketre kan brukes til å løse problemer. Undersøke ulike implementasjoner
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1996
Løsnings forslag i java In115, Våren 1996 Oppgave 1a For å kunne kjøre Warshall-algoritmen, må man ha grafen på nabomatriseform, altså en boolsk matrise B, slik at B[i][j]=true hvis det går en kant fra
DetaljerSøkeproblemet. Gitt en datastruktur med n elementer: Finnes et bestemt element (eller en bestemt verdi) x lagret i datastrukturen eller ikke?
Søking Søkeproblemet Gitt en datastruktur med n elementer: Finnes et bestemt element (eller en bestemt verdi) x lagret i datastrukturen eller ikke? Effektiviteten til søkealgoritmer avhenger av: Om datastrukturen
DetaljerDisjunkte mengder ADT
Binære relasjoner A A = {(x, y) x, y A}: mengden av ordnede par over A. Disjunkte mengder ADT Weiss kap. 8.1 8.5 Løser ekvivalensproblemet Lett og rask implementasjon Vanskelig tidsforbrukanalyse Ark 1
DetaljerUke 12 inf2440 v2018. Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO
Uke 12 inf2440 v2018 Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO Oblig 5 veiledning, 2018 i dag, den sekvensielle løsninga. Den konvekse innhyllinga til n punkter Oblig 4 Hva er det, definisjon Hvordan ser den ut Hva
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerDatastrukturer for rask søking
Søking Søkeproblemet Gitt en datastruktur med n elementer: Finnes et bestemt element (eller en bestemt verdi) x lagret i datastrukturen eller ikke? Effektiviteten til søkealgoritmer avhenger av: Om datastrukturen
DetaljerEKSAMEN med løsningsforslag
EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:
DetaljerPython: Rekursjon (og programmering av algoritmer) Python-bok: Kapittel 12 + teoribok om Algoritmer
Python: Rekursjon (og programmering av algoritmer) Python-bok: Kapittel 12 + teoribok om Algoritmer TDT4110 IT Grunnkurs Professor Guttorm Sindre Læringsmål og pensum Mål Forstå, og kunne bruke, algoritmer
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Matlab: Sortering og søking Anders Christensen (anders@idi.ntnu.no) Rune Sætre (satre@idi.ntnu.no) TDT4105 IT Grunnkurs 2 Pensum Matlab-boka: 12.3 og 12.5 Stoffet
DetaljerOm Kurset og Analyse av Algoritmer
Om Kurset og Analyse av Algoritmer Lars Vidar Magnusson 8.1.2014 Praktisk informasjon om kurset Hva er en algoritme? (kapittel 1) Hvordan analysere en algoritme? (kapittel 2) Praktisk Informasjon Introduction
DetaljerKap.8 Sortering og søking sist oppdatert 16.03
Kap.8 Sortering og søking sist oppdatert 16.03 Del 1 Søking - lineær søking m/u sorterte elementer - binærsøking - analyse Del 2 Sortering - gamle sorteringsmetoder fra i høst - nye -analyse Copyright
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerEkstra ark kan legges ved om nødvendig, men det er meningen at svarene skal få plass i rutene på oppgavearkene. Lange svar teller ikke positivt.
Side 1 av 5 Noen viktige punkter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamenssettet nøye før du begynner! Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svarene dine i svarrutene
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer IAI 21899
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Torsdag 30. november 2000, kl. 09.00-14.00 LØSNINGSFORSLAG 1 Del 1, Binære søketrær Totalt
DetaljerKondisjonstest. Algoritmer og datastrukturer. Python-oppgaver. Onsdag 6. oktober Her er noen repetisjonsoppgaver i Python.
Algoritmer og datastrukturer Kondisjonstest Python-oppgaver Onsdag 6. oktober 2004 Her er noen repetisjonsoppgaver i Python. Som alltid er den beste måten å lære å programmere på å sette seg ned og programmere
DetaljerDivide-and-Conquer. Lars Vidar Magnusson 13.1.2015
Divide-and-Conquer Lars Vidar Magnusson 13.1.2015 Kapittel 4 Maximum sub-array problemet Matrix multiplikasjon Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av substitusjonsmetoden Divide-and-Conquer
DetaljerFørst litt praktisk info. Sorteringsmetoder. Nordisk mesterskap i programmering (NCPC) Agenda
Først litt praktisk info Sorteringsmetoder Gruppeøvinger har startet http://selje.idi.ntnu.no:1234/tdt4120/gru ppeoving.php De som ikke har fått gruppe må velge en av de 4 gruppende og sende mail til algdat@idi.ntnu.no
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
DetaljerBinære trær: Noen algoritmer og anvendelser
Binære trær: Noen algoritmer og anvendelser Algoritmer / anvendelser: Søking i usortert binært tre Telling av antall noder og nivåer i treet Traversering av binære trær Binære uttrykkstrær Kunstig intelligens(?):
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 6: Grafer II Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 28.09.2016 1 / 30 Dagens plan: Dijkstra fort.
DetaljerKap.4 del I Top Down Parsering INF5110 v2005. Arne Maus Ifi, UiO
Kap.4 del I Top Down Parsering INF5110 v2005 Arne Maus Ifi, UiO Innhold Motivering Boka gir først parsering uten First/Follow-mengder og så innfører dem. Vi tar teorien først First og Follow-mengder Fjerning
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 14. desember 2011 Eksamenstid 1500 1900 Sensurdato 14. januar Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerIkke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
DetaljerQuicksort. Lars Vidar Magnusson Kapittel 7 Quicksort Randomisert Quicksort Analyse av Quicksort
Quicksort Lars Vidar Magnusson 29.1.2014 Kapittel 7 Quicksort Randomisert Quicksort Analyse av Quicksort Om Quicksort Quicksort er en svært populær sorteringsalgoritme. Algoritmen har i verstefall en kjøretid
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
DetaljerGrådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder
Grådige Algoritmer Lars Vidar Magnusson 12.3.2014 Kapittel 16 Grådige algoritmer Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Ideen bak Grådige Algoritmer Ideen bak grådige algoritmer er å løse optimaliseringsproblem
DetaljerTrianguleringer og anvendelser
INF-MAT5370 Trianguleringer og anvendelser Fra seilflysimulatoren Silent Wings Bakgrunn for kurset: Kurset ble til til mens vi vi (foreleserne) arbeidet med oppdrag for industrien på SINTEF. Samtlige deler
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige
DetaljerFig1. Den konvekse innhyllinga av 100 tilfeldige punkter i planet (de samme som nyttes i oppgaven.)
Oblig3 i INF2440 våren 2015-ver3. Den konvekse innhyllinga til en punktmengde - et rekursivt geometrisk problem. Innleveringsfrist fredag 27. mars kl. 23.59 En punktmengde P i planet består av n forskjellige
DetaljerINF5110 V2012 Kapittel 4: Parsering ovenfra-ned
INF5110 V2012 Kapittel 4: Parsering ovenfra-ned (top-down) Tirsdag 7. februar Stein Krogdahl, Ifi, UiO Oppgaver som gjennomgås i morgen, onsdag: -Spørsmålene på de to siste foilene fra onsdag 1/2 (Bl.a.
DetaljerNy/utsatt EKSAMEN. Dato: 5. januar 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00
Ny/utsatt EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 5. januar 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMEN I KLASSE LVD525 Videregående algoritmer : 3DA og 3DB DATO :. april 2005 ANTALL OPPGAVER : 4 ANTALL SIDER : 4 VEDLEGG : side HJELPEMIDLER : ingen
DetaljerUke 5 Disjunkte mengder
Uke 5 Disjunkte mengder MAW, kap.. 8 September 19, 2005 Page 1 Hittil Forutsetninger for og essensen i faget Metodekall, rekursjon, permutasjoner Analyse av algoritmer Introduksjon til ADT er Den første
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerHvorfor sortering og søking? Søking og sortering. Binære søketrær. Ordnet innsetting forbereder for mer effektiv søking og sortering INF1010 INF1010
Hvorfor sortering og søking? Man bør ha orden i dataene umulig å leve uten i informasjonssamfunnet vi blir fort lei av å lete poleksempel internett alt er søking og sortering alternativer til sortering
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerKap. 4 del I Top Down Parsering INF5110 v2006. Stein Krogdahl Ifi, UiO
Kap. 4 del I Top Down Parsering INF5110 v2006 Stein Krogdahl Ifi, UiO 1 Innhold First og Follow-mengder Boka ser på én parseringsmetode først, uten å se på First/Follow-mengder. Vi tar teorien først To
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerDagens plan: INF Algoritmer og datastrukturer. Eksempel. Binære Relasjoner
Dagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Definisjon av binær relasjon Definisjon av ekvivalens
DetaljerPensum: Starting out with Python
1 Kunnskap for en bedre verden TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Python: Repetisjon Matriser (2D-lister) try except rekursjon skrive pent til skjerm Terje Rydland - IDI/NTNU 2 Læringsmål og pensum
DetaljerMAT1030 Forelesning 17
MAT1030 Forelesning 17 Rekurrenslikninger Roger Antonsen - 18. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-18 19:3) Forelesning 17 Forrige gang ga vi en rekke eksempler på bruk av induksjonsbevis og rekursivt definerte
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 10 1 / 27
DetaljerGrunnleggende Datastrukturer
Grunnleggende Datastrukturer Lars Vidar Magnusson 7.2.2014 Kapittel 10 Stakker og køer Lenkede lister Pekere og objekter Trerepresentasjoner Datastrukturer Vi er i gang med tredje del av kurset hvor vi
DetaljerDefinisjon av binært søketre
Binære søketrær Definisjon av binært søketre For alle nodene i et binært søketre gjelder: Alle verdiene i nodens venstre subtre er mindre enn verdien i noden Alle verdiene i nodens høyre subtre er større
DetaljerDynamisk programmering
Dynamisk programmering Metoden ble formalisert av Richard Bellmann (RAND Corporation) på 50-tallet. Programmering i betydningen planlegge, ta beslutninger. (Har ikke noe med kode eller å skrive kode å
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 15
Kaittel 5 Komlekse tall Utgangsunktet for all regning er de naturlige tallene N = {,,3,...,} Den berømte matematikeren Leoold Kronecker formulerte dette som Gud skate de naturlige tallene, resten er menneskets
Detaljer3.4 Geometriske steder
3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere
DetaljerGrunnleggende Grafteori
Grunnleggende Grafteori 2. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Terminologi og definisjoner Hvordan representere grafer i datamaskinen Traversering Dybde-først-søk Bredde-først-søk Topologisk
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1999
Løsnings forslag i java In115, Våren 1999 Oppgave 1a Input sekvensen er: 9, 3, 1, 3, 4, 5, 1, 6, 4, 1, 2 Etter sortering av det første, midterste og siste elementet, har vi følgende: 2, 3, 1, 3, 4, 1,
DetaljerLogaritmiske sorteringsalgoritmer
Logaritmiske sorteringsalgoritmer Logaritmisk sortering Rekursive og splitt og hersk metoder: Deler verdiene i arrayen i to (helst) omtrent like store deler i henhold til et eller annet delingskriterium
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.3
Delkapittel 1.3 Ordnede tabeller Side 1 av 70 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.3 1.3 Ordnede tabeller 1.3.1 Permutasjoner En samling verdier kan settes opp i en rekkefølge. Hver
DetaljerINF5110 V2013 Stoff som i boka står i kap 4, men som er generelt stoff om grammatikker
INF5110 V2013 Stoff som i boka står i kap 4, men som er generelt stoff om grammatikker 29. januar 2013 Stein Krogdahl, Ifi, UiO NB: Ikke undervisning fredag 1. februar! Oppgaver som gjennomgås 5. februar
DetaljerAt z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d
Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel I dette kaittelet har mange av ogavene et mindre teoretisk reg enn i de foregaende kaitlene, og jeg regner derfor med at lrebokas eksemler og fasit er dekkende
DetaljerStoff som i boka står i kap 4, men som er. 10. Februar Ifi, UiO
INF5110 V2010 Stoff som i boka står i kap 4, men som er generelt stoff om grammatikker 10. Februar 2010 Stein Krogdahl Ifi, UiO Oppgaver som gjennomgås 16/2: - Spørsmålene på foil 35 og 36 fra 9/10 - Finn
DetaljerEKSAMEN. Emne: Algoritmer og datastrukturer
1 EKSAMEN Emnekode: ITF20006 000 Dato: 19. mai 2010 Emne: Algoritmer og datastrukturer Eksamenstid: 09:00 til 13:00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Faglærer: Gunnar Misund Oppgavesettet
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt
DetaljerHvor raskt klarer vi å sortere?
Sortering Sorteringsproblemet Gitt en array med n elementer som kan sammenlignes med hverandre: Finn en ordning (eller permutasjon) av elementene slik at de står i stigende (evt. avtagende) rekkefølge
DetaljerEKSAMEN. Dato: 28. mai 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00
EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: 28. mai 2018 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Faglærer: Jan Høiberg Om eksamensoppgavene: Oppgavesettet
DetaljerPG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 2
PG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 2 Frist: Mandag 21.april 2014 kl 23.55 Utdelt materiale: Se zip-filen innlevering2.zip. Innlevering: Lever en zip-fil som inneholder følgende: PG4200_innlevering_2.pdf:
DetaljerGrunnleggende Grafalgoritmer
Grunnleggende Grafalgoritmer Lars Vidar Magnusson 19.3.2014 Kapittel 22 Representere en graf Bredde-først søk Grafer i Informatikken Problem med grafer går ofte igjen i informatikkens verden, så det å
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
Detaljer